MOISES VILLEA MUÑOZ 5 5. LÍMITES IFIITOS 5. ITEGRADOS IFIITOS Objeivo: Se reende que el esudine clcule inegrles sobre regiones no cods y resuelv roblems de licción relciondos con ls inegrles imrois 97
MOISES VILLEA MUÑOZ Se r hor de rbjr con regiones que esén limids or curvs no cods, que engn sínos horizonles y vericles 5. LÍMITES IFIITOS. Se resenn cundo se lnen inegrles de l form de l form f ) d (, o de l form f ( ) d. f ) d (, o En ese cso, es un inegrl imroi orque uno de los límies de inegrción o mbos, no es un cnidd fini. En l cso, deberá rársels con roiedd. Es decir: f ( ) d = lím f ( ) d f ( ) d = lím f ( ) d y finlmene l úlim inegrl or l roiedd de diividd se l rrí sí: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d Ejemlo = y e Hllr el áre de l región R : y =, en el rimer cudrne. = SOLUCIÓ: Dibujndo ls curvs dds e idenificndo l región enemos: 98
MOISES VILLEA MUÑOZ El áre de l región esrí dd or A = e escribiéndol con roiedd enemos: A = e d = lím e Al clculr l inegrl definid y luego omndo límie resul: d, l cul es un inegrl imroi, que d lím = lím e d e En ese cso se dice que el áre converge ( A = u ) [ e ] = lím [ e ] = = Ejemlo Hllr el áre de l región SOLUCIÓ: y R : y El áre de l región esrí dd or A = d, l cul es un inegrl imroi, que escribiéndol con roiedd enemos: A = d = lím d Al clculr l inegrl definid y luego omndo límie resul: = = = = lím d lím ln lím ln ln ln ln [ ] [ ] En ese cso se dice que l inegrl DIVERGE ( A = ) es decir que hciendo l inegrl enre y un número muy grnde, el resuldo es un cnidd muy grnde. 99
MOISES VILLEA MUÑOZ Ejemlo 3 Hllr el volumen del sólido que se gener l ror l región del eje. SOLUCIÓ: El volumen del sólido esrí ddo or V = π y R :, lrededor y d, eso es un inegrl imroi, que escribiéndol con roiedd enemos: V = π d = π lím d Al clculr l inegrl definid y luego omr límie resul: π lím d = π lím = π lím = π oe que mienrs el áre er divergene el volumen es COVERGETE. L convergenci o divergenci de l inegrl deende de su form lgebric. Ejemlo 3 Deermin el vlor de "k" r que el áre bjo l curv de. SOLUCIÓ: Dibujndo l curv r un k osiivo serí: k y = se igul + El áre esrí ddo or k A = d. + Como es un función r, licndo simerí, endremos Escribiéndol con roiedd y resolviendo: = k A + d.
MOISES VILLEA MUÑOZ Si l condición es que A = lím = k = k = k A = kπ = k lím + + lím [ rcg ] [ rcg rcg ] π A = u enonces π = k d d k or no k = π Ejemlo 4 Deermine r que vlores de "" l inegrl imroi que vlores diverge. SOLUCIÓ: d Escribiendo con roiedd l inegrl imroi enemos: lím d Se observ que hy que considerr csos: si = y si Primero si = enemos: Segundo si enemos: lím d = lím [ ln ] = lím [ Ln ln ] = + = = lím d lím lím + de lo úlimo hy que considerr dos csos: Si < enonces lím = = (diverge) Si > enonces Por lo no: lím = = (converge) d = ; ; > converge y r (Diverge)
MOISES VILLEA MUÑOZ 5. ITEGRADOS IFIITOS Ahor rremos regiones que esán limids or curvs no cods, ls grfics de ls curvs ienen sínos vericles Ejemlo Hllr el áre de l región SOLUCIÓ: L región referid serí: y R :. y L inegrl r el áre es: = A = d noe que l función f ( ) = no esá definid en or no es un inegrl imroi, que escribiéndol con roiedd y resolviendo resul: + A = d = lím d = lím + + + [ ln ] = lím [ ln ln ] = ln = (diverge) Ejemlo Clculr SOLUCIÓ: d
MOISES VILLEA MUÑOZ L función no esá definid =, or no es un inegrl imroi que debemos rrl de l siguiene mner: d = lím d + lím d + = lím + lím + = lím lím + + = + d = ( diverge) Ejercicios rouesos 5.. Evlúe l inegrl imroi dd o demuesre que es divergene... e d 3. e d + + 5 sen d 4. ( + 4) 5. 9 + 3 3 d d 6. +. Dd l curv y = e, deermine el áre bjo l curv r ln. 3. Encuenre el volumen del sólido generdo l ror R lrededor del eje y. {(, / 3 y } R = 4. Encuenre el volumen del sólido generdo l ror l región limid or y =, y =, y = ; lrededor del eje (en el rimer cudrne). 5. Se R l región del rimer cudrne bjo l curv y = 3 y l izquierd de =. ) Deermine el áre de l región R. b) Encuenre el volumen del sólido generdo l ror R lrededor del eje. 6. Encuenre los vlores de "" r los cules l inegrl d cules diverge. d y = converge y los vlores r los 3
MOISES VILLEA MUÑOZ. Se l región R definid or R (, Misceláneos = IR / y. Clcule si es osible: + ) El áre de l región R. b) El volumen del sólido que se gener l ror l región R lrededor de l rec y = θ. Clculr si es osible l longiud de l esirl. r = e ; θ 3. Encuenre el volumen del sólido generdo medine l roción de l región limid or, y =, = ln 3 ; lrededor del eje. y = e 4. Hllr el volumen del sólido de revolución que se gener l girr l región limid or y = ; > y los ejes coodendos; lrededor del eje y. = IR / y + 5. Si (, R. Deermine si es osible el áre de l región R. 6. Si R = (, IR 3 / y y = que se gener l ror l región R lrededor del eje. 7. Deermine el vlor del áre de l región, en el rimer cudrne, limid or. Si es osible clcule el volumen del sólido = y = y. ( ) 8. Encuenre el áre de l región limid or ls y =, y los ejes coordendos en el rimer cudrne. 9. Clculr si es osible el volumen del sólido generdo l ror l región R lrededor del eje, donde. {(, IR / y y + y e } R =. Deermine el volumen del sólido no codo que se obiene l girr en orno del eje "y" l región bjo l curv. y = e ; c >. Deermine los vlores de c,, l que el volumen del sólido generdo or l roción lrededor del eje, de l región limid or el eje,. Se R l región definid or R (, y l función f ( ) = eis. C { IR / ln y e} = osible: ) El áre de l región R. b) El volumen del sólido que se gener l ror l región R lrededor del eje. y 3. Deermine el erímero de l región ubicd en el lno olr, que esá limid or: ) Un re de l rec θ = ln b) El rmo de l crdioide r = + cos θ r π θ π, y θ c) L esirl r = e, θ ln. Clcule si es 4