PROCESOS ESTOCÁSTICOS

PROCESOS ESTOCÁSTICOS 5 ō de Matemáticas

i Ídice Geeral Capítulo I: MARTINGALAS 1 Lecció 1: Martigalas a Tiempo Discreto................... 2 Lecció 2: Itegrabilidad Uiforme y Teoría de Martigalas......... 10 Lecció 3: Aplicacioes de la Teoría de Martigalas.............. 18 Capítulo II: CADENAS DE MARKOV 23 Lecció 4: Itroducció a la Teoría de Procesos Estocásticos......... 24 Lecció 5: Cadeas de Markov co Probabilidades de Trasició Estacioarias.................................... 31 Lecció 6: Clasificació de los Estados..................... 43 Lecció 7: Recurrecia.............................. 54 Lecció 8: El Teorema Límite Fudametal.................. 64 Lecció 9: Distribucioes Estacioarias.................... 75 Lecció 10: Procesos de Ramificació..................... 84 Lecció 11: Criterios y Ejemplos........................ 89

Capítulo I MARTINGALAS I.1. Martigalas a Tiempo Discreto: Defcioes y primeros resultados. Teorema de Halmos. Teorema de Doob. Teorema de covergecia de submartigalas. I.2. Itegrabilidad Uiforme y Teoría de Martigalas: Itegrabilidad uiforme. Extesió del lema de Fatou y del teorema de la covergecia domiada bajo la hipótesis de itegrabilidad uiforme. Caracterizació de itegrabilidad uiforme. Covergecia c.s., covergecia e medida y covergecia e L p e el caso uiformemete itegrable. Teoremas de Lévy de covergecia de martigalas y martigalas iversas. Covergecia c.s. y e L 1 de submartigalas uiformemete itegrables. Caracterizació de martigalas uiformemete itegrables. I.3. Aplicacioes de la Teoría de Martigalas: Ley cero-uo de Kolmogorov. Aplicació del teorema de covergecia de martigalas e la mejora de la ley fuerte de los grades úmeros. Referecias capítulo 0: Ash (1972), Billigsley (1986), Loève (1960). 1

2 Lecció 1: Martigalas a Tiempo Discreto. El Cálculo de Probabilidades tiee sus orígees e los juegos de azar y puede ser iteresate iterpretar los resultados e esos térmios. Por ejemplo, si X 1, X 2,... es ua sucesió de v.a.r., podemos iterpretar X como el total de gaacias tras partidas e u determiado juego. Ates de la partida ( + 1)- ésima, se supoe coocidas las gaacias totales e las partidas precedetes y el capital esperado tras esa partida es E(X +1 X 1,..., X ). Si este capital esperado coicide co X, diremos que el juego es justo o equitativo, pues la gaacia sería E(X +1 X X 1,..., X ) = X X = 0. Si E(X +1 X 1,..., X ) X, el juego se dice favorable y si E(X +1 X 1,..., X ) X, se dice desfavorable. Nótese que la esperaza codicioal E(X +1 X 1,..., X ) se ha idetificado co la esperaza E(X +1 σ(x 1,..., X )), dode σ(x 1,..., X ) deota la σ-álgebra (X 1,..., X ) 1 (R ) iducida por X 1,..., X. Esa misma idetificació se hará e toda esta lecció. Defció. Sea (Ω, A, P ) u espacio de probabilidad, (X ) ua sucesió de v.a.r. itegrables sobre él y (A ) ua sucesió creciete de sub-σ-álgebras de A. Diremos que (X ) es ua martigala respecto a (A ), o que (X, A ) es ua martigala si X es A -medible y E(X +1 A ) = X, para cada N. Diremos que (X ) es ua submartigala (resp., supermartigala) respecto a (A ), o que (X, A ) es ua submartigala (resp., supermartigala) si X es A -medible y E(X +1 A ) X (resp., E(X +1 A ) X ), para cada N. Diremos simplemete que (X ) es ua martigala (o submartigala, o supermartigala) si (X, σ(x 1,..., X )) lo es. E lo que sigue, (Ω, A, P ) será u espacio de probabilidad e el que supodremos defdas todas las v.a. que cosideremos, a meos que explícitamete se diga otra cosa. Observacioes. 1) De acuerdo co la defció aterior y co la de esperaza codicioal, que (X, A ) sea ua martigala sigifica que X es A -medible y, además, X +1 dp = X dp, A A, N. A A Aálogamete, que (X, A ) sea ua submartigala sigifica que X es A -medible y, además, X +1 dp X dp, A A, N. A A 2) (Martigala iversa) Sea (X ) ua sucesió de v.a.r. y (A ) ua sucesió decreciete de σ-álgebras. Diremos que (X, A ) es ua martigala iversa si X es A -medible y E(X A +1 ) = X +1, para cada. Proposició 1. (a) Si (X, A ) es ua martigala etoces E(X +k A ) = X, para cada k, N.

3 (b) Si (X, A ) es ua martigala etoces (X, σ(x 1,..., X )) es tambié ua martigala. (c) Si (X, A ) e (Y, A ) so submartigalas, tambié lo es (max(x, Y ), A ). Si (X, A ) e (Y, A ) so supermartigalas, tambié lo es (mi(x, Y ), A ). Demostració. (a) Nótese que E(X +2 A ) = E[E(X +2 A +1 ) A ] = E[X +1 A ] = X. La prueba termia por iducció fta. (b) Nótese que (σ(x 1,..., X )) es ua sucesió creciete de sub-σ-álgebras de A y que X es σ(x 1,..., X )-medible. Nótese tambié que, siedo (X A ) ua martigala, σ(x 1,..., X ) A, para cada. Etoces, de que se sigue que E(X +1 A ) = X, E(X +1 X 1,..., X ) = E(E(X +1 A ) σ(x 1,..., X )) = E(X σ(x 1,..., X )) = X, como queríamos probar. (c) Probemos la afirmació relativa a submartigalas; la de supermartigalas es aáloga. Los requisitos de medibilidad o platea problemas. Por otra parte, la mootoía de la esperaza codicioal y la defció de submartigala prueba que E(max(X +1, Y +1 ) A ) E(X +1 A ) X y E(max(X +1, Y +1 ) A ) E(Y +1 A ) Y, y de ello se sigue la prueba. Observació. Es claro que puede euciarse proposicioes aálogas a las (a) y (b) ateriores para sub- y supermartigalas. Ejemplos. 1) Si X es ua v.a.r. P -itegrable y hacemos X = X, para cada, etoces (X ) es ua martigala. 2) Si X 1 X 2 X 3... y todas la variables so P -itegrables, etoces (X ) es ua submartigala. 3) Sea Y 1, Y 2,... v.a.r. idepedietes co media ula y hagamos X = i=1 Y i. Etoces (X ) es ua martigala pues E(X +1 X 1,..., X ) = E(X + Y +1 X 1,..., X ) = X + E(Y +1 ) = X. 4) Sea Y ua v.a.r. P -itegrable y (A ) ua sucesió creciete de sub-σálgebras. Si X = E(Y A ), etoces (X, A ) es ua martigala, pues E(X +1 A ) = E(E(Y A +1 ) A ) = E(Y A ) = X. Si (A ) ua sucesió decreciete de sub-σ-álgebras y X (X, A ) es ua martigala iversa. = E(Y A ), etoces

