NÚMEROS NTURLES Y NÚMEROS ENTEROS División entera D r d q Nta : + r Z 0 D d x q + r D,d,q, Z(d 0) lgritm de la Divisió entera Clases de división entera División Exacta (r 0) Ejempl: 6 0 8 En general: D 0 d q 6 x 8 D d x q División inexacta (r 0) i. Pr defect Pr exces 8 6 8 8(6) + () - D r D dq + r Nta: ii. r r iii. r + r d q 0 < residu< d d d D r e Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm d q + D d(q + ) - r e Entdadivisiónenterainexacta(r 0),secumple: mínim máxim e Divisibilidad: Un númer enter es divisible entre tr númer psitiv, si al dividir entre la división es entera y exacta. En general: Sean: Z, Z +, k Z Cm: 0 k Lueg se afirma que: es divisible entre ( es divisr de ) Ntación: Si es múltipl de CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN Ejempl: ( K) *, prque (6) * axb a b, siay b Z Observacines: ) ; Z + + + ) 0 K ; K Z. Criteris de divisibilidad n n n n a) Pr : Un númer es divisible pr, si y sól si el blque frmad pr sus n últimas n n cifras es divisible pr respectivamente, en cas cntrari el blque ns dará el residu. N 0 + e Será N e Será N e N abcde N 00 + de Será N de Será N de N 000 + cde Será N 8 cde 8 Será N cde b) Pr ó 9: Un númer es divisible pr ó 9, si y sól si la suma de sus cifras es un ó 9 respectivamente. En cas cntrari ns dará el residu. Ejempl: 6 9 (Suma de cifras es 8 9 ) 9 + (Suma de cifras es 9 + ) En general: N abcde * Será N 9 a + b + c + d + e 9 * Será N a + b + c + d + e
c) Pr : Un númer es divisible pr, si y sól si la suma de sus cifras de lugares impares mens la suma de cifras de lugares pares cntabilizand de derecha a izquierda ns da un múltipl de, en cas cntrari ns dará el residu. Ejempl: + ( + + ) (+ ) + + + d) Pr : Un númer es divisible pr, si y sól si al multiplicar sus cifras pr las cnstantes,,, -, -, -,,,, -, -, -,... a partir de la cifra de menr rden y sumar ls resultads se btiene una cantidad múltipl de, en cas cntrari ns dará el residu Ejempl: 68 {{ + + + + 0 68 e) Pr : Un númer es divisible pr si al multiplicar sus cifras pr las cnstantes, -, -, -,,,, -, -, -... a partir de la cifra de menr rden y sumar ls resultads se btiene una cantidad múltipl de, en cas cntrari ns dará el residu. Ejempls: 680 {{ + : + + + 6 + 0 0 680 f) Pr ó 99: Un númer es divisible pr ó 99, si al descmpner el númer en blques de ds cifras a partir del menr rden y sumarles el resultad sea múltipl de ó 99. Ejempls: 0 0 + + 0 Observación: Si un númer es múltipl entre varis móduls, entnces, será múltipl del menr númer que cntenga a dichs móduls. En general: Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN a b n, dnde " n" es cntiene " a"," b" y c. Principi de rquímedes Si: x n el menr númer que " c" dnde y n n tienen divisres en cmún, aparte de la unidad, entnces: Ejempls: n. xn. N 8 x 6. Divisibilidad aplicada al inmi de Newtn k k n + r) n+ r ( ; k Ejempl: + Z ( ) ( )( ) + En general: ( - r) n a - r n ; n : impar n a + r ; n : par ; a,r, n Z + NÚMEROS PRIMOS. Divisr prpi: Es td aquel divisr de N, menr que dich númer. Ejempl: 6,,, 6 Divisres Divisres prpis: ; ;. Númer prim Es aquel númer que tiene únicamente divisres: el mism y la unidad. ; ;.... ; P P P: númer prim (# prim abslut) Observación:. N existe fórmula para hallar tds ls númers prims.. La serie de ls númers prims es ilimitada, ósea que pr más grande que sea un númer prim, siempre hay tr númer prim mayr.. Si P es un númer mayr que. P ±
. Si P es un númer prim mayr que.. Númer simple: P 6 ±,,,,... Númers prims. 6. Númer cmpuest: Es aquel númer que tiene más de divisres. Ejempl: ; 6 ; 8 ; 9 ; 0 ; ;.... 6 ; ; ; 6 Divisres (6 psee divisres). Td númer prim que divide a un prduct de varis factres, divide pr l mens a un de ls factres.. Númers prims relativs prims entre sí (PESI) Sn ds más númers que tienen cm únic divisr cmún a la unidad. Ejempl: Númer Divisres 0 ; ; ; 0 ; ; ; 0 y sn PESI. Númers prims entre sí ds a ds (PESI a ) Un cnjunt de númers resultará ser PESI a si precisamente al tmarls en pareja resultan ser prims entre sí. Ejempl: Sn 8; 9 y PESI a? Slución: 8 : ; ; ; 8 9 : ; ; 9 Observación: a) Ds númers enters cnsecutivs siempre sn PESI. Ejempl: 6 ; ; ; 8 ; 6 ; Divisres Lueg: 6 y sn PESI Regla para determinar ls divisres de un númer a) Se descmpne el númer en factres prims. b) Se escribe el (que es divisr de td númer) y a cntinuación se pne las diversas ptencias del primer factr prim. c) Se multiplica ls divisres hallads pr las diferentes ptencias del segund factr prim. d)se multiplica tds ls factres hallads anterirmente pr las diferentes ptencias del tercer factr y así sucesivamente. El últim divisr hallad al frmar ésts prducts es el númer dad. Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN Tabla de divisres de 0 8 6 6 8 x 0 0 0 80 x 0 60 0 0 x 0 psee 0 divisres de ls cuales sn divisres prims ( ; ; ). Ejempl: ; ; ; ; 6 ; 8 ; ; La Divisres Divisres Unidad Prims Cmpuests D () 8 D P D C Númer de Divisres Divisres divisres de prims de cmpuests de D DP + DC + + + 8 Sea N un númer cmpuest. D D + D (N) P C +. Descmpsición canónica (Terema fundamental de la aritmética Terema de Gauss) Sea N el númer cmpuest. N α x β x C θ Dnde:,, C Factres prims. α, β, θ Expnentes (númers enters psitivs) Observación Númer Divisres Ttal divisres α ; ; ; ;... ; α (α+) β ; ; ; ;... ; β (β+) C θ ; C ; C ; C ;... ; C θ (θ+) Pr el principi de cmbinacines D (N) (α + ) (β + ) (θ + ) 6. Suma de divisres [SD(N)] α + β + θ + C SD (N) x x C Ejempl: 0 x x + + + - - - (0) - - - Tenems: SD x x Entnces: SD (0) UTOEVLUCIÓN. un Cngres de Infrmática asistiern persnalidades eurpeas y americanas. De ls eurpes, / sn médics, / sn ingeniers y ls 8/ sn abgads. Cuánts americans se presentarn, si en ttal asistiern 8 persnalidades? a) 8 b) 0 c) 8 d) 00 e) 8 de
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN. Si: abc + 8 Cuál es el menr númer que se le debe sumar al númer abc para que sea? a) 6 b) c) 6 d) 0 e). Hallar el residu de dividir el númer... (00 cifras) entre a) b) c) 9 d) 8 e). Encntrar el númer de cifras tal que sea igual a veces el prduct de sus cifras. a) b) c) d) e). Si: aaa. Hallar a. a) 9 b) c) d) e) 6. Si el númer de la frma: ( a + )( a ) aa es divisible entre. Hallar a. a) b) c) d) e) 6 6. Sabiend que: ab8a 6. Hallar: a + b. a) b) 9 c) 6 d) 8 e). Si N mn ( m)(m), pr qué númer será siempre divisibles? a)nm b) n c) m d) n e)mn 8. Hallar el valr de a, si le númer a es divisible entre. a) b) c) d) e) 9. Calcular el residu de dividir N entre. N + + ( +)( +) + ( -)( +) a) b) c) d) e) 0. Hallar el residu de dividir 6 entre 8 a) b) c) d) e). Si: aa... a 9 +. Hallar a 0cifras a) b) c) d) e) 6. Hallar a si: aaaa a) b) c) d) e) 6 +. Hallar n, si: n nn + a) b) c) d) e) 6. En una división inexacta se tiene que el dividend +, el cciente 9 divisr. Pr tant el rest será: a) b) 8 c) 9 d) d) e) 6. Hallar x, si: X ( 8) + X (8) 8 a) b) c) d) e) 6 y el 6. Si N +, entnces el valr de N será: a) + b) c) + 6 d) 6 e) +. La suma de ls númers de tres cifras diferentes que se puede frmar cn las cifras a, b, c; siempre será divisible entre: a) b) 8 c) 9 d) d) e) 0 8. El númer de alumns de un aula es menr de 0 y mayr que 00. Si / del ttal usan antejs y ls / sn asmátics. Cuánts alumns sn asmátics? a) 8 b) 00 c) 90 d) 0 e) 0 9. Cuánts cers tiene el númer N 00..00, para que admita 6 divisres? a) b) c) d) e) 6 0. Cuánts divisres de ds cifras tiene el númer 0? a) b) c) d) e) 6. Si M 6.6...6. Hallar n, para que M " n"factres a) b) c) d) e) 6. Cuánts númers naturales sn menres y pesi cn 0? a) 9 b) 9 c) 9 d) 9 e) 96. Cuánts divisres múltipls de cinc tiene el númer 0 00? a) 8 b) 8 c) 8 d) 8 e) 8. Hallar la suma de tds ls divisres del númer 00 sn pesi cn 8. a) 0 b) 6 c) 0 d) 60 e) 68. Hallar el valr de n, si el númer 6 n. tiene 8 divisres. a) b) c) d) e) 6 6. Hallar la suma de tds ls divisres del númer 660. a) 06 b) 0 c) 0 d) 00 e) 00. Cuánts númers menres y pesi cn 00 existen? a) 0 b) 60 c) 90 d) 0 e) 80 8. Hallar a, si el númer. a tiene 0 divisres cmpuests. a) b) c) d) e) 6 9. Si 6 n tiene p divisres. Cuánts divisres tendrá 6 n? a) p + b) p c) p d) p + e) p 0. Si n tiene 8 divisres. Hallar n. a) 0 b) c) d) 0 e). Cuánts divisres de 90 000 sn númers cuadrads perfects? a) 0 b) 8 c) 0 d) e) 0. Si: M 0. 0. 0. 0 tiene divisres. m factres Hallar m a) b) 6 c) d) 8 e) 9. Si: N k+ - k tiene divisres cmpuests. Hallar k a) b) c) d) e) 6. Cuánts divisres tiene el númer 000? a) b) 6 c) 80 d) 8 e) 96 Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN. Cuánts divisres de cifras tiene el númer 60? a) b) c) d) e) 6. Cuánts cers debe tener: N 000 00 para que el resultad tenga 6 divisres?. a) b) 6 c) d) e) 8. Calcular la cantidad de divisres de 8 n, si: 6 n tiene 8 divisres mens que 0 n. a) b) 6 c) d) 6 e) 8. Si 8n tiene "k" divisres, Cuánts divisres tiene n? a) (k-)/ b) (k-)/ c) (k-)/ d) (k+)/ e) (k-)/ 9. Cuánts cers se deben pner a la derecha de 9 para que el resultad tenga divisres cmpuests? a) 6 b) 8 c) 9 d) e) NÚMEROS RCIONLES (Q) FRCCIONES F. IMPROPI: Es aquella cuy valr es mayr a la unidad; es decir el numeradr es mayr que el denminadr. Ejempls:,,, etc Nta: Las fraccines imprpias generan ls llamads númers mixts, ls cuales están cnstituids pr una parte entera y una fracción prpia. Ejempl: + II.- Pr su denminadr: F. ORDINRI O COMÚN: es aquella cuy denminadr es diferente de una ptencia de 0. Ejempls: 8 ; ; ; 90, etc NÚMERO FRCCIONRIO Se denmina así a tds aquells númers racinales que n representan a númers enters, si dentams pr f al númer fraccinari, tendrems: a 0 f dnde a b ; b 0, a y b Z b Ejempl: - ; ;, etc. 8 N sn númers fraccinaris expresines cm: 0 6 ; ; FRCCIÓN: Es el númer fraccinari que presenta sus ds términs psitivs. a f fracción cn a y b Z + b dnde : 0 a b (a n es divisible pr b), a es el numeradr. b 0, b es el denminadr. CLSIFICCIÓN: I.