MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO TOMÁS S. GRIGERA

MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO TOMÁS S. GRIGERA Insttuto de Físca de Líqudos y Sstemas Bológcos (IFLYSIB), CONICET y Unversdad Naconal de La Plata, Calle 59 no. 789, La Plata Departamento de Físca, Facultad de Cencas Exactas, Unversdad Naconal de La Plata, Calle 49 y 115, La Plata Resumen. Se exponen brevemente las defncones y herramentas para la descrpcón de la dnámca del movmento crcular y de la rotacón de un cuerpo rígdo con un eje de rotacón cuya dreccón no camba con el tempo. El tratamento es del nvel de un curso ntroductoro de físca de nvel unverstaro, con utlzacón de vectores y dervadas, sn emplear formalsmo matrcal. Este materal se dstrbuye bajo Lcenca Creatve Commons Atrbucón-NoComercal-CompartrIgual 4.0 Internaconal. http://creatvecommons.org/lcenses/ by-nc-sa/4.0/ 1. Introduccón Se presenta prmero el movmento crcular de una partícula, y a contnuacón el movmento de rotacón.esta presentacón supone que el lector está famlarzado con los sguentes conceptos: 1. Vectores: Nocón de vector, operacones elementales entre vectores y escalares, coordenadas cartesanas como proyeccón sobre los versores base, producto escalar, producto vectoral, producto trplo. 2. Dervada: Nocón de dervada y reglas de dervacón (dervada de la suma, producto, cocente y composcón de funcones). 3. Cnemátca: Descrpcón vectoral de trayectoras, velocdad, aceleracón. El apéndce A resume algunos de estos conceptos. 2. Movmento crcular 2.1. Descrpcón undmensonal. La forma más senclla de descrbr una partícula que se mueve descrbendo una crcunferenca es utlzar un sstema de referenca (SR) cuyo orgen concda con el centro de la msma y un sstema de coordenadas (SC) tal que el plano del movmento concda con el plano xy (s se trata E-mal address: tgrgera@flysb.unlp.edu.ar. Fecha: Setembre de 2017. 1

2 MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO de descrbr una únca partícula, sempre es posble elegr tal SC). Entonces la dstanca de la partícula al orgen será sempre R (el rado de la crcunferenca) y para determnar la poscón en un nstante de tempo basta especfcar una sola coordenada, el ángulo θ(t) que forma el vector poscón con el eje x. θ(t) s = R θ R Análogamente a la velocdad y la aceleracón defnmos la velocdad angular ω y la aceleracón angular α: (1) ω = dθ, α = dω = d2 θ 2. Puesto que el ángulo es una cantdad admensonal, se sgue que las dmensones de α y ω son (2) [ω] = 1 T, [α] = 1 T 2, de modo que 1/s, por ejemplo, es una undad de velocdad angular. Sn embargo se suele utlzar rad/s (o rad/s 2 para la aceleracón) para evtar confusón con la frecuenca (defnda más abajo). Conocendo α(t) puede obtenerse θ(t) por sucesvas ntegracones del msmo modo que se obtene la trayectora r(t) a partr de la aceleracón. En partcular, en el caso de α constante, (3) θ(t) = θ(t 0 ) + ω(t 0 )(t t 0 ) + 1 2 α(t t 0) 2. 2.1.1. Frecuenca y período. Para el caso de velocdad angular constante (α = 0), defnmos el período T como el tempo necesaro para que la partícula recorra la crcunferenca completa (es decr un ángulo de 2π). La relacón entre el período y la velocdad angular es (4) θ(t + t 0 ) θ(t 0 ) = ωt = 2π, T = 2π ω. T tene evdentemente dmensón de tempo. La frecuenca se defne como la nversa del período, esto es el número de revolucones completadas en la undad de tempo: (5) ν = 1 T = ω 2π.

MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 3 2.1.2. Velocdad angular y velocdad tangencal. Cuando es necesaro dstngur entre velocdad angular y la velocdad a secas (v = dr/) se denomna a veces a esta ultma velocdad tangencal (redundantemente, puesto que la velocdad por defncón es sempre tangencal a la trayectora). Recordemos que la dstanca recorrda en un ntervalo de tempo está dada por (6) d(t; t 0 ) = v(t ). t 0 Análogamente, la dstanca angular se puede calcular como (7) δ(t; t 0 ) = t t t 0 ω(t ). Puesto que el movmento es crcular, la dstanca correspondente es d(t; t 0 ) = Rδ(t; t 0 ). Susttuyendo las respectvas dstancas por sus defncones y dervando respecto de t se sgue que (8) v(t) v(t) = R ω(t). 2.2. Descrpcón vectoral. La descrpcón anteror, aunque convenente en muchos casos, es nsufcente cuando se queren analzar las fuerzas que producen el movmento crcular: para aplcar la segunda ley de Newton es necesaro conocer las tres componentes cartesanas del vector aceleracón. 2.2.1. Aceleracón radal y tangencal. Consderemos prmero el caso en que el plano del movmento concde con el plano xy y su centro con el orgen de coordenadas. El vector poscón r(t), en este SR es de módulo constante, r(t) = R. Se sgue entonces que la tangente a la trayectora (dada por la velocdad), es perpendcular a r(t) (ver Ap. B): (9) v(t) = dr, v(t) r(t) = 0. Para nterpretar la aceleracón a(t) = dv/ es convenente descomponerla utlzando los ejes dados por los versores r y t, respectvamente radal y tangencal (ver fg). (10) r(t) = r(t) r(t), y v t(t) = v(t) v(t). t a r r x

4 MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO Para encontrar las componentes proyectaremos sobre los respectvos versores (sec. A.1.3). Calculemos prmero (11) r a = r dv pues r v = 0, y = d(r v) dr v = v2, (12) v a = v dv = 1 d(v v) = 1 dv 2 2 2 = v dv. Dvdendo entonces por los módulos r y v, obtenemos (13) a = a r r + a t t, a r = r a = v2 R, aceleracón radal, a t = t a = dv, aceleracón tangencal. Es decr que la aceleracón tene una componente radal con dreccón centrípeta, presente aunque el módulo de la velocdad sea constante, y una componente tangencal de módulo gual a dv/, presente solo cuando varía el módulo de la velocdad además de su dreccón (con sentdo gual u opuesto a la velocdad según el msmo esté crecendo o decrecendo respectvamente). Notemos que el módulo de la aceleracón centrípeta está dado por el módulo de la velocdad nstantánea y el rado de la crcunferenca, v 2 /R, ndependentemente del valor de la aceleracón tangencal. Por últmo, observemos que s la velocdad angular es constante, tambén lo es el módulo de v (8) de modo que s la aceleracón angular α es nula, tambén lo es la aceleracón tangencal. S el plano de rotacón no es el plano xy, el módulo de r(t) no es necesaramente constante, pero sí lo sera el vector R(t) = r(t) r C, donde r C es la poscón del centro de la crcunferenca. Será entonces R(t) = R, y al ser r C ndependente del tempo podemos escrbr v(t) = dr/, con lo que v(t) R(t) = 0. El desarrollo anteror se puede repetr exactamente, sólo reemplazando r(t) por R(t) y r(t) por R(t) = R(t)/ R(t). Las conclusones del párrafo anteror permanecen váldas, sólo que referdas al punto r C. 2.2.2. Velocdad angular. Daremos ahora una defncón vectoral de la velocdad y la aceleracón angular, que generalza nuestra defncón undmensonal (1). Defnremos el vector velocdad angular ω tal que su módulo sea gual a la velocdad angular, su dreccón sea normal al plano del movmento y su sentdo sea tal que cumpla la regla de la mano derecha, es decr que s se observa al movmento desde una poscón tal que el vector apunte al observador, la partícula se mueve en sentdo anthoraro (ver fg.). Consderemos prmero el caso en que el centro de la crcunferenca es el orgen de coordenadas y el plano del movmento es el xy. La relacón entre ω y v es (14) v = ω r, como puede verfcarse gráfcamente. El módulo del la velocdad puede obtenerse de (14): (15) v = Rω, respetándose la relacón (8).

MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 5 2.2.3. Aceleracón angular. El vector aceleracón angular es (16) α = ω. Puesto que estamos consderando un movmento estrctamente crcular, éste tene lugar en un plano y la dreccón de ω (ndquémosla con el versor ĕ ω/ ω ) no camba con el tempo 1, por lo tanto resulta que (17) α = d(ωĕ) = dω ĕ, es decr que el módulo del vector α es gual al módulo de aceleracón angular (1), y su dreccón es paralela a la de ω. Posemos encontrar la relacón entre α y a dervando (14): (18) a = α r + ω v. El segundo térmno es evdentemente paralelo a r. El prmero, por ser α ω, es en cambo paralelo a v (tangencal). Resulta entonces que podemos escrbr las componentes radal y tangencal de la aceleracón como (19a) (19b) a r = ω v, a t = α r. Puede verfcar el lector que el sentdo de a r es centrípeto, tal como hallamos en la sec. 2.2.1. Puesto que R es constante, de (13) y (15) conclumos que (20) a t = t a = dv = R dω = Rĕ α. 2.2.4. Movmento crcular fuera del plano xy. S el movmento no es en el plano xy, podemos como antes defnr la poscón respecto del centro r C de la crcunferenca, R(t) = r(t) r C ; el rado del movmento es ahora R = R(t). Podemos defnr como antes ω = v a/v 2, y este vector defne el plano del movmento. La línea defnda por ω que pasa por el punto r C es el eje de rotacón. Las relacones (14), (15), (18), (19b) y (20) son váldas reemplazando r por R. En el caso partcular en que ω es paralela a r C (es decr, s el eje de rotacón pasa por el orgen de coordenadas), ω r = ω (r C + R) = ω R (y análogamente para α r), de modo que (14), (15), (18), (19b) y (20) pueden utlzarse tal como están escrtas 2. 1 En el caso partcular en que el plano es el xy, el eje de rotacón concde con el eje z, es decr ĕ = k o ĕ = k 2 Esto resultará útl al tratar la rotacón del cuerpo rígdo, pues como veremos, en ese caso todas las partículas del sstema gran en dstntos planos pero con un msmo eje de rotacón.

6 MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO z α r = a t ω ω v = a r r ω r = v x α y 2.2.5. Eje de rotacón varable. Consderemos nuevamente la ecuacón (14) para el caso en que ω y r no son perpendculares. Como hemos vsto ( 2.2.4), esta ecuacón corresponde a un movmento crcular en un plano perpendcular a ω en torno a un eje que pasa por el orgen. En este movmento, la línea que va del orgen al extremo del vector r descrbe un cono centrado en ω. Podemos entonces, con mayor generaldad, nterpretar la ecuacón dr (21) = ω(t) r(t), como la rotacón del vector r en torno a la dreccón del vector ω, con velocdad angular ω y sentdo dado por la regla de la mano derecha. S r es el vector poscón, como hemos consderado hasta ahora, se trata de la descrpcón de un movmento crcular, pero la nterpretacón de (21) como rotacón puede aplcarse ndependentemente de la naturaleza la magntud físca que represente el vector r. Supongamos ahora que nos encontramos con una trayectora que cumple ecuacón (21) pero con un vector ω cuya dreccón varía con el tempo. La trayectora global no será crcular (en partcular, el movmento no estará contendo en un plano) pero el movmento puede tratarse como nstantáneamente crcular, ya que en cada nstante (21) descrbe la rotacón de r en torno a ω. El eje de rotacón (dependente del tempo) es ĕ (la dreccón de ω), y el centro de rotacón r C y el la poscón respecto de éste, R, se encuentran a partr de la proyeccón de r sobre ω: (22) (23) r C = (ĕ r)ĕ, R = r r C. De (23) y (21) podemos obtener el módulo de la velocdad como (24) v = ωr, R = R = r r c. Así, las relacones (14) y (15) subssten aún en el caso en que la dreccón de ω es varable, pero no así las relacones que nvolucran a la aceleracón. Ahora la aceleracón angular (25) α = dω = dω ĕ + ω dĕ = α ĕ + α, tene componentes paralelas y perpendculares a ĕ, y s ben la ec. (18) sgue sendo válda, la aceleracón tene componentes haca afuera del plano nstantáneo de

MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 7 rotacón (paralelas a ω) y el prmer térmno puede tener componentes en cualquer dreccón, por lo que no pueden dentfcarse las componentes radal y tangencal como en (42). Tampoco es válda la ec. (20). La aceleracón tangencal no está dada sólo por la componente α, ya que el producto α r puede tener una componente tangencal. Por eso, s ben α es la razón de cambo de ω, no puede relaconarse esta dervada con la razón de cambo de la rapdez v como en (20), ya que la relacón (24) es válda nstantáneamente pero R no es necesaramente constante: dv (26) = R dω + dr ω = Rα + dr ω. Esto puede verse proyectando dr/ sobre R: (27) R dr ( dr = R dr ) C = R v R dr C dr = R dr C dr. Puesto que la dreccón de r C (es decr ĕ) está varando, la dervada de r C no será paralela a ĕ y por lo tanto el últmo producto escalar puede ser no nulo, con lo cual la dervada de R puede tener una componente paralela a R y por lo tanto su módulo puede varar. 3. Movmento rotaconal de un cuerpo rígdo Un cuerpo rígdo es un sstema de partículas tal que las dstancas entre todos los pares de partículas permanece constante a lo largo del tempo. S un cuerpo rígdo se mueve de modo de que una de sus partículas permanezca en reposo, el movmento resultante sólo puede dar lugar a una transformacón de las poscones que deje nalterada la poscón del punto fjo (centro de rotacón) y que conserve las dstancas entre todos los pares de partículas. Una tal transformacón se denomna rotacón. Un tratamento completo de las rotacones requere representar las msmas en forma matrcal, formalsmo que excede el nvel normalmente esperado de los cursos de físca ntroductora, de manera que aquí hacemos un tratamento parcal de la rotacón del cuerpo rígdo, aplcable a los casos en que la dreccón del eje de rotacón es constante en el tempo. El tratamento se basa en gran parte en las relacones establecdas más arrba para el movmento crcular. En efecto, una propedad de las rotacones es que una vez efectuada una rotacón (es decr, transformadas las poscones de modo de preservar el centro de rotacón y las dstancas relatvas), habrán quedado en su poscón ncal, además del centro de rotacón, todas las partículas ubcadas a lo largo de una recta que pasa por dcho centro 3. Esta recta es el eje de rotacón. Puesto que el cuerpo es rígdo, se sgue que la dstanca de una partícula cualquera al eje de rotacón es una constante: cada partícula se mueve nstantáneamente 4 en una trayectora crcular. Consderando ahora dos partículas en un msmo plano perpendcular al eje de rotacón, e ncalmente sobre una msma recta radal, vemos que para que su dstanca no varíe deben ambas recorrer el msmo ángulo. Lo msmo podemos decr de 3 La demostracón de esta afrmacón requere del formalsmo matrcal de las rotacones tal como se presenta por ejemplo en Goldsten et al. (2001, Cap. 4). 4 Decmos nstantáneamente porque s el eje de rotacón varara en el tempo, el movmento no sería estrctamente crcular sno que correspondería al caso dscutdo en 2.2.5.

8 MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO dos partículas ubcadas sobre una msma crcunferenca centrada en el eje de rotacón. Conclumos que durante el movmento de rotacón, las partículas del cuerpo rígdo se mueven nstantáneamente en una trayectora crcular con una velocdad angular común. Puesto que el eje de rotacón es tambén común, la afrmacón vale tambén para el vector velocdad angular (ω). Ponendo el orgen de coordenadas en el centro de rotacón, tenemos entonces que todas las partículas se mueven con velocdad angular ω, cuya dreccón ĕ = ω/ ω defne el eje de rotacón. Nos encontramos entonces en el caso de 2.2.4 (movmento crcular en un plano cualquera en torno a un eje de rotacón que pasa por el orgen). 3.1. Momento de nerca. En la descrpcón del movmento de rotacón juega un papel mportante el momento de nerca, (28) I = m ĕ r 2 = m R 2, (ver fgura). El momento de nerca, como veremos enseguda, es una medda de la nerca rotaconal. Depende de la geometría (dstrbucón de masas) del cuerpo rígdo y del eje de rotacón consderado. y R r ĕ x 3.1.1. Teorema de Stener. El teorema de Stener o teorema de los ejes paralelos permte expresar el momento de nerca respecto de un eje arbtraro en funcón del momento de nerca de un eje paralelo al msmo pero que pasa por el centro de masa. Supongamos conocer el momento de nerca I CM respecto de un eje ĕ que pasa por el centro de masa r CM. Ponendo el orgen de coordenadas en el centro de masa, el momento de nerca respecto a un eje paralelo a ĕ que pasa por el punto r 0 es I = m ĕ (r r 0 ) 2 = m ĕ r ĕ r 0 2 (29) = m ĕ r 2 + ĕ r 0 2 2(ĕ r ) (ĕ r 0 ) = I CM + M ĕ r 0 2, donde M = m es la masa total y el últmo térmno del desarrollo del cuadrado se anula al sumar sobre las partículas pues m r = Mr CM = 0 porque hemos puesto el orgen en el CM. Llamando R = ĕ r 0 (la dstanca entre el nuevo eje y el CM), se tene (30) I = I CM + MR 2, (teorema de Stener).

MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 9 3.2. Energía cnétca de rotacón. Para un cuerpo rígdo movéndose con un punto fjo (es decr realzando una rotacón sn traslacón), la energía cnétca es (31) K R = 1 2 m v 2 = 1 2 m ω r 2 = 1 m ĕ r 2 ω 2 = 1 2 2 Iω2, pues ω es común a todas las partículas. Esta expresón es análoga a la de una partícula ((1/2)mv 2 ) y muestra el rol del momento de nerca como medda de la nerca rotaconal. S el centro de rotacón (llamémoslo R) no está en reposo, escrbamos las poscones (respecto de un SR nercal) como r = r R+R = r +R y las velocdades v = u + V con u = dr /. La energía cnétca será (32) K = 1 m v 2 = m (u + V) 2 = 1 ( m u 2 2 2 + V 2 + 2u V ) = 1 m u 2 + 1 2 2 MV 2 + V m u. El prmer térmno es entonces la energía cnétca de rotacón y se se puede escrbr utlzando (31). En cuanto al últmo térmno, como m u = Mv CM, con v CM la velocdad del centro de masa respecto del centro de rotacón R. Por lo tanto, s el eje de rotacón pasa por el CM, (es decr s R = r CM ) el últmo térmno se anula y se puede escrbr (33) K = 1 2 MV 2 CM + K cm = 1 2 MV 2 CM + 1 2 Iω2. K CM es la energía cnétca respecto del centro de masa, que para el cuerpo rígdo es energía de rotacón. 3.3. Momento angular. El momento angular del cuerpo rígdo se puede escrbr (34) L = r p = m r v = m r (ω r ) = m [ r 2 ω (r ω)r ] = ω m r 2 m (r ω)r. La últma expresón no es muy útl en la práctca, pero muestra que s ben L tene sempre una componente a lo largo de ω, en general L y ω no son paralelos.exste para cada cuerpo un conjunto de dreccones, determnadas por su geometría, tales que s ω está a lo largo de una de ellas, se encuentra que ω y L son paralelos. Estas dreccones se denomnan ejes prncpales de nerca. Se puede demostrar que todo cuerpo tene al menos tres ejes prncpales, pero puede haber más en caso de cuerpos dotados de smetría. En ese caso los ejes de smetría son ejes prncpales. Por ejemplo, para un cuerpo esférco (máxma smetría de rotacón) L y ω son sempre paralelos (es decr, todos los ejes son prncpales). En el caso de un dsco, el eje perpendcular al plano del dsco es prncpal, así como todos los perpendculares a éste (es decr los que atravesan el dsco de canto).

