Tem 3: Sistems de ecuciones lineles 1. Introducción Los sistems de ecuciones resuelven problems relciondos con situciones de l vid cotidin, que tiene que ver con ls Ciencis Sociles. Nos centrremos, por tnto, en l propi resolución de sistems, su trtmiento lgebrico dejndo l mrgen su implicción geométric. Y conocemos de cursos nteriores métodos de resolución de sistems como el de reducción, igulción o sustitución, demás del método de Guss. En ellos, solo se hce uso relmente de los coeficientes de ls incógnits, es decir, ls operciones entre ecuciones se trsldn operciones entre coeficientes y no entre incógnits. Por ello, y pr fcilitr el proceso de resolución, utilizremos ls mtrices y los determinntes como soporte de lmcenmiento de ellos. A l hor de relizr operciones entre ecuciones, trsldremos ésts l mtriz del sistem.. Sistem de ecuciones lineles.1 Definición Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits x 1, x,, x n es un conjunto de m igulddes de l form: 11 x 1 + 1 x + + 1n x n = b 1 S { 1 x 1 + x + + n x n = b.. m1 x 1 + m x + + mn x n = b m ij son números reles llmdos coeficientes y b i son números reles llmdos términos independientes, con 1 i m y 1 j n. Cundo el número de incógnits es pequeño, ésts se designn por letrs distints x, y, z Cundo todos los términos independientes son nulos, el sistem se llm homogéneo.. Expresión mtricil de un sistem S 11 1 1n Considermos l mtriz de coeficientes de incógnits A = ( 1 n ), y ls mtrices de m1 m mn términos independientes B = ( b ) e incógnits X = ( ) b m x n El sistem S se puede expresr, en form mtricil, A X = B b 1 Ejemplo 1: El sistem de tres ecuciones con tres incógnits { x + y z = 3 tiene mtriz de x 3z = 6 coeficientes de ls incógnits A = ( 1 1 1) 0 3 x 1 x.3 Soluciones de un sistem Solución de un sistem S es tod n upl de números reles (s 1, s,, s n ) que stisfg el sistem, es decir, que l sustituir cd incógnit x j por el vlor s j se cumplen tods ls ecuciones, con 1 j n. 1
x y = 3 Ejemplo : Los vlores x = 1 e y = son solución del sistem { x + y = 3 es decir, stisfcen mbs ecuciones. porque { 1 = 3 1 + = 3 Un sistem puede tener más de un solución (de hecho, si tiene dos soluciones, tiene infinits) Resolver un sistem es encontrr tods sus soluciones. Diremos que un sistem S es comptible si tiene solución. Si l solución es únic diremos que es comptible determindo; en cso contrrio diremos que es comptible indetermindo. Si un sistem S no tiene solución diremos que es incomptible. L clsificción de un sistem S, tendiendo sus soluciones, qued: No Homogéneo { Comptible Determindo (solución únic) Indetermindo (infinits soluciones) S es Incomptible (No tiene solución) Determindo(Solución trivil (0, 0, 0)) Homogéneo Comptible { Indetermindo (infinits soluciones) 3. Sistems equivlentes Diremos que dos sistems S y S son equivlentes si tienen ls misms soluciones. 3.1 Trnsformciones entre sistems equivlentes Ls trnsformciones que podemos relizr son: 1. Si se intercmbin entre sí dos ecuciones en un sistem, result otro S equivlente.. Si en un sistem S se multiplic un de sus ecuciones por un número rel k 0 se obtiene un sistem S equivlente S. 3. Si en un sistem S se sustituye un ecución culquier, e i, por un combinción linel del tipo e i + λ 1 e 1 + λ i 1 e i 1 + λ i+1 e i+1 + + λ m e m se obtiene un sistem S equivlente S. 4. Si en un sistem S un ecución culquier es combinción linel de ls demás, puede suprimirse resultndo un sistem S equivlente S. Ests operciones, ls que ñdimos el intercmbio de ecuciones entre sí, se corresponden con ls trnsformciones del método de Guss que conocemos del curso psdo y que repsmos continución medinte ejercicios. 