- Pr la cmparación de su valr cn respect de la unidad: F. PROPI: Es aquella cuy valr es menr que la unidad; es decir el numeradr es menr que el denminadr. Ejempls:,,, etc Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm F. DECIML: es aquella cuy denminadr es una ptencia de 0. Ejempl: ; 0 00 ; 000, etc III.- Pr la razón de igualdad desigualdad entre sus denminadres: HOMOGÉNES: Cuand tienen el mism denminadr. Ejempl: 6 ; ; ;,etc HETEROGÉNE: Cuand tienen denminadres diferentes. Ejempl: ; 9 ; ; 8 0,etc IV.- Pr ls divisres de sus términs: F. IRREDUCTILES: Sn aquellas fraccines cuys términs sn prims entre sí (n se pueden simplificar) Ejempl: ; 6 ; ; 9 0,etc F. REDUCTILES: Sn aquellas fraccines cuys términs tienen factres cmunes (se pueden simplificar) Ejempl: ; 6 6 ; ; 8,etc
MCD y MCM DE NÚMEROS FRCCIONRIOS Ejempl: Encntrar el MCD y MCM de: ; ; y 9 8 Slución: MCD (,,,) MCD MCM (,9,,8) MCM(,,,) 60 MCM 60 MCD(,9,,8) PROPIEDDES Y OPERCIONES FRCCIONES EQUIVLENTES: una fracción es equivalente a tra cuand tiene el mism valr, per sus términs sn diferentes. Es decir numeradr y denminadr sn multiplicads y dividids pr el mism valr numéric k, dnde k z - {0}. Ejempl: x 8 0 0 ó x Cmparación: Ejempl: () (), HOMOGENIZR: significa hacer que las fraccines tengan el mism denminadr. Ejempl: x x dición: + x 9 6 x Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm () + () () () () () Sustracción: x 8 Multiplicación: x x x 0 División: x x 6 Observacines: *) *) () () *) *) 8 8 *) () 6 *) x () CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN 0 0 6 *) *) () 6 + *) *) () + x x x *) x x () + *) + Observación: Las prpsicines: De, del, de ls, antepuesta a una fracción, usualmente indican una multiplicación; mientras que la prpsición Pr ns indica una división. Ejempl: Hallar ls de ls de pr de 00 Slución: x x x00 0 RELCIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DECIMLES Y LS FRCCIONES Exact: Una fracción irreductible dará rigen a un decimal exact cuand el denminadr sea una ptencia de y/ una ptencia de. Fracción generatriz 9 Ejempls: 0, 00 0 0, 000 8 D. Inexact: Una fracción irreductible riginará un decimal periódic pur cuand el valr del denminadr sea diferente de: un múltipl de y/ múltipl de. ) Ejempl: 0,... 0, Fracción generatriz Ejempls: 0,..., 9 0 0,... 99 0 0,... 999 0 D.I.P. Mixt: Una fracción irreductible dará rigen a un decimal inexact periódic mixt cuand al descmpner el denminadr en sus factres prims se encuentran ptencias de y/ y además, algún tr factr diferente. Fracción Generatriz Ejempl:
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN 0,... 90 90 8 () cifra n periódica que es el. nueve genera cifra periódica que es el. UTOEVLUCIÓN 0. Calcular el valr de : E... n + + +... + n n + n + n( n + ) a) b) c) d) e) / 0. Un estudiante hace / de su trabaj en casa antes del desayun, psterirmente realiza ls ¾ del remanente de su asignación, lueg decide ir a jugar fútbl, sin cmpletar su tarea, Qué parte de su trabaj le falta cmpletar? a) / b) ½ c) / d)/6 e) / 0. Elena gasta su diner de la manera siguiente: / en viajes, / de l que queda en aliments, /8 de l restante en rpa; quedándle un ttal de nuevs sles que l invierte en su familia. Cuánt gasta en viajes? a) 0 nuevs sles b) nuevs sles c) nuevs sles d) nuevs sles e) nuevs 0. Si el numeradr de una fracción aumenta en, la fracción resultante es /. Si disminuye el denminadr en 6, la fracción es /6. Cuál es la fracción inicial? a) / b) / c) -/ d) /6 e) -/ 0. La fracción b a dividida pr su inversa da pr 69 cciente entnces a + b será igual a : 96 a) b) c) d) e) 06. l mezclarse cucharadas de Pisc cn 8 de miel. Qué parte de la mezcla es Pisc? a) b) 0 c) d) e) 0. Si a una fracción prpia irreductible, se le aumenta una unidad, el numeradr aumenta en unidades. Cuál pdrá ser la suma de ls términs de la fracción riginal? a) b) c) 6 d) e) 8 08. Cuál es la fracción que dividida pr ls / de su inversa de pr cciente /? a) / b) 6/ c) / d) /8 e) / 09. Si a /8; b 9/, c /9 En qué rden deberían ser escritas las fraccines para que aparezcan rdenadas de menr a mayr? a) b,a,c b) a,b,c c) c,a,b d) a,c,b e) c,b,a 0. Un tejid pierde al lavarla /0 de su lngitud y /6av de su anch. veriguar Cuánts metrs de esta tela deben cmprar para btener después de lavarla 6,80m?. El anch primitiv de la tela 6/ de metr. a) 0m b) m c) 8m d) 0m e) m. ) ). Si : 0, a b + 0,ca + 0,bc,. El valr de a + b + c es: a) 8 b) c) d) e) 6. Hallar una fracción equivalente a 6/6, sabiend que el cuadrad de la suma de sus términs es: 6 Dar cm respuesta el términ mayr. a) 6 b) 96 c) 8 d) e) 89. Disminuir / en ls / de sus /. a) /9 b) /9 c) 0/ d) / e)8/. Que parte representa de 8 a) b) c) 8 d) 8 e) 6 ) ) Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm
. Se tiene un depósit cn una mezcla de 90 litrs de leche y 0 de agua. Si lueg se extraen litrs de mezcla y se remplaza pr agua. Cuánts litrs de leche hay en la nueva mezcla? a) 8 b) 80 c) 99 d) 8 e) 60, +, + 6,6 + 8,8 6. Lueg de simplificar: ) ) ) ), +, + 6,6 + 8,8 Resulta: a) 0,9 b),0 c) d) 0,99 e) 9. Cuál es la menr fracción irreductible mayr qué, tal que al sumar n veces el 0 denminadr al numeradr y n veces el numeradr al denminadr se btiene cm resultad? a) / b) / c) / d) / e) / 8. Calcular la fracción equivalente a 0,8 cuy numeradr esté cmprendid entre y 0 y su denminadr entre 8 y. 6 6 a) b) c) d) e) 9. En una fiesta bserva que cn ls / del vlumen de una btella de licr llena ls / de una cpa. En el bar sól hay btellas y él debe repartir cpas llenas Cuántas btellas le faltan para cumplir en su labr? a) 6 b) c) 8 d) 9 e) 0 0. Una piscina es alimentada pr grifs. El y el junts l llenan en 0 hras., el y l llenan en 8 hras. Finalmente el y l llenan en 6 hras. Cuánt demrará la primera llave en llenarla? a) hras. b) / hras. c) hras. d) / hra e) / hras.. Ds grifs llenan un estanque en hras y minuts. bierts separadamente el primer l llenará en ds hras mens que el segund. Cuántas hras tendrán el primer y segund cañ en llenar el tanque en frma independiente? a) y hras b) y hras Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN c) y hras d) y 6 hras e) 6 y hras. Ds llaves y llenan juntas un tanque en hras. Si el caudal de es el triple del caudal de. En qué tiemp se llenará el tanque utilizand sól la llave? a) 0 hrs. b) hrs. c) 0 hrs. d) 60 hrs. e) hrs.. Un grif llena un depósit en hras y tr l vacía en hras. En cuánt tiemp se llenará el depósit si se abren ambs grifs a la vez? a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 60 SISTEM DE NÚMEROS RELES.. NÚMEROS RELES El cnjunt de ls númers reales está frmad pr ls llamads númers naturales, Enters, Racinales e Irracinales. La característica, quizá la más imprtante, es pder representar cualquier númer real sbre una recta y a su vez, saber que cada punt de una recta puede ser designad pr un númer real. esta crrespndencia se le llama RELCIÓN IUNÍVOC prque para cada númer real hay un punt en la recta y para cada punt en la recta hay un númer real. Denminams númer real a: Td númer racinal (númer decimal finit númer decimal infinit periódic), y td númer irracinal (númer decimal infinit n periódic) Observacines: Dentarems el cnjunt de ls númers reales pr R Tenems que: R Q U I Q R, I R Q I φ. ximas de Igualdad de ls Númers Reales: Cnsiderems ls siguientes aximas de igualdad válids en td cnjunt numéric: a. Reflexividad: Para td númer real x : x x b. Simetría: Cualesquiera sean ls númers reales x e y : Si x y, entnces y x.
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN c. Transitividad: Cualesquiera sean ls númers reales x, y, z : Si x y y z entnces x z.. ximas de la dición y Multiplicación en R Veams ls númers reales cnfrmand un sistema; es decir, cm un cnjunt prvist de ds peracines (adición y multiplicación) y de una relación de rden ( ), que gzan de ciertas prpiedades básicas aximas, que admitirems cm verdaderas. De ls aximas se deducen demuestran tras prpiedades que denminarems teremas. l emplear un cnjunt de aximas para caracterizar ls númers reales cm sistema, decims que el sistema de ls númers reales es cnstruid siguiend el métd aximátic. Escribirems (R, +;.), cuand tengams que referirns al sistema algebraic de ls númers reales. C. ximas de la dición. La adición en R gza de la prpiedad de clausura: x + y esunnúmerreal. La adición en R es asciativa: ( x + y) + z x + ( y + z). Existe en R un element neutr aditiv 0 (el cer real) tal que: x + 0 0 + x x. Td númer real x admite un invers (aditiv) u puest x, que satisface: x + ( x) 0 x + x. La adición en R es cnmutativa: x + y y + x D. ximas de la Multiplicación M. La multiplicación en R gza de la prpiedad de clausura: xyesunnúmerreal M. La multiplicación en R es asciativa: ( xy ) z x ( yz ) M. Existe en R un element neutr multiplicativ (el un real, diferente de cer) tal que: x x x M. Td númer real n nul x admite un invers (multiplicativ) recíprc satisface: xx x x x M. La multiplicación en R es cnmutativa: xy yx E. xima de Distributividad que D. En R, la multiplicación es distributiva cn respect a la adición, es decir: x ( y + z) xy + xz.. ORDEN EN LOS NÚMEROS RELES. ximas de la Relación de Orden Ley de la Trictmía: Dads x, y R entnces, se cumple una slamente una de las relacines: x < y, x y ó y < x. Ley Transitiva: x, y, z R, se cumple que: Si x < y y < z x < z Si x < y entnces x+ z < y + z, para td z R Si x < y entnces 0 < z entnces: x.z < y.z Observación: El sistema de númers reales es rdenad cn respect a la relación (<), es decir: Si a y b sn númers reales cualesquiera, decims que:. a es menr que b, y escribims a < b, sib a es psitiv.. a es mayr que b, y escribims a > b, si b es menr que a... INTERVLOS Si a,b Є R sn tales que a b, llamarems Si interval abiert de extrem ayb al cnjunt de númers reales, que representams pr ] ab, [, y definims pr : ], b[ { x R : a x b} a < < Nótese que si a b, entnces ] a, b[ φ a, b R sn tales que a b, llamarems interval cerrad de extrems ayb al cnjunt de númers reales que representams pr [ ab, ], y se define pr [ a, b] { x R : a x b} Si [ a, b] { x R : a x b} sn tales que a b, llamarems: Interval abiert pr la izquierda de extrems ayb al cnjunt ] a, b[ { x R : a < x b} Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN Interval abiert pr la derecha de extrems ayb al cnjunt [ a, b[ { x R : a x < b} Interval infinit abiert pr la derecha en a ], a [ { x R : x < a} Interval infinit cerrad pr la derecha en a ], a[ { x R : x a} Interval infinit abiert pr la izquierda en a ] a, + [ { x R : x > a} Interval infinit cerrad pr la izquierda en a [ a, + [ { x R : x a} UTOEVLUCIÓN. Para qué valr de "x" se cumplirá a igualdad: 6 x + 9 9 a) b) 6 c) d)8 e) 9. Hallar el valr de "p x q" sabiend que la 9 fracción: + p + q a) b) c) d) e) 0. Se tiene: a). es un númer real. b).8008 es un númer racinal. c) Si a R +, entnces - a R + d) + es un númer irracinal. e) Si a, b R y 0 < a < b entnces /b >/a Indica cuáles sn verdaders: a) a,b y c b) a y b c) b,c y e d) c y e e) a, b y d d) 0 e) 8 6. Hallar el valr de "m" si ls númers racinales: ; + m Sn iguales ;m 0 a) b) c) d) e) 6. Un númer enter p se cmpne de ds dígits que sn de izquierda a derecha a y b respectivamente, entnces el invers aditiv de p es: a) 0a + b b) -0a + b c) 0b+ a d) -0a - b e) -0b a 8. Si m y n sn númers naturales impares, entnces es (sn) siempre un númer par: I. m + n II. m - n III. m.n IV. m + a) Sl I b) Sl II y IV c) Sl I y IV d) Sl III y IV e) I, II y IV 9. Si se duplica la expresión se btiene: a) b) 8 c) d) e) 6 0. Si n es un númer tal que n Є Z, entnces cuál(es) de las siguientes expresines representa(n) tres númers pares cnsecutivs? I. n, n +, n + II. n, n +, n + III. n, n, n a) Sl III b) I y II c) I y III d) II y III e) Tdas. Cuál de las siguientes expresines n es racinal?. Determinar el númer irracinal en: m + + + +... a) b) c) d) e) 8. Un alumn de la universidad perdió su carné y n se acrdaba su códig; per sl recrdaba que era de cifras divisibles pr 99 y además la primera y la última cifra eran iguales Cuál era el códig de dich alumn? Dar cm respuesta la suma de sus cifras. a) b) c) Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm a) 0/0 b) /6 c) 0. d) /- e) -/-(-00). Si m (/), p 8(/6) y q 6(/8), entnces cuál de las siguientes relacines es verdadera? a) m > p b) q > m c) p > m d) q > p e) m > q. Si a / y b /, entnces, es: a) / b) 6/ c)/6 d) 6 e). que es igual: + +
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN a) b) 6 c) d) 9 e) 6 6. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad se btiene: a) 0 b) - c) -/ d) e)/ 6. Un submarin de la flta naval, desciende a 0 metrs baj el nivel del mar y lueg asciende a 0 metrs. Entnces queda a una prfundidad de: a) 0 m baj el nivel del mar b) 0 m sbre el nivel del mar c) 0 m sbre el nivel del mar d) 0 m baj el nivel del mar. e) Queda sbre el nivel del mar.. Cn cuánts litrs de agua se llenarían btellas de / de litrs: a) 9 b) 0 c) d) 6 e) 8. Hallar el valr de: W + + + a) 9 b) 8 c) d) 6 e) 9. Simplificar: P x + x y ( x y ) y. a) y b) 0 c) - d) e) x x y RZONES Y PROPORCIONES RZÓN Es el resultad que se btiene al cmpararse ds cantidades hmgéneas mediante una determinada peración. Si la cmparación se realiza mediante una diferencia, la razón se denmina Razón ritmética(r.) Es decir: ntecedente - cnsecuente R.. Si la cmparación se realiza mediante un división, la razón es denminada Razón Gemétrica Es decir: ntecedente Cnsecuente R.G En general: dnde : r a a - b r g a b r a : Razón ritmética r g : Razón Gemétrica a : antecedente b : cnsecuente PROPORCIÓN Es la relación de igualdad que se establece entre ds raznes hmgéneas. Si la relación de igualdad se establece entre ds raznes aritméticas se llama Prprción ritmética. Si la relación de igualdad se establece entre raznes gemétricas se llama Prprción Gemétrica. En general: P. ritmética: a - b c - d Dnde: a y c : antecedentes b y d : cnsecuentes Dnde: P. Gemétrica: a c b d b y c : términs medis a y d : términs extrems. CLSES DE PROPORCIÓN RITMÉTIC P.. Discreta: quella en la que sus términs sn númers diferentes. a - b c - d Cada términ es cuarta diferencial de ls demás. sí: d : cuarta diferencial de a, b y c Cuarta diferencial: d ( b + c) a P.. Cntinua: quella en la que sus términs medis sn númers iguales. a - b b - c Cada términ igual es media diferencial de ls demás. Cada términ diferente es tercera diferencial Entnces: b : media diferencial de a y c Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN c : tercia diferencial de a y b Media diferencial ritmética: a + c b Tercera Tercia diferencial: c b - a CLSES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICS P.G. Discreta: quella en la que sus términs sn diferentes: a b c d Cada términ es cuarta prprcinal de las demás. d : cuarta prprcinal de a, b y c 8 + 8 +.