10 MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO La componente de L paralela al eje de rotacón puede expresarse en funcón del momento de nerca: (35) L ĕ L = m ĕ [r (ω r )] = m (ω r ) (ĕ r ) = m (ĕ r ) (ĕ r )ω = m ĕ r 2 ω = Iω, donde hemos usado la posbldad de permutar cíclcamente el producto mxto. En el caso de un eje prncpal, L es la únca componente del momento angular, por lo cual la relacón es válda entre los vectores completos: (36a) (36b) L = Iω, L = Iω, (todos los ejes), (sólo eje prncpal). 3.4. Ecuacón del movmento de rotacón de un cuerpo rígdo. A partr de las relacones anterores podemos escrbr la ecuacón de movmento de rotacón en torno a un eje de dreccón constante en el tempo. Partmos de la relacón (ver Ap. C) dl (37) = τ, y proyectamos sobre el eje de rotacón: (38) τ ĕ τ = ĕ dl d(ĕ L) = = dl = I dω = Iα. Hemos usado el hecho de que la dreccón del eje de rotacón es constante al afrmar que d(ĕ L)/ = ĕ dl/ y al utlzar I como una constante (pues el momento de nerca puede ser dstnto para ejes dstntos). Además del requsto de la constanca de ĕ, el resultado requere de las msmas condcones necesaras para la valdez de (37). De acuerdo al Apéndce C, podemos afrmar entonces que la ecuacón para el movmento rotaconal (39) τ = Iα, es válda s el eje pasa por el orgen del sstema de coordenadas respecto del que se calculan el torque y momento angular y a) el orgen de coordenadas está fjo en algún sstema de referenca nercal (SRI), o ben b) el orgen de coordenadas concde con el centro de masa, aunque éste esté acelarado, o ben c) el orgen de coordenadas está acelerado en una dreccón en todo momento paralela al vector poscón del centro de masa. Mentras se cumplan alguna de las tres condcones anterores y la dreccón del eje de rotacón sea constante, la ec. (39) vale para cualquer eje, aún cuando no sea prncpal. S el eje es prncpal, L, ω y α son paralelos 5. La rotacón puede mantenerse sn torque externo, y puede acelerarse aplcando un torque paralelo a ĕ. En esta stuacón (25) descrbe la relacón entre todas las componentes de τ y α. S el eje no es prncpal, se necestan torques en el plano perpendcular a ω para mantener la rotacón 6. En este caso la relacón (39) sólo se refere a la componente 5 α y ω deben ser paralelos para que sea constante la dreccón del eje de rotacón. 6 S el cuerpo se pone a rotar en torno a un eje que no es prncpal y luego se elmnan los torques, la velocdad angular no puede mantener su dreccón y el movmento es más complcado de lo que podemos descrbr sn ntroducr matrces. Alonso y Fnn (1970, 10.2) dan un ejemplo

MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 11 del torque a lo largo del eje de rotacón, que es la que está relaconada con un cambo de ω. Fnalmente, s fuera necesaro consderar la rotacón en torno a un punto que no cumple nnguna de las tres condcones anterores, se debe utlzar la ecuacón (62) y obtener a partr de ella la ecuacón de movmento proyectando sobre el eje de rotacón. Apéndce A. Algunas nocones prevas A.1. Vectores. Para una exposcón completa sobre álgebra vectoral se puede consultar alguno de los numerosos textos exstentes (por ejemplo Santaló, 1961). Tambén está dsponble el apunte de cátedra sobre vectores en la págna de Físca General I del autor. A.1.1. Sstema de coordenadas y base. Para ndcar cuanttatvamente un vector, es necesaro prmero elegr un sstema de coordenadas (SC) respecto del cual ndcar su módulo y dreccón. Un SC cartesanas queda defndo por un orgen y dos (o tres) ejes coordenados perpendculares entre sí. El vector se expresa entonces en térmnos de sus coordenadas o componentes cartesanos, que son los desplazamentos respecto del orgen a lo largo de cada uno de los ejes. Frecuentemente se utlza la notacón de par o terna ordenada, A = (A x, A y, A z ) para ndcar cada una de las componentes cartesanas de A. En estas notas utlzamos otra notacón, que parte de observar que la dreccón de los ejes coordenados puede expresarse utlzando vectores de módulo untaro o versores. Así se pueden utlzar los versores ĭĭĭ, j j j, k para ndcar, respectvamente, la dreccón de los ejes x, y y z. Vemos entonces que cualquer vector, de componentes A x, A y y A z, se puede expresar como una suma vectoral (40) A = A x ĭĭĭ + A y j j j + A z k. Esta forma de descomponer a A como suma de escalares que multplcan a los versores es únca. Un conjunto de vectores como los ĭĭĭ, j j j, k que permten escrbr a todos los vectores del espaco de una únca manera se denomna base del espaco. Exsten nfntas bases, pero todas tenen el msmo número de vectores (que es gual a la dmensón del espaco, y corresponde al número de ejes necesaros para defnr un vector). La ventaja de esta notacón es que hace explícto el SC en el cual se están expresando las coordenadas del vector. A.1.2. Producto escalar y vectoral. Se defne el producto escalar de dos vectores de modo que (41) A B = A x B x + A y B y + A z B z = A B cos θ AB. El producto vectoral está defndo por ĭĭĭ j j j k C = A B = A x A y A z (42) B x B y B z = ĭĭĭ(a y B z A z B y ) + j j j(a z B x A x B z ) + k(a x B y A y B x ). Las barras horzontales ndcan el determnante de la matrz, cuyo desarrollo es el ndcado en la segunda línea. sencllo de un caso de rotacón fuera de un eje prncpal donde se ve la necesdad de un torque perpendcular a ω para sostener la rotacón.