4 Teorema 2. (a) Sea (X, A ) ua submartigala, g ua fució covexa creciete de R e R. Si g(x ) es itegrable para cada, etoces (g(x ), A ) es ua submartigala. E particular, si (X ) es ua submartigala, tambié lo es (X + ). (b) Si (X, A ) es ua martigala y g ua fució covexa de R e R tal que g(x ) es itegrable para cada, etoces (g(x ), A ) es ua submartigala. E particular, si r 1 y (X ) es ua martigala tal que X r es itegrable para cada, etoces ( X r ) es ua submartigala. Demostració. Ua fució covexa g : R R es tambié cotiua, y la desigualdad de Jese se aplica para probar que E(g X +1 A ) g(e(x +1 A )). E (a) se tiee que E(X +1 A ) X, y, siedo g creciete, g(e(x +1 A )) g(x ). E (b) se verifica que E(X +1 A ) = X, y, por tato, g(e(x +1 A )) = g(x ). Nos propoemos probar alguos resultados sobre covergecia de submartigalas. Necesitamos para ello u resultado de Halmos y otro de Doob. Teorema 3. (Halmos) Sea (X, A ) ua submartigala y ε 1, ε 2,... v.a.r. defdas por { = 1 si (X 1 (ω),..., X k (ω)) B k ε k (ω) = = 0 si (X 1 (ω),..., X k (ω)) / B k dode B k R k, k = 1, 2,..., so boreliaos arbitrarios (pero fos). Hagamos Y 1 = X 1 Y 2 = X 1 + ε 1 (X 2 X 1 )... Y = X 1 + ε 1 (X 2 X 1 ) + + ε 1 (X X 1 )... Etoces (Y, A ) es tambié ua submartigala y E(Y ) E(X ), para cada. Si (X, A ) es ua martigala, tambié lo es (Y, A ) y E(Y ) = E(X ), para cada. Demostració. Es claro que ε k e Y k so A k -medible, para cada k. Por tato Etoces E(Y +1 A ) = E(Y + ε (X +1 X ) A ) = Y + ε E(X +1 X A ). E(Y +1 A ) { = Y + ε (X X ) = Y e el caso martigala Y + ε (X X ) = Y e el caso submartigala

5 Puesto que Y 1 = X 1, se tiee que E(X 1 ) = E(Y 1 ). Supuesto probado que E(X k Y k ) 0 (= 0 e el caso martigala), etoces X k+1 Y k+1 = X k+1 Y k ε k (X k+1 X k ) = (1 ε k )(X k+1 X k ) + X k Y k. Etoces E(X k+1 Y k+1 A k ) = (1 ε k )E(X k+1 X k A k ) + E(X k Y k A k ) E(X k Y k A k ) = X k Y k, co igualdad e el caso martigala. Tomado esperazas se obtiee que co igualdad e el caso martigala. E(X k+1 Y k+1 ) E(X k Y k ) 0, Observació. Si X deota la fortua de u jugador después de partidas, Y sería la fortua de ese jugador tras partidas supuesto que sigue la siguiete estrategia: después de observar X 1,..., X k, el jugador puede elegir apostar e la partida k + 1 (e cuyo caso ε k = ε k (X 1,..., X k ) = 1) o pasar (e cuyo caso ε k = 0); la gaacia tras la partida k + 1 es ε k (X k+1 X k ). El teorema aterior establece que, cualquiera que sea la estrategia de este tipo seguida por el jugador, si el juego es cialmete justo (martigala) o favorable (submartigala), seguirá siedo justo o favorable, y igua estrategia de este tipo puede aumetar la gaacia esperada. Teorema 4. (Doob) Sea (X k, A k ) 1 k ua submartigala fta. Si a < b so úmeros reales, deotaremos por U (a,b) la v.a. discreta que asocia a cada ω Ω el úmero de saltos hacia arriba desde debajo de a hasta ecima de b e la sucesió fta X 1 (ω),..., X (ω); dicho de otro modo: sea T 1 = T 1 (ω) el primer etero (si existe alguo) e {1,..., } tal que X T1 (ω) a; sea T 2 = T 2 (ω) el primer etero (si existe alguo) e {T 1 + 1,..., } tal que X T2 (ω) b; sea T 3 = T 3 (ω) el primer etero (si existe alguo) e {T 2 + 1,..., } tal que X T3 (ω) a; sea T 4 = T 4 (ω) el primer etero (si existe alguo) e {T 3 + 1,..., } tal que X T4 (ω) b; y así sucesivamete. Haremos T i (ω) = + si o existe igú etero satisfaciedo la codició correspodiete. Si N = N(ω) es el úmero de i es tales que T i (ω) es fto, se defie U (a,b) (ω) = N/2 si N es par y U (a,b) (ω) = (N 1)/2 si N es impar. Etoces E(U (a,b) ) 1 b a E[(X a) + ]. Demostració. Supogamos e primer lugar que a = 0 y que X j 0, para cada j. Etoces, que X j a equivale a que X j = 0. Dado ω Ω, se defie ε j (ω) = { = 0 si 1 j < T 1 (ω) ó T 2 (ω) j < T 3 (ω) ó... = 1 si T 1 (ω) j < T 2 (ω) ó T 3 (ω) j < T 4 (ω) ó...

6 Tal y como ha sido defdas, las v.a. ε 1,..., ε depede de X 1,..., X, pero se prueba fácilmete que, e realidad, ε j sólo depede de X 1,..., X j, 1 j (para comprobarlo, dado j {1,..., }, defíase v.a. ε k, 1 k j, a partir de X 1,..., X j como hemos defdo ateriormete las v.a. ε k, 1 k, a partir de X 1,..., X, y otar que ε j = ε j ). Se defie tambié v.a.r. Y 1,..., Y mediate Y 1 = X 1 Y 2 = X 1 + ε 1 (X 2 X 1 )... Y = X 1 + ε 1 (X 2 X 1 ) + + ε 1 (X X 1 ) Se deduce del teorema de Halmos que (Y k, A k ) k es ua submartigala y que E(Y j ) E(X j ), para cada 1 j. U (a,b) (ω) = 2 b X 2 (ω) X 9 (ω) X 8 (ω) X 11 (ω) X 1 (ω) X 3 (ω) X 5 (ω) X 12 (ω) X 7 (ω) X 13 (ω) X 4 (ω) X 6 (ω) X 10 (ω) X 14 (ω) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X 15 (ω) ε j (ω) = 0 ε j (ω) = 1 ε j (ω) = 0 ε j (ω) = 1 ε j (ω) = 0 ε j (ω) = 1 1 T 1 (ω) T 2 (ω) T 3 (ω) T 4 (ω) T 5 (ω) 15 Y 15 = X 1 + 0 (X 2 X 1 ) + 0 (X 3 X 2 ) + 0 (X 4 X 3 ) + 1 (X 5 X 4 )+ 0 (X 6 X 5 ) + 1 (X 7 X 6 ) + 1 (X 8 X 7 ) + 0 (X 9 X 8 ) + 0 (X 10 X 9 )+ 1 (X 11 X 10 ) + 0 (X 12 X 11 ) + 0 (X 13 X 12 ) + 0 (X 14 X 13 ) + 1 (X 15 X 14 ) = X 1 + (X 8 X 4 ) + (X 11 X 10 ) + (X 15 X 14 )

7 Nótese, por otra parte, que, si N = N(ω) es par, Y (ω) = X 1 (ω) + + + T 2 (ω) 1 i=t 1 (ω) T N (ω) 1 i=t N 1 (ω) (X i+1 (ω) X i (ω)) + (X i+1 (ω) X i (ω)) T 4 (ω) 1 i=t 3 (ω) (X i+1 (ω) X i (ω)) = X 1 (ω) + ( X T2 (ω)(ω) X T1 (ω)(ω) ) + + ( X TN (ω)(ω) X TN 1 (ω)(ω) ) ; Puesto que, si k {1,..., N} es par, X Tk (ω)(ω) b y X Tk 1 (ω)(ω) = 0, se verifica que X Tk (ω)(ω) X Tk 1 (ω)(ω) b. Por tato, y Se sigue de ello que b U (0,b) (ω) X 1 (ω) + b U (0,b) Y (ω), U (0,b) 1 b Y. E(U (0,b) ) 1 b E(Y ) 1 b E(X ). E el caso de que N sea impar, Y (ω) = X 1 (ω) + ( X T2 (ω)(ω) X T1 (ω)(ω) ) + + ( X TN 1 (ω)(ω) X TN 2 (ω)(ω) ) + ( X (ω) X TN (ω)(ω) ), y u razoamieto aálogo al aterior probaría tambié que E(U (0,b) ) 1 b E(Y ) 1 b E(X ). Co esto acaba la prueba e el caso de que a sea ulo y las X j positivas. E el caso geeral, ((X k a) +, A k ) k es tambié ua submartigala y la v.a. U (a,b) calculada a partir de la sucesió fta (X j ) j coicide co la v.a. U (0,b a) calculada a partir de la sucesió fta (X j a) + (otar que X j a (X j a) + = 0, y que X j b (X j a) + b a). Eso reduce el caso geeral al probado ateriormete. Estamos ya e codicioes de probar el pricipal resultado sobre covergecia de submartigalas. Teorema 5. Sea (X, A ) ua submartigala. Si sup E(X + ) <, etoces existe ua v.a.r. itegrable X tal que X X c.s.

