Cpítulo 2 Espcios normdos 2.1. Introducción Hbímos visto en el cpítulo nterior que en los espcios de prehilbertinos se podí definir un norm trvés del producto esclr por l fórmul x = (x y) 1/2, y que ést cumplí uns propieddes. En prticulr, tles propieddes servín pr introducir un noción de distnci nturl en dicho espcio, y por tnto un topologí y un noción de convergenci. Como veremos en lgunos ejemplos, en espcios sin producto esclr tmbién puede definirse un norm con ls misms propieddes. Ello conduce l noción de espcio normdo y, en cso de hber completitud, l concepto de espcio de Bnch. En este cpítulo se estudirá l estructur de los espcios normdos, l crcterizción de ls norms que conducen un mism topologí, sí como de l continuidd de plicciones lineles entre espcios normdos y de ls norms que provienen de un producto esclr, y ls profunds diferencis existentes entre los espcios normdos de dimensión finit y los de dimensión infinit.
2 Luis Bernl González y Tomás Domínguez Benvides 2.2. Espcios normdos y espcios de Bnch Comencemos con l definición de norm, que xiomtiz lguns propieddes de l norm cudrátic. En principio, el cuerpo bse de nuestro espcios vectoriles será R, unque l myorí de los resultdos que es expondrán son válidos tmbién en espcios vectoriles complejos. Definición 2.2.1. Se X un espcio vectoril. Decimos que un función : X R es un norm sobre X si verific, pr todos los vectores x, y X y todo esclr λ, ls siguientes propieddes: () x 0 (b) x = 0 si y sólo si x = 0 (c) λx = λ x (d) x + y x + y. Llmremos espcio normdo un espcio vectoril dotdo de un norm. Ejemplos 2.2.2. 1. Todo espcio prehilbertino, con l norm cudrátic, es un espcio normdo. Por ejemplo, R n, dotdo de l norm x 2 := ( n x2 i ) 1/2, donde x = (x 1,..., x n ), es un espcio normdo. 2. L plicción x := mx{ x 1,..., x n } es un norm sobre R n. 3. Asimismo, lo es x 1 := n x i. Que son norms sobre R n est función y l del ejemplo nterior es fácil de probr. 4. Se p (1, + ). Pr cd x = (x 1,..., x n ) R n, definimos x p := ( n x i p ) 1/p. Vemos que es un norm. Pr ello necesitmos un resultdo de convexidd, sber, pr cd α (0, 1), l función ϕ : t (0, + ) t α R es cóncv. En efecto, ϕ (t) = α(α 1)t α 2 < 0. Por tnto, l curv que represent ϕ está por debjo de su tngente en el punto t 0 = 1, es decir, t α αt + 1 α pr todo t > 0. Si ponemos t = u/v, con u, v > 0, result u α v 1 α αu + (1 α)v (u, v > 0). (1)
Espcios normdos 3 Ahor probmos l desiguldd de Hölder, sber, si q es el exponente conjugdo o exponente dul de p, es decir, el único q > 1 tl que 1 p + 1 q = 1, entonces, pr todos los números reles x 1,..., x n, y 1,..., y n, se tiene ( ) 1/p ( ) 1/q x i y i x i p y i q. Si todos los x i o todos los y i son nulos, l desiguldd es obvi. Si éste no es el cso, tomemos α = 1/p, u = u i = x i p n k=1 x i p, v = v i = y i p n k=1 y i p (i = 1,..., n) en l expresión (1), y sumemos pr i {1,..., n}. Obtenemos sí x i y i ( n k=1 x k p ) 1/p ( n k=1 y k q ) = 1/q (αu i + (1 α)v i ) = α u i + (1 α) u α i v 1 α i v i = 1, de donde se infiere lo que queremos. De l desiguldd de Hölder se deduce l desiguldd de Minkowski: ( ) 1/p ( ) 1/p ( ) 1/p x i + y i p x i p + y i p. En efecto, tenemos que x i + y i p = x i + y i p 1 x i + y i x i + y i p 1 ( x i + y i ) = x i + y i p 1 x i + x i + y i p 1 y i ( ) 1/q ( ) 1/p ( ) 1/q ( ) 1/p x i + y i (p 1)q x i p + x i + y i p y i p ( ) 1/q ( ) 1/p ( ) 1/p = x i + y i p x i p + y i p,