12 MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO A.1.3. Coordenadas como proyeccones. Cuando los ejes coordenados (y por lo tanto los vectores de la base) son mutuamente ortogonales, las coordenadas se obtenen a partr del módulo A = A medante (43) (44) A x = A cos θ, A r = A cos θ r, A y = A sen θ = A cos θ j, A t = A sen θ r = A cos θ t, (donde vale sen θ = cos θ j porque θ y θ j son complementaros). Esta operacón se denomna proyeccón ortogonal del vector sobre el eje. La proyeccón puede expresarse tambén medante el producto escalar, ya que al ser uno el módulo de los versores se tene por ejemplo A x = A ĭĭĭ cos θ = ĭĭĭ A. Las componentes cartesanas pueden entonces expresarse convenentemente como proyeccones sobre los respectvos vectores de la base: (45) (46) A x = ĭĭĭ A, A r = r A, A y = j j j A A t = t A. A.1.4. Productos trples. En el texto se usan varas veces las propedades del producto mxto de tres vectores y del producto vectoral de tres vectores. El prmero de ellos se escrbe A x A y A z (47) A (B C) = B x B y B z C x C y C z. Como consecuenca de las propedades del determnante, se cumple que el producto no se altera ante permutacones cíclcas de los tres vectores: (48) A (B C) = B (C A) = C (A B). El otro producto que aparece en el texto es el producto vectoral trple D = A (B C) (recordar que el producto vectoral no es asocatvo). El producto trple puede desarrollarse según la regla del back cab : (49) A (B C) = B(A C) C(A B). A.2. Trayectoras. La trayectora de una partícula se representa con una funcón vectoral del tempo, r(t) con t [t 0, t 1 ]. Defnmos la velocdad v(t) y la aceleracón a(t) por (50) v(t) = dr, dv a(t) = = d2 r 2. A.2.1. Movmento en un plano. La trayectora tendrá lugar en un plano (no necesaramente concdente con los planos defndos por los ejes de coordenadas) s exste un vector n tal que (51) n [r(t) r(t 0 )] = 0 t [t 0, t 1 ], es decr s el desplazamento es perpendcular a n en cualquer nstante mentras dure el movmento. Dervando sucesvamente respecto de t, encontramos que entonces (52) n v(t) = 0, n a(t) = 0, t [t 0, t 1 ],

MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 13 es decr que para que el movmento tenga lugar en un plano, la velocdad y la aceleracón deben permanecer sempre en el msmo plano 7. El vector n puede elegrse como n = v(t 0 ) a(t 0 ), aunque naturalmente puede utlzarse cualquer otro vector colneal con éste 8. Apéndce B. Dervada de un vector de módulo constante Un resultado sencllo y muy útl en la descrpcón del movmento crcular es el hecho de que una funcón vectoral de módulo constante es perpendcular a su dervada. En efecto, s d r / = 0 tambén es constante su cuadrado (d r 2 = dr 2 / = 2rd r / = 0). Luego = d(r r) = dr r + r dr dr = 2r, (53) 0 = dr2 es decr r dr/. Consderando ahora una funcón vectoral cualquera, podemos nterpretarla como un producto de funcones, una de las cuales da la dreccón del vector y la otra su módulo: (54) r(t) = r(t) r(t), r(t) r(t) r(t), de manera que la dervada puede expresarse como dr (55) = dr r(t) + r(t)d r. Por el resultado anteror (53) sabemos que el segundo térmno es perpendcular a r. Hemos entonces separado a la dervada en dos componentes, una paralela a la dreccón nstantánea de r(t) y otra perpendcular a la msma. Podemos afrmar entonces que, dado un ntervalo temporal I = [t 1, t 2 ], 1. un vector de módulo constante en I es perpendcular a su dervada, y 2. un vector de dreccón constante en I es paralelo a su dervada. Tambén son váldas las afrmacones recíprocas, 1. s un vector y su dervada son perpendculares en I, su módulo es constante, y 2. s un vector y su dervada son paralelos en I, su dreccón es constante. Es mportante poder afrmar que vector y dervada son paralelos o perpendculares en todo un ntervalo para poder afrmar las conclusones correspondentes. En efecto, s ben no tene sentdo decr que un vector tene módulo o dreccón constante en un nstante de tempo, las ecuacones (53) y (55) son váldas nstantáneamente (es decr que s la dervada del módulo es nula en un nstante, entonces la dervada es perpendcular al vector en ese nstante, y lo msmo para la dreccón). Podemos recíprocamente decr que s la dervada es perpendcular al vector, entonces la dervada del módulo es nula (o que s la dervada es paralela al vector, la dervada de la dreccón es nula). Pero para conclur la constanca del módulo o la dreccón en un ntervalo, es necesaro poder afrmar la condcón en todo el ntervalo (puesto que una dervada nstantáneamente nula ndca sólo un punto estaconaro). 7 Notar que para afrmar (52) es necesaro que la gualdad (51) se cumpla en un ntervalo de tempo, y no sólo nstantáneamente. 8 En partcular podría evaluarse el producto vectoral en cualquer ˆt en el ntervalo [t 0, t 1 ].