8 Demostració. Es claro que {ω : X (ω) o coverge e R} = a<b, a,b Q {ω : lim if Si para algú par a < b se verifica que P ({ω : lim if X (ω) a < b lim sup X (ω)}) > 0, X (ω) a < b lim sup X (ω)}. etoces, para cada ω e u cojuto de probabilidad > 0 existe ua sucesió de eteros p 1 < q 1 < p 2 < q 2 <... (depedietes de ω) tales que X p (ω) a < X i (ω) < b X q (ω), i ]p, q [ N. Si U () (a,b)(ω) deota el úmero de saltos arriba e el itervalo ]a, b[ determiados por X 1 (ω),..., X (ω), etoces U () (a,b) es ua sucesió moótoa creciete de fucioes medibles o egativas que coverge a e los putos ω de u cojuto de probabilidad > 0, y, por tato, E(U () (a,b) ) +. Pero del teorema aterior y de que max(x a, 0) max(x, 0) + a se sigue que E(U () (a,b) ) 1 b a E[(X a) + ] 1 b a [sup E(X m) + + a ] < +, m, lo cual es ua cotradicció. Por tato, lim if X = lim sup X co probabilidad 1, y, por tato, X coverge a u límite X P -c.s. Probemos ahora que X es P -itegrable. Notemos, e primer lugar, que de la defció de submartigala se deduce que X es itegrable y E(X +1 A 1 ) X 1, y, por tato, E(X +1 ) = E(E(X +1 A 1 )) E(X 1 ), para cada 0. Además, X = X + + X = 2X + X. Etoces E( X ) 2 sup E(X + ) E(X 1 ) < +,. Se deduce del lema de Fatou( 1 ) que E( X ) lim if E( X ) < +. Por tato, X es P -itegrable, y, etoces, fta c.s. U resultado aálogo se obtiee para submartigalas iversas. Corolario 6. Sea (X, A ) ua submartigala iversa (es decir, (A ) es decreciete, las X so itegrables y E(X A +1 ) X +1, ). Si if E(X ) >, existe ua v.a.r. itegrable X tal que X X c.s. (Notar que cualquier martigala iversa satisface la hipótesis pues E(X ) es costate). 1 Lema de Fatou: Sea f, f 1, f 2,... fucioes reales medibles. Si f f, para cada, y fdµ >, etoces lim if f dµ lim if f dµ.

9 Demostració. La demostració de este resultado es aáloga a la del teorema aterior, pero ahora U () (a,b) deota el úmero de saltos arriba e ]a, b[ para la sucesió fta X, X 1,..., X 1 que, escrita e ese orde, es ua submartigala pues E(X k X k+1,..., X ) = E[E(X k A k+1 ) X k+1,..., X ] X k+1. Se obtiee del teorema de Doob que E(U () (a,b) ) (b a) 1 E[(X 1 a) + ] <, y, por tato, X coverge putualmete c.s. a X como ates. Por otra parte, X = 2X + X y E(X ) if E(X ) >. Tambié {X +,..., X + 1 } es ua submartigala. Luego E(X + ) E(X + 1 ). Se sigue de ello que E( X ) 2E(X + 1 ) if E(X ) <, y de aquí y del lema de Fatou que X es itegrable como ates. Observacioes. 1) La demostració prueba que, de hecho, (X ) es L 1 -acotada, es decir, sup E( X ) <. Etoces, para ua submartigala, la codició sup E(X + ) es equivalete a la L 1 -acotació, e implica covergecia c.s. Si embargo, ua submartigala puede coverger si que ello ocurra. 2) Resultados aálogos al teorema y corolario precedetes se obtiee para supermartigalas. Cocretamete, si (X A ) es ua supermartigala y sup E(X ) <, existe ua v.a.r. itegrable X tal que X coverge a X c.s.; e particular, ua supermartigala o egativa coverge c.s. a ua v.a.r. itegrable. Por otra parte, si (X A ) es ua supermartigala iversa y sup E(X ) <, existe ua v.a.r. itegrable a la que X coverge c.s. La demostració de estos dos resultados se reduce a la de los ateriores si más que teer e cueta que ( X, A ) es ua submartigala e el primer caso y ua submartigala iversa e el segudo.

Lecció 2: Itegrabilidad Uiforme y Teoría de Martigalas. El cocepto de itegrabilidad uiforme que ahora itroducimos tiee iteresates aplicacioes e la teoría de martigalas (y e la teoría de itegració e geeral). Defció. (Itegrabilidad uiforme) Sea (Ω, A, µ) u espacio de medida fto y F ua familia de v.a. reales o complejas e (Ω, A). Diremos que las fucioes de la familia F so uiformemete itegrables si uiformemete e f F. lim f dµ = 0 c { f c} Proposició 7. (i) Si F es ua familia de v.a.r. uiformemete itegrables, etoces cada v.a.r. f F es itegrable. Icluso, sup f F f dµ <. () Si f g, para cada f F y g es itegrable, etoces las fucioes de F so uiformemete itegrables. Demostració. (i) Por hipótesis, dado ɛ > 0, existe M > 0 tal que f dµ < { f c} ɛ si c > M y f F. Etoces, dado f F, f dµ { f c} f dµ + { f <c} f dµ ɛ + cµ(ω). () Baste otar que f dµ g dµ. { f c} {g c} Ua aplicació básica de la itegrabilidad uiforme es la siguiete extesió del lema de Fatou y del teorema de la covergecia domiada. Teorema 8. Sea f 1, f 2,... v.a.r. uiformemete itegrables. (i) (lim if f )dµ lim if f dµ lim sup f dµ () Si f coverge a f c.s. o e medida, etoces f es itegrable y lim f dµ = f dµ. (lim sup f )dµ. 10

11 Demostració. (i) Femos ɛ > 0 arbitrario. Existe etoces M > 0 tal que 0 f dµ = f dµ + ( f ) dµ { f c} { f c,f 0} { f c,f <0} = f dµ + ( f ) dµ < ɛ, {f c} {f < c} y, e particular, puesto que los dos últimos sumados so positivos, ( f ) dµ < ɛ o bie f dµ > ɛ. {f < c} {f < c} Por otra parte, puesto que f {f c} dµ = f Ω I {f c}dµ y que f I {f c} c, se sigue del lema de Fatou que lim if f dµ lim if(f I {f c})dµ lim if f dµ, {f c} pues f I {f c} f. Por tato, ( lim if f dµ = lim if f dµ + Ω {f < c} ɛ + lim if f dµ ɛ + lim if Ω {f c} Siedo ɛ > 0 arbitrario, queda probado que (lim if f )dµ lim if Ω f dµ. Ω {f c} ) f dµ f dµ. La prueba de la desigualdad correspodiete a lim sup es aáloga. () Si f f c.s., la demostració se deduce imediatamete de (i) pues f dµ = lim if f dµ lim if f dµ Ω Ω Ω lim sup f dµ sup f dµ < +, Ω que prueba que f es itegrable. Supogamos ahora que f f e medida. Si f dµ o coverge a fdµ, existe ɛ > 0 y ua subsucesió (f k ) k de (f ) tal que (*) f k dµ fdµ > ɛ para cada k. Puesto que (f k ) coverge a f e medida, existe ua subsucesió (f kp ) p de (f k ) k que coverge a f c.s. (pues la covergecia e medida implica la covergecia c.s. de ua subsucesió); el mismo argumeto de arriba prueba ahora que f dµ coverge a k fdµ, e cotra de (*). Esta cotradicció acaba la prueba. p Ω