4 Luis Bernl González y Tomás Domínguez Benvides de donde se deduce lo que querímos; l desiguldd de Hölder se h plicdo en l últim desiguldd. L desiguldd de Minkowski muestr que x + y p x p + y p pr todo pr de vectores x, y R n. De quí obtenemos que p es un norm sobre R n. 5. Consideremos el espcio vectoril c 0 de l sucesiones reles (x n ) que tienden 0. Es un espcio normdo con l norm del supremo, (x n ) = sup n N x n. Lo mismo ocurre con el espcio c 00 de ls sucesiones reles csi nuls, es decir, de ls sucesiones x = (x n ) tles que existe N = N(x) N con x n = 0 pr todo n N. Con l mism norm, tmbién el espcio vectoril l de ls sucesiones reles cotds es un espcio normdo. Nótese que c 00 c 0 l. 6. Y vimos en el cpítulo nterior que l 2 podí ser dotdo de un producto esclr, luego es un espcio normdo. 7. Se p [1, + ). Consideremos el conjunto l p de ls sucesiones reles x = (x n ) tles que n=1 x n p < +. Usndo l desiguldd de Minkowski demostrd en el Ejemplo 4, y hciendo que n, se prueb con fcilidd que l p es un espcio vectoril y que x p := ( n=1 x n p ) 1/p es un norm sobre él. 8. El espcio C([, b]) es un espcio normdo si se le dot de l plicción f = sup{ f(t) : t [, b]}. Se prueb fácilmente que tl plicción es un norm. Observemos que, en este espcio normdo, f n f si y sólo si f n f uniformemente en [, b]. 9. En este ejemplo, como es hbitul en estos csos, estmos considerndo igules dos funciones si son igules en csi todo, respecto de l medid de Lebesgue. Se p [1, + ), y se L p = L p ([, b]) l clse de ls funciones medibles f : [, b] R tles que b f p < +. Entonces L p es un espcio vectoril y l plicción f p = ( b f p ) 1/p es un norm sobre él. En efecto, este hecho es fácil de probr pr p = 1, usndo el álgebr de funciones medibles y l desiguldd tringulr en R. Probemos el resultdo
Espcios normdos 5 pr p (1, + ). Es evidente que λf L p si λ R y f L p, y que λf p = λ f p. Sen f, g L p. Queremos probr que f + g L p. En primer lugr, f + g es medible, y de l desiguldd ( + b) p 2 p ( p + b p ) (, b 0) se deriv con fcilidd que f + g L p. Aplicmos (1) α = 1/p, u = f(t) y v = b g(t) b, donde t [, b] y q es el f q g p exponente conjugdo de p. Integrndo l desiguldd resultnte entre y b, obtenemos l desiguldd de Hölder pr integrles, sber, b ( b ) 1/p ( b 1/q f(t)g(t) dt f(t) p dt g(t) dt) q. Pr l desiguldd de Minkowski, notemos que b b = f + g p = b f + g p 1 f + f + g p 1 ( f + g ) b f + g p 1 g (2) Observemos que f + g p 1 L q, porque f + g q(p 1) = f + g p. Aplicndo l desiguldd de Hölder cd uno de los sumndos de (2), se obtiene b ( b ) 1/q [ ( b ) 1/p ( b ) 1/p ] f + g p f + g (p 1)q f p + g p, de donde derivmos l desiguldd de Minkowski, sber, ( b ) 1/p ( b ) 1/p ( b ) 1/p f + g p f p + g p. De otr form, f + g p f p + g p, que es l desiguldd tringulr. Sigue que L p es un espcio normdo. Como y vimos en el Cpítulo 1, l norm induce un distnci o métric d(x, y) := x y en el espcio normdo, y por tnto un topologí sobre él. Debido ésto, tiene sentido hblr de continuidd de un plicción. El siguiente resultdo se deduce fácilmente de ls propieddes de l norm, y su prueb se dej como ejercicio.