- Si 8 8 + 8 +.- Si 8 8 8.- Si + + 8 8 8.- Si 8 8 + 8 8 6.- Si + 8 8 8.- Si SERIE DE RZONES GEOMÉTRICS EQUIVLENTES Se denmina así al cnjunt de más de raznes que tienen el mism valr. Cuarta prprcinal: bc d a Ejempl: 6 0, 8 P. G. Cntinúa: quella en la que ls términs medis sn númers iguales. a b b c Cada términ igual es media prprcinal de ls trs ds, cada términ diferente es tercera prprcinal de ls demás. Lueg: b : media prprcinal de a y c c : tercera prprcinal de a y b Media Prprcinal Gemétrica: b ac Tercera Tercia Prprcinal: Ejempl: 6 8 k...(i), 6 9 PROPIEDDES: k Dada una serie de Raznes Equivalentes cm (I) entnces: Prpiedad: + + 6 + 8 Ejempl: k + 6 + 9 + Prpiedad: x x6x8 Ejempl: k x6x9x 6 8 c b a UTOEVLUCIÓN PROPIEDDES 8 ± 8 ±.- Si Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm La suma del antecedente y cnsecuente de una razón gemétrica es 0 y su razón es 0.. Cuál es la semidiferencia de dichs númers? a) 0 b) 0 c) 0 d) 80 e) 60
Se tiene ds terrens, un en frma cuadrada y el tr en frma de triángul equiláter. Si el lad del primer terren es al lad del segund cm a, la razón entre las áreas es: a) 00 b) 00 c) 0 d) 00 e)/ Ls númers a, b y c sn entre sí cm, y. Hallar el menr númer, sabiend que: a + b + c a) b) 8 c) d) 6 e) Ds númers enters "x", y sn prprcinales respectivamente a y, y satisfacen la siguiente relación: x + y - xy 88. Lueg la diferencia "y -x", es: a) 9 b) c) 6 d) e) En un crral se tienen vejas y gallinas, la razón de vejas a gallinas es de a. Si el ttal de animales es de 80, el númer de vejas es: a) 60 b) 00 c) 0 d) 80 e) 0 6 Ds númers sn entre sí cm es a. Si al menr se le suma 0, para que el valr de la razón n se altere, el valr del tr númer debe quintuplicarse. El menr de ls ds númers es: a) 0 b) 0 c) d) 0 e) 6 De un grup de hmbres y mujeres se retiran 0 mujeres quedand tres hmbres pr cada mujer. Después se retiran 0 hmbres y quedan entnces ds mujeres pr cada hmbre. El númer ttal de hmbres y mujeres al cmienz era igual a : a) 0 b) 00 c) 90 d) 80 e) 0 8 La razón de las estaturas de Paquit y Vicentit están en la razón de es a. Per Paquit le cmenta a Vicentit mi padre fue tan baj que mide exactamente cms mens que Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN un metr y medi y además 0cms más que tú. Cuál es la estatura del gran Paquit (en metrs)? a),88 b),60 c), d),8 e),80 9 Cuál es la mayr de las tres partes en que se divide 0, de tal manera que la primera sea a la segunda cm es a y la segunda sea a la tercera cm es a? a) 80 b) 8 c) 90 d) 00 e) 9 0 La razón aritmética de ds númers es / y su razón gemétrica es igual a /. El mayr de ls númers es : a) d) 8 b) e) 6 El númer de alumns del curs de Álgebra es al númer de alumns del curs de Literatura cm es a ; si después de la primera evaluación en el curs de Álgebra se retirarn 80 alumns, la nueva relación es de a. Cuál es el númer de alumns que iniciarn el curs de Álgebra? a) 9 b) 9 c) 9 d) 9 e) 89 El prduct de ls términs extrems de una prpsición gemétrica es 6 y la suma de ls términs medis es. Cuál es la diferencia entre ls términs medis? a) 0 b) c) d) e) una fiesta asisten 00 persnas entre hmbres y mujeres. El númer de hmbres es al ttal de persnas cm es a. Lueg de hras pr cada hmbres hay una mujer. Cuántas parejas se retirarn? a) 0 b) 80 c) 80 d) 90 e) 60 Determine la cuarta prprcinal de: La tercera diferencial de y. La tercera prprcinal de y 6, y la cuarta diferencial de ; y a) 8 b) 9 c) 6 d) e) c)
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN Las psibilidades de ingresar a la Universidad sn de a 0. Si se aumentan en 0 el númer de vacantes, las psibilidades de ingresar sn de a 9. Si lueg se inscriben 000 pstulantes más. Cuáles serán las psibilidades de ingres ahra? a) d) b) 9 e) 0 c) 9 6 La edad de y sn entre sí cm es a ; la razón entre las edades de y C es /. SI la suma de las edades de las tres persnas es 6. Hallar la diferencia entre la edad del mayr y la del menr. a) 8 b) 9 c) 6 d) e) 8 La suma de tres númers es. La razón del primer y el segund es / y la diferencia de ls misms es 600. Cuáles sn ls tres númers? a) 8; y b) 8; y c) 6; y d) 8; y e) 6; y 8 El prduct de ls cuatr términs de una prprción gemétrica es 66 y la diferencia