Uidad Temática 5 : Resolució Guiada Bibliografía Los ejercicios y aplicacioes de esta uidad tiee como referecia los siguietes libros de texto: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIEROS Sexta Edició Autores: Walpole, Myers, Myers Ed. Pretice-Hall, Hispaoamericaa, S. A. México, 1999. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA APLICADAS A LA INGENIERÍA Autores: Douglas Motgomery y George Ruger Ed. Mc. Graw Hill México, 1996. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS Quita Edició Autor: Jay L. Devore Ed. Thompso México, 001. 1
Itroducció Preste ateció a la siguiete iformació Los ejercicios y aplicacioes de la () icluye los coteidos de la UT4 (Distribucioes fudametales del muestreo). Tato e la bibliografía como e los problemas propuestos ecotrará cosigas del siguiete tipo: 1. Ecuetre u itervalo de cofiaza para la media de la població e estudio. Calcule u itervalo de cofiaza para la diferecia de las medias de las poblacioes estudiadas 3. Costruya u itervalo para la variaza de la població e estudio 4. Qué tamaño debe teer la muestra para poder asegurar, co u ivel de cofiaza dado, que el error de la estimació o excederá de? 5. Qué puede decir, co ua cofiaza del 90%, sobre la magitud posible del error de la estimació, si? Este tipo de cosigas movilizará, fudametalmete, sus coocimietos acerca de la posibilidad de aplicar tal o cuál fórmula y del procedimieto de cálculo para llegar al resultado umérico solicitado. Qué tiee que teer e cueta e estos casos? Idetifique si es coocida o descoocida la distribució de la variable que se estudia e la població. Recoozca si el tamaño de la muestra que se ha seleccioado a los fies de la iferecia estadística es pequeño o grade, estadísticamete hablado. Distiga las situacioes e las que se exige que la muestra provega de ua població ormal de las que o es ecesario que se cumpla tal codició. Rescate de la iformació el valor de los parámetros coocidos, por ejemplo, la desviació estádar, a los efectos de ecotrar u itervalo de cofiaza para la media. Tega e cueta el ivel de cofiaza a la hora de calcular e iterpretar los resultados de las estimacioes. Si el euciado de u problema o establece el ivel de cofiaza co el que se debe trabajar, usted debe adoptarlo.
El Ejercicio 1 es u problema que debe resolver utilizado el método estadístico para la estimació de parámetros. Co frecuecia, será el tipo de situacioes problemáticas que ecotrará e las evaluacioes del curso. No obstate, ates, coviee resolver casos más secillos pero o meos importates, como los ejercicios propuestos de la [Guía de Mediació de Coteidos] de la cátedra. El resto de los ejercicios está prácticamete resueltos y para ello se ha teido e cueta las cosigas geerales y las pautas para la costrucció de itervalos de cofiaza. Recuerde que para respoder las cosigas de los problemas hemos propuesto alguas cosigas geerales. Tégalas siempre presete! El establecimieto de estas cosigas o implica que, ecesariamete, para resolver los ejercicios se deba colocar u subtítulo que idetifique cada ua de las cosigas geerales, pero sí debe quedar escrito lo solicitado e cada ua de ellas. Cosigas geerales Defiir la variable aleatoria e estudio. Idetificar la distribució de la variable e estudio y sus parámetros (o bie, idicar que es descoocida). Platear la solució del problema e u leguaje simbólico apropiado, co la justificació correspodiete. Justificar el uso de ua solució aproximada del problema (aproximació biomial a ormal, por ejemplo), si correspode. Realizar los cálculos ecesarios para arribar al resultado. Iterpretar el resultado e el cotexto del problema para respoder la cosiga. 3
μ Medias. Ejercicio 1 Roberto está auditado el proceso de lleado de los evases de pitura de u litro. Cocretamete, quiere saber si el verdadero volume promedio del coteido de los evases de u litro, es realmete u litro. De estudios previos se sabe que la desviació del coteido de los evases de u litro es igual a 0,0 litros. Para respoder a su preguta, Roberto seleccioó ua muestra aleatoria de 64 evases de la pitura estudiada y el coteido medio de pitura e la muestra resultó igual a 0,995 litros. a) E base a los resultados obteidos e la muestra y utilizado el método estadístico para la estimació de parámetros, Roberto, debe cocluir que el coteido medio de los evases es meor de u litro? Justifique su respuesta. b) Para u tamaño de muestra dado, cómo varía el error de estimació y la amplitud del itervalo, e fució del ivel de cofiaza? c) Para u ivel de cofiaza dado, cómo varía el error de estimació e fució del tamaño de la muestra? d) Qué tamaño de muestra será ecesario tomar cuado se fija el error máximo de la estimació e u valor dado? e) Ecuetre el ivel de cofiaza que correspode a u itervalo cuyo error máximo de estimació es igual a 0,006 litros, co u tamaño de muestra de 64 latas y desviació estádar del coteido de pitura igual a 0,0 litros Resolució paso a paso del Ejercicio 1 Defiir la variable e estudio 4