6 Luis Bernl González y Tomás Domínguez Benvides Proposición 2.2.3. Supongmos que X es un espcio normdo. Entonces ls plicciones norm x X x R, sum (x, y) X X x+y X y producto por esclres (λ, x) R X λx X, son continus. L existenci de un métric nturl en un espcio normdo permite hblr de completitud. Definición 2.2.4. Se llm espcio de Bnch un espcio normdo que es completo pr l distnci inducid por su norm. Ejemplos 2.2.5. 1. Es fácil demostrr que los espcios c 0 y l son completos. Pr ello, tener en cuent que R es completo y que, si un sucesión es de Cuchy, entonces cd sucesión componente debe ser de Cuchy en R. Pero el espcio normdo c 00 no es completo: Bst considerr l sucesión x 1 = (1, 0, 0, 0,...), x 2 = (1, 1/2, 0, 0, 0,...), x 3 = (1, 1/2, 1/3, 0, 0, 0,...),..., que es de Cuchy pero no converge. 2. En del Cpítulo 1 se vio que l 2 es completo. Asimismo, cd l p (1 p < + ) es un espcio de Bnch. 3. De modo nálogo L 2 (ver Cpítulo 1), se puede demostrr que los espcios L p (1 p < + ) son completos. 4. Recordemos del Cpítulo 1 que C([, b]) dotdo de l norm cudrátic no es completo. Sin embrgo, si se le dot de l norm del supremo, C([, b]) es un espcio de Bnch. Pr verlo, úsese l condición de Cuchy de convergenci uniforme ( sber, un sucesión de funciones (f n ) converge uniformemente en [, b] lgun función [, b] R si y sólo si, ddo ε > 0, existe n 0 = n 0 (ε) N tl que f m (x) f n (x) < ε pr todo m, n n 0 y todo x [, b]) y el hecho de que l convergenci uniforme preserv l continuidd. De l continuidd de ls plicciones sum y producto por esclres, de l crcterizción por sucesiones de l clusur de un subconjunto en un espcio métrico, y del hecho de que, en un espcio métrico completo, un
Espcios normdos 7 subconjunto es cerrdo si y sólo si es completo (con l métric inducid), se puede demostrr sin dificultd el siguiente teorem. Los detlles de l demostrción se dejn como ejercicio. Teorem 2.2.6. Se X un espcio normdo, y supongmos que Y es un subespcio vectoril de X. Se verific: () Y es un subespcio vectoril de X. (b) Si X es de Bnch e Y es cerrdo, entonces Y es un espcio de Bnch. Pr concluir, recordemos que todo producto esclr generl un norm. Surge entonces l pregunt de si cd norm proviene de lgún producto esclr. Puede probrse que, dd un norm sobre un espcio vectoril X, existe un producto esclr ( ) sobre X tl que = ( ) 1/2 si y sólo si cumple l identidd del prlelogrmo. En tl cso, se tiene l identidd de polrizción: (x y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) (x, y X). 2.3. Operdores lineles continuos. Norms equivlentes. Espcio dul Vmos probr que l continuidd de un operdor linel entre espcios normdos es equivlente l continuidd en un punto y l continuidd uniforme. Medinte denotremos indistintmente, mientrs no dé lugr confusión, l norm tnto del espcio de slid como del espcio de llegd. Teorem 2.3.1. Sen X e Y espcios normdos y T : X Y un plicción linel. Ls siguientes firmciones son equivlentes: () T es continu en lgún punto x 0 X. (b) T es continu.
8 Luis Bernl González y Tomás Domínguez Benvides (c) T es uniformemente continu. (d) Existe M (0, + ) tl que T x M x pr todo x X. Demostrción. Se tiene, obvimente, l siguiente cden de implicciones: (d) (c) (b) (). Así que es suficiente probr () (d). Pr ello, tomemos un punto x 0 X donde T es continu. Entonces, ddo ε = 1, podemos encontrr un δ > 0 tl que x x 0 < δ implic T x T x 0 < ε. Se y X con y < δ. Entonces T y = T (y + x 0 ) T x 0 < 1. Se hor x X \ {0}. Entonces δx δx < δ, luego T ( ) < 1. Por tnto 2 x 2 x T x M x, donde M = 2/δ. Pr x = 0, l desiguldd nterior es trivil. Si X e Y son dos espcios vectoriles y T : X Y es linel y biyectiv, entonces l plicción invers T 1 : Y X es tmbién linel. Tl