CAPÍTULO LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES Deprtmento de Métodos Cuntittivos pr l Economí y l Empres Fcultd de Ciencis Económics y Empresriles Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN A prtir de l distribución de probbilidd de un vrible letori de tipo continuo, finit no negtiv, X, se puede obtener l curv de Lorenz correspondiente, que viene dd por, Css y Núñez, (99), F ( p) t df( t) L( p), pr p () E [] siendo F( l función de distribución y E( el vlor esperdo de dich vrible. Por tnto, pr obtener un curv de Lorenz prtir de un función generdor,, en principio, se podrí buscr primero l función de distribución de l vrible letori generd por y, prtir de ell, medinte l epresión dd en (), encontrr l epresión de l curv correspondiente. Sin embrgo l ví recogid en este trbjo no corresponde l nteriormente epuest, sino más bien por quell que permit obtener un curv de Lorenz prtir de un función, medinte l integrción decud. Es decir se pretende, por un prte, encontrr ls condiciones que debe un función pr que, prtir de ell, se pued obtener un curv de Lorenz, y por otr prte encontrr l form funcionl de lguns curvs de Lorenz, por este método obtenids. Precedentes de est ví se pueden encontrr en Css, Herrerís y Núñez, (99), en cuyo trbjo presentn dos forms de obtención de funciones que modelizn l curv de Lorenz: un medinte combinciones lineles conves de forms funcionles utilizds en l estimción de dich curv por otros
RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN utores y otr, utilizndo l ecución diferencil que gener l fmili de distribuciones continus univrintes de Person e inicindo el estudio de l relción entre un función que verific l ecución diferencil que define l fmili de Person y l curv de Lorenz Es precismente l utilizción de l ecución diferencil que define l fmili de Person, l que permite, en su generlizción más mpli pr el cso de un sol vrible, llegr l concepto de función generdor de un curv de Lorenz. El concepto de función generdor de un distribución continu univrinte de probbilidd surgió l considerr el segundo miembro de l ecución f '( ( ) () f b b b igul un función rel de vrible rel, f '( (3) f ( por tnto, de igul form, se puede considerr que un función generdor,, de un curv de Lorenz, en principio, h de verificr (3), pr todo comprendido entre cero y uno. Ls condiciones necesris y suficientes pr que un función que verific (3) se generdor de un curv de Lorenz se estudin en el epígrfe siguiente. Lfuente (994) utiliz distintos csos prticulres de funciones generdors de curvs de Lorenz. Tods ells obedecen lgun de ls siguientes epresiones: d >, b ln c, con, b, c, d > c ( >,, con ; < b, c, b ( k ( ) k e >,, con k > k e y c no son cero l vez. FUNCIÓN GENERADORA DE UNA CURVA DE LORENZ En l siguiente proposición se obtienen ls condiciones que debe cumplir un función rel de vrible rel, pr que, prtir de (3), se pued obtener un curv de Lorenz, f(. Se un función rel de vrible rel, entonces, prtir de
LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON f '( f ( se obtiene d f ( K e (4) donde K es l constnte de integrción, cuyo vlor se determinrá l considerr ls condiciones necesris pr que f( se un curv de Lorenz. PROPOSICIÓN Se un función rel de vrible rel, y se G ( d. Pr que l función f( definid en (4)se un curv de Lorenz, es condición necesri y suficiente que se verifique G() ) K e ) lim G( o 3) g ( >, / < g > < 4) ( ( )) ' ( ), / g En efecto, son condiciones necesris puesto que si f( es un función que modeliz un curv de Lorenz, entonces es posible definir d f '( g ( ln f ( G'( (5) d f ( de donde, l integrl result: G( f ( K e y puesto que f ( es un curv de Lorenz, se verific G() G() ) f ( ) luego K e, de donde K e G( G() b) f ( ) lo que implic que se verifique lim e, de donde lim G( c) En el intervlo (,], es f(>, y demás f ( es creciente, f '( >, entonces g ( > d) Por l concvidd de l función f, l segund derivd es positiv, f ''(. f ''( f ( g'(, y puesto que Derivndo en (3) result, ( ) f(> qued probdo entonces que ( ( )) '( ) [ ] g g >.
RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN Recíprocmente, dd un función rel de vrible rel,, que verific ls condiciones impuests en ) ), 3) y 4), entonces, prtir de (4), y l condición ) se puede definir, pr todo comprendido entre cero y uno, l función G( G() f ( e, siendo, G ( d (6) cuy gráfic verific los requisitos necesrios pr ser considerd un curv de Lorenz, puesto que i) Est función f es definid positiv y demás f() ii) Puesto que, según ), lim G(, entonces lim f ( iii) iv) o o Si g es definid positiv, es decir verific l condición 3), el crecimiento de l función f se observ sin más que comprobr el signo de su derivd primer: derivndo en (6), f '( f (, y puesto que tnto f como g son definids positivs, l derivd f ( tmbién es positiv. Del hecho de que f se definid positiv y de l condición 4) se deduce l concvidd de l función f. A prtir de (6) se obtiene [( ) g' ( ] f ''( f (, y si demás f ( > y ( ( ) g'( > g entonces f ''( >. Obsérvese que i), ii) iii) y iv), junto l necesri eistenci de G(), pues sin ello no serí posible l definición (6) se obtiene un función que modeliz un curv de Lorenz.. EJEMPLO Si es un función polinómic, prtir de ell no se puede generr un curv de Lorenz, pues su integrl, G(, tmbién es un polinomio, lo que hce imposible que lim G(. o EJEMPLO L función definid por >, con >, > verific ls condiciones necesris y suficientes pr que, prtir de ell, se pued obtener un curv de Lorenz, utilizndo l definición (6). En efecto G( d ln siendo G ( ) y se verific que
LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 3 ) lim G( n ) g ( > (,] ( ) 3) ( ) g' ( y puesto que >, >, l sum ( g ( ) g' ( es positiv, (,]. Por tnto, se puede generr un curv de Lorenz, cuy form funcionl es: EJEMPLO 3 G( G() ( ) f ( e e (7) L función definid por >, con,, > > > verific ls condiciones necesris y suficientes pr que, prtir de ell, se pued obtener un curv de Lorenz, utilizndo l definición (6). En efecto G( d ln siendo G( ) y se verific que ) lim G( n ) g ( > (,] ( ) ( ) 3) ( g ( ) g' ( 3 4 y puesto que >, >, >, l sum ( g ( ) g' ( es positiv, (,] Por tnto, se puede generr un curv de Lorenz, cuy form funcionl es: G( G() ( ) f ( e e (8) En el neo I se representn ls gráfics obtenids en (7) y (8), con el objetivo de observr, ls distints posiciones que ocup, (áre del recinto que delimit con l bisectriz del primer cudrnte), en función del vlor de sus prámetros, y. En mbos csos l myor concentrción corresponde vlores myores de sus prámetros. Puede modelizrse desde un csi nul concentrción hst un concentrción muy lt.
4 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN En el neo II se recogen, sobre los mismos ejes, dos gráfics de l función (8), pr distintos vlores de sus prámetros. En este cso el objetivo consiste en observr que se cortn en un punto y, por tnto, pudiern utilizrse pr un mism modelizción. 3. FUNCIÓN GENERADORA DE UNA CURVA DE LORENZ Y EL SITEMA UNIVARIANTE CONTINUO DE PEARSON L curv de Lorenz (7), obtenid prtir de l función generdor del ejemplo, verific l ecución diferencil que define el sistem de Person univrinte continuo. Sin embrgo l obtenid en (8), ejemplo 3, sólo l verific si es cero. El método de los momentos, utilizdo pr estimr l función de densidd de un distribución continu univrinte, que pertenece l fmili de Person, tmbién puede utilizrse pr, obtener l correspondiente curv de Lorenz. Por ello, result interesnte conocer qué funciones de ls que verificn l ecución diferenci de Person, pueden ser generdors de un curv de Lorenz. Css, Herrerís y Núñez, (99), mnifestron el deseo de conocer si tods ls curvs que stisfcen l ecución diferencil que define l fmili de Person cumplen l condición necesri de ls curvs de Lorenz. L proposición nterior permite estudir ls condiciones que deben cumplir los coeficientes de l función que verific l ecución diferencil de Person pr que se función generdor de un curv de Lorenz. A continución se hce un estudio completo de ls condiciones que se hn de cumplir pr que un función definid de l form f ' ( f ( b b b permit construir un curv de Lorenz. PRIMER CASO b b Entonces l función es polinómic y no permite generr un b curv de Lorenz. SEGUNDO CASO b ; b Pr que l función se generdor de un curv de Lorenz., b b es condición necesri y suficiente que
LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 5 ) < ) b 3) < b < En efecto, es condición necesri puesto que si es un función generdor de un curv de Lorenz, entonces b b G ( d ln( b b, b b y de l condición lim G( se desprende, como únic solución, que b ; b > ; <. b De ests dos últims desigulddes se desprende que h de ser negtivo. Sustituyendo estos vlores en g y G qued, b y ln( b G(. b Por otr prte, l ser generdor de curv de Lorenz, se verific que en este cso, de donde ( ( ) g' ( >, / < g, ( g ( ) g' ( ( ) b ( ) b > b > Ddo que es negtivo y está comprendido entre cero y uno, el cso etremo se produce pr, siendo > b de donde > b L suficienci se prueb prtir de ls condiciones de los coeficientes siguiendo los mismos psos en orden inverso, y l función que modeliz l curv de Lorenz es: b ( ) b f ( e (9) Obsérvese que este segundo cso coincide plenmente con el ejemplo número. Constituyen l mism form funcionl y sólo se diferencin en los prámetros utilizdos. Result inmedito comprobr que ls condiciones eigids unos coeficientes y otros tmbién coinciden.
