UNIVERSIDAD DE VALENCIA DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA FINANCIERA Y ACTUARIAL Asigatura: 1141 MATEMÁTICA FINANCIERA NOTAS DEL TEMA 1 CURSO ACADÉMICO 008-009
TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales) quedado obligado el que lo recibe a devolver, e el plazo acordado, el capital prestado más ua cuatía -deomiada iterés- que represetará el precio por haber dispuesto del mismo durate dicho plazo. El iterés puede defiirse como: la cuatía, expresada e uidades moetarias, que será ecesario pagar por dispoer de capitales ajeos durate u determiado período de tiempo. El iterés depederá del importe del capital dispuesto y del itervalo de tiempo durate el cual se dispoe de dicho capital. Capital fiaciero es: La medida de u bie ecoómico referida al mometo de su dispoibilidad, vecimieto o etrega. Es ua magitud bidimesioal (C, t) dode C represeta la cuatía de dicho capital que se suele expresar e uidades moetarias (euros, dólares, etc.) y t el mometo del tiempo e el que es dispoible, co C R + y t R. Formas de represetar los capitales fiacieros.. LEYES FINANCIERAS. Dado u capital (C, t), la ley fiaciera es la expresió matemática que permite obteer, e u mometo t, la cuatía equivalete C+I, o e u mometo t 0, la cuatía equivalete C-D del capital al que se reucia. E la práctica se utiliza fudametalmete tres leyes, la ley de capitalizació simple, la ley de capitalizació compuesta y la ley de descueto simple comercial..1.) Ley de capitalizació simple. E este criterio, el iterés I que se pagará por dispoer de u capital de cuatía C por u período de tiempo dado, =t -t, se determia de forma proporcioal al capital dispuesto y a la amplitud del período. Esto es: I = C i = C i (t - t) [1.] Siedo i el tipo de iterés o precio a pagar al fial del período por uidad de capital y uidad de tiempo expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. Problema 1. Cuál sería el iterés, calculado e capitalizació simple, correspodiete a la disposició de u capital de 6.000 durate dos años y utilizado u tipo de iterés aual del 4,00%? De esta forma, la cuatía que se recibirá al fial de período, C, tedrá la siguiete expresió: A partir de [] la expresió de la ley de capitalizació simple será: Represetació gráfica. C = C + I = C + C i = C (1 + i ) [.] L(t; t )= (1+ i ), de forma que C = C (1+ i ) = C L(t; t ) [3.]
E la práctica, el parámetro i suele expresarse e térmios auales por lo que el tiempo,, se expresará e años o fracció de años. Esto es, k k L(t; t ) (1 i ) 1 i, co = [4.] m m dode: m = fraccioamieto, es decir, el úmero atural que represeta los subperiodos de igual amplitud e que se ha dividido el año (m=1 meses, m=4 trimestres, m=365 días, etc.) k = úmero de subperíodos compredidos etre t y t. Problema. Cuál sería el capital, calculado co capitalizació simple, que se recibiría al fial del periodo si se prestara u capital de 5.000 durate 180 días a u tipo de iterés aual del 4,00%? Y si el período fuera de 3 meses?..) Ley de capitalizació compuesta. Si se aplica la expresió aterior, la cuatía que se obtedría por pospoer la disposició del capital períodos sería: C C L(t; t ) C 1 i [5.] Si embargo, podría platearse ua alterativa a esta situació dividiedo la duració total del período e subperiodos y plateado la misma operativa para cada uo de ellos, pero reivirtiedo los capitales obteidos al fial de cada periodo por u periodo más. Así, 1º período (amplitud 1) C1 C( 1 i 1) º período (amplitud 1) C C ( 1 i 1) C ( 1 i 1)( 1 i 1) C i 1 1... período (amplitud 1) C C ( 1 i 1) C ( 1 i 1)( 1 i 1)...( 1 i 1) C ( 1 i) 1 [6.] siedo i el tipo de iterés, expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. A la ley resultate se le deomia capitalizació compuesta y su expresió es: L(t; t ) 1 i y, por tato, C C (1 i) C L(t; t ) [7.] E la práctica, el parámetro i suele expresarse e térmios auales por lo que el tiempo,, se expresará e años o fracció de años: L(t;t k / m 1 i 1 i ), co = k m [8.] dode: m = fraccioamieto k = úmero de subperiodos compredidos etre t y t. Problema 3: Cuál sería el capital, calculado co capitalizació compuesta, que se recibiría al fial del periodo si se prestara u capital de 5.000 durate 180 días a u tipo de iterés aual del 4,00%? Y si el período fuera de 3 meses? Por otra parte, los itereses se obtedría de la expresió: ( 3 k/m I C C C 1 i) 1 y si k / m 1 I C i [9.]
