IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Primer Emen ª evlución º ESO 0 de enero de 0 NOMBRE ) Resolver: 7 ( punto) ) Resolver: + 9 + + (, puntos) ) Resolver: log + log 6 ( punto) 6 ) Resolver: (, puntos) 8 8 ) Resuelv el siguiente sistem de inecuciones: 6 6 (, puntos) 6) Resolver l inecución 0 (, puntos) 7) Epresr en form de intervlo y de entorno el conjunto { R / + < } ( punto) 8) Resolver: ( punto)
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Primer Emen ª evlución º ESO 0 de enero de 0 SOLUCIONES ) Resolver: 7 ( punto) El procedimiento ps por islr el sumndo que contiene un de ls ríces en un miembro, y elevr l cudrdo: 7 7 ( ) ( 7 ) 7 9 6 7 6 7 6 7 ) ( ) 7 ( 7 0 0 ( ) 0 ó 0 Este último pso es porque un producto vle 0 si, y sólo si lguno de los fctores se nul. Cundo elevmos l cudrdo un ecución, siempre se pueden introducir soluciones flss. Ls comprobmos: 0 0 7 0. No es válid. 7. Válid. Solución únic:. ) Resolver: + 9 + + (, puntos) + 9 + + ( ) ( ) Con el cmbio de incógnit t, qued: t t t 9t t t 0t + 0 0 00 6 0 8 / t 6 6 Deshcemos el cmbio: Si t / / Si t t ) Resolver: log + log 6 ( punto) log + log 6 log + log log 0 6 log log 0 6 log 6 log 0 6 6 0 6 6 6 0 0. que 0 es válid, porque no hce 0 ni negtivo ningún rgumento de logritmo. Pero no ocurre lo mismo con 0, puesto que en el primer sumndo de l ecución originl hbrí que tomrle logritmos, y no eiste el logritmo de un número negtivo: est otr solución no es válid. Este tipo de inconvenientes no se suele presentr si se opt por verigur el vlor de log en lugr de quitr logritmos, como hemos hecho ntes. Además, ls ecuciones suelen ser más sencills. Volvmos resolver l ecución de est otr form: log + log 6 log + log 6 6 log 6 log 0 que es válid puesto que no nul rgumentos de log en l ecución originl. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Primer Emen ª evlución º ESO 0 de enero de 0 6 ) Resolver: (, puntos) 6 ( ) ( ) 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Est iguldd será ciert cundo los numerdores coincidn. Pero pr vlores que no nulen el denomindor, como veremos más delnte: ( + ) 6 + 6 0 + 0 6 6 Pero en ls ecuciones donde l está en el denomindor hy que vlidr ls soluciones obtenids, comprobndo que no nuln ningún denomindor en l ecución originl. En este cso, no es válid por tl motivo. Luego l únic solución es:. 8 8 ) Resuelv el siguiente sistem de inecuciones: 6 6 (, puntos) Resolvemos cd inecución por seprdo. 8 < + 8 8 < 8 < 7 7 > 7 Hemos psdo ls l segundo miembro pr que se simplifiquen en un sumndo con coeficiente positivo. Además, l penúltim desiguldd leíd de derech izquierd es ectmente igul l últim desiguldd leíd en l form hbitul. Más delnte, representremos gráficmente l solución obtenid, junto con l de l otr inecución, pr obtener l solución del sistem. 6 6 Psmos los divisores multiplicndo los miembros contrrios; como mbos son positivos, no cmbi el sentido de l desiguldd: ( + 6) (6 ) 8 + 0 8 + 0 6 6 Llevmos un mismo gráfico mbs soluciones: ( /7, +) (, 6/] 0 Y observmos que los vlores de que son soluciones de mbs inecuciones, es decir, los que verificn mbs condiciones, o se, los que están en ls dos zons coloreds l vez, son los vlores de del intervlo ( /7,6/], que está bierto en /7, y que este punto es solución de l segund inecución (zon inferior, zul), pero no de l primer (zon superior, ros), y cerrdo en 6/, pues dicho vlor está en mbs zons. Por tnto, l solución del sistem son los vlores del intervlo: ( /7, 6/]) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Primer Emen ª evlución º ESO 0 de enero de 0 6) Resolver l inecución 0 (, puntos) Descomponemos fctorilmente y clculmos ls ríces de los polinomios del numerdor y del denomindor: 0 ó 0 ( ) 0 0 porque un producto vle 0 si, y sólo si lguno de los fctores es 0. Tenemos l descomposición fctoril y ls ríces, en los dos últimos