12 El siguiete resultado establece u criterio útil para comprobar la itegrabilidad uiforme. Teorema 9. Las v.a.r. de ua cierta familia F so uiformemete itegrables si y sólo si las itegrales f dµ, f F, está uiformemete acotadas y so uiformemete cotiuas e el setido de que uiformemete e f F. lim µ(a) 0 A f dµ = 0 Demostració. (= ) Supogamos que se verifica la itegrabilidad uiforme. La acotació uiforme ya ha sido probada ateriormete. Para la cotiuidad uiforme, ótese que f dµ = f dµ + f dµ f dµ + cµ(a). A A { f c} A { f <c} { f c} Sea M > 0 tal que si c M etoces f dµ < ɛ/2 para cada f F. Si { f c} µ(a) < ɛ/(2m), etoces f dµ < ɛ para cada f F. A ( =) Supogamos ahora que las itegrales f dµ, f F, está uiformemete acotadas y so uiformemete cotiuas. Etoces, por la desigualdad de Chebyshev, µ{ f c} 1 f dµ, c que tiede a cero cuado c uiformemete e f F por acotació uiforme. Por la cotiuidad uiforme se obtiee que, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que si, µ(a) < δ, etoces f dµ < ɛ, f F. A Para ese δ = δ(ɛ), existe M δ > 0 tal que si c > M δ etoces µ{ f c} < δ para cada f F. Por tato, si c > M δ y f F, etoces f dµ < ɛ. { f c} Como cosecuecia de la desigualdad de Chebyshev se obtiee que la L p -covergecia implica covergecia e medida. El recíproco tambié es cierto bajo la hipótesis de itegrabilidad uiforme. Para probar ese hecho, ecesitaremos el siguiete lema. Lema 10. (i) Si a, b 0 y p 1, etoces (a + b) p 2 p 1 (a p + b p ). () Si a, b 0 y 0 < p < 1, etoces (a + b) p a p + b p.

13 Demostració. (i) Sea h(x) = d dx [(a + x)p 2 p 1 (a p + x p )] = p(a + x) p 1 2 p 1 px p 1. Puesto que p 1, se verifica que h(x) > 0 si a + x > 2x (es decir, si x < a), que h(x) = 0 si x = a y h(x) < 0 si x > a. Por tato, la fució (a + x) p 2 p 1 (a p + x p ) posee u máximo e el puto x = a, es decir, para cada x 0. () Sea (a + x) p 2 p 1 (a p + x p ) (a + a) p 2 p 1 (a p + a p ) = 0, h(x) = d dx [(a + x)p a p x p ] = p(a + x) p 1 px p 1. Puesto que a + x x, h(x) 0 y la fució (a + x) p a p x p es decreciete; e particular, (a + b) p a p b p (a + a) p a p a p < 0. Teorema 11. Sea µ ua medida fta e (Ω, A) y 0 < p <. Si f coverge a f e medida y las f p so uiformemete itegrables, etoces f coverge a f e L p. Demostració. Supogamos e primer lugar que las f f p so uiformemete itegrables. La covergecia e medida asegura la existecia de ua subsucesió (f k ) k que coverge a f c.s. y e medida. Por u teorema aterior, f k f p dµ coverge a cero cuado k. El mismo argumeto prueba que cualquier subsucesió de (f ) admite ua subsucesió covergete a f e L p. Por tato, f coverge a f e L p, pues, e otro caso, existiría ɛ > 0 y ua subsucesió (f k ) k tal que fk f p dµ > ɛ, para cada k. Supogamos ahora simplemete que las f p so uiformemete itegrables. Como ates, elamos ua subsucesió (f k ) k que coverge a f c.s. U teorema previo prueba que f p es itegrable. Puesto que f f p f p + f p si p 1 y f f p 2 p 1 ( f p + f p ) si p 1, se sigue que las itegrales f k f p dµ so uiformemete acotadas y uiformemete cotiuas. Del teorema aterior se sigue que las f f p so uiformemete itegrables, lo que os sitúa e el primer caso. Corolario 12. Sea f 1, f 2,... uiformemete itegrables. Si f coverge a f c.s. o e medida, etoces f coverge a f e L 1. El resultado siguiete os proporcioa u primer ejemplo de v.a.r. uiformemete itegrables. Lema 13. Sea Y ua v.a.r. itegrable e (Ω, A, P ) y (B i ) i I ua familia arbitraria de sub-σ-álgebras de A. Etoces, las v.a.r. X i := E(Y B i ) so uiformemete itegrables.

14 Demostració. Puesto que X i = E(Y B i ) E( Y B i ), se tiee que X i dp E( Y B i )dp = Y dp. X i c X i c X i c De la desigualdad de Chebyshev se sigue que P ( X i c) 1 c E( X i ) 1 c E(E( Y B i)) = 1 c E( Y ) c 0. Históricamete, el primer teorema de covergecia de martigalas es el siguiete. Teorema 14. (Lévy) Sea (A ) ua sucesió creciete de sub-σ-álgebras de A, y sea A la σ-álgebra egedrada por A. Si Y es ua v.a.r. itegrable y X = E(Y A ), N, etoces X coverge a E(Y A ) c.s. y e L 1. Demostració. Ya sabemos que (X, A ) es ua martigala; el lema aterior prueba que es uiformemete itegrable. Puesto que E( X ) E( Y ) <, para cada, se sigue del teorema de covergecia de submartigalas que X coverge c.s. a ua v.a.r. itegrable X. La covergecia e media de orde 1 se sigue del último corolario. Sólo falta probar que X = E(Y A ) c.s. Si A A, etoces Y dp = E(Y A )dp = X dp. A A Pero, de la L 1 -covergecia se sigue que X A dp coverge a X A dp. Luego Y dp = X A A dp para cada A A, y, por el teorema de la clase moótoa, eso es tambié cierto para cada A A. Teorema 15. Sea (A ) ua sucesió decreciete de sub-σ-álgebras de A y A = A. Si Y es itegrable y X = E(Y A ), = 1, 2,..., etoces X E(Y A ) c.s. Demostració. Como e el teorema aterior (usado ahora el teorema de covergesia de submartigalas iversas) se prueba ahora que X coverge a X c.s. y e media de orde 1. Debemos probar ahora que X = E(Y A ). Si A A A, etoces Y dp = E(Y A )dp = X dp X dp. A A Puesto que X es A -medible (y, por tato, A k -medible, para cada k ), X es A k -medible para cada k; por tato, X es A -medible. Observació. Para cada i N, sea Z i : (Ω, A) (Ω i, A i) ua v.a. Si e el teorema de Lévy hacemos A = σ(z 1,..., Z ) := (Z 1,..., Z ) 1 ( i=1 A i), etoces la σ-álgebra A = A coicide co σ(z 1, Z 2,... ) y, por tato, E(Y Z 1,..., Z ) E(Y Z 1, Z 2,... ) A A A

15 c.s. y e L 1. Si hacemos A = σ(z, Z +1,... ), etoces A := A es la llamada σ-álgebra fial de la sucesió (Z ) ; de acuerdo co el teorema aterior, se verifica que, si Y es ua v.a.r. itegrable, etoces c.s. y e L 1. E(Y Z, Z +1,... ) E(Y A ) El resultado siguiete prueba que la itegrabilidad uiforme de ua submartigala implica su covergecia c.s. y e L 1, y que icluso puede ser alcazado lo que llamaremos u último elemeto. Teorema 16. Sea (X, A ) =1,2,... ua submartigala uiformemete itegrable. Etoces sup E(X + ) < y X coverge a u límite X c.s. y e L 1. Además, si A es la σ-álgebra geerada por A, etoces (X, A ) =1,2,..., es ua submartigala. Si (X, A ) =1,2,... es ua martigala, tambié lo es (X, A ) =1,2,...,. (Def.: Si (X, A ) =1,2,..., es ua (sub- o super-) martigala, dode A es ua σ-álgebra que cotiee a todas las A, diremos que X es u último elemeto). Demostració. Por el criterio de itegrabilidad uiforme, ua submartigala uiformemete itegrable es uiformemete acotada, es decir, sup E( X ) <, y, por el teorema de covergecia de submartigalas, X coverge c.s. a X. Como ates se obtiee tambié la L 1 -covergecia. De la observació 1) que sigue a la defció de martigala, si A A y k, etoces A X dp A X kdp. Tomado límites cuado k, se sigue de la L 1 -covergecia que A X dp A X dp. Por tato, X E(X A ) c.s., y (X, A ) =1,2,..., es ua submartigala. La afirmació relativa a martigalas se prueba de forma aáloga. El teorema siguiete prueba que las martigalas uiformemete itegrables so de ua forma muy especial. Corolario 17. (X, A ) N es ua martigala uiformemete itegrable si y sólo si existe ua v.a.r. itegrable Y tal que X = E(Y A ), = 1, 2,.... E este caso, X coverge a E(Y A ) c.s. y e L 1, dode A es la σ-álgebra egedrada por A. Demostració. La implicació = es cosecuecia imediata de dos resultados precedetes e esta lecció. La implicació = se sigue del teorema aterior co Y = X. Observació. Si e el corolario aterior exigimos que Y sea A -medible, etoces Y es esecialmete úica, pues, si X = E(Y A ), etoces E(Y A ) = E(X A ), N, y, por tato, A Y dp = A X dp para cada A A (y, por el teorema de la clase moótoa, para cada A A ). Etoces Y = X c.s.