de ls medis es. Hallar la suma de ls medis. Hallar: N + + T + Y a) 0 b) 60 c) 8 d) 80 e) 60 Si m es la media prprcinal de 9 y ; n es la cuarta prprcinal de 8, m y. Hallar: m + n a) b) c) d) 6 e) x y Z Si:. demás: 9y x z 99 8 6 Hallar: x + y + z a) b) c) d) 6 e) La edad de y sn entre sí cm es a. La razón entre las edades de y C es /. Si la suma de las edades de las tres persnas es 6. Halla la diferencia entre el mayr y el menr. a) b) c) 8 d) e) La suma de tres númers es 0 y ds de ells están a la relación de a 8. Si su suma es 8. Cuál es el menr númer? a) b) c) 9 d) 0 e) 00 a) b) c) 6 d) e) 8 9 En una prprción gemétrica, la suma de ls cuadrads de sus cuatr términs es. Si la suma de ls extrems es y la suma de ls medis es 9. Hallar diferencia entre ls extrems. a) b) 0 c) d) 9 e) 6 0 Sabiend que: a b c m n p y además: (a+b+c). (m+n+p) Calcular: T 6 ( am + bn + cp ) a) 0 b) 60 c) 60 d) 0 e) 00 Si: N 9 N T Y T Y Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm CONJUNTOS Cnsiderems el siguiente ejempl: C { ; ; {,} ; ; { 6 } Entnces: Ntación: C Relación de pertenencia: C 8 C {; } C C 6 C Cardinal de un cnjunt: n(c). DETERMINCION DE UN CONJUNTO. Pr Cmprensión de frma cnstructiva: Ejempl: {x/x es un númer natural par menr que }
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN {x/x es una vcal abierta} C {x/x N < x }. Pr extensión de frma tabular: Ejempl: Desarrlland ls cnjunts que están escrits arriba pr cmprensión serán escrits pr extensión así: {0; ; ; 6; 8; 0; ; } {a, e, } C {, 6, } Observación: N tds ls cnjunts se pueden determinar pr cmprensión y extensión a la vez. Ejempl: F { ; ;; ; 9} Pr cmprensión, tenems: { + n / n Z, 0 n } F <. CLSES DE CONJUNTO POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS: a) Vací Nul: se denta pr: Φ ó {} Ejempl: {x N/ < x < 6} Desarrlland pr extensión será: {} Φ b) Unitari Singletón: Ejempl: G {x Z / - < x < - } Desarrlland pr extensión será: G {-} c) Universal: (U) Ejempl: U U {- - ; ; ; ; ; ;,} (Cnjunt Universal) N { ; } Z {- - ; ; } Q {- - ; ; ; ; } Q* { } d) Finit e) Infinit M {x/x es una ciudad del Perú} K {x/x es un númer natural} POR L RELCIÓN ENTRE LOS CONJUNTOS a) Disjunts: Ds cnjunts sn disjunts cuand n tienen ningún element cmún. Su gráfica es: Ejempl: Φ {; ; ; 6} {; 8; 6; } Entnces: Φ b) Diferentes: quells que, teniend distints elements tienen pr l mens un element cmún (per n tds). Su gráfica es: Φ C - N Z Q ½ -/ R, Q* Ejempl: {; ; 6} {; 8; 6} Entnces: {} Φ c) Cmparables: Ds cnjunts y sn cmparables si y sl si ó. Su gráfica es: Dnde: Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN Ejempl: Entnces: {; } {; ; ; 8} d) Equiptentes Equivalentes: Cuand entre sus elements puede establecerse una crrespndencia biunívca. (tienen el mism númer de elements) Ejempl: {, 6, 8, 9} {m, b, g, k} Entnces: n() n() Lueg: y sn Cnjunts equivalentes. CONJUNTO ESPECILES Cnjunt de Cnjunts: También se le denmina "Familia de Cnjunts" y es aquel cnjunt cuys elements sn tds cnjunts: Ejempl: {{}, {, }, {6, }} Cnjunt Ptencia: Se llama cnjunt ptencia de ( cnjunt de partes de ) al cnjunt frmad pr tds ls subcnjunts de. Se le denta pr: P() El númer de elements de P() está dad pr: n, dnde "n" representa el númer de elements del cnjunt. Es decir: Ejempl: n[p()] n() Si: {, } y n() elements n [P()] n() Lueg: P() {Φ, {}, {}, {, }}. RELCIONES ENTRE CONJUNTOS Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm Relación de Inclusión: Es la relación que existe entre ds cnjunts: Se dice que "El cnjunt está incluid en el cnjunt (Se denta ), cuand td element que pertenece al cnjunt también pertenece al cnjunt. Es decir: x, x x Númer de subcnjunts de : n[p()] n() Ejempl: Si: {; ; } y n() elements Númer de subcnjunts de : n [P()] n() 8 y P() {Φ, {},{}, {}, {, } {,}, {, }{,, }} Observación: Subcnjunt Prpi: Se dice que es subcnjunt prpi de si y sl si. y. Númer de subcnjunts prpis de : n() - Relación de Igualdad: Intuitivamente ds cnjunts y sn iguales cuand tienen ls misms elements. Es decir: Ejempl: Sean: {; ; } {x/x N 0 < x } Desarrlland pr extensión al cnjunt se tiene: {; ; } Lueg OPERCIONES ENTRE CONJUNTOS. Unión Reunión ( ): {x/x ó x }
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN Ejempl: Si: {; ; } y {; ; } Lueg: {; ; ; ; } Prpiedades. a) b) c) ( ) d) Φ e) ( ) f) U U dnde U Cnjunt Universal. Intersección ( ): {x/x x } - - Φ Observación: - Φ -. Diferencia Simétrica ( ): {x/x ó x ; x ( )} También: (-) (-) ( ) - ( ) Ejempl: Si {; ; } y {; ; } Lueg: { }. Diferencia (-): Es aquel cnjunt cuys elements pertenecen a "" per n al cnjunt "". Es decir: - {x/x x } Ejempl: Si {; ; } y {; ; } Lueg: - {; } Prpiedades: a) - - b) - Φ c) (-) d) - Φ e) (-) f) Φ - Φ h) (-) ( ) Gráficamente se tiene: Ejempl: Si: {; ; } y {; ; } Lueg: { ; ; ; } Prpiedades: a) Φ b) Φ c) d) Si: y sn cnjunts disjunts, entnces e) Si: está incluida en, entnces: -. Cmplement (') (º): ' {x/x U x } - - - - Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm ' '