T se dice que es un isomorfismo lgebrico. Si X e Y son dos espcios normdos, por isomorfismo entre ellos se entenderá un isomorfismo lgebrico que es tmbién topológico, es decir, tl que T y T 1 son continus. Teorem 2.3.2. Supongmos que X e Y son dos espcios normdos y que T : X Y es un isomorfismo entre ellos. Entonces existen dos constntes m, M (0, + ) tles que m x T x M x pr todo x X. Demostrción. Result de plicr el teorem nterior T y T 1. Hy que tener presente que en un espcio vectoril X pueden definirse distints norms. Diremos que dos norms 1, 2 en X son equivlentes cundo genern l mism topologí. Del teorem nterior obtenemos un crcterizción de l equivlenci de norms. Corolrio 2.3.3. Dos norms 1 y 2 sobre un espcio vectoril X son
Espcios normdos 9 equivlentes si y sólo si existen dos constntes m, M (0, + ) tles que m x 1 x 2 M x 1 pr todo x X. Demostrción. Aplicr el teorem nterior l plicción identidd T = I : (X, 1 ) (X, 2 ). El Teorem 2.3.1 motiv el concepto de norm de un operdor linel, ver Teorem 2.3.4. Si X e Y son dos espcios normdos, denotremos por L(X, Y ) el conjunto de tods ls plicciones lineles y continus de X en Y. Es fácil ver que, dotdo de ls operciones usules de sum y de producto por esclres, L(X, Y ) es un espcio vectoril. En el cso prticulr Y = R, el espcio L(X, R) se llm el espcio dul de X. Teorem 2.3.4. Sen X e Y dos espcios normdos. Pr cd T L(X, Y ), se define T = sup { } T x x : x X \ {0} = sup{ T x : x = 1}. Entonces es un norm sobre L(E, F ). Además, T = mín{m [0, + ) : T x M x x X}. L prueb es mecánic, y se dej como ejercicio. Puede demostrrse que si Y es de Bnch entonces L(X, Y ) es de Bnch. En prticulr, el espcio dul de culquier espcio normdo es un espcio de Bnch. Pr cerrr est sección, mostrremos que todo espcio de Hilbert puede identificrse perfectmente con su dul. Teorem 2.3.5. Si H es un espcio de Hilbert, entonces su dul L(H, R) es isométricmente isomorfo H. Demostrción. Grcis l Teorem de Representción de Riesz, l plicción Φ : y H T y L(H, R) definid por T y (x) = (x y) (x X) es biyectiv.
10 Luis Bernl González y Tomás Domínguez Benvides Es fácil ver que es Φ es linel. Bst ver que Φ es un isometrí, es decir, que conserv ls distncis, pues entonces tmbién serí bicontinu, o se, continu ell y su invers. Probemos pues que Φ es un isometrí. Y que Φ es linel, hy que probr que Φy = y pr todo y H. Pr y = 0 es trivil. Así pues, fijemos y H \ {0}, y se x H. Entonces (Φy)x = T y (x) = (x y) y x, por l desiguldd de Cuchy-Schwrz. Por l definición de norm de un plicción linel y continu, esto implic que Φy y. Ahor bien, pr x = y se tiene que (Φy)y = (y y) = y y, luego (Φy)y / y = y. Por tnto Φy y. 2.4. Espcios normdos de dimensión finit Sbemos que culquier espcio vectoril X de dimensión finit n es isomorfo lgebricmente R n. Vmos ver que, si X es normdo, entonces X es isomorfo tmbién topológicmente R n con culquier de sus norms. Teorem 2.4.1. Se X un espcio normdo de dimensión n N y T : (R n, 2 ) X un isomorfismo lgebrico. Entonces T es bicontinu. Demostrción. Denotemos u i = T e i (i = 1,..., n). Si x = (ξ 1,..., ξ n ), se tiene que T x = n ξ iu i. Entonces T es continu porque l convergenci en (R n, 2 ) implic l convergenci en cd coordend y ls operciones de sum y producto por esclres en un espcio normdo son continus. Probemos que T 1 es tmbién continu. Pr ello, consideremos l esfer unidd S = {x R n : x 2 = 1}, que es un subconjunto cerrdo y cotdo de R n, luego es compcto. Y que T es continu, T (S) es tmbién compcto. Como es continu en X, lcnz un mínimo m en T (S). Debe ser m > 0, pues si fuer m = 0 existirí lgún punto x 0 S con T x 0 = 0, y por tnto x 0 = 0 (pues T es biyectiv), lo que es bsurdo. Se hor x X \ {0}.