16 Ua sub- o supermartigala co u último elemeto o tiee por qué ser uiformemete itegrable, pero existe resultados parciales e ese setido. Por ejemplo, si (X, A ) =1,2,..., es ua martigala co u último elemeto, etoces X = E(X A ), y, por tato, las X so uiformemete itegrables. El resultado siguiete muestra otro caso particular iteresate. Teorema 18. Sea (X, A ) =1,2,..., ua submartigala o egativa co u último elemeto. Etoces las X so uiformemete itegrables. y que Demostració. Baste otar que X dp uiformemete e. {X c} {X c} X dp P (X c) 1 c E(X ) 1 c E(X ) c 0 Veamos a cotiuació u ejemplo de ua supermartigala co u último elemeto que o es uiformemete itegrable. Ejemplo. Sea Y 1, Y 2,... v.a.r. idepedietes tales que P (Y j = 1) = p = 1 P (Y j = 0) para cada j, dode 0 < p < 1. Hagamos X = 1 p j=1 Y j, y A = σ(y 1,..., Y ). Etoces (X, A ) es ua martigala, pues E(X +1 A ) = E(X Y +1 /p A ) = X E(Y +1 /p) = X. E particular, (X, A ) es ua supermartigala. Puesto que X 0, se tiee que E(0 A ) = 0 X, y, por tato, 0 es u último elemeto cuado la sucesió se cosidera como supermartigala (pero o cuado se cosidera como martigala); ótese que cualquier costate o egativa es u último elemeto para esa supermartigala, co lo que el último elemeto o tiee por qué ser úico y o tiee por qué haber covergecia hacia el último elemeto. Probemos que las X o so uiformemete itegrables. Nótese que P (Y j = 1, j) = lim P (Y 1 = 1,..., Y = 1) = lim p = 0; fuera de ese suceso ulo se verifica claramete que X tiede a cero. Por tato, X tiede a cero c.s. Si las X fuese uiformemete itegrables, la covergecia c.s. implicaría covergecia e L 1 y, e particular, E(X ) covergería a E(0) = 0; pero E(X ) = 1, para cada. Esa cotradicció prueba que las X o so uiformemete itegrables. Si esa sucesió es cosiderada como ua martigala, etoces o puede teer u último elemeto; e efecto, si X es u último elemeto, etoces X = E(X A ), para cada, y, por u resultado aterior, las X sería uiformemete itegrables. Nótese tambié que =1 k {X k > 0} =1{Y = 1}, y, por tato, P ( =1 k {X k = 0}) = 1, es decir, co probabilidad 1, X = 0 evetualmete (o, dicho de otro modo, co probabilidad 1, X = 0 para todos los salvo quizás

para u úmero fto de ellos). Este es pues u ejemplo de u juego justo (por tratarse de ua martigala) e el que el jugador tiee probabilidad 1 de ser limpiado; el térmio localmete justo es, quizás, más apropiado que el térmio justo para referiros a martigalas. 17

Lecció 3: Aplicacioes de la Teoría de Martigalas. La teoría de martigalas proporcioa uevas ideas para profudizar y simplificar muchos problemas e probabilidad. Veamos a cotiuació como podemos usar el teorema de covergecia de martigalas para obteer ua prueba más simple de la ley fuerte de los grades úmeros para v.a.r. d, añadiedo icluso L 1 -covergecia al resultado. Necesitaremos ua serie de resultados previos. El primero de ellos afirma ituitivamete que, dado S = X 1 + + X, la cotribució media de cada X k a la suma es la misma, e igual, por tato, a S /. Lema 19. Sea X 1,..., X v.a.r. idepedietes e idéticamete distribuidas co media fta y S = k=1 X k. Etoces Demostració. Si B R, etoces E(X k S ) = 1 S, c.s., 1 k. {S B}X k dp = E(X k I {S B}) = x k I B (x 1 + + x )dp (X 1,...,X ) =... x k I B (x 1 + + x k )dq(x )... dq(x 1 ). R R R El teorema de Fub prueba que esa itegral múltiple o depede de k; por tato, X k dp = 1 1 X k dp = {S B} {S B} {S B} S dp. Lema 20. Si X 1, X 2,... so v.a.r. y S = k=1 X k, etoces k=1 σ(s, S +1, S +2,... ) = σ(s, X +1, X +2,... ). Demostració. ( ) Se deduce imediatamete de que X +k = S +k S +k 1. ( ) Aálogamete, S, S +1, S +2,... so σ(s, X +1, X +2,... )-medibles, lo que acaba la prueba. Lema 21. Sea Y ua v.a.r. itegrable y X y Z v.a. tales que (X, Y ) y Z so idepedietes. Etoces E(Y X, Z) = E(Y X). Demostració. {X A,Z B} Y dp = E[Y (I A X)(I B Z)] = E[Y (I A X)]E(I B Z) (por idepedecia) = E[E(Y (I A X) X)]E(I B Z) = E[(I A X)E(Y X)]E(I B Z) = E[(I A X)E(Y X)(I B Z)] (por idepedecia) = E(Y X)dP {X A,Z B} 18

19 Así pues, queda probado que Y dp = E(Y X)dP si C es u {(X,Y ) C} {(X,Y ) C} rectágulo medible. El teorema de la clase moótoa extiede ese resultado a cualquier suceso de la σ-álgebra producto de forma estádar. U último resultado ates de probar la ley fuerte de los grades úmeros: la ley cero-uo de Kolmogorov. Defció. (σ-álgebra fial) Sea (X ) ua sucesió de v.a.r. y deotemos por A la más pequeña σ-álgebra que hace medible a X, X +1, X +2,..., para cada N. La σ-álgebra A := A se llama σ-álgebra fial de la sucesió (X ), y sus elemetos se llama sucesos fiales. Las fucioes reales A -medibles se llama fucioes fiales relativas a la sucesió (X ). Observació. Ituitivamete, u suceso fial relativo a ua sucesió (X ) es u suceso cuya ocurrecia o resulta afectada al cambiar lo valores de u úmero fto de variables X. P.ej., los sucesos {ω : X (ω) coverge}, {ω : X (ω) coverge}, o {ω : X (ω) < 1 para iftos valores de } so sucesos fiales relativos a (X ). lim sup X y lim if X so fucioes fiales relativas a (X ). Teorema 22. (Ley cero-uo de Kolmogorov) Todos los sucesos fiales relativos a ua sucesió (X ) de v.a.r. idepedietes tiee probabilidad 0 o 1, y todas las fucioes fiales so costates c.s. Demostració. Sea A A. Probaremos que A es idepediete cosigo mismo, co lo cual P (A) = P (A A) = P (A) 2. Puesto que A A 1, existe A 1 R N tal que A = X 1 (A 1), dode X = (X 1, X 2,... ). Deotemos por C la clase de todos los cojutos C R N tales que A y X 1 (C ) so idepedietes. Si C es u cilidro -dimesioal, etoces X 1 (C ) es de la forma {(X 1,..., X ) 1 (B) para algú B R ; puesto que A A +1, A se puede escribir e la forma A = {(X +1, X +2,... ) A +1 } para algú A +1 R N, y, por tato, A y X 1 (C ) so idepedietes. Es decir, C cotiee a los cilidros medibles. Probemos ahora que C es ua clase moótoa. Si (C ) es ua sucesió creciete (resp., decreciete) e C, etoces P (A X 1 (C )) = P (A)P (X 1 (C )) para cada, y, si C = C (resp., C = C ), etoces P (A X 1 (C )) = P (A)P (X 1 (C )) trivialmete. C es, pues, ua clase moótoa que cotiee al álgebra de los cilidros medibles y, por tato, C = R N. E particular, A 1 C y A es idepediete cosigo mismo. Sea ahora f ua fució fial; etoces, para cada c R, {ω/f(ω) < c} es u suceso fial y tiee probabilidad 0 o 1. Sea k = sup{c R/P (f < c) = 0}, y probemos que f = k P -c.s. Si k = +, etoces P (f < ) = 0 para cada N, y, por tato, f = + P -c.s.; si k R y c < k etoces c o es cota superior de A := {c R/P (f < c) = 0}, y existe x A tal que c < x; etoces P (f < c) P (f < x) = 0. Por otra parte, si c > k, etoces etoces c / A, es decir, P (f < c) > 0; puesto que {f < c} es u suceso fial, P (f < c) = 1 y P (f c) = 1 P (f < c) = 0. E deftiva P (f k) = P ( {f < k 1/}) + P ( {f k + 1/}) = 0.