E1.1) Marque co ua la opció correcta. E1.1.1) La variable que estudia Roberto es: a) : Catidad de latas de pitura que evasa el productor. b) : Volume de las latas de pitura. c) : Coteido de pitura e los evases de u litro. d) Nigua de las ateriores. La variable que estudia Roberto,, es: E1.1.) Segú la iformació del euciado, la variable que estudia Roberto, : a) Se distribuye ormalmete. b) No se sabe cuál es la distribució de la variable. c) Sigue ua distribució que es bimodal. d) Nigua de las ateriores. La distribució de la variable e estudio es: E1.1.3) Tambié se debe cocluir que: a) El valor 0,0 litros, es u estadístico. b) Para poder resolver el problema, Roberto debería haber seleccioado ua muestra de más de 100 latas de pitura. c) El valor 0,995 litros es u estadístico. d) Nigua de las ateriores. E1.1.4) La variable que estudia Roberto puede asumir los siguietes valores: a) Desde a + b) Mayores que cero c) Meores que cero d) Todos los valores reales detro e u rago dado E1.1.5) La variable que estudia Roberto es: a) Ua variable cuatitativa que se mide e escala ordial b) Ua variable cualitativa que se mide e escala de razó c) Ua variables cuatitativa que se mide e escala de itervalo d) Ua variable cuatitativa que se mide e escala de razó 5
(se lee raya) Distribució de la media muestral Idetificar la distribució de la variable implica: idicar cuál es el modelo matemático que describe la distribució de probabilidad de la variable y sus parámetros. Puede que esta última esté distribuida ormalmete, que siga ua distribució o ormal o que tega ua distribució descoocida. Ahora os pregutamos: cuál es la distribució de la estadística media muestral? E1.) Marque co ua la opció correcta. E1..1) La media de muestras seleccioadas de la població e estudio: a) Sigue ua distribució ormal, porque la variable que se estudia e la població está distribuida ormalmete. b) Sigue ua distribució ormal, porque para el tamaño de muestra que se ha seleccioado, se puede aplicar el teorema del límite cetral. c) Co la iformació dispoible e el euciado del problema, o se puede saber cuál es la distribució de la media muestral. d) Nigua de las ateriores. E1..) E relació a la distribució de la media muestral: a) La media de la variable e estudio,, coicide co la media de las medias de muestras,. b) La variaza de la media muestral, es veces más pequeña que la variaza de la variable que se estudia e la població de la cual proviee la muestra. c) Error estádar de la media muestral, es el ombre que se le da a la desviació estádar de la media muestral. d) Todas las ateriores. E1..3) Observe la otació empleada e las siguietes opcioes y seleccioe la opció co la respuesta e la que se hace uso correcto de la otació: a) μ = μ b) σ σ = c) σ σ = d) Todas las ateriores 6
E1..4) De acuerdo co la iformació del euciado, los valores uméricos asociados a la otació empleada, so: a) x = 0,995 b) σ = 0,0 c) 0, 0 σ = = 0, 005 64 d) Todas las ateriores. E1..5) Para deotar la distribució de la media muestral e el caso que se estudia, puede utilizarse la siguiete otació: a) N x μ σ ( ;, ) b) σ N( x; μ, ) c) N( x; μ, σ / ) d) Cualquiera de las ateriores. Iterpretació de gráficos A cotiuació ecotrará graficada la fució de desidad de probabilidad y la fució de distribució acumulada de la distribució ormal para los siguietes parámetros: media = 1 litro y desviació estádar = 0,005 litros. Distribució Normal fució de desidad 160 10 80 40 0 0,98 0,99 1 1,01 1,0 1,03 1,04 media Figura 5. 1 Media, EEMedia 7
Distribució Normal 1 0,8 Media, EEMedia 1,0,005 FDA 0,6 0,4 0, 0 0,98 0,99 1 1,01 1,0 1,03 1,04 media Figura 5. E1..6) De la lectura de la Fig. 5.1 se debe cocluir que la media muestral del coteido de pitura observado e ua muestra de 64 latas de u litro, co media = 1 litro y desviació estádar = 0,005 litros: a) Es prácticamete improbable que sea superior a 1,01 litros. b) Es prácticamete improbable que sea iferior a 0,99 litros. c) Tiee ua probabilidad igual a 0,5 de superar el litro. d) Todas las ateriores. E1..7) De la lectura de la Fig. 5. se debe cocluir que para la media del coteido de pitura observado e ua muestra de 64 latas de u litro: a) El percetil 90 es mayor de 1,00 litros. b) El segudo decil es mayor de 0,99 litros. c) El tercer cuartil es meor de 1,004 litros. d) Todas las ateriores. Volver a las cosigas El camio recorrido hasta el mometo, os ha permitido costruir el susteto teórico de coceptos subyacetes e las fórmulas que aplicaremos para respoder las cosigas del problema. La primera de ellas dice: a) E base a los resultados obteidos e la muestra y utilizado el método estadístico para la estimació de parámetros, Roberto, debe cocluir que el coteido medio de los evases es meor de u litro? Justifique su respuesta. 8