psos. + 0 Por consiguiente, l inecución se trnsform en: ( ) 0 lo que nos llev evlur el signo de es epresión. Dividimos R en intervlos medinte ls ríces obtenids: 0 Evlumos el signo de l epresión en cd uno de los intervlos resultntes. Pr ello, bst con elegir un vlor culquier de en cd intervlo, porque el signo será el mismo, en ese intervlo, pr culquier vlor de que elijmos: (, ) (, 0) 0 (0, ) (, +) + 0 + + + 0 + + 0 + ( ) / + 0 0 + Sirven? No No Si Si No Si Si Luego l solución de l inecución es: (, 0] [, + ) 7) Epresr en form de intervlo y de entorno el conjunto { R / + < } ( punto) Según un de ls definiciones de entorno, ese conjunto es: E(, ) (, + ) (, ) 8) Resolver: ( punto) Según ls propieddes del vlor bsoluto: ó 0 0 ó 7 8 7 ó 7 6 Hy cutro soluciones posibles:, 0,,. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Emen Globl ª evlución º ESO de febrero de 0 NOMBRE: ª EVALUACIÓN: APROBADA SUSPENDIDA (Mrcr lo correcto) ) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución) Resolver l ecución siguiente: 6 ) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución) Resolver l ecución siguiente: + + 6 ) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución) Resolver l ecución siguiente: 8 ) Resolver: log log log + log ) Resolver l inecución 0 (, puntos) 6) Hllr en bse l gráfico djunto. 7) Sin clculdor, siendo cotg, 90º < < 70º, hllr el resto de rzones trigonométrics de. A continución, con yud de l clculdor, decir el vlor de 0º 0 m en grdos, minutos, segundos. 8) Epresr en función de un ángulo del primer cudrnte: tg ( 7º) y cos 7770º 9) Demostrr l vercidd de l siguiente identidd: cosec sen cotg (, puntos) 0º bis) (Sólo pr quienes tienen suspendid l ª evlución) ) Simplificr l mái- 9 mo: b) Rcionlizr: bis) (Sólo pr quienes tienen suspendid l ª evlución) Hllr l sum de 0 términos de,,,... bis) (Sólo pr quienes tienen suspendid l ª evlución) ) Fctorizr el polinomio siguiente (sin usr clculdor): 9 0 + 8. b) Resolver l ecución: 9 0 + 8 0 (utilizr los cálculos del prtdo nterior)
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Emen Globl ª evlución º ESO de febrero de 0 SOLUCIONES ) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución) Resolver l ecución si- guiente: 6 Aislmos el sumndo que contiene l ríz cudrd y elevmos l cudrdo mbos miembros de l ecución: 6 6 ( 6 ) ( ) 6 0 + + 6 6 0 + 6 6 6 6 Como siempre que elevmos l cudrdo, hy que comprobr l vlidez de ls soluciones, sustituyendo en l ecución originl: : + 6 + : válid /: Sustituimos y relizmos l operción con l clculdor, y result ser igulmente válid. ) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución) Resolver l ecución siguiente: + + 6 Buscmos que prezc repetidmente l mism bse con el mismo eponente, conteniendo l incógnit: + + 6 6 Hcemos el cmbio de incógnit t : t t 0t t t t 6 6 6t 6 8 t 8 8 8 Deshcemos el cmbio: 8. ) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución) Resolver l ecución siguiente: 8 8 ( ) ( ) 8 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 8 + + 8 + 6 0 6 Como ningun de ls dos nul ningún denomindor en l ecución originl, mbs son válids: ó. ) Resolver: log log log + log Sbemos que suelen ser más fáciles ls ecuciones si, en lugr de quitr logritmos y clculmos el vlor de, verigumos directmente el vlor de log. Así: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Emen Globl ª evlución º ESO de febrero de 0 log log log + log log log log + log log log log log. L solución obtenid es válid porque no hce negtivo ni cero ningún rgumento de logritmos en l ecución originl. ) Resolver l inecución 0 (, puntos) Fctorizmos y hllmos ls ríces de numerdor y denomindor por seprdo: 0 ( ) 0 0 ó. L fctorizción es ( ). + 0. L fctorizción es +. L inecución qued sí: ( ) 0 Eso signific que hy que encontrr los vlores de que hcen que l epresión del primer miembro se positiv o