6 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN TERCER CASO b El estudio de este cso se reliz tendiendo ls posibles ríces del denomindor: dos reles distints, un rel doble o dos complejs. A) El denomindor posee dos ríces reles distints L condición necesri y suficiente pr que l función, b b b b, < en l que el denomindor posee dos ríces reles, α y β, distints, permit generr un curv de Lorenz es que los coeficientes cumpln: ) b ) < 3) < b < ( b ) 4) < b En efecto, es condición necesri: dd l función generdor con b b b b cuyo denomindor posee dos ríces reles, α y β, distints, se tiene α β G ( d ln( α) ln( β ) b α β β α De l condición α β lim G( ln( α ) ln( β ) b α β β α se deduce que un de ls dos soluciones es cero y l otr negtiv, es decir α < ; β ó bien α ; β <, (no se estudi l posibilidd α β, pues estmos estudindo el cso de que ls dos soluciones reles sen distints). Además, pr que el límite nterior se menos infinito, se h cumplir que α b >. Sin pérdid de generlidd se α < ; β. Si un de ls soluciones del denomindor es cero, su término independiente h de ser cero, b. Si l otr solución h de ser negtiv, no es cero, entonces h de ser b. De α < y α b > se deduce que b <, es decir y b tienen distinto signo. L función puede escribirse como:
LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 7 con b b b y b por tnto ls soluciones del denomindor son β y α b b y puesto que α h de ser negtivo se deduce que b y b tienen el mismo signo. L función G(, se puede escribir: b b G( ln( b b ) ln bb b y ddo que < y que b y b hn de tener el mismo signo, pr que G( eist, es condición indispensble que b y b sen positivos y por tnto negtivo. Ls dos condiciones hst hor impuests hcen que se negtiv que b vlg cero y que b y b, sen positivos. Puesto que l función f(, modeliz un curv de Lorenz, su derivd h de ser positiv, por tnto se verific g ( > b b de donde, y teniendo en cuent ls condiciones nteriormente epuests que deben cumplir los coeficientes, b y b, (mbos positivos), sólo se deduce que <, lgo que tmbién y es conocido. Sólo qued por estudir cómo condicion los coeficientes l concvidd de l curv de Lorenz. Puesto que se h de cumplir que y por tnto ( g ( ) g' ( >, / < ( b ) ( b ) ( b ) > ( b b ) ( ) ( b ) ( b ) > con < b () Este trinomio de segundo grdo se estudi bjo distintos supuestos pr el coeficiente b, del que y sbemos que h de ser positivo: ) Si < b <, (obsérvese que este cso b b < b ), -b /b -b b l función y ( b ) ( b ) ( b ) ( ( b b ))., posee un mínimo en el punto
8 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN L inecución () se verific cundo: ) El mínimo está en el segundo cudrnte o sobre eleje, es decir ( b b ) y puesto que es negtivo, b b, luego b b. b) El mínimo está en el tercer cudrnte, pero l prábol cort l eje y en un vlor myor o igul que cero, es decir: ( b b ) < l vez que ( b ). b De mbs condiciones se deduce que < < b. b Por tnto se puede concluir que pr < b < l inecución () se verific si y sólo si < b ) Si b >, (obsérvese que b < b b ), -b -b /b b l función y ( b ) ( b ) ( b ) ( ( b b )).,, posee un máimo en el punto
LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 9 L inecución () se verific cundo el máimo está por encim del eje de ls, ( b b ) > es decir < b b y demás un de ls dos ríces del polinomio ( b ) ( b ) ( b ) es myor o igul que uno, (l otr evidentemente es negtiv). Pr que un ríz se myor o igul que uno, cundo, l prábol h de ser positiv o cero, esto es: b b b ; ( b ) b y pr que el conjunto de posibles vlores de b no se vcío h de ocurrir que ( b) >, de donde se deduce que < b. Por tnto se puede concluir que pr b > l inecución () se verific si y sólo si < b. 3) Si b entonces ( b ). Puesto que es negtiv, entonces < b Recíprocmente el mismo cmino seguido en l necesidd se puede utilizr pr demostrr l suficienci, pues si los coeficientes verificn ls condiciones eigids, se verific l inecución (), por lo que f es cóncv, es positiv, luego f es creciente, eiste G() y el límite de G( cundo tiende cero es menos infinito, de donde se deduce que l función G( G() f ( e modeliz un curv de Lorenz. B) El denomindor posee un ríz rel doble L condición necesri y suficiente pr que l función, b, < b b b