P(?) Platear la solució del problema E1.3) Marque co ua la opció correcta. E el caso que os ocupa, para obteer ua estimació por itervalo de la media de la població de las latas de pituras de u litro, μ, la fórmula que correspode a aplicar es: a) b) σ x z < μ < x + z α/ α/ σ x t < μ < x + t α/ α/ c) S S x tα/ < μ < x + tα/ d) Cualquiera de las ateriores Ateció! σ σ El euciado o idica co qué ivel de cofiaza se debe trabajar. Cuado esto sucede, es usted quie debe adoptar u ivel de cofiaza. Para cotiuar co la resolució del problema, adoptaremos u ivel de cofiaza igual a 0,96. Notació Fig. 5.3. Notació empleada (1 α ): ivel de cofiaza z α/ : es u valor de la variable ormal estádar tal que, el área bajo la curva que deja a su derecha es igual a α/ y el área que deja a su izquierda es igual a (1 α/ ). z α/ : es u valor de la variable tal que, el área que deja a su izquierda es igual a α/. 9
Realizar los cálculos ecesarios E1.4) Marque co ua la opció correcta. E1.4.1) Los valores que debe reemplazarse e la fórmula para calcular la estimació, so: a) z α/ =,05 b) σ = 0,0 c) x = 0,995 d) El error estádar de la media es igual a 0,005 e) El error máximo de la estimació es igual a 0,00515 f) Todas las ateriores E1.4.. Para u ivel de cofiaza del 96%, se debe cocluir que: a) El límite iferior del itervalo de cofiaza (LIC) es igual a 0,989875 litros. b) El límite superior del itervalo de cofiaza (LCS) es igual a 1,00015 litros. c) El error máximo de la estimació es igual a 0,00515 litros. d) Todas las ateriores. Iterpretar resultados: 1ª Parte Recuerde que debe iterpretar el resultado umérico obteido, expresádolo e u leguaje coloquial y respodiedo la cosiga del ejercicio. Pero, ates de respoder la cosiga, veamos cómo iterpretar el itervalo de cofiaza calculado. E1.5) Marque co ua la opció correcta. E1.5.1) Si el itervalo de cofiaza obteido, para u ivel de cofiaza del 96%, fuera el siguiete: (0,989875 ; 1,00015), se debe iterpretar que: a) El 96% de las latas de pituras tiee etre 0,989875 y 1,00015 litros. b) El coteido de pitura promedio e la muestra de 64 latas, se ecuetra etre 0,989875 y 1,00015 litros. c) Co ua cofiaza del 96%, se cocluye que el itervalo (0,989875 ; 1,00015) icluye al verdadero valor del coteido medio de pitura de la població de latas de u litro. d) Nigua de las ateriores. 10
Iterpretar resultados: ª Parte Recuerde la cosiga: a) E base a los resultados obteidos e la muestra y utilizado el método estadístico para la estimació de parámetros, Roberto, debe cocluir que el coteido medio de los evases es meor de u litro? Justifique su respuesta. Ates de respoder, observe la represetació gráfica siguiete: 1 0,989875 0,995 1,00015 3 μ = 1 litro Situació 1: Situació : Situació 3: Si el resultado obteido es el idetificado co el úmero 1, co u 96% de cofiaza, el itervalo (0,989875 ; 1,00015) icluye al verdadero valor de la media (coteido medio de las latas de u litro, represetado por la líea vertical). Si el resultado hubiera sido el represetado por el itervalo idetificado co el úmero, deberíamos haber cocluido que, co u 96% de cofiaza, el itervalo represetado icluye al verdadero valor de la media del coteido de las latas de pitura (observe que o icluye a la raya vertical, por lo tato, o icluye al valor 1 litro). Es similar a la situació. La diferecia etre la úmero y la úmero 3, es que e la primera el coteido medio es meor de u litro y e la seguda el coteido medio es mayor de u litro. E1.5.) La respuesta para la cosiga a) debe ser: 11
a) Co u 96% de cofiaza, Roberto debe iformar que el coteido medio de las latas de u litro, es u litro. b) Co u 96% de cofiaza, Roberto debe iformar que el coteido medio de las latas de u litro, NO es iferior a u litro. c) Co u 96% de cofiaza y e base a los resultados obteidos e la muestra, Roberto debe iformar que o hay evidecia suficiete como para cocluir que el coteido promedio de las latas de u litro, es meor de u litro. d) Cualquiera de las ateriores. Cosigas b c d b) Para u tamaño de muestra dado, cómo varía el error de estimació y la amplitud del itervalo, e fució del ivel de cofiaza? c) Para u ivel de cofiaza dado, cómo varía el error de estimació e fució del tamaño de la muestra? d) Qué tamaño de muestra será ecesario tomar cuado se fija el error máximo de la estimació e u valor dado? E1.6) Marque co ua la opció correcta. E1.6.1) E el caso que os ocupa, el error de la estimació viee dado por: a) σ e = b) e= t α / σ c) S e= t α /. d) e= z α / σ Ateció! Para respoder las cosigas, se ha tabulado los resultados del cálculo obteidos co ua hoja de cálculo de Microsoft ECEL. E1.6.) Si el error de la estimació es igual a 0,00515 litros, debe iterpretarse que: 1
