UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA I GUÍA N o 2 DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profesor: David Elal Olivero Primer año Plan Común de Ingeniería Primer Semestre 2009 1. Hallar la ecuación de la circunferencia: a) de centro C( 2, ) y radio 4 b) de centro C(, 1) y radio 5 c) de centro C( 4, 0) y diámetro 8 d) de centro C(4, 1) y que pase por el punto P ( 1, ) e) de diámetro el segmento que une los puntos P (, 5) y Q(7, ) f ) de centro C( 4, ) y que sea tangente al eje Y g) de centro C(, 4) y que pase por el origen h) de centro en el origen y que pase por el punto P (6, 0) i) que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de radio r = 8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante 2. Hallar el centro y el radio de las circunferencias siguientes. Determinar si cada una de ellas es real, imaginaria o se reduce a un punto. Aplicar fórmulas y también el método de completación de cuadrados. x 2 + y 2 8x + 10y 12 = 0 Sol : a) C(4, 5) y r = 5 real x 2 + y 2 4x + 2y + 6 = 0 Sol : b) C( 2, 1 ) y r = 1 1 imaginaria x 2 + y 2 8x 7y = 0 Sol : c) C(4, 7 2 ) y r = 1 2 11 real x 2 + y 2 = 0 Sol : d) C(0,0) y r = 0 un punto 2x 2 + 2y 2 x = 0 Sol : e) C( 1 4, 0) y r = 1 4 real. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: a) P 1 (4, 5) P 2 (, 2) y P (1, 4) Sol : x 2 + y 2 + 7x 5y 44 = 0 b) P 1 (8, 2) P 2 (6, 2) y P (, 7) Sol : x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 c) P 1 (1, 1) P 2 (1, ) y P (9, 2) Sol : 8x 2 + 8y 2 79x 2y + 95 = 0 d) P 1 ( 4, ) P 2 ( 1, 7) y P (0, 0) Sol : x 2 + y 2 + x + 7y = 0 ALGEBRA I: GUÍA 2 DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 1
4. Hallar la ecuación de la circunferencia: que pasa por los puntos: a) P 1 (2, ) y P 2 ( 1, 1) con centro situado en la recta x y 11 = 0 b) P 1 (1, 4) y P (5, 2) con centro situado en la recta x 2y + 9 = 0 Sol: a) x 2 + y 2 7x + 5y 14 = 0 b) x 2 + y 2 + 6x 6y 47 = 0 5. En cada caso, encuentre la ecuación de la circunferencia: a) de centro el punto C( 4, 2) y que sea tangente a la recta x + 4y 16 = 0 b) de centro el punto C( 2, ) y que sea tangente a la recta 20x 21y 42 = 0 c) de centro el punto C( 1, ) y que sea tangente a la recta que pasa por los puntos P ( 2, 4) y Q(2, 1) d) cuyo centro esté en el eje X y que pase por los puntos P ( 2, ) y Q(4, 5) Sol: a) x 2 +y 2 +8x 4y+4 = 0 b) x 2 +y 2 +4x 6y 12 = 0 c) x 2 +y 2 +2x+6y 15 = 0 d) x 2 + y 2 14x 67 = 0 6. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (, 2) y Q(4, 1) y que sea tangente al eje X Dos Soluciones x 2 + y 2 2x 10y + 1 = 0 y x 2 + y 2 42x 290y + 441 = 0 7. En cada caso, encuentre la ecuación de la circunferencia: a) que pasa por el punto P 1 ( 2, 1) y sea tangente a la recta x 2y 6 = 0 en el punto P 2 (4, ) b) que pasa por el punto P 1 (11, 2) y sea tangente a la recta 2x + y 18 = 0 en el punto P 2 (, 4) c) de radio 10 y que sea tangente a la recta x 4y 1 = 0 en el punto P (7, 2) Sol: a) 7x 2 + 7y 2 + 4x 82y + 55 = 0 b) 5x 2 + 5y 2 98x 142y + 77 = 0 c) dos soluciones: x 2 + y 2 26x + 12y + 105 = 0 y x 2 + y 2 2x 20y + 1 = 0 8. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo: a) cuyos lados son las rectas 2x y + 21 = 0, x 2y 6 = 0 y 2x + y + 9 = 0 b) cuyos lados son las rectas 4x y 65 = 0, 7x 24y +55 = 0 y x+4y 5 = 0 c) de vértices P 1 ( 1, ), P 2 (, 6) y P ( 1 5, 0) Sol: a) x 2 + y 2 + 2x 4y 8 = 0 b) x 2 + y 2 20x + 75 = 0 c) 7x 2 + 7y 2 4x 48y + 10 = 0 9. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo: a) cuyos lados son las rectas x + y = 8, 2x + y = 14 y x + y = 22 b) cuyos lados son las rectas x y + 2 = 0, 2x + y 1 = 0 y 4x + y 17 = 0 ALGEBRA I: GUÍA 2 DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 2
Sol: a) x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 b) 5x 2 + 5y 2 2x 8y 4 = 0 10. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P 1 (1, 2) y P 2 (, 4) y sea tangente a la recta x + y = 0 Dos soluciones: x 2 + y 2 8x 2y + 7 = 0 y x 2 + y 2 x 7y + 12 = 0 11. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 que sea tangente a la recta x + 4y 16 = 0 en el punto P (4, 1) PARÁBOLA Y ELIPSE 1. Hallar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola y 2 = 8x 2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F (0, 4 ) y recta directriz y 4 = 0. Hallar la longitud del lado recto Sol: x 2 + 16y = 0, Lado recto = 16. Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto P (, 2) y foco F (5, 2) Sol: y 2 4y 8x + 28 = 0 Sol: x 2 = 12y 4. Hallar la ecuación de la parábola de foco el punto F (6, 2) y directriz la recta x 2 = 0 Sol: y 2 + 4y 8x + 6 = 0 5. Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto P (2, ) de eje paralelo al eje Y y que pasa por el punto P (4, 5) Sol: x 2 4x 2y + 10 = 0 6. Hallar la ecuación de la parábola de eje parelelo al eje X y que pasa por los puntos P 1 ( 2, 1), P 2 (1, 2) y P ( 1, ) Sol: 5x 2 + 2x 21y + 20 = 0 7. Hallar la altura de un punto de un arco parabólico de 18 metros de altura y 24 metros de base, situado a una distancia de 8 metros del centro del arco. Sol: 10 metros 8. Encontrar i) las coordenadas del vértice ii) las coordenadas del foco iii) la longitud del lado recto y iv) la ecuación de la directriz. De las siguientes parábolas. a) y 2 + 8y 6x + 4 = 0 b) x 2 9x 5y 2 = 0 c) y 2 4y 6x + 1 = 0 Sol: a) i) V ( 2, 4), ii) F ( 1, 4), iii) Long. lado recto= 6 y iv) x = 7 2 2 b) i) V (, 7), ii) F (, 4), iii) Long. lado recto= 5 2 4 2 c) i) V (, 2), ii) F (, 2), iii) Long. lado recto= 6 y iv) x = 0 2 ALGEBRA I: GUÍA 2 DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
9. Hallar la ecuación de una parábola de eje vertical y que pase por los puntos P 1 (4, 5), P 2 ( 2, 11) y P ( 4, 21) Sol: x 2 4x 2y + 10 = 0 10. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje X y que pase por los puntos P 1 (, ), P 2 (6, 5) y P (6, ) Sol: y 2 2y 4x + 9 = 0 11. Hallar la ecuación de una parábola cuyo vértice y foco son los puntos V ( 4, ), y F ( 1, ) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y su eje. Sol: (y ) 2 = 12(x + 4), x = 7 y y = 12. Hallar la ecuación de la Elipse de centro en el origen foco el punto F (0, ) y semieje mayor igual a 5. = 1 16 25 1. Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes del eje mayor y menor, la excentricidad, y la longitud de cada uno de sus lados rectos de las siguientes elipse. a) 9x 2 + 4y 2 = 6 b) 4x 2 + 9y 2 = 6 Sol: a) Vértices V 1 (0, ) y V 2 (0, ); Focos F 1 (0, 5) y F 2 (0, 5); 2a = 6; 2b = 4; e = 5 ; Longitud lado recto = 8 b) Vértices V 1 (, 0) y V 2 (, 0); Focos F 1 ( 5, 0) y F 2 ( 5, 0); 2a = 6; 2b = 4; e = 5 ; Longitud lado recto = 8 14. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F 1 (, 0) y F 2 (, 0) y la longitud de uno cualquiera de sus lados rectos es igual a 9. Sol: x2 6 27 15. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F 1 (2, 0) y F 2 ( 2, 0) y su excentricidad es e = 2 = 1 9 5 16. Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus vértice es el punto V (0, 7) y pasa por el punto P ( 5, 14) = 1; e = 2 10 9 49 7 17. Los vértices de una elipse son los puntos V 1 (1, 1) y V 2 (7, 1) y su excentricidad es e = 1. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y menor y de cada lado recto. Sol: a) (x 4)2 + (y 1)2 = 1; Focos F 9 8 1 (5, 1) y F 2 (, 1); 2a = 6; 2b = 4 2; Longitud lado recto = 16 ALGEBRA I: GUÍA 2 DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 4
18. Los vértices de una elipse son los puntos V 1 (1, 6) y V 2 (9, 6) y la longitud de cada lado recto es 9. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y su 2 excentricidad. Sol: a) (x 5)2 + (y+6)2 = 1; Focos F 16 9 1 (5 + 7, 6) y F 2 (5 7, 6); e = 7 4 19. Los focos de una elipse son los puntos F 1 (, 8) y F 2 (, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad. Sol: a) (x )2 + (y 5)2 = 1; Vértices V 16 25 1 (, 10) y V 2 (, 0); e = 5 20. El centro de una elipse es el punto C( 2, 1) y uno de sus vértices es el punto V (, 1). Si la longitud de cada lado recto es 4. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. 21. El centro de una elipse es el punto C(2, 4) y el vértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos P ( 2, 4) y Q( 1, 4). respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto. Sol: a) (x 2)2 + (y+4)2 = 1; e = 2b = 2 7; Longitud de lado recto = 7 16 7 4 2 22. Hallar las coordenadas del centro, las coordenadas de los vértices, las coordenadas de los focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, las longitudes de cada lado recto y la excentricidad de las siguientes elipses: a) x 2 + 4y 2 6x + 16y 21 = 0 b) 4x 2 + 9y 2 + 2x 18y + 7 = 0 c) 9x 2 + 4y 2 8y 2 = 0 Solución: a) (x )2 + (y + 2) 2 = 1; Centro C(, 2); Vértices V 4 1 (5, 2) y V 2 (1, 2); Focos F 1 ( +, 2) y F 2 (, 2), 2a = 4; 2b = 2; Long. lado recto = 1 e =. 2 b) (x+4)2 9 + (y 1)2 4 = 1; Centro C( 4, 1); Vértices V 1 ( 1, 1) y V 2 ( 7, 1); Focos F 1 ( 4 + 5, 1) y F 2 ( 4 5, 1), 2a = 6; 2b = 4; Long. lado recto = 8 e = 5. c) x2 4 + (y 1)2 9 = 1; Centro C(0, 1); Vértices V 1 (0, 4) y V 2 (0, 2); Focos F 1 (0, 1 + 5) y F 2 (0, 1 5), 2a = 6; 2b = 4; Long. lado recto = 8 e = 5. ALGEBRA I: GUÍA 2 DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 5