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN Ejempl: Si {; ; } y U {; ; ; ; } Lueg: ' { ; } Prpiedades: a) ' U b) ' Φ c) (')' d) Φ' U Leyes de Mrgan: ( )' ' ' ( )' ' ' Observación: Tres cnjunts, y C que en un diagrama de Venn se representan secantes, mutuamente quedan dividids en siete regines. El númer de elements de cada región de dichs cnjunts puede calcularse del md siguiente: Tenems x + x + x + x 80 9x 80 x 0 Entnces: Sól Matemática llevan: x 80 alumns. Qué representa la región smbreada? a) ( - ) ( - C) b) ( C) c) ( - ) ( C) d) (C ) UTOEVLUCIÓN Sól n n() n( C) Sól n n() n( C) Sól C n n(c) n( ) Sól y C n n( C) n(). Dads ls cnjunts {; ; } Sól y n n( ) n(c) Sól y C n 6 n( C) n(), y C en cnjunt n n( C) ni, ni ni C n 8 n(u) n( C) {; ; } C { ; ; ; }. Determine la validez V ó falsedad F de las siguientes prpsicines: i) C ii) [ ( C) ( - )] iii) C ( ) N 8 EJEMPLOS DE PLICCIÓN. De 80 alumns de la U.M. el númer de ls que estudian Matemática es el dble de ls que estudian Lenguaje. El númer de alumns que estudian ambs curss a la vez es el dble de ls que estudian sl lenguaje e igual a ls que n estudian alguns de ess curss Cuánts alumns estudian sól Matemática? Slución: U(80) a) FVV b) FFV c) VVV d) VFV e) FVF. Sean ls elements : {; ; }; {; ; 6} y C {; ; ; } Determinar el númer de elements de P si: P [(C ) (C )] [(-) (-C)] a) b) c) d) e). Sean: U {; ; ;...} {x / x U x } M L x y + / y Z + C / Z x Cuánts elements tiene P(C)? x x a)8 b) 6 c) 0 d) e) Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN. Para ds cnjunts M y N se cumple que: n(m N) 8, además: n[p(m)] + n[p(n)]60. Determine n[p(m N)] a) b) c) 6 d) e) 8. Dads ls cnjunts y que cumplen: n( ) ; n( ) y n( U ). Calcular: [n ( )] [n( )] a) b) c) d) e) N.. 6. Si un cnjunt tiene 09 subcnjunts prpis. Cuánts elements tiene dich cnjunt? a) 0 b) c) d) e). Siend y ds cnjunts, tales que: n( ) ; n( ) ; n( ). Hallar: [n()] [n()] n( ) a) b) c) d) 8 e) 0 8. l determinar pr cmprensión el cnjunt : P {, /, /, /, /} Se btiene: a) {/ (n-) / n N, < n } b) {/ (n ) / n z +, n } c) {/(n-) / n z +, n } d) {/(n+) / n N, n } e) {/(n-) / n N, n < } 9. Hallar (b + c) a. Si a, b y c se btienen de ls cnjunts iguales : {a + ; a} {a ; a} C {; b + c} a) 9 b) 8 c) 8 d) e) 8, 8. y sn cnjunts finits y se sabe que : n( ) ; n( ) ; n[p( )] 6 + n[p( )]. Hallar n(). a) b) c) 6 d) e) 9. Sean, y C cnjunts tales que: C; C ; n( ) 0; n( ) 90; n() n() + 0 ; n(c) 0. Determinar : n [(C ) ( )] a) b) 0 c) d) 0 e) 6 Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm 0. En una encuesta realizada a un grup de 00 estudiantes, se btuv 8 estudian inglés, 0 alemán, francés, 8 alemán e inglés, 0 francés e inglés, francés y alemán; ls idimas. Cuánts sl estudian idimas? a) b) c) d) 0 e) 8. De un grup de estudiantes que rindiern exámenes ls resultads fuern:0 aprbarn Matemática y Física; 0 aprbarn Matemática y Química; 09 aprbarn Química y Física, aprbarn Matemática; 9 aprbarn Física; 8 aprbarn Química y aprbarn ls curss. Cuánts alumns rindiern exámenes? y Cuánts aprbarn sól curs? a) y b) y 0 c) y d) y e) y ningun. Del ttal de damas de una ficina, / sn mrenas, / tienen js azules y /6 sn mrenas cn js azules. Qué fracción n sn ni mrenas, ni tienen js azules? a) 9/0 b) /0 c) / d) /6 e) /. Se tiene cnjunts cmparables y ls cuales tienen un elements más que el tr, el númer de sus cnjunts ptencias difieren en 8. Calcular el cardinal de la unión de ambs cnjunts. a)8 b) c)0 d) e). Un club de deprtes tiene 8 frntistas, pimpnistas y 0 tenistas. Si el númer ttal de jugadres es 8 y sl de ells practican ls deprtes. Cuánts jugadres practican slamente un deprte? a) b) c) d) e) 6 6. qué peración de cnjunts crrespnde el siguiente gráfic? a) ( C) b) ( ) C c) ( C)
CURSO TLLER: DESRROLL TU EXMEN d) ( C) e) ( C) C. Cuál es la expresión que representa a la zna smbreada? a) ( ) C C b) ( ) - C c) ( ) C d) ( C) e) ( C) 8. Qué relación cnjuntista expresa mejr la siguiente región smbreada? a) ( ) ( C) b) ( - C) ( - C) C c) ( ) C d) ( C) e) ( C ) 6. De un grup de 60 persnas, ls que leen El Cmerci y La República sn: / de ls que leen El Cmerci / de ls que leen L República Si n leen ests diaris Cuánts leen sl El Cmerci? a) b) c) 6 d) e) 0.. De un grup de 6 invitads a una fiesta, se sabe que 8 sn argentins, 8 peruans y 9 sn músics. De ls músics n sn, ni argentins, ni peruans, además sn músics peruans. Cuánts de ls artistas n sn peruans? a) b) c) d) e) 8. En un grup de 0 persnas, saben inglés, 6 castellan, alemán, 6 inglés y castellan, 9 castellan y alemán y inglés y alemán. Cuánts saben ls idimas? a) b) c) d) e) Walter Orland Gnzales Caiced www.gncaiw.wrdpress.cm