a) Etre el valor real del coteido medio de la població de latas de pitura y el valor de la estimació putual obteido e la muestra, o puede haber ua diferecia superior a los 0,00515 litros. b) Etre el coteido promedio de la població de latas y el coteido promedio de las latas de la muestra, hay ua diferecia de 0,00515 litros. c) Aproximadamete, cico de cada mil latas tiee meos pitura que el valor idicado e el evase (u litro). d) Co ua cofiaza del 96% es posible cocluir que, la diferecia etre el valor de la estimació putual (0,995 litros) y el verdadero valor del coteido medio de las latas de pitura de u litro, o excede el valor 0,00515 litros. e) Nigua de las ateriores. E1.6.3) La fórmula para calcular el tamaño de la muestra e el caso os ocupa es: a) tα /S = e b) zα /σ = e c) zα /S = e d) Nigua de las ateriores. E1.6.4) Aalice la ifluecia del ivel de cofiaza e la variació de error máximo de la estimació y e la variació de los límites del itervalo de cofiaza. No es ecesaria ua respuesta a la cosiga de este ítem. Sólo tégala e cueta. Notas persoales 13
Cotiuació Ejercicio 1 Cálculos y gráficos co la Hoja de Cálculo Tabla 1. Itervalos de cofiaza para la media, para distitos iveles de cofiaza Número Nivel de Cofiaza z α / Error Máximo de la Estimació Putual Límite Iferior de Cofiaza Límite Superior de Cofiaza (1 α) e máx LIC LSC 1 0,80 1,8 0,00304 0,991796 0,99804 0,8 1,341 0,00335 0,991648 0,99835 3 0,84 1,405 0,003513 0,991487 0,998513 4 0,86 1,476 0,003689 0,991311 0,998689 5 0,88 1,555 0,003887 0,991113 0,998887 6 0,90 1,645 0,00411 0,990888 0,99911 7 0,9 1,751 0,004377 0,99063 0,999377 8 0,94 1,881 0,00470 0,99098 0,99970 9 0,95 1,960 0,004900 0,990100 0,999900 10 0,96,054 0,005134 0,989866 1,000134 11 0,98,36 0,005816 0,989184 1,000816 1 0,99,576 0,006440 0,988560 1,001440 Nota: El itervalo úmero 10 es el que correspode al obteido e el apartado 4. La diferecia debe explicarse teiedo e cueta el redodeo matemático; por ejemplo, las tablas de la distribució ormal está costruidas para valores de z co dos decimales. Tabla : Tamaño de la muestra e fució del error máximo de la estimació (para z α / =,05 y σ = 0,0 litros) Número Error Máximo de la Estimació Tamaño de la Muestra Tamaño de la Muestra e máx Calculado Redodeado 1 0,0008 66,565 67 0,0013 994,674556 995 3 0,0018 518,871605 519 4 0,003 317,769376 318 5 0,008 14,413653 15 6 0,0033 154,3617998 155 7 0,0038 116,41744 117 9 0,0043 90,91400757 91 9 0,0048 7,96006944 73 10 0,0053 59,84336063 60 11 0,0058 49,9707348 50 1 0,0063 4,3533759 43 13 0,0068 36,3538063 37 14 0,0073 31,54437981 3 15 0,0078 7,6984878 8 16 0,0083 4,4011934 5 14
Cotiuació Ejercicio 1 Gráficos para respoder las cosigas b c d Coteido de las latas (e litros) 0,100 0,1000 0,0980 0,0960 0,0940 0,090 0,0900 0,0880 Media Muestral 0,80 0,8 0,84 0,86 0,88 0,90 0,9 0,94 0,95 0,96 0,98 0,99 Nivel de Cofiaza Figura 5. 4 0,0070 0,0065 Error de Estimació 0,0060 0,0055 0,0050 0,0045 0,0040 0,0035 0,0030 0,78 0,80 0,8 0,84 0,86 0,88 0,90 0,9 0,94 0,96 0,98 1,00 Nivel de Cofiaza Figura 5. 5 15
Cotiuació Ejercicio 1 Gráficos para respoder las cosigas b c d 3000 500 tamaño muestra 000 1500 1000 500 0 0 0,001 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 error de estimació Figura 5. 6 Cosiga e e) Ecuetre el ivel de cofiaza que correspode a u itervalo cuyo error máximo de estimació es igual a 0,006 litros, co u tamaño de muestra de 64 latas y desviació estádar del coteido de pitura igual a 0,0 litros. 6.5) Cuado se limita el error máximo de la estimació al valor 006 litros, ivel de cofiaza que correspoderá a los datos de la muestra, es igual: a) 0,95964 b) 0,98019 c) 0,98360 d) Nigua de las ateriores. El valor correcto es: Practique resolver a mao! E la EVALUACIÓN podríamos pedirle que deje escrito el procedimieto que siguió para costruir los elemetos calculados e las Tablas 1 y. Practique resolver a mao co las tablas estadísticas y la calculadora de bolsillo. 16
. Ejercicio Se estudia la resistecia a tracció del acero tipo ADM-40 (N) utilizado para la costrucció de estructuras de hormigó armado de uestro medio. Es aceptable supoer que tal resistecia está distribuida de maera ormal; de experiecias previas se sabe que la desviació estádar de la població es de,6 MN/m². Los resultados obteidos de la muestra esayada, e MN/m², so: 45; 450; 454; 450; 456; 450; 456; 450; 45; 450 a) Estimar mediate u itervalo de cofiaza del 95% la verdadera resistecia media del acero. b) Qué podemos asegurar co ua probabilidad de 0,95 sobre la medida del error máximo de la estimació? c) Qué tamaño debería teer la muestra para poder asegurar co ua cofiaza del 99% que el error máximo de la estimació sea de 1 MN/m²? Resolució del Ejercicio Variable e estudio: : resistecia a tracció del acero tipo ADM-40 (N) utilizado para la costrucció de estructuras de hormigó armado, e MN/m². Distribució de la variable e estudio: Es aceptable supoer que tal resistecia está distribuida de maera ormal. N (x; μ, σ ) Parámetros coocidos: Se cooce de experiecias previas que la desviació estádar de la població. σ =,6 MN/m² Datos de la muestra: 45; 450; 454; 450; 456; 450; 456; 450; 45; 450 Estadísticas calculadas: Tamaño de la muestra: 10 Media muestral: 45 MN/m² Desviació estádar de la muestra:,49 MN/m² a) Estimar mediate u itervalo de cofiaza del 95 % la resistecia media del acero de la població. Correspode aplicar la fórmula del itervalo de cofiaza para la μ co σ coocida. Walpole, p. 44 17