nul. Dividimos R en intervlos medinte ls ríces obtenids y cremos el siguiente cudro. En cd uno de los intervlos resultntes, culquier vlor de que elijmos producirá el 0 mismo signo pr cd uno de los fctores que prticipn en l inecución y, por tnto, en l epresión cuyo signo evlumos: (, ) (, 0) 0 (0, ) (, +) + 0 + + + 0 + + 0 + ( ) / + 0 0 + Sirven? No No Si Si No Si Si Por tnto, l solución son los elementos de: (, 0] [, +) 6) Hllr en bse l gráfico djunto. Llmndo y l bse del triángulo rectángulo más pequeño de l derech, se tiene, si nos fijmos en dicho 0º triángulo y en el triángulo totl (mbos son rectángulos): tg0º y y tg 0º Igulmos: tg0º (0 y) tg0º 0 y y tg0º (0 + y)tg 0º y tg0º 0 tg 0º + y tg 0º y tg 0º y tg 0º 0 tg 0º y(tg 0º tg 0º) 0 tg 0º 0 tg0º y tg0º tg0º 0 tg0º 0 tg0º tg 0º De donde: y tg 0º tg 0º, m tg0º tg0º tg0º tg0º 0 m y 0º IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Emen Globl ª evlución º ESO de febrero de 0 7) Sin clculdor, siendo cotg, 90º < < 70º, hllr el resto de rzones trigonométrics de. A continución, con yud de l clculdor, decir el vlor de en grdos, minutos, segundos. Como l cotngente es negtiv en el segundo cudrnte y positiv en el tercero, el ángulo está en el segundo cudrnte. tg cotg + tg cos cos cos tg sen tg sen tg cos cos sec cosec cos sen /, negtivo por ser del segundo cudrnte. / Con l clculdor, obtenemos (prtiendo de que tg /), que 6,7º. Como es del II cudrnte: 6,7º + 80º,º º 6,8 8) Epresr en función de un ángulo del primer cudrnte: tg ( 7º) y cos 7770º tg ( 7º) tg ( 7º + 60º) tg 8º, pues l dr un vuelt complet estmos en l mism posición inicil sobre l circunferenci. cos 7770º cos 0º cos (0º 80º) cos 0º y que es l relción entre el coseno de ángulos del tercer y primer cudrnte. El vlor de 0º es el resto de dividir 7770º entre 60º (son vuelts complets más dicho resto). cosec 9) Demostrr l vercidd de l siguiente identidd: sen cotg cosec sen sen sen cotg sen sen (, puntos) bis) (Sólo pr quienes tienen suspendid l ª evlución) ) Simplificr l máimo: 9 b) Rcionlizr: 9 8 IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Emen Globl ª evlución º ESO de febrero de 0 ( ( ) ) 9 6 ( ) 9 6 7 9 bis) (Sólo pr quienes tienen suspendid l ª evlución) Hllr l sum de 0 términos de,,,... Se trt de un progresión geométric con, r. Por tnto: ( 0 0 r ) s 0 r Aunque dmos este resultdo finl, se podrí dividir por Ruffini, resultndo un epresión polinómic. bis) (Sólo pr quienes tienen suspendid l ª evlución) ) Fctorizr el polinomio siguiente (sin usr clculdor): 9 0 + 8. b) Resolver l ecución: 9 0 + 8 0 (utilizr los cálculos del prtdo nterior) Medinte Ruffini: 9 0 8 9 9 8 9 9 8 0 Como no encontrmos más vlores, hllmos ls posibles ríces restntes resolviendo l ecución de segundo grdo: 8 9 9 869 868 9 9 9 + 8 0 8 8 8 0 7 8 Luego: 9 0 + 8 9( )( /)( 7/) Según lo nterior, ls ríces son:, /, 7/. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Recuperción de l ª y ª evlución º ESO NOMBRE: ) Simplificr ls siguientes epresiones, rcionlizndo el denomindor, en su cso: ) 0 (0, puntos) b) (0, puntos) ) Los primeros términos de un sucesión son: 7; ; 8; y sí sucesivmente, multiplicndo el término nterior por pr obtener el que le sigue. Se pide: ) Qué tipo de sucesión es? (0, punto) b) Emplendo lgun fórmul decud l tipo de sucesión que es, sumr sus primeros términos. (0,9 puntos) ) Clculr 7. (0 puntos) ) Hllr el vlor de m pr que el resto de dividir P() entre se, siendo P() m 8 + (0, puntos) b) Sin usr l clculdor, fctorizr Q() 6 8 + (0, puntos) ) Resolver ls ecuciones: ) ( punto) b) log + log 0 ( punto) c) 0 + 0 ( punto) d) ( punto) ) Resolver l inecución 0 ( punto) 6) Contestr ls siguientes cuestiones: ) Sin clculdor, siendo tg, 90º < < 70º, hllr el resto de rzones trigonométrics de. A continución, con yud de l clculdor, decir el vlor de en grdos, minutos, segundos. ( punto) b) Hllr