20 Teorema 23. (Ley Fuerte de los Grades Números, caso d) Sea X 1, X 2,... v.a.r. co media fta µ y hagamos S = X 1 + + X para cada N. Etoces S / coverge a µ c.s. y e L 1. Demostració. Puesto que (X 1,..., X ) y (X +1, X +2,... ) so idepedietes, (X 1, S ) y (X +1, X +2,... ) tambié lo so, y, por tato, E(X 1 S ) = E(X 1 S, X +1, X +2,... ) Se deduce del primer lema que (por el tercer lema) = E(X 1 S, S +1, S +2,... ) (por el segudo lema) E(X 1 S, S +1, S +2,... ) = 1 S c.s. U resultado del tema aterior prueba que E(X 1 S, S +1,... ) coverge a E(X 1 A ) c.s. y e L 1, dode A deota la σ-álgebra fial de la sucesió (S ). Por tato, S / coverge c.s. y e L 1 a u límite fto. Probemos a cotiuació que ese límite es, de hecho, µ. Supuesto probado que lim S / es ua fució fial para la sucesió (X ), se deduce de la ley cero-uo de Kolmogorov (las X so idepedietes) que lim S / es costate P -c.s., y puesto que S / es L 1 -covergete y E(S /) = µ, esa costate debe ser µ. Sólo falta probar que la fució lim S / es ua fució fial para (X ). Basta probar que la fució g(ω) = lim sup S (ω)/ es ua fució fial. Deotemos B = m σ(x m, X m+1,... ) y probemos que, para cada c R, A := {ω : lim sup 1 S (ω) < c} B. Puesto que (sup k S k (ω)/k) es ua sucesió decreciete, se verifica que A = {ω : M N, if M sup k S k (ω)/k < c}, y, tambié, A = {ω : p N tal que M N, if sup M k S k (ω)/k < c 1/p}. Sea m N; para probar que A σ(x m, X m+1,... ), basta probar que A = A m, dode { } A m := ω : p N tal que M m, if sup 1 k X i (ω) < c 1/(2p). M k k Dado ω A, hagamos T ω = m 1 i=1 X i(ω). Sea p N tal que, para cada M N, existe M de modo que k i=1 X i(ω)/k < c 1/p para cada k (*). Para ese i=m

21 p tomemos M ω N (lo podemos elegir icluso m) tal que T ω /k < 1/(2p) para cada k M ω. De (*) se sigue la existecia de ω M ω tal que 1 k T ω + 1 k k X i (ω) < c 1 p, i=m para cada k ω. De esto y de que T ω /k < 1/(2p) para k M ω (y, e particular, para k ω ), se sigue que 1 k k i=m X i (ω) < c 1 2p, para cada k ω, y, por tato, ω A m. Eso prueba que A A m. Sea ahora ω A m y probemos que ω A. Por hipótesis, existe p N tal que, para cada M m, existe M tal que 1 k k i=m X i (ω) < c 1, k. p Hagamos, como ates, T ω = m 1 i=1 X i(ω), y, para ese p N, tomemos M ω m tal que, si k M ω, etoces T ω /k < 1/(2p). Dado M ω, existe ω M ω tal que k i=m X i(ω)/k < c 1 p para cada k ω. Etoces, para cada k e esas codicioes, 1 k S k(ω) = 1 k T ω + 1 k k i=m y, por tato, ω A. Eso acaba la prueba. X i (ω) < 1 2p + c 1 p < c,

Capítulo II CADENAS DE MARKOV II.4. Itroducció a la Teoría de Procesos Estocásticos: Proceso estocástico: defció. Distribucioes fto-dimesioales de u proceso. Teorema de extesió de Kolmogorov. Procesos equivaletes y modificació de u proceso. II.5. Cadeas de Markov co Probabilidades de Trasició Estacioarias: Procesos y cadeas de Markov: primeras defcioes y ejemplos. Existecia de ua cadea de Markov co ua distribució cial y ua matriz de trasició dadas. Probabilidades de trasició e pasos. Ecuacioes de Chapma- Kolmogorov. Ejemplos. II.6. Clasificació de los Estados: Comuicació etre estados: divisió e clases del cojuto de estados. Estados eseciales. Periodo de u estado. Subclases de ua clase. Cojuto cerrado y cojuto mmal cerrado: caracterizació de clase esecial. II.7. Recurrecia: Probabilidades f () de primera llegada a u estado j e u istate. Probabilidades f y g. Recurrecia y trasitoriedad. El carácter recurrete y el carácter esecial. Caracterizació de recurrecia. II.8. El Teorema Límite Fudametal: Tiempo medio de recurrecia de u estado. Comportamieto límite de las probabilidades de trasició de orde. El teorema límite fudametal: cosecuecias. Estados recurretes positivos y estados recurretes ulos. II.9. Distribucioes Estacioarias: Existecia y uicidad de solució para el sistema determiate de ua clase esecial. Cadeas de Markov estacioarias: caracterizació. Distribució estacioaria absoluta. II.10. Procesos de Ramificació: U tipo especial de cadeas de Markov: los procesos de ramificació. Dos martigalas costruidas a partir de u proceso de ramificació. Comportamieto límite de u proceso de ramificació e fució del úmero medio de descedietes por idividuo. II.11. Criterios y Ejemplos: Recorrido aleatorio simple. Recorrido aleatorio simple co ua o dos barreras absorbetes: el problema de la ruia de u jugador. Recorrido aleatorio simple co ua o dos barreras reflectates. Referecias capítulo II: Ash (1972), Billigsley (1986), Chug (1967). 23