4. Sistems de Crmer Un sistem S es de Crmer si y solo si cumple ls dos condiciones siguientes: Tiene el mismo número de ecuciones que de incógnits. L mtriz de coeficientes de ls incógnits es regulr ( 0). Los sistems Crmer se pueden resolver medinte l regl de Crmer: 11 x 1 + 1 x + + 1n x n = b 1 11 1 1n Se S { 1 x 1 + x + + n x n = b con A = ( 1 n ) mtriz regulr.. n1 x 1 + n x + + nn x n = b n n1 n nn
El sistem en form mtricil es A X = B de donde X = A 1 B y efectundo ls operciones obtenemos: X = 1 A 11 A 1 A n1 b 1 ( A 1 A A n b ) ( ) = 1 b 1 A 11 + b A 1 + b n A n1 ( b 1 A 1 + b A + b n A n ) A 1n A n A nn b n b 1 A 1n + b A n + b n A nn esto es x 1 x X = ( ) = x n ( de donde result: b 1 1 1n b n x 1 = b 1 A 11 + b A 1 + b n A n1 b = n n nn 11 b 1 1n 1 b n x = b 1 A 1 + b A + b n A n = n1 b n nn. 11 1 b 1 1 b n1 n b n x n = b 1 A 1n + b A n + b n A nn = b 1 A 11 + b A 1 + b n A n1 b 1 A 1 + b A + b n A n b 1 A 1n + b A n + b n A nn ) fórmuls conocids como regl de Crmer: Un sistem con n ecuciones lineles y n incógnits, cuyo determinnte de l mtriz A de coeficientes de ls incógnits se distinto de cero, dmite un únic solución, donde el vlor de cd incógnit se obtiene dividiendo por el determinnte de A el determinnte de l mtriz que result de sustituir en A l column que corresponde los coeficientes de l incógnit por l que formn los términos independientes. Ejercicio 3 Comprobemos que el sistem { x + 3y + z = 3 es de Crmer 3x 3z = 6 Mtriz de coeficientes de ls incógnits: A = ( 1 3 1) y = 1 0 3 0 3 El sistem tiene igul número de ecuciones que de incógnits, tres, y l mtriz de coeficientes de ls incógnits es regulr; se trt de un sistem Crmer, con un únic solución que vmos clculr con dich regl: x = 3 1 1 3 3 1 6 0 3 1 1 3 1 = 5 1 3 1 ; y = 3 6 3 1 = 0 ; z = 1 1 3 1 3 3 3 0 6 1 = 1 3
5. Teorem de Rouché - Fröbenius Considermos un sistem S de m ecuciones lineles con n incógnits 11 x 1 + 1 x + + 1n x n = b 1 S { 1 x 1 + x + + n x n = b.. m1 x 1 + m x + + mn x n = b m 11 1 1n Sen A = ( 1 n ) l mtriz de coeficientes de ls incógnits y m1 m mn 11 1 1n b 1 A = ( 1 n b ) l mtriz mplid con l column de términos independientes. m1 m mn b m L condición necesri y suficiente pr el sistem S se comptible es que coincidn los rngos de ls mtrices A y A. S es comptible rg(a) = rg(a ) Demostrción s )S comptible. Por tnto existe s = ( s )solución de S y A ( ) = ( b ) sn sn b m s 1 En consecuenci, l últim column de A es combinción linel de ls de A y, efectos de rngo, puede suprimirse, con lo que rg(a) = rg(a ). )rg(a) = rg(a ) = r. En este cso existe en A un menor de orden r, no nulo, que vmos suponer, sin pérdid de generlidd, que es el formdo por ls r primers ecuciones y r primers incógnits. s 1 b 1 11 1 1r 1 r 0 r1 r rr Por tnto existen r ecuciones linelmente independientes y ls m r restntes son combinción linel de ls ells. Por equivlenci de sistems, ess m r ecuciones pueden suprimirse resultndo el sistem equivlente S: 11 x 1 + 1 x + + 1r x n = b 1 1r+1 x r+1 1n x n S { 1 x 1 + x + + r x n = b r+1 x r+1 n x n.. r1 x 1 + r x + + rr x r = b r rr+1 x r+1 rn x n Este sistem tiene r ecuciones y, en sus primeros miembros, r incógnits que llmremos principles. Ls n r incógnits loclizds en los segundos miembros son ls no principles (prámetros). Se h obtenido un sistem S de Crmer,rxr y, por tnto, comptible, que es equivlente l de sistem S inicil. Por tnto S es comptible. 4