Problema 4: Cuál sería el iterés, calculado e capitalizació compuesta, correspodiete a la disposició de u capital de 5.000 durate 3 años utilizado u tipo de iterés aual del 4,00%? Y e el caso de u periodo de tres meses utilizado u tipo de iterés trimestral del 1%? Como puede observarse, la idea fudametal de la capitalizació compuesta es la de que los itereses geere, a su vez, itereses. La utilizació de este criterio supodría el mismo resultado que la aplicació de la ley de capitalizació simple de forma sucesiva, reivirtiedo cada vez los capitales geerados e el periodo aterior..3) Comparació de las leyes de capitalizació simple y capitalizació compuesta. Represetació gráfica. Ejemplo 5: Obtégase los itereses por periodo y acumulados, co ua ley de capitalizació simple y co ua ley de capitalizació compuesta, cosiderado u capital de 1.000 y u tipo de iterés aual del 6%..4) Ley de descueto simple. E ocasioes, la operació fiaciera se cocibe como el aboo e el mometo actual de ua catidad coocida que debería recibirse e u mometo futuro. El precio o recompesa se deomia descueto (e lugar de iterés) y la ley fiaciera más utilizada es la coocida como ley de descueto simple comercial. D C d [10.] siedo d el tipo de descueto o precio a pagar al iicio del período por uidad de capital y uidad de tiempo, expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. Problema 6: Cuál sería el descueto que se produciría, utilizado la ley de descueto simple comercial, si se adelatase dos meses la dispoibilidad de la paga extra de Navidad, sabiedo que su importe es de.500 y que el tipo de descueto es del 0,50% mesual? Por tato, la cuatía C 0 que se recibiría al iicio del período, se obtedría de la siguiete expresió: C 0 C D C Cd C 1 d [11.] La expresió de la ley de descueto simple comercial es: A(t; t 0 ) 1 d co t t y, por tato: C A(t; t ) [1.] Represetació gráfica. 0 C0 0 E la práctica el parámetro d suele expresase e térmios auales por lo que el tiempo,, se expresará e años o fracció de años. Esto es: dode: m= fraccioamieto, k = Número de subperiodos compredidos etre t 0 y t. k A(t;t 0 ) 1 d, co = m k m [13.] Problema 7: Cuál sería el capital, calculado co descueto simple comercial, que se recibiría al iicio del período si se procede a descotar u capital de 6.000 a u tipo de descueto aual del 6% durate 90 días? y si el período fuera de 6 meses? 4
3. EQUIVALENCIA FINANCIERA. 04/0/009 Si al comparar dos capitales fiacieros (C 1, t 1) y (C, t ) ua o ambas variables so iguales, el criterio de elecció es secillo y totalmete ituitivo: Si t y C C (C, t ) (C, t ), el º capital es preferible al 1º. t1 1 1 1 Si t y C C (C, t ) (C, t ), el 1º es preferible al º. t 1 1 1 1 t t y C C (C, t ) (C, t 1 1 1 1 t t y C C (C, t ) ~ (C, 1 1 1 1 t Si ), el 1º es preferible al º. Si ), so idiferetes Pero, si 1 t t y C 1 < C? El pricipio de preferecia por la liquidez, tambié llamado pricipio de la subestimació de las ecesidades futuras, recoge el hecho de que los agetes ecoómicos prefiera cosumir u bie ecoómico hoy que diferir su cosumo e el tiempo o, e otras palabras, que ua uidad moetaria dispoible hoy será más valiosa, esto es, será preferida a ua uidad moetaria dispoible e el futuro. Dos capitales fiacieros co distito vecimieto será fiacieramete equivaletes (o idiferetes desde el puto de vista fiaciero) siempre y cuado el de vecimieto más alejado e el tiempo sea de mayor cuatía, y, como se ha visto e los epígrafes ateriores, la diferecia etre ambos capitales coicida co lo que se ha deomiado iterés, obteido, a su vez, mediate la aplicació de la ley fiaciera. Matemáticamete: (C 1, t 1) ~ (C, t ) C C 1 = I, co t 1 < t [14.] sabiedo que: C = C 1 L(t 1; t ) [15.] * Líea de idiferecia fiaciera. La equivalecia fiaciera de capitales es u cocepto relativo, que depederá de la ley utilizada. Problema 8: Utilizado la ley de capitalizació compuesta y la ley de capitalizació simple, ambas co u tipo de iterés del 3,75% aual, obtégase el capital equivalete el 15/05/03 de los siguietes capitales fiacieros: (47.500, 15/1/001), (48.013, 15/03/003). 4. SUMA FINANCIERA. El capital suma fiaciera se defie como el capital fiaciero (S,), cuya cuatía S es suma aritmética de las cuatías equivaletes e a las cuatías de los capitales sumados. Dados los capitales fiacieros (C 1, t 1) y (C, t ) y supoiedo que > t > t 1, el capital fiaciero se determia: Represetació gráfica. S = C 1 L(t 1; ) + C L(t ; ) [16.] E el supuesto de que exista m capitales sumados, (C 1, t 1), (C, t ),..., (C m, t m) y supoiedo que > t m > >t >t 1, el capital fiaciero se determia: Todo ello e el caso de ua ley de capitalizació. S C L (t ; ) C L (t ; )... C L (t ; ) [17.] 1 1 m m 5