σ x z x z σ α/ < μ < + α/ Cotiuació Ejercicio (1 α) = 0,95 ; α = 0,05 ; α/ = 0,05 ; z α/ = z 0,975 =1,96 σ Error estádar de la media muestral σ = = 0,8 MN/m² Itervalo de cofiaza: (450,39 ; 453,61) Ateció! Es icorrecto escribir el euciado: La probabilidad de que la media poblacioal está e el itervalo (450,39; 453,61) es igual a 0,95. Si lo desea, puede ver el texto completo e Devore, p. 77. El itervalo de cofiaza obteido debe iterpretarse del siguiete modo: E.1) Marque co ua la opció correcta. a) El resultado obteido permite afirmar co certeza que la verdadera resistecia media a la tracció de las barras de acero está compredida etre 450,39 y 453,61 MN/m². b) La verdadera resistecia media a la tracció de las barras de acero coicide co el puto medio del itervalo de cofiaza obteido, co u 95% de cofiaza. c) Co u 95% de cofiaza, se debe cocluir que el itervalo (450,39 ; 453,61 ) cotiee a la verdadera media de la resistecia a la tracció de las barras de acero. d) Cualquiera de las ateriores. b) Qué podemos asegurar co ua probabilidad de 0,95 sobre la medida del error máximo de la estimació? Correspode aplicar el Teorema 9.1 de Walpole. Walpole, p. 45 σ e= zα / Dode: (1 α) = 0,95 ; α = 0,05 ; α/ = 0,05 ; z α/ = z 0,975 =1,96 Error de estimació: e = 1,61 MN/m² 18
Cotiuació Ejercicio El error de estimació obteido debe iterpretarse del siguiete modo: E.) Marque co ua la opció correcta. a) La diferecia etre el valor real de la resistecia media a tracció de las barras de acero y el valor observado e la muestra, uca excederá de 1,61 MN/m². b) Si se utiliza el valor 45 MN/m² (media muestral) como ua estimació del verdadero valor de la resistecia media a tracció de las barras de acero, co ua cofiaza del 95%, el error de estimació o sobrepasará de 1,61 MN/m². c) Etre el valor real de la resistecia media a tracció de las barras de acero y el valor observado e la muestra, hay ua diferecia de 1,61 MN/m². d) Cualquiera de las ateriores. c) Qué tamaño debería teer la muestra para poder asegurar co ua cofiaza del 99% que el error máximo de la estimació sea de 1 MN/m²? Correspode aplicar el Teorema 9. de Walpole. Walpole, p. 46 zα /σ = e Dode: (1 α) = 0,99 ; α = 0,01 ; α/ = 0,005 ; z α/ = z 0,995 =,58 Tamaño de la muestra: = 44,997 45 El tamaño de la muestra ecotrado debe iterpretarse del siguiete modo: E.3) Marque co ua la opció correcta. a) Para ecotrar la verdadera resistecia media a tracció de las barras de acero, se debe esayar 6 barras. b) Si se esaya 6 barras de acero, el valor de la resistecia media muestral puede utilizarse como ua estimació del valor de la resistecia media poblacioal de las barras de acero. c) Si se utiliza el valor 45 MN/m² (media muestral), como ua estimació de la verdadera resistecia media a la tracció de las barras de acero, podemos teer ua cofiaza del 99%, de que el error de estimació o excederá de 1 MN/m², cuado el tamaño de la muestra de esayos sea 45. d) Cualquiera de las ateriores. 19
. Ejercicio 3 Ua empresa eléctrica fabrica focos cuya duració se ecuetra distribuida de maera aproximadamete ormal. Se esaya ua muestra de 5 focos y arroja ua duració media de 780 horas, co ua desviació estádar de 49 horas. a) Estimar mediate u itervalo de cofiaza del 90 % la duració media de los focos que produce la empresa eléctrica. b) Cuátos focos se debe esayar para el mismo ivel de cofiaza, si se desea que uestra estimació putual esté detro de las 10 horas de la media real? c) Si se sabe que la desviació estádar de la població de focos que produce la empresa es igual a 36 horas, cambiaría el procedimieto para obteer el itervalo de cofiaza para estimar la verdadera duració media de los focos? Justifique su respuesta. Resolució del Ejercicio 3 Variable e estudio: : duració de los focos que produce la empresa eléctrica, e horas. Distribució de la variable e estudio: Se ecuetra distribuida de maera aproximadamete ormal. N (x; μ, σ ) Parámetros de la població e estudio: Para las cosigas a) y b) so descoocidos. Para la cosiga c), se cooce la desviació estádar de la població. σ = 36 horas Estadísticas coocidas: Tamaño de la muestra: 5 Media muestral: 780 horas Desviació estádar de la muestra: 49 horas a) Estimar mediate u itervalo de cofiaza del 90 % la duració media de los focos que produce la empresa eléctrica. Correspode aplicar la fórmula del itervalo de cofiaza para la μ co σ descoocida. Walpole, p. 47 s s x tα/ < μ < x + tα/ (1 α) = 0,90 ; α = 0,10 ; α/ = 0,05 ; ν = ( 1) = 4 0