5.1 Discusión de l comptibilidd Al plicr este teorem pueden drse ls siguientes posibiliddes: 1. Que el número de incógnits no principles se cero, n r = 0 y n = r El sistem tiene solución únic y, por tnto, es comptible determindo.. Que el número de incógnits no principles no se cero, n r > 0 y n > r En este cso el sistem es comptible indetermindo en el sentido de que tiene un número no finito de soluciones porque pr cd conjunto de vlores rbitrrios que se den ls incógnits no principles, se obtiene un solución del sistem l plicr l regl de Crmer. Resumiendo: [ rg(a) rg(a ) S incomptible rg(a) = rg(a ) = n S comptible determindo ] rg(a) = rg(a ) < n S comptible indetermindo 6. Sistems homogéneos Son quellos sistems de ecuciones lineles en los que todos sus términos independientes son nulos. Son siempre comptibles porque tienen l solución trivil (0, 0,, 0). Se A = ( S h { 11 x 1 + 1 x + + 1n x n = 0 1 x 1 + x + + n x n = 0.. m1 x 1 + m x + + mn x n = 0 11 1 1n 1 n m1 m mn ) l mtriz de coeficientes de ls incógnits. En el cso de rg(a) < n el sistem será comptible indetermindo y tendrá soluciones distints de l trivil. Si rg(a) = n l únic solución será l trivil. 7. Sistems de ecuciones lineles con prámetros En los sistems con prámetros uno o vrios coeficientes de incógnits o términos independientes no son números fijos sino ctún como prámetros que pueden tomr culquier vlor rel. Se trtrá por tnto de discutir, y resolver en su cso, el sistem en función de los vlores que pueden tomr dichos prámetros. Se puede utilizr tnto el método de Guss como el Teorem de Rouché. Ejercicio 4 Ddo el siguiente sistem dependiente del prámetro k: kx y + 7z = 8 { x y + kz = x + y + z = Discútse el sistem según los diferentes vlores de k y resuélvse en el cso en que se comptible 5
Resolución 1 Vmos utilizr el método de Guss. Trnsformmos l mtriz mplid del sistem: k 7 ( 1 1 k 8 ) ( Intercmbio F1,F 1 1 k k 7 8 1 1 k ( 0 + k 7 k 0 0 1 + k ) F =F k.f 1 F 3 =F 3 +F 1 8 k) 4 x y + kz = El sistem esclondo es { ( + k)y + (7 k )z = 8 k (1 + k)z = 4 Cso 1 k R k 1 y k [ 1 y son los vlores de k que nuln los coeficientesde z e y] Sistem Comptible Determindo (solución únic) Resolviendo desde l tercer ecución hst l primer obtenemos: z = 4 (k + 5) ; y = k + 1 (k + 1) ; x = 1 k + 1 Cso k = 1 L tercer ecución del sistem esclondo qued 0 = 4. Sistem Incomptible (No tiene solución) Cso k = x y + z = El sistem esclondo es { 3z = 4 Solución: z = 4 ; y = t; x = + t t R 3 3 Sistem Comptible Indetermindo (infinits soluciones) Resolución Utilizmos el teorem de Rouché k 7 Mtriz de coeficientes de ls incógnits: A = ( 1 1 k ) k 7 8 Mtriz mplid con l column de términos independientes:a = ( 1 1 k ) k 7 k + 7 9 7 det(a) = = 1 1 k = C1 =C 1 +C = 3 ; C 1 + k 1 k k = k + 7 =C C3 1 + k 0 0 1 9 1 k = = (k + 7) ( 1 k) + 9 (1 + k) = k k 7 7k + 9 + 9k = k + k + = 0 k + k + = 0 k k = 0 { k = k = 1 Cso 1 k R k 1 y k. 0. Por tnto rg(a) = 3 = rg(a ) = nº incógnits Sistem Comptible Determindo (Solución únic) Se resuelve utilizndo l regl de Crmer como hemos visto nteriormente. Cso k = 1 En este cso = 0 y rg(a) < 3. 1 7 Mtriz de coeficientes A = ( 1 1 1) 1 7 8 Mtriz mplid A = ( 1 1 1 ) Clculemos el rngo de l mtriz A: 1 Como = 3 0, en A hy un menor de orden no nulo y rg(a) = 1 1 rg(a ) Clculmos el rngo de l mtriz mplid A : 6