sin clculdor el vlor ecto de sen 60º. (0, puntos) c) Convertir rdines 0º, epresándolo medinte un epresión simplificd que en l que prezc. (0, puntos) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Recuperción de l ª y ª evlución º ESO SOLUCIONES ) Simplificr ls siguientes epresiones, rcionlizndo el denomindor, en su cso: ) b) 0 0 6 (0, puntos) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es 6 6 7 ( 7 ( ) 6 ( ) 7 6 ) (0, puntos) ) Los primeros términos de un sucesión son: 7; ; 8; y sí sucesivmente, multiplicndo el término nterior por pr obtener el que le sigue. Se pide: ) Qué tipo de sucesión es? (0, punto) Es un progresión geométric, con 7 y r. b) Emplendo lgun fórmul decud l tipo de sucesión que es, sumr sus primeros términos. (0,9 puntos) ( r ) 7( ) s 866 r ) Clculr 7. (0 puntos) 7 69 ) Hllr el vlor de m pr que el resto de dividir P() entre se, siendo P() m 8 + (0, puntos) Según el Teorem del Resto, el resto de l citd división es: P() 8m 8 + 8m 9 8 8m 9 m m 6 8 b) Sin usr l clculdor, fctorizr Q() 6 8 + (0, puntos) Intentmos, inicilmente, Ruffini: 6 8 6 7 6 7 0 Como no encontrmos cómo continur, resolvemos l correspondiente ecución de segundo grdo pr verigur si tiene más ríces: 0 6 7 9 0 7 7 7 0
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Recuperción de l ª y ª evlución º ESO Luego P() 6( )( + /)( /) ) Resolver ls ecuciones: ) ( punto) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6 + 9 ( + 6 + 9) + 6 6 + 9 6 9 + 6 + 6 0 + 6 + + 7 + 6 0 7 9 7 6 Ambs soluciones son válids, puesto que no nuln los denomindores iniciles: ó 6. b) log + log 0 ( punto) log + log 0 log + log log 0 log + log log log log log / 0 / 0 L solución hlld es válid porque no nul los rgumentos de los logritmos de l ecución inicil. En relidd, hbrí dos soluciones: 0, pero 0 no es válid, porque hrí negtivo el rgumento del logritmo del primer miembro de l ecución originl, lo que no es posible. c) 0 + 0 ( punto) 0 + 0 ( ) 0 + 0 Llmndo t : 0 t 0 900 00 0 0 0t + 0 t 0 Si t Como t, Si t d) ( punto) ( IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es ) ( ) ( ) 9 6 8 9 6 8 9 6 6 0 9 6 78 9 0 ( ) (6 ) 78 608 900 0
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Recuperción de l ª y ª evlución º ESO 78 7 78 7 0 0 78 7 0 Ambs son válids, como puede comprobrse sustituyendo en l ecución originl. ) Resolver l inecución 0 ( punto) Ríces del numerdor: + 0. Fctorizdo: +. Ríces del denomindor: 0 ( ) 0 0 ó. Fctorizdo: ( ). Inecución resultnte con los polinomios fctorizdos: 0 ( ) División de R en intervlos medinte ls ríces: 0 (, ) (, 0) 0 (0, ) (, +) + 0 + + + 0 0 + + 0 + ( ) 0 + / / + Sirven? No Si Si No No No Si Luego l solución son los puntos de: [, 0) (, +). 6) Contestr ls siguientes cuestiones: ) Sin clculdor, siendo tg, 90º < < 70º, hllr el resto de rzones trigonométrics de. A continución, con yud de l clculdor, decir el vlor de en grdos, minutos, segundos. ( punto) Como l tngente es negtiv en el segundo cudrnte y positiv en el tercero, el ángulo está en el segundo cudrnte. cotg tg + tg cos cos cos tg IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es sen tg sen tg cos cos sec cos /, negtivo por ser del segundo cudrnte.
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Recuperción de l ª y ª evlución º ESO cosec sen / Con l clculdor, obtenemos (prtiendo de que tg ), que 6,º. Como es del II cudrnte: 6,º + 80º 6,7º 6º b) Hllr sin clculdor el vlor ecto de sen 60º. (0, puntos) sen 60º sen 0º sen (0º 80º) sen 0º / y que és es l relción entre el coseno de ángulos del tercer y primer cudrnte. El vlor de 0º es el resto de dividir 60º entre 60º (son vuelts complets más dicho resto). c) Convertir rdines 0º, epresándolo medinte un epresión simplificd que en l que prezc. (0, puntos) Usmos un simple regl de : 0 rd 80º 0º 80 6 IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es