24 Lecció 4: Itroducció a la Teoría de Procesos Estocásticos. Defció. (Proceso estocástico) Sea T u cojuto de ídices, (Ω, A, P ) u espacio probabilístico y (Ω, A ) u espacio medible. U proceso estocástico (sobre T ) es ua familia (X t ) t T de v.a. defdas e (Ω, A, P ) y a valores e (Ω, A ). Cuado deseemos más precisió, llamaremos proceso estocástico la cuatera (Ω, A, P, (X t ) t T ). Ω suele llamarse espacio muestral del proceso. Ω es el espacio de los estados. Para cada ω Ω, la aplicació t T X t (ω) se llamará trayectoria de ω. T suele llamarse espacio temporal del proceso. Observacioes. 1) La oció de proceso estocástico costituye u modelo matemático para represetar el estado de u sistema depediete de u parámetro (geeralmete, el tiempo t) y del azar. U tal modelo se preseta de forma atural como ua aplicació (t, ω) X(t, ω) defda e T Ω y a valores e Ω que describe los estados del sistema. E u istate t fo, el estado del sistema depede úicamete del azar, y queda descrito por el hecho de que X(t, ) es ua v.a. que e la defció aterior hemos deotado por X t. Por ello, X t suele llamarse estado del sistema e el istate t. 2) Puede darse ua defció más geeral de proceso estocástico haciedo depeder del tiempo el espacio de estados (es decir, supoiedo que X t es ua v.a. e Ω y a valores e u cierto espacio medible (Ω t, A t )). Este o será, si embargo, ormalmete el caso. Icluso, el espacio de los estados (Ω, A ) es frecuetemete u espacio discreto o u espacio euclídeo. Si (Ω, A ) = (R, R) diremos que (X t ) es u proceso estocástico real. 3) Normalmete T será u subcojuto de R: bie u itervalo de R (casi siempre será u itervalo de [0, + [) e el caso de parámetro cotiuo, bie u itervalo de Z (casi siempre de N) e el caso de parámetro discreto. Defció. (Distribucioes fto-dimesioales de u proceso) Si (X t ) es u proceso estocástico como e la defció aterior, llamaremos distribucioes ftodimesioales a las distribucioes cojutas de las subfamilias ftas de (X t ) t T. Así, si t 1,..., t T, la distribució de probabilidad P (t1,...,t ) defda para C A por P (t1,...,t )(C) = P [(X t1,..., X t ) C] es ua distribució fto-dimesioal del proceso. Observació. La familia de las distribucioes fto-dimesioales de u proceso costituye uo de los aspectos más importates del mismo pues esta familia determia el proceso e algú setido a precisar posteriormete y, porque e la práctica, realizado u úmero suficietemete grade de pruebas idepedietes, es posible estimar co precisió arbitraria probabilidades del tipo P (t1,...,t )(C) y, e geeral, ada más se puede obteer de las observacioes.

25 Nuestro objetivo imediato cosiste e obteer el teorema de extesió de Kolmogorov que resuelve el problema de caracterizar el proceso e térmios de sus distribucioes fto-dimesioales. Notemos e primer lugar que las distribucioes fto-dimesioales del proceso (X t ) satisface lo siguiete: i) Si π es ua permutació e {1,..., } y H 1,..., H A, etoces los sucesos {(X t1,..., X t ) H 1 H } y {(X tπ(1),..., X tπ() ) H π(1) H π() } coicide y, e particular P (t1,,...,t )(H 1 H ) = P (tπ(1),...,t π() )(H π(1) H π() ). ) P (t1,...,t 1 )(H 1 H 1 ) = P (t1,...,t )(H 1 H 1 Ω ). La codició i) aterior os permite cosiderar úicamete las distribucioes fto-dimesioales de la forma P (t1,,...,t ) tales que t 1 < < t (si T o fuese u subcojuto de R, cosiderar e T u orde total arbitrario), pues éstas determia todas las demás. Femos alguas otacioes más cómodas. Si V = {t 1,..., t } es u subcojuto fto de T co t 1 < < t deotaremos por P V la probabilidad P (t1,...,t ); si U = {t i1,..., t ir } V y t i1 < < t ir, etoces deotaremos por pr (V,U) la aplicació (x t1,..., x t ) R (x ti1,..., x tir ) R r. Si V es como ates, pr V deotará la aplicació x R T (x t1,..., x t ) R. De acuerdo co estas otacioes, la codició ) aterior afirma que la distribució de probabilidad de la v.a. pr (V,{t1,...,t 1 }) respecto a P V es P (t1,...,t 1 ). De i) e ) se sigue tambié que si V y U so como ates etoces P U es la distribució de probabilidad de pr (V,U) respecto a P V. La costrucció estádar de procesos estocásticos utiliza espacios producto. Defció. Sea T u cojuto o vacío y supogamos que, para cada t T, (Ω t, A t ) es u espacio medible. Deotaremos Ω = t T Ω t. Llamaremos cilidro medible -dimesioal e Ω a u subcojuto de Ω de la forma c(b) = {ω Ω: (ω t1,..., ω t ) B} dode B i=1 A t i (se dice tambié que c(b) es u cilidro de base B). Si B = B 1 B dode B i A ti, 1 i, diremos que c(b) es u rectágulo medible. Deotaremos por t T A t la σ-álgebra e Ω egedrada por los cilidros medibles e Ω. Observacioes. 1) Co las otacioes de la defció aterior, tato la familia de los cilidros medibles e Ω como la de las uioes ftas de rectágulos medibles e Ω so álgebras e Ω que egedra la σ-álgebra producto. 2) Si todos los espacios medibles (Ω t, A t ) coicide co u cierto espacio medible (Ω, A), el espacio medible producto lo deotaremos por (Ω T, A T ).

26 Pretedemos ahora costruir e (R T, R T ) ua probabilidad a partir de probabilidades P (t1,...,t ) e R defdas para cada colecció creciete de ídices t 1 < < t y cada N, supuesto que estas probabilidades satisface ua cierta codició de cosistecia. Ates de euciar y probar el teorema de extesió de Kolmogorov recordaremos alguos coceptos y resultados de teoría de la medida que ecesitaremos e la demostració de ese teorema: si A 0 es u álgebra de partes de u cojuto Ω, ua fució de cojutos µ : A 0 [0, + ] se dice umerablemete aditiva si para cada sucesió fta o ifta umerable y disjuta (A ) e A 0 tal que A A 0 se verifica que µ( A ) = µ(a ). Se prueba que si µ es ua medida ftamete aditiva e el álgebra A 0 y es cotiua por arriba e el vacío (es decir, para cada sucesió (A ) e A 0 decreciete a se verifica que lim µ(a ) = 0) etoces µ es umerablemete aditiva. El teorema de extesió de Carathéodory afirma que si µ es ua medida (es decir, ua fució de cojutos umerablemete aditiva) e u álgebra A 0 y si es σ fta, etoces admite ua úica extesió a ua medida e la σ álgebra σ(a 0 ) egedrada por A 0. Necesitaremos tambié el siguiete resultado: Si µ es ua medida fta e la σ álgebra R de Borel e R, etoces µ es iteriormete regular, es decir, para cada boreliao B e R, µ(b) = sup{µ(k): K compacto B}. Teorema 24. (De extesió de Kolmogorov: 1 a versió) Sea T u cojuto o vacío y supogamos que, para cada subcojuto fto o vacío V de T, P V es ua probabilidad e R si V tiee elemetos. Supogamos que estas probabilidades satisface la codició de cosistecia: (CC) Para cada subcojuto U o vacío de V la distribució de probabilidad de pr (V,U) respecto a P V es P U. Etoces existe ua úica probabilidad P e R T tal que, para cada subcojuto fto V de T, la distribució de pr V respecto a P coicide co P V, es decir, tal que para cada N, cada sucesió fta creciete t 1 < < t e T y cada H R se verifica que P ({x R T : (x t1,..., x t ) H} = P (t1,...,t )(H). Demostració. Si A es u cilidro -dimesioal de la forma A = {x R T : (x t1,..., x t ) H} co t 1 < < t y H R defmos P (A) = P (t1,...,t )(H). Debemos probar e primer lugar que esta defció o depede de la represetació del cilidro A. Supuesto que tambié A = {x R T : (x s1,..., x sm ) H } co s 1 < < s m y H R m, hagamos {u 1,..., u r } = {t 1,..., t } {s 1,..., s m }

