FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y ALGUNAS APLICACIONES Jesús Vilchez Guizado Ángela Ramón Ortiz Primera Edición Huánuco- Perú 2014
Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones Primera Edición, mayo 2014 Jesús Vilchez Guizado Ángela Ramón Ortiz Huánuco, Perú Impreso por: Autores Editores S.A.S www.autoreseditores.com Este libro no podrá ser reproducido en todo o en parte, por ningún medio impreso o de reproducción sin permiso escrito de los autores. Impreso en Colombia /Printed in Colombia 2
Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones Índice general Introducción 5 Cuándo y cómo aparece la Trigonometría?.. 7 Esquema de contenido 10 Requistos para el estudio del tema 11 Actividades previas al estudio de funciones trigonométricas.. 13 Unidad 1. Arcos orientados y función envolvente 23 1.1. Arcos orientados en la circunferencia unitaria.. 29 1.2. Arcos orientados coterminales 33 1.3. Función envolvente en la C 1 (O). 34 1.4. Arcos orientados notables en la C 1 (O) 37 1.5. Periodicidad de la función envolvente... 39 Ejercios de comprobación de aprendizajes... 44 Unidad 2. Ángulos y arcos orientados: sus medidas 45 2.1. Ángulos y arcos orientados... 48 2.2. Ángulos coterminales... 54 2.3. Medición de ángulos orientados: sistema de medidas angulares.. 61 2.3.1. Sistema radial (o circular)... 61 2.3.2. Sistema sexagesimal (o inglés)... 63 2.4. Relación entre sistemas de medida angular 67 2.5. Longitud de arcos orientados en la circunferencia. 68 Ejercios de comprobación de aprendizajes... 71 Unidad 3. Funciones trigonómetricas.. 73 3.1. Las función seno y coseno.. 79 3.2. Función tangente y cotangente... 88 3.3. Función secante y cosecante.. 95 3.4. Relaciones entre funciones trigonométricas.. 99 3.5. Funciones trigonométricas por reducción al cuadrante I: ángulo de referencia. 102 3.6. Gráfica de las funciones trigonométricas.. 108 Ejercios de comprobación de aprendizajes... 130 3
Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz Unidad 4. Funciones trigonométricas inversas.. 133 4.1. La función inversa.. 137 4.2. La función inversa del Seno... 140 4.3. La función inversa del Coseno... 144 4.4. La función inversa de la Tangente. 147 4.5. La función inversa de la cotangente, secante y cosecante. 149 Ejercios de comprobación de aprendizajes... 150 Unidad 5. Identidades trigonómetricas: aplicaciones.. 152 5.1. Identidades trigonométricas fundamentales.. 155 5.2. Identidades derivadas.... 157 5.3. Identidades para sumas y diferencias. 164 5.4. Identidades del doble y de la mitad.. 171 5.5. Identidades de sumas y productos.... 175 5.6. Ecuaciones trigonométricas.. 181 Ejercios de comprobación de aprendizajes... 188 Unidad 6. Aplicaciones de las funciones trigonométricas 189 6.1. Resolución de triángulos rectángulos... 193 6.1.1. Ángulos de depresión y de elevación. 195 6.1.2. Rumbos... 200 6.2. Resolución de triángulos oblicuángulos... 203 6.2.1. La ley del seno y resolución de triángulos oblicuángulos.... 204 6.2.2. La ley del coseno y resolución: de triángulos oblicuángulos... 209 6.2.3. Ley de lastangentes y aplicaciones.... 214 6.2.4. La fórmula de Heron y aplicaciones...... 217 Ejercios de comprobación de aprendizajes... 220 4
Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones Introducción Este libro está orientado a dar algunos alcances al profesor del área de matemática de la educación básica, a los estudiantes de los últimos grados del nivel secundario y a otros lectores interesados de estudiar de manera sencilla las funciones trigonométricas que se constituye en la base teórica del estudio de la matemática superior y la interpretación de muchos fenómenos naturales y abstractos. Referido a los profesores, pretende servir de guía con recomendaciones didácticas y prácticas sobre la manera cómo debe orientar y desarrollar sus clases de las funciones reales de variable real y a partir de ella el proceso de enseñanzaaprendizaje de las funciones trigonométricas a partir de situaciones concretas. Sustentado en conceptos, propiedades y gráficas con la finalidad de que se pueda tener un estudio integral de la teoría y sus aplicaciones en distintas áreas de la ciencia y la tecnología. Para los estudiantes de los últimos años de la educación secundaria, este libro puede serles útil en dos sentidos: primero, como material de consulta y apoyo para su comprensión de los fenómenos periódicos que se suscitan en nuestro entorno físico y, segundo, como texto de consulta para su formación como futuros estudiantes de áreas de formación profesional en el nivel superior, ya que se da un enfoque basado en términos propios de un curso de precálculo que puede servir para entender con solvencia los tópicos del cálculo diferencial, cálculo integral y otros tópicos durante los estudios en el contexto de la educación superior técnica o universitaria. En general, el libro puede servir a cualquier profesional inclusive de áreas diferente de las ciencias que tienen algún interés en aprender algo de trigonometría y sus aplicaciones, este libro puede servirles de ayuda por las conclusiones que de él se derivan en el sentido de cómo se debe abordar la secuencia en el estudio de la trigonometría en general que resulte mucho más efectiva y práctica. El texto en su estructura de seis unidades ofrece modelos y recomendaciones a seguir en el estudio del tema, está provisto de ejemplos resueltos, ejercicios por concluir su resolución y problemas propuestos para resolver, necesarios para que un estudiante promedio, entienda en forma significativa este tópico de la matemática elemental. Puesto que el objetivo del libro es llegar a alumnos de secundaria, a los docentes de matemática de secundaria y también a los estudiantes de la preparatoria, hemos 5
Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz procurado utilizar un lenguaje sencillo y accesible a todos los lectores, evitando al máximo recurrir términos muy técnicos; incidiendo en elementos motivadores, a través de explicaciones destinadas a aclarar la terminología y los conceptos involucrados en cada caso mediante gráficos en el plano cartesiano. Teniendo en cuenta lo expresado líneas adelante, el libro se inicia con ejemplos basados en actividades concretas, se hace el estudio de las funciones circulares a partir de la función envolvente en la circunferencia unitaria, se definen las funciones trigonométricas incidiendo en sus propiedades analíticas y las funciones trigonométricas inversas centrados en su análisis de sus propiedades a partir de sus gráficos. Seguidamente, se hace un estudio de las identidades trigonométricas a partir del teorema fundamental de la trigonometría, el cual sirve de base para deducir las distintas identidades y transformaciones trigonométricas, que sirven de instrumento para poder resolver las ecuaciones trigonométricas, luego se hace algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas a la resolución de triángulos rectángulos, oblicuángulos y rumbos. La obra es de gran utilidad para los estudiantes que cursan los últimos grados del nivel secundario que aspiran a seguir estudios superiores, toda vez que, se trata de desarrollar los tópicos de la trigonometría desde una óptica diferente a la tradicional, incidiéndose en la esencia periódica de las funciones trigonométricas que modela en forma óptima los fenómenos de nuestro mundo físico cuyo estudio es fundamental en la sociedad de la información y comunicación en que nos tocó vivir. Los autores 6
Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones Cuándo y cómo aparece la Trigonometría? La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Hace unos 4000 años en Babilonia y Egipto se determinó y se establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales. Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, con el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea (190 a.c.) considerado el padre de la Trigonometría, creador de una tabla Trigonométrica para resolver triángulos, fue el observador más grande de la antigüedad, construyó un catálogo estelar que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas con gran precisión, en su estudio continuó el método ideado por Aristarco: midió la distancia y el tamaño de la Luna. Con los aportes de Aristarco se renovó la Trigonometría, herramienta esencial de la cosmología, astrofísica y astronomía, a la que perfeccionó con nuevos instrumentos. Luego, Claudio Ptolomeo (150 a.c.) dio importantes contribuciones a la trigonometría, publicó la primera tabla de cuerdas, que proporciona un método para resolver triángulos. En Grecia la división del círculo en 360 grados. Para crear su tabla Trigonométrica, comenzó con un ángulo de 71 y yendo hasta 180 con incrementos de 71, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno, Ptolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal de los babilonios. La obra de Ptolomeo 7
Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz se conoce a través de la versión árabe del Almagesto. Este libro constituye la base del primer texto de Astronomía, luego a fines del siglo XV Cristóbal Colón descubrió América, y pocos años más tarde Copérnico planteó el punto de vista heliocéntrico del movimiento de la tierra. Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado Canon matemáticas el triángulo polar en la trigonometría esférica. Descartes y Newton que coadyuvaron para la presentación de la Trigonometría a partir de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria en el plano cartesiano. Desde esta perspectiva, el método de coordenadas desarrollado por Descartes (1596-1650) para ubicar un punto del plano fue fundamental para la evolución del concepto de función trigonométrica y dio las bases para que Isaac Newton inventara el cálculo diferencial e integral, sustentada en la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Desarrollando series para el sen(x), cos(x) y la tan(x); que hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó el número pi (π). Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital; así 8
Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones como el desarrollo de la informática, las telecomunicaciones y la comprensión de diversos fenómenos periódicos. Actualmente, la trigonometría es una herramienta fundamental para el estudio de muchos fenómenos físicos, la mayoría de ellos estudiados en los primeros cursos del Bachillerato y otros, quizás, más adelante Aquí ofrecemos la posibilidad de ver con creatividad y en forma elemental algunas aplicaciones de la trigonometría. No pretendemos ser un formar eruditos en la materia, simplemente pretendemos que después de estudiar el texto el lector tenga una idea aproximada de para qué sirve la trigonometría Por ejemplo, la trigonometría se utiliza para: estudiar el movimiento de un cuerpo que oscila (movimiento armónico simple); estudiar cómo se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x, o las ondas sonoras, que es el ejemplo que se puede percibir en forma natural o formal; estudiar triángulos no ya en una superficie plana, sino en una superficie esférica, lo cual resulta muy útil para la astronomía o la navegación (es lo que se conoce como TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA); entre otras muchas. 9
Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz ESQUEMA DE CONTENIDO DEL LIBRO ARCOS ORIENTADOS Y FUNCIÓN ENVOLVENTE ÁNGULOS, ARCOS ORIENTADOS Y SUS MEDIDAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIÓN COSENO FUNCIÓN TANGENTE FUNCIÓN SENO FUNCIÓN SECANTE FUNCIÓN COTANGENTE FUNCIÓN COSECANTE PROPIEDADES DE LAS F. T. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: APLICACIONES 10