14 MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO Para demostrar las prmera de las afrmacones recíprocas, notemos que s r(t) dr/ en I, entonces t (56) r 2 (t) = r 2 dr 2 t (t 1 ) + t 1 = r 2 (t 1 ) + 2 r dr t 1 = r 2 (t 1 ), t I, es decr que r 2 es constante en I. Para la segunda afrmacón, observamos que s r(t) y dr/dr son paralelas en I = [t 1, t 2 ], entonces r(t) dr/ = 0 t I y por lo tanto (57) 0 = r(t) dr = r(t)r(t) d r, que mplca d r/ = 0 en I, ya que d r/ y r(t) no son paralelos (son perpendculares). Apéndce C. Torque y momento angular Defnendo el torque sobre una partícula τ = r F y el momento angular L = r p, con p = m v = m ṙ. Podemos calcular la razón de cambo de L en un SRI utlzando la segunda ley de Newton (ṗ = F ): (58) dl = dr p = ṙ p + r ṗ = r F, pues ṙ p. Separando la fuerza neta F sobre la partícula en sus contrbucones nterna y externa al sstema, (F = F (ext) + F (nt) = F (ext) + j F(nt),j ) se tene (59) r F = r F (ext) τ (ext) R, + <j +,j [ r F (nt),j r F (nt),j = ] + r j F (nt) j, = τ (ext) R + <j [r r j ] F (nt),j, pero el segundo térmno se anula s vale la forma fuerte de la tercera ley de Newton (las fuerzas de accón y reaccón son guales y opuestas y paralelas a la línea que une las partículas). En ese caso (60) dl = τ (ext). Consderemos ahora la razón de cambo del momento angular calculado en SR no nercal. Llamemos R a la poscón del orgen del SR no nercal respecto de un SRI, de modo que Ṙ y R son respectvamente la velocdad y aceleracón del SR respecto de nuestro SRI. El torque en el nuevo sstema es τ R = (r R) F, y el momento angular L R = (r R) m (v Ṙ). Su razón de cambo es

MOVIMIENTO CIRCULAR Y MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO 15 entonces (61) dl R = d[(r R) (v m Ṙ)] = m (ṙ Ṙ) (v Ṙ) + m (r R) ( r R) = (r R) (F m R) = τ R, m (r R) R = τ (ext) R M(r CM R) R, donde hemos cancelado los torques nternos nvocando nuevamente la forma fuerte de la tercera ley. Nótese que s ben L R está defndo respecto de un SR no nercal, las leyes de Newton sólo se han utlzado desde el SRI, como debe ser, pues hemos expresado los vectores del SR no nercal en funcón de las poscones r y sus dervadas, que corresponden al SRI. Hemos así obtendo una generalzacón de (60) válda en cualquer sstema de referenca: (62) dl R = τ (ext) R M(r CM R) R. Evdentemente (62) se reduce a (60) cuando el sstema es nercal ( R = 0), pero tambén cuando el sstema no nercal es el sstema del centro de masa (r CM = R) o cuando la aceleracón del sstema está en la línea que une al orgen con el centro de masa ( R [r CM R]). Referencas Alonso, M. y Fnn, E. J. (1970), Fsca Vol I: Mecánca, Fondo Educatvo Interamercano. Goldsten, H., Poole Jr., C. P. y Safko, J. L. (2001), Classcal Mechancs, Addson- Wesley, San Francsco, 3 edcón. Santaló, L. A. (1961), Vectores y Tensores, EUdeBA, Buenos Ares.