Walpole, p. 683 Cotiuació Ejercicio 3 t α/ ; ( 1) = t 0,05 ; 4 = 1,711 Error de estimació tα / s = 16,767 horas Itervalo de cofiaza: (763,3 ; 796,77) La iterpretació del itervalo obteido debe hacerse de igual modo que e el caso de medias co σ coocida. b) Cuátos focos se debe esayar para el mismo ivel de cofiaza, si se desea que uestra estimació putual esté detro de las 10 horas de la media real? Segú Motgomery, p. 338: Selecció del tamaño de la muestra: La selecció del tamaño de la muestra ecesario para proporcioar u itervalo de cofiaza de la logitud requerida, o es ta fácil como e el caso dode se cooce σ, debido a que la logitud del itervalo depede tato del valor de σ, el cual o se cooce ates de recopilar los datos, como del tamaño de la muestra. Por otra parte, iterviee e el itervalo de cofiaza de dos modos; e el deomiador como raíz cuadrada de y tambié, para determiar el valor de t, puesto que depede del úmero de grados de libertad: ( 1). E cosecuecia, el tamaño de la muestra debe obteerse a partir de u procedimieto de prueba y error, utilizado ua estimació previa de σ, la cual puede basarse e la experiecia. Otra posibilidad es tomar ua muestra prelimiar de observacioes para obteer ua estimació de σ. zα / s Luego, utilizado la fórmula = para calcular el valor requerido de que e proporcioa la precisió y ivel de cofiaza deseados. Tégase presete que s se utiliza como u estimador de σ y que e vez de t se trabaja co z, razó por la cual la muestra debería ser suficietemete grade, esto es, mayor de 30. Segú Devore, p. 95 Desafortuadamete, o es fácil seleccioar para cotrolar la logitud del itervalo t. Esto es porque e la logitud aparece la icógita s (ates de recopilar datos) y porque iterviee o sólo e (1/ ), sio tambié e t α/ ; ( 1). Como cosecuecia de esto, se puede obteer ua apropiada sólo por esayo y error. 1
Cotiuació Ejercicio 3 c) Si se sabe que la desviació estádar de la població de focos que produce la empresa es igual a 36 horas, cambiaría el procedimieto para obteer el itervalo de cofiaza para estimar la verdadera duració media de los focos? Debería exigirse que el tamaño de la muestra sea grade? Sí cambiaría. Si se cooce σ, correspode aplicar la fórmula del itervalo de cofiaza para la μ co σ coocida. E este caso, σ = 36 horas. Walpole, p. 44 σ x z < μ < x + z α/ α/ σ No sería ecesario que el tamaño de la muestra sea grade. Es decir, podríamos tomar ua muestra pequeña, ( < 30) y seguir utilizado la distribució ormal estádar para calcular z α/, dado que la població de la cual proviee la muestra e el problema que os ocupa, se distribuye ormalmete. Pasemos al Ejercicio siguiete Notas persoales
σ² Variaza Qué tiee que teer e cueta e problemas de estimació de la variaza, para aplicar los métodos que se estudia e uestro curso? Verifique que los datos del problema correspode a ua variable distribuida ormalmete. Aplique la distribució ji-cuadrada para ecotrar los límites del itervalo de cofiaza para la variaza. Iterprete los resultados haciedo referecia al ivel de cofiaza utilizado. Adopte el ivel de cofiaza si el euciado del problema o establece.. Ejercicio 4 Ferado está estudiado el cosumo diario de eergía eléctrica de uo de los clietes de la Empresa DISTRIBUIR S.A. Los primeros resultados revela que el cosumo diario de eergía del cliete estudiado, se distribuye ormalmete. a) Estime, mediate u itervalo de cofiaza del 95 %, el cosumo medio diario de eergía del cliete estudiado. b) Costruya u itervalo de cofiaza al ivel del 99% para la verdadera desviació estádar del cosumo diario de eergía eléctrica del cliete estudiado. Más datos del Ejercicio 4 3
Estadísticas descriptivas Las estadísticas descriptivas de las medicioes del cosumo diario de eergía del cliete, so las siguietes: Diagrama de tallos y hojas 44 8 represeta 448 MWh 44 89 3 45 8 7 46 1469 11 47 0148 (9) 48 011177888 11 49 139 8 50 1446 4 51 07 5 53 0 1 54 0 Estadísticas Catidad de datos = 31 Promedio = 485,935 Mediaa = 487,0 Variaza = 470,46 Desviació estádar = 1,6901 Míimo = 448,0 Máximo = 540,0 Rago = 9,0 Cuartil iferior = 470,0 Cuartil superior = 501,0 Rago itercuartil = 31,0 Coef. de variació = 4,46359% Percetiles P 1,0% = 448,0 P 5,0% = 449,0 P10,0% = 461,0 P90,0% = 510,0 P95,0% = 530,0 P99,0% = 540,0 Distribució de frecuecias Límites Puto F r e c u e c i a s Clase If. Sup. Medio fi fri Fi Fri ---------------------------------------------------- 1 440,0 460,0 450,0 3 0,0968 3 0,0968 460,0 480,0 470,0 9 0,903 1 0,3871 3 480,0 500,0 490,0 11 0,3548 3 0,7419 4 500,0 50,0 510,0 6 0,1935 9 0,9355 5 50,0 540,0 530,0 0,0645 31 1,0000 Box-ad-Whisker Plot 40 Histogram for Eergia percetage 30 0 10 440 460 480 500 50 540 Eergia Gráfico de Caja 0 440 460 480 500 50 540 560 Eergia Histograma de frecuecias Sugerecia Usted debe saber calcular las estadísticas aquí proporcioadas. Imagie que sólo dispoe del diagrama de tallos y hojas y verifique que el valor de la media y la desviació estádar so los aquí especificados. 4