La defiició del capital suma fiaciera permite exteder el cocepto de equivalecia fiaciera etre capitales a equivalecia fiaciera etre cojutos de capitales y así, se dice que dos cojutos de capitales so equivaletes, e base a ua Ley fiaciera, cuado e u mismo mometo tiee el mismo capital suma fiaciera. Problema 9: A) Dado el siguiete cojuto de capitales: ( 5.000, t 1)(.000, t 3) t t, obtégase su suma fiaciera e t+4 co la ley fiaciera: L(t; t ) (1 0,05). B)Determíese cuáto debe valer X para que el cojuto de capitales del apartado A sea equivalete al t t cojuto: ( 1.000, t ) (3.500, t 3) (X, t 4), co la ley L(t; t ) (1 0,05). Cómo se puede sumar capitales si e el caso de ua ley de capitalizació el vecimieto del capital suma o cumple que > t m > >t >t 1? Hay dos formas de resolver este problema: Utilizado el factor fiaciero, que se estudiará e el tema. Se platea la ecuació e el mometo dode veza el último capital y a cotiuació se despeja la cuatía del capital suma. Represetació gráfica. 5. OPERACIÓN FINANCIERA A partir de los coceptos ateriores, se puede defiir operació fiaciera como el itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado ete dos agetes ecoómicos de forma que se verifique la equivalecia e base a ua ley fiaciera etre los capitales etregados por uo y otro. La parte que etrega el primer capital de la operació se deomia prestamista y la parte que lo recibe prestatario. Asimismo, el cojuto de capitales que etrega el prestamista se llama prestació y el que etrega el prestatario cotraprestació. Problema 10: Determie si las siguietes operacioes so operacioes fiacieras o o: a) U idividuo compra 10 kilos de patatas e el mercado el 10-1-004 y paga e ese mometo 3 euros. b) Ua persoa etrega a u amigo 1.000 euros y su amigo le devuelve al cabo de u año 1.000 euros. c) Dos persoas itercambia de mutuo acuerdo los dos cojutos de capitales siguietes que e base a ua ley fiaciera so equivaletes: {( 5.000, 15/ / 004); (.000, 17 / 06 / 006)} {( 4.000, 10 / 8 / 004); (3.00, 7 /1 / 005)} d) U gobiero expropia 0 hectáreas de terreo a u agricultor el 8-1-004, siedo su precio e el mercado 300.000 euros. Al cabo de u año dicho gobiero le etrega 30.000 euros para compesarle de la expropiació. 6
CUESTIONES TEÓRICAS TEMA 1 1.- Dados los capitales fiacieros (C 1, t 1), (C, t ), y la ley fiaciera L(t; t ), platee RAZONADAMENTE la expresió matemática que permite obteer la cuatía del capital suma fiaciera (S, ), siedo t 1 < < t..- Obtega razoadamete la expresió de la Ley de capitalizació compuesta a partir de la de capitalizació simple. 3.- Defia y represete gráficamete el cocepto de dos capitales fiacieramete equivaletes co idepedecia de la ley fiaciera utilizada. 4.- Similitudes y diferecias etre Iterés y Descueto. 5.- Sería posible pagar la cuatía de Iterés por aticipado e ua operació fiaciera valorada co la ley de capitalizació compuesta? Cuál sería su expresió y represetació gráfica? 6.- Sería posible pagar la cuatía del Descueto diferido e ua operació fiaciera valorada co la ley de descueto simple? Cuál sería su expresió y represetació gráfica? 7.- E la siguiete expresió: I C C C ( 1 i) 1 explique e iterprete RAZONADAMENTE qué ocurre si C=1 y =1. 8.- Dados dos capitales fiacieramete equivaletes (C 1, t 1) y (C, t ), e capitalizació compuesta, obtega RAZONADAMENTE el valor del parámetro i de la ley de capitalizació compuesta. 9.- Si el tipo de iterés al que se ivierte C uidades moetarias durate años es el doble e la etidad A que e la etidad B, qué ocurre co el Iterés si se valora co la ley de capitalizació simple? Y si se valora co la de capitalizació compuesta? 10.- Si la duració de ua operació fiaciera e la que se ivierte C uidades moetarias a u tipo de iterés i es el doble e la etidad A que e la etidad B, qué ocurre co el Iterés si se valora co la ley de capitalizació simple? Y si se valora co la de capitalizació compuesta? 7