3 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN cuyo denomindor posee un ríz rel doble, α, permit generr un curv de Lorenz es que es que los coeficientes cumpln: ) b ) b 3) < 4) < b En efecto, es condición necesri: dd l función generdor b b b con cuyo denomindor posee un ríz rel doble, α, se tiene α G ( d ln( α) b α De l condición α lim G( ln( α ) b α h de ser α, b b, y b. Entonces: >, G ( ln( b b Puesto que l función f modeliz l curv de Lorenz, h de ser positiv, y teniendo en cuent que b > h de ocurrir que > y por tnto <. Sólo qued por estudir cómo condicion los coeficientes l concvidd de l curv de Lorenz. Puesto que se h de cumplir que ( g ( ) g'( >, / < ( b ) ( b ) ( b ) > y por tnto ( b ) ( b ) > con < () De l mism form que en l proposición nterior, este trinomio de segundo grdo se estudi bjo distintos supuestos pr el coeficiente b, del que y sbemos que h de ser positivo:
LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 3 ) Si < < b, l función ( ) ( ) y b b mínimo en el punto (, b ), posee un. L inecución () se verific siempre pues l ordend del mínimo es positiv. y b b, posee un máimo ) Si > b, l función ( ) ( ) en el punto (, b ). que pertenece l segundo cudrnte. L inecución () se verific cundo un de ls ríces del polinomio ( b ) ( b ) es myor o igul que uno. De igul form que ntes, cundo, l prábol h de ser positiv o cero, esto es: b b ; b Obsérvese que el conjunto de posibles vlores de b no es vcío pues >, y que <. 3) Si b entonces qued. que evidentemente siempre se verific. L demostrción de l suficienci se puede hcer siguiendo los mismos psos pero en orden inverso. Obsérvese que est proposición es el cso prticulr de l nterior en el que b C) El denomindor no posee ríces reles Un función de l form, b, < b b b cuyo denomindor no posee ríces reles, no permite generr un curv de Lorenz. En efecto, sen α y β dos números reles tles que
3 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN clculndo l función G(, result: b ( α ) b b b ) β α α ) ( α) β rctg βb G( d ln b β el límite de G( cundo tiende cero h de ser igul menos infinito, lo que supone que α β. Se trtrí entonces del cso nterior, un solución rel doble. BIBLIOGRAFÍA CALLEJÓN, J. (995). Un nuevo método pr generr distribuciones de probbilidd. Problems socidos y Aplicciones. Universidd de Grnd. CALLEJÓN J. (995). Función generdor de un curv de Lorenz IX Reunión ASEPELT- Espñ. Volumen IV. Análisis de Empres. Métodos estdísticos y econométricos. Sntigo de Compostel, pp. 343-35 CASAS, J.M., HERRERÍAS, R. y NÚÑEZ, J. (99). Fmilis de forms funcionles pr estimr l curv de Lorenz. IV Reunión Anul ASEPELT-ESPAÑA. Murci. CASAS, J.M. y NÚÑEZ, J. (99). Sobre l medición de l desiguldd y conceptos fines. Acts de l V Reunión Anul ASEPELT-ESPAÑA. Ls Plms. HERRERÍAS, R.(975). Sobre ls estructurs estdístics de Person y eponenciles, problems socidos. Publicciones de l Fcultd de Ciencis de Grnd. LAFUENTE, M. (994). Medids de cuntificción de l Desiguldd: L Desiguldd de l Rent en Espñ según l E.P.F. 99-9. Tesis Doctorl. Universidd de Murci.
LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 33 ANEXO I f ( e ( ),8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8,,, 5,,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8, 4,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8, 5
34 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN ANEXO I f ( e ) (,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8,,,,,,,,,,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8,, 3,,,,,,,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8,, 3, 5, 5, 5 5
LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 35 ANEXO II f ( e ) (,8,6,4 L L,,,4,6,8 L,5,,,,,,,, L