Resolució Ejercicio 4 Variable e estudio: : cosumo diario de eergía eléctrica del cliete estudiado, e MWh. Distribució de la variable e estudio: Los primeros resultados revela que el cosumo diario de eergía del cliete estudiado, se distribuye ormalmete. N (x; μ, σ ) Parámetros coocidos: Niguo. Datos de la muestra: Ver iforme de la estadística descriptiva. a) Estimar, mediate u itervalo de cofiaza del 95 %, el cosumo medio diario de eergía del cliete estudiado. Correspode aplicar la fórmula del itervalo de cofiaza para la μ co σ decoocida. Walpole, p. 47 s s x tα/ < μ < x + tα/ (1 α) = 0,95 ; α = 0,05 ; α/ = 0,05 ; t α/ = t 0,05 =,04 Reemplazado valores os queda el siguiete itervalo de cofiaza: (478,0 ; 493,9) ; para (1 α) = 0,95 La iterpretació del itervalo obteido debe hacerse co el mismo criterio que el tratado para el caso de medias.. b) Costruya u itervalo de cofiaza al ivel del 99%, para la verdadera desviació estádar del cosumo diario de eergía eléctrica del cliete estudiado. Correspode aplicar la fórmula del itervalo de cofiaza para σ de Walpole. Walpole, p. 7 ( 1) s ( 1) s < σ < a b Dode: 5
a χα / : = Es u valor de la variable ji-cuadrada tal que, el área bajo la curva que deja a su derecha, es igual a α/, para g.d.l. υ = ( 1). b = Es u valor de la variable ji-cuadrada tal que, el área bajo la curva que deja a su χ1 α /: derecha, es igual a (1 α/), para g.d.l. υ = ( 1). Ateció! Es posible que haya pequeñas diferecias etre los valores tabulados e las tablas estadísticas de los libros de texto y las tablas costruidas co Microsoft Excel. Tablas Estadísticas E las EVALUACIONES usted deberá emplear las Tablas Estadísticas proporcioadas por la cátedra, pues os guiaremos por éstas al mometo de la correcció del exame. De Tabla A.5 de Walpole, p. 685 y p. 686, para g.d.l. υ = (31 1) = 30 a = χ0,005 ; 30 = 53, 703 b = χ = 13, 787 0,995 ; 30 De Tabla D.7: Valores críticos de la distribució Ji cuadrada (costruida co Microsoft Excel) a = χ0,005 ; 30 = 53, 67 b = χ = 13, 787 0,995 ; 30 Reemplazado valores os queda el siguiete itervalo de cofiaza para la variaza de la població del cosumo medio diario de eergía del cliete estudiado: (6,97; 1.03,73) ; para (1 α) = 0,99 Sacado la raíz cuadrada de los límites de cofiaza, se obtiee el siguiete itervalo de cofiaza para la desviació estádar de la població del cosumo medio diario de eergía del cliete estudiado: (16,; 3,00) ; para (1 α) = 0,99 La iterpretació del itervalo obteido debe hacerse co el mismo criterio que el tratado para el caso de medias. Si tiee dudas, cosúlteos. Resolució co Excel dispoible e págia del Campus Virtual Ejercicios Resueltos co Microsoft Excel. Archivo: ER_CosumoDiarioEergia.xls Pasemos al ejercicio siguiete 6
σ 1 ²/σ ² Cociete de variazas Qué tiee que teer e cueta e problemas de estimació del cociete de variazas, para aplicar los métodos que se estudia e uestro curso? Verifique que los datos del problema correspode a variables distribuidas ormalmete. La mayoría de las veces los euciados o lo expresa, pero debe teerse e cueta que las muestras aleatorias se seleccioa de forma idepediete de las dos poblacioes. Aplique la distribució F para ecotrar los límites del itervalo de cofiaza para el cociete de variazas. Iterprete los resultados haciedo referecia al ivel de cofiaza utilizado. Adopte el ivel de cofiaza si el euciado del problema o establece.. Ejercicio 5 Mauro es uo de los igeieros de la empresa PAVIMENTOS S.A., empresa que ha gaado la licitació para costruir el pavimeto de ua de las aveidas de la ciudad. Por ua cuestió de plazos de obra y de capacidad de producció de las empresas proveedoras del hormigó a emplear, Mauro decidió cotratar a dos empresas del medio para la provisió del hormigó elaborado. El esquema siguiete muestra la situació del pla de trabajo. Segú el mismo, el hormigó del tramo A será provisto por la Empresa 1 y el hormigó del tramo B será provisto por la Empresa. Ambas debe proveer el mismo hormigó, pues se trata de la misma aveida. Para cotrolar la calidad del material de los proveedores, Mauro extrajo muestras de ambos hormigoes, los esayó y comprobó que la resistecia a la compresió a la edad de 8 días del hormigó se distribuye ormalmete. El mismo estudio le permitió coocer que la resistecia a compresió media de ambos hormigoes es prácticamete la misma. Para cotrolar la homogeeidad del hormigó, esto es, verificar que el hormigó elaborado por ambos proveedores sea el mismo, o es suficiete que ambas resistecias medias sea iguales; tambié es preciso que la dispersió de los resultados de esayo de ambos proveedores sea la misma. 7
Cotiuació Ejercicio 5 a) Utilice el método estadístico de estimació de parámetros para comparar la dispersió (e térmios de desviació estádar) de las poblacioes de hormigoes elaborados por los Proveedores 1 y. Utilice u ivel de cofiaza del 90%. b) Saque coclusioes respecto de la homogeeidad del material. Hormigó del Proveedor 1 Hormigó del Proveedor Tramo A Tramo B Estadísticas descriptivas Las estadísticas descriptivas de los resultados de esayos obteidos de los hormigoes de ambos proveedores, so los siguietes: Proveedor 1 Proveedor Situació 1 Situació Situació 3 Tamaño de la muestra 61 81 81 81 Media muestral 3 3 3 3 Desviació estádar muestral,5,9 3,5 1,8 8