Espcios normdos 11 Entonces T 1 (x) T 1 (x) 2 de donde se deduce S, luego ( ) T 1 T (x) m, T 1 (x) 2 x T 1 (x) 2 m, y sí T 1 (x) 2 (1/m) x. En consecuenci, T 1 es continu. Del resultdo nterior obtenemos, continución, lguns consecuencis. Corolrio 2.4.2. Tods l norms en R n son equivlentes. Demostrción. Se un norm sobre R n. L plicción identidd I : (R n, 2 ) (R n, ) es un isomorfismo lgebrico. Por el teorem nterior, I es bicontinu, luego 2 y son norms equivlentes. L conclusión sigue de que l equivlenci de norms es un relción de equivlenci. Not 2.4.3. L conclusión del corolrio nterior no es válid pr espcios de dimensión infinit. Por ejemplo, en l 1, su norm nturl 1 no es equivlente l norm. En efecto, l sucesión (x n ) dd por x n = 1 n n k=1 e k (donde e k = (0, 0,..., 0, 0, 1, 0, 0, 0,...), con el 1 en el lugr k) tiende 0 en, pero no es de Cuchy respecto de 1. Corolrio 2.4.4. Se Y un subespcio de dimensión finit de un espcio normdo X. Entonces Y es cerrdo. Demostrción. Por el Teorem 2.4.1, existe un isomorfismo topológico Se (x n ) un sucesión en Y con x n T : Y (R n, 2 ). x X. En prticulr, (x n ) es de Cuchy. Del Teorem 2.3.2 se deduce fácilmente que (T x n ) es un sucesión de Cuchy en (R n, 2 ), que es completo, luego existe y R n tl que T x n y. De l continuidd de T 1 obtenemos que x n T 1 y Y. De l unicidd del límite en un espcio métrico, sigue que x = T 1 y. Por tnto, x Y, y sí Y es cerrdo.
12 Luis Bernl González y Tomás Domínguez Benvides Corolrio 2.4.5. Supongmos que X es un espcio normdo de dimensión finit y que A X. Entonces A es compcto si y sólo si es cerrdo y cotdo. Demostrción. Ls propieddes de ser cotdo, de ser cerrdo y de compcidd se conservn por isomorfismos topológicos entre espcios normdos. Luego el Teorem de Heine-Borel, que crcteriz l compcidd en R n, conserv su vlidez en X. Pr finlizr este cpítulo, veremos que est últim propiedd crcteriz los espcios normdos de dimensión finit. Antes necesitmos un resultdo uxilir, que es interesnte en sí mismo. Teorem 2.4.6. [Lem de Riesz ]. Se X un espcio normdo y X 0 un subespcio cerrdo de X con X 0 X. Entonces, pr cd θ (0, 1), existe un vector x θ X tl que x θ = 1 y x x θ θ pr todo x X 0. Demostrción. Tomemos x 1 X \ X 0 y llmemos d = d(x 1, X 0 ). Notemos que d > 0 porque X 0 es cerrdo. Fijemos θ (0, 1). Entonces d/θ > d. Se deduce que existe x 0 X 0 tl que x 1 x 0 < d/θ. Tomemos x θ := x 1 x 0. x 1 x 0 Si x X 0, tenemos que x 1 x 0 x + x 0 X 0, luego x x θ = x + x 0 x 1 x 0 x 1 x 1 x 0 = como se querí demostrr. 1 x 1 x 0 x 1 x 0 x + x 0 x 1 d x 1 x 0 θ, Puntulizmos quí que pr θ = 1 l conclusión del Lem de Riesz no es válid. Teorem 2.4.7. Se X un espcio normdo tl que su bol unidd cerrd es compct. Entonces dim X < +.
Espcios normdos 13 Demostrción. Si dim X = +, tommos x 1 S := {x X : x = 1}, y se X 1 = x 1, que es un subespcio de X. Además, es un subespcio cerrdo, por ser de dimensión finit. Pero X 1 X, pues X es de dimensión infinit. Por el Lem de Riesz, existe x 2 S tl que x 2 x 1 1/2. Entonces x 1, x 2 es un subespcio cerrdo de X que, de nuevo, no coincide con X. Usndo un vez más el Lem de Riesz, existe un vector x 3 S tl que x 3 x 1 1/2 y x 3 x 2 1/2. Procediendo por inducción, obtenemos un sucesión (x n ) tl que x n x m 1/2 si m n, luego est sucesión no tiene ningun subsucesión convergente, lo que v en contr de l compcidd de l bol unidd cerrd.