1 Orlmos el menor 1 1, que nos h ddo el rngo de A, con l 3ª fil y 4ª column de A 1 8 1 8 1 1 = f =f +f 1 ; f 3 =f 3 f 1 = 0 3 10 = 1 1 0 3 6 Por tnto rg(a ) = 3. = rg(a) rg(a ) = 3: Sistem Incomptible (No tiene solución) Cso k = En este cso = 0 y rg(a) < 3. 7 Mtriz de coeficientes A = ( 1 1 ) 7 8 Mtriz mplid A = ( 1 1 ) 3 10 3 6 = 1 0 Clculemos el rngo de l mtriz A: Como 1 = 3 0, en A hy un menor de orden no nulo y rg(a) = 1 1 rg(a ) Clculmos el rngo de l mtriz mplid A : Orlmos el menor 1 1 1, que nos h ddo el rngo de A, con l 1ª fil y 4ª column de A 7 8 1 = 8 + 14 8 16 + 4 + 14 = 0 1 1 Por tnto rg(a ) =. = rg(a) rg(a ) < n = 3: Sistem Comptible Indetermindo (Infinits soluciones) Observndo el menor 1 que nos h ddo el rngo de l mtriz A, el sistem equivlente viene 1 1 ddo por ls ecuciones cuyos coeficientes formn prte de dicho menor, esto es { x y + z = x + y + z = Ls incógnits principles del sistem son quells cuyos coeficientes formn prte de ls columns del menor 1 que nos h ddo el rngo de l mtriz A, es decir y, z. L incógnit x ctú como 1 1 incógnit no principl o prámetro. Así, tenemos: y + z = t x = t; { t R, de donde z = 4/3 ; y = + t 4 y + z = + t = + t 3 3 x = t L solución viene dd por { y = + t 3 z = 4 3 t R Ejercicio 6 Ddo el siguiente sistem dependiente del prámetro rel k: { x + ky + z = 3 kx 3z = 6 ) Discútse el sistem según los diferentes vlores de k. b) Resuélvse el sistem en el cso en que teng infinits soluciones. c) Resuélvse el sistem pr k = 3. 7
Resolución Utilizmos el teorem de Rouché ) Mtriz de coeficientes de ls incógnits: A = ( 1 k 1) k 0 3 Mtriz mplid con l column de términos independientes:a = ( det(a) = = 1 k 1 k 0 3 = 0 { k = 3 k = 1 1 1 0 = C3 =C 3 C 1 = 1 k 0 k 0 3 k Cso 1 k R k 1 y k 3. 0. Por tnto rg(a) = 3 = rg(a ) = nº incógnits 1 k 1 k 0 3 Sistem Comptible Determindo (Solución únic) Cso k = 3. En este cso = 0 y rg(a) < 3. Mtriz de coeficientes A = ( 1 3 1) 3 0 3 3 Mtriz mplid A = ( 1 3 1 3) 3 0 3 6 Clculemos el rngo de l mtriz A: Como 1 1 = 4 0, en A hy un menor de orden no nulo y rg(a) = 1 3 rg(a ) 3 3) 6 = (k + 3) 1 1 = (k + 3)(k 1) 1 k Clculmos el rngo de l mtriz mplida : Orlmos el menor 1 1 1 3, que nos h ddo el rngo de A, con l tercer fil y curt column de A 1 1 3 1 1 5 1 5 1 3 3 = C3 =C 3 +C 1 = 1 3 5 = 3 3 5 = 60 0 3 0 6 3 0 0 Por tnto rg(a ) = 3. = rg(a) rg(a ) = 3: Sistem Incomptible (No tiene solución) Cso 3 k = 1. En este cso = 0 y rg(a) < 3. Mtriz de coeficientesa = ( ) 1 0 3 3 Mtriz mplida = ( 3) 1 0 3 6 Como 1 1 1 0 = 1 0, en A hy un menor de orden no nulo y, por tnto, rg(a) = y rg(a ). Clculmos el rngo de l mtriz mplid A : Como tiene dos fils igules, eliminmos un de ells con lo que rg(a ) = rg(a) = rg(a ) = = nº incógnits: Sistem Comptible Indetermindo b) Resolvemos pr k = 1. Observndo el menor 1 1 que nos h ddo el rngo de l mtriz A, el sistem equivlente viene 1 0 ddo por ls ecuciones cuyos coeficientes formn prte de dicho menor, esto es { x 3z = 6 Ls incógnits principles del sistem son quells cuyos coeficientes formn prte de ls columns del menor 1 1 que nos h ddo el rngo de l mtriz A, es decir x e y. L incógnit z ctú como 1 0 8
incógnit no principl o prámetro. Así, tenemos: z = t; x + y = 3 t { x = 6 + 3t t R, de donde y = 3 t (6 + 3t) = 3 4t x = 6 + 3t L solución viene dd por { y = 3 4t t R z = t c) Resolvemos el sistem pr k = 3: { x + 3y + z = 3 3x 3z = 6 = 1 siendoa = ( 1 3 1) 3 0 3 Estmos en el cso 1 estudido; por tnto el sistem es comptible determindo, tiene un únic solución. Aplicndo l regl de Crmer obtenemos: 3 1 1 1 3 1 1 1 3 3 3 1 6 0 3 x = = 5 1 3 1 1 3 3 ; y = 3 6 3 3 0 6 = 0 ; z = = 1 1 1 1 9