Resolució del Ejercicio 5 Variable e estudio: 1 : resistecia a la compresió del hormigó del Proveedor 1 a la edad de 8 días, e MPa. : resistecia a la compresió del hormigó del Proveedor a la edad de 8 días, e MPa. Distribució de la variable e estudio: 1 N (x 1 ; μ 1, σ 1) ; N (x ; μ, σ ) Datos de la muestra: Ver cuadro co las estadísticas descriptivas. a) Utilice el método estadístico de estimació de parámetros para comparar la dispersió (e térmios de variaza o desviació estádar) de las poblacioes de hormigoes elaborados por los Proveedores 1 y, al ivel de cofiaza del 90%. Para comparar las variazas poblacioales, correspode aplicar la fórmula del itervalo de cofiaza para σ 1 ² / σ ². Walpole, p. 74. s 1 σ s s f s 1 1 1 < < α/ ; ( ν1, ν) σ f α ν ν / ; (, 1) Para: (1 α) = 0,90 ; α = 0,10 ; α/ = 0,05 f 0,05 ; (60;80) = 1,48. Obteido de Tabla D.9. La siguiete figura ilustra la otació empleada: Área sombreada = 0,05 f 0,05 ; 60, 80 Valor de la variable f, co 60 g.d.l. e el umerador y 80 g.d.l. e el deomiador, que deja a su derecha u área bajo la curva = 0,05. f 0,05 ; (80;60) = 1,50. Obteido utilizado Microsoft Excel; o está e la Tabla D.9. Por el Teorema 8.7 de Walpole: Walpole, p. 34. f 1 α ;( ν1, ν) = f 1 ; (, 1) α ν ν f 0,95 ; (60;80) = 1 / f 0,05 ; (80;60) = 1 / 1,50 = 0,665844187 0,666 9
Cotiuació Ejercicio 5 Reemplazado valores os queda el siguiete itervalo de cofiaza: Para la Situació 1:,5 1,5 1 < σ <,9 1, 48,9 0, 666 1 σ (0,501 ; 1,116) ; para (1 α) = 0,90 Para la Situació :,5 1,5 1 < σ < 3,5 1, 48 3,5 0, 666 1 σ (0,344 ; 0,766) ; para (1 α) = 0,90 Para la Situació 3:,5 1,5 1 < σ < 1,8 1, 48 1,8 0, 666 1 σ (1,30 ;,897) ; para (1 α) = 0,90 Iterpretació del itervalo de cofiaza E el caso del cociete de variazas, la iterpretació debe hacerse co el mismo criterio que el tratado para la diferecia de medias, teiedo e cueta que aquí las variazas será iguales cuado el cociete sea igual a la uidad. El siguiete esquema ilustra los resultados para las tres situacioes propuestas: 1 3 0,344 0,501 0,766 1,116 1,30,897 σ 1 ² / σ ² = 1 (Si las variazas fuera iguales, el cociete sería igual a 1) 30
Cotiuació Ejercicio 5 Situació 1: Situació : Situació 3: Si el resultado obteido fuera el idetificado co el úmero 1, Mauro debe decir que, co u 90% de cofiaza, el itervalo (0,501 ; 1,116) icluye al verdadero valor del cociete de las variazas. Si las variazas fuera iguales, el cociete etre ellas (σ 1 ² / σ ²) = 1. Dado que el itervalo ecotrado icluye al valor 1, cocluimos que, al ivel de cofiaza del 90%, σ 1 ² = σ ². Si el resultado hubiera sido el represetado por el itervalo idetificado por el úmero, co ambos extremos meores que 1, Mauro debería haber cocluido que, co u 90% de cofiaza, el itervalo represetado icluye al verdadero cociete de las variazas poblacioales (meor que 1), por lo tato, σ 1 ² < σ ². Si el resultado hubiera sido el represetado por el itervalo idetificado por el úmero 3, co ambos extremos mayores que 1, Mauro debería haber cocluido que, co u 90% de cofiaza, el itervalo represetado icluye al verdadero cociete de las variazas poblacioales (mayor que 1), por lo tato, σ 1 ² > σ ². b) Saque coclusioes respecto de la homogeeidad del material. Situació 1: Situació : Situació 3: Si los resultados fuera los obteidos e la Situació 1, Mauro debe cocluir que, si bie se utiliza hormigoes de distitos proveedores, al ivel de cofiaza del 90%, se está logrado la homogeeidad del mismo. Esto es, la resistecia a compresió del hormigó del Proveedor 1, además de teer la misma resistecia media que el hormigó del Proveedor, tambié tiee la misma desviació estádar. Si los resultados fuera los obteidos e la Situació, Mauro debe cocluir que, al ivel de cofiaza del 90%, si bie la resistecia media de los hormigoes de ambos proveedores es la misma, la dispersió de los resultados de esayo de los proveedores o es la misma (o tiee la misma variaza), por lo que o se está logrado la homogeeidad del material. E particular, por ser ambos extremos meores que uo, el deomiador (σ ²) es mayor que el umerador (σ 1 ²), es decir, los resultados de esayo del Proveedor tiee mayor dispersió que los del Proveedor 1. Esta situació es similar a la aterior, pero e este caso el umerador (σ 1 ²) es mayor que el deomiador (σ ²), es decir, los resultados de esayo del Proveedor 1 está más dispersos que los del Proveedor. Por supuesto, tampoco se está logrado la homogeeidad del material. Resolució co Excel dispoible e págia del Campus Virtual Ejercicios Resueltos co Microsoft Excel. Archivo: ER_CocieteVariazasPavimeto.xls 31
Es hora de descasar!. Respuestas. Ejercicio 1 1.1.c) 1..b) 1.3.d) 1.4.d) 1.5.d).1.b)..d).3.d).4.d).5.d).6.d).7.d) 3.a) 4.1.f) 4..d) 5.1.c) 5..c) 6.1.d) 6..d) 6.3.b) 6.4. No requiere respuesta 6.5.c). Ejercicio 1.c).b) 3.c). Ejercicio 3 No se pide respuestas.. Ejercicio 4 No se pide respuestas.. Ejercicio 5 No se pide respuestas. Tabla de coteidos Itroducció.... Ejercicio 1... 4. Ejercicio... 17. Ejercicio 3... 0. Ejercicio 4... 3. Ejercicio 5... 7. Respuestas... 3 3