27 co r max(m, ) y u 1 < < u r ; sea tambié 1 m 1 < < m r tales que t i = u mi, 1 i. Etoces A = {x R T : (x t1,..., x t ) H} = {x R T : (x um1,..., x um ) H} = {x R T : (x u1,..., x ur ) H 1 } dode H 1 = {(x u1,..., x ur ) R r : (x um1,..., x ) H}, es decir, H um 1 = pr 1 (V,U) (H) dode V = {u 1,..., u r } y U = {u m1,..., u m } = {t 1,..., t }. La codició de cosistecia prueba que P (t1,...,t )(H) = P V (H 1 ). Aálogamete se prueba que P (s1,...,s m )(H ) = P V (H 1) dode H 1 = {(x u1,..., x ur ) R r : (x s1,..., x sm ) H } = H 1. Luego la defció de P (A) es correcta. Sea ahora A y B cilidros medibles disjutos. Puesto que todo cilidro k-dimesioal puede cosiderarse obviamete como m-dimesioal para cada m k, podemos supoer que los ídices que defie A y B so los mismos: A = {x R T : (x t1,..., x t ) H A }, B = {x R T : (x t1,..., x t ) H B }. Siedo A B = debe ser H A H B = y, etoces P (A B) = P (t1,...,t )(H A H B ) = P (A) + P (B) que prueba que P es ftamete aditiva e el álgebra A 0 de los cilidros medibles. Se sigue tambié que P (R T ) = 1. Si probamos que P es umerablemete aditiva e A 0, el teorema de extesió de Carathéodory asegurará la existecia de ua extesió de P a ua probabilidad e R T. Basta para ello probar que si (A ) es ua sucesió e A 0 decreciete a etoces lim P (A ) = 0. Supogamos que, por el cotrario, existe ɛ > 0 tal que P (A ) ɛ para cada N. Podemos supoer si pérdida de geeralidad que existe ua sucesió (t ) e T tal que A = {x R T : (x t1,..., x t ) H } co H R para cada N. Etoces P (A ) = P (t1,...,t )(H ),. La regularidad iterior de las P (t1,...,t ) prueba que existe compactos K H tales que P (t1,...,t )(H \ K ) < ɛ/2 +1,. Si B = {x: (x t1,..., x t ) K } etoces P (A \ B ) < ɛ/2 +1. Sea C = k=1 B k. Etoces C B A y P (A \ C ) < ɛ/2. Luego P (C ) > ɛ/2 > 0 y, e particular, C. Sea x () C, N. Si k etoces x () C C k B k y, por tato, (x () t 1,..., x () t k ) K k. Puesto que K k es acotado, la sucesió (x () t k ) N es acotada para cada k N. Por u procedimieto diagoal, elamos 1 < 2 <... e N tales que lim i x ( i) t k exista

28 para cada k N. Sea x R T tal que x tk = lim i x ( i) t k para cada k. Etoces, para cada k N, (x t1,..., x tk ) = lim(x ( i) t i 1,..., x ( i) t k ) K k. Luego x B k A k, k, e cotra de que k A k =. De esta cotradicció se sigue que P admite ua extesió a ua probabilidad e R T que satisface la tesis por defció. Fialmete, si P y Q so dos probabilidades e R T satisfaciedo el teorema, etoces coicide sobre los cilidros medibles y, por tato, e R T por la uicidad e el teorema de Carathéodory. Observació. Supogamos que P t es ua probabilidad e R para cada t T. Aplicado el teorema aterior a las probabilidades producto i=1 P t i se obtiee u teorema de la medida producto e el caso de ua catidad arbitraria de factores. Cosideremos ahora las aplicacioes coordeadas Z t : x R T x t R. Si (P V ) V fto T es ua familia de probabilidades que satisface las hipótesis del teorema aterior y si P es la probabilidad e R T que proporcioa dicho teorema, etoces para cada N, cada sucesió fta creciete t 1 < < t e T y cada H R se verifica que P [(Z t1,..., Z t ) H] = P (t1,...,t )(H). Así pues, (R T, R T, P, (Z t ) t T ) es u proceso estocástico cuyas distribucioes ftodimesioales so precisamete las P V. Podemos etoces euciar el siguiete teorema, que asegura la existecia de u proceso estocástico co uas distribucioes fto-dimesioales dadas de atemao (supuesto que éstas verifica ua codició de cosistecia). Teorema 25. (de extesió de Kolmogorov: 2 a versió) Si (P V ) V fto T es ua familia de probabilidades que satisface la codició de cosistecia (1) del teorema aterior, etoces existe u proceso estocástico (Ω, A, P, (X t ) t T ) cuyas distribucioes fto-dimesioales so precisamete las P V. Demostració. Cosideremos las aplicacioes coordeadas Z t : x R T x t R. Dichas aplicacioes so medibles. Si (P V ) V fto T es ua familia de distribucioes de probabilidad satisfaciedo la codició de cosistecia del teorema aterior y si P es la probabilidad e R T cuya existecia se asegura e ese teorema etoces, si N y si t 1 < < t se tiee que P ({x R T : (Z t1 (x),..., Z t (x)) H}) = P (t1,...,t )(H) para cada H R lo que prueba que (R T, R T, P, (Z t ) t T ) es u proceso estocástico cuyas distribucioes fto-dimesioales so precisamete las P V. Las defcioes siguietes precisa hasta qué puto u proceso estocástico queda determiado por sus distribucioes fto-dimesioales.

29 Defció. a) Cosideremos dos procesos estocásticos reales sobre el mismo espacio temporal (Ω, A, P, (X t ) t T ) y (Ω, A, P, (X t) t T ). Diremos que dichos procesos so equivaletes si P (X t1 A 1,..., X t A ) = P (X t 1 A 1,..., X t A ) para cada subcojuto fto {t 1,..., t } de T y cada familia fta A 1,..., A e R. b) Sea (X t ) t T e (Y t ) t T dos procesos estocásticos reales e el mismo espacio probabilístico (Ω, A, P ) y sobre el mismo espacio temporal T. Diremos que (Y t ) es ua modificació de (X t ) si X t = Y t P -c.s. para cada t T. Diremos que dichos procesos so P -idistiguibles si existe A A tal que P (A) = 0 y X t (ω) = Y t (ω) para cada ω A c y cada t T. Veamos alguas observacioes iteresates sobre lo que hemos visto hasta ahora. Observacioes. 1) Hemos defdo u proceso estocástico como ua familia (X t ) t T de v.a. (supogámoslas reales) e (Ω, A, P ). Hemos observado tambié que podemos mirar este proceso como ua aplicació X : (t, ω) T Ω X(t, ω) R dode, para cada t, X(t, ) es ua v.a.r. e Ω. Ua tercera vía puede ser la siguiete: cosideremos la aplicació X que a cada ω Ω asocia la aplicació t T X t (ω); X, así defda es ua aplicació de Ω e el cojuto R T de las aplicacioes de T e R. Es fácil ver que ua aplicació F : (Ω, A) (R T, R T ) es ua v.a. s Z t (F ) lo es para cada t T, dode Z t deota (y deotará e lo que sigue) como ates la aplicació coordeada t-ésima e R T. Por tato, podemos pesar e u proceso estocástico real tambié como ua v.a. X de (Ω, A, P ) e (R T, R T ). Visto de este modo, el proceso recibe a veces el ombre de fució aleatoria. 2) (Proceso caóico asociado a u proceso dado) Sea (Ω, A, P, (X t ) t T ) u proceso estocástico real sobre T. Deotemos por X la v.a. de (Ω, A) e R T defda por X(ω)(t) = X t (ω). Cosideremos la distribució de probabilidad P X e R T de X respecto a P. Cosideremos e fi las aplicacioes Z t de la observació aterior. El proceso estocástico (R T, R T, P X, (Z t ) t T ) se llama proceso caóico asociado al proceso (X t ). Es claro que todo proceso estocástico real es equivalete a su proceso caóico y que dos procesos reales so equivaletes s tiee el mismo proceso caóico asociado. 3) Ya hemos observado ateriormete que las distribucioes fto-dimesioales de u proceso estocástico real costituye uo de los aspectos fudametales del mismo e virtud del teorema de Kolmogorov (que asegura uicidad salvo equivalecia). No obstate, la oció de distribució fto-dimesioal resulta ser isuficietemete precisa a la hora de abordar alguas cuestioes iteresates tambié e teoría de procesos estocásticos como posibles propiedades de regularidad de las trayectorias (p. ej., cotiuidad de las trayectorias si T es u itervalo de R). Hagamos, p. ej., Ω = [0, 1] = T, A = R([0, 1]) y sea P la medida de Lebesgue e [0, 1]; cosideremos