UNIERSIDD NCIONL DE COLOMI SEDE MEDELLÍN FCULTD DE CIENCIS-ESCUEL DE FÍSIC FÍSIC MECÁNIC MÓDULO # 3: EJERCICIOS SORE CINÉMTIC DEL MOIMIENTO RECTILÍNEO Diego Luis ristizábl R., Roberto Restrepo., Ttin Muñoz H. Profesores, Escuel de Físic de l Universidd Ncionl de Colombi Sede Medellín Tems Protocolo pr relizr un correcto nálisis cinemático de un prtícul Ejemplos de movimientos rectilíneos especiles Movimientos ligdos ejemplos Movimiento reltivo ejemplos Ejemplos de movimientos rectilíneos no especiles Protocolo pr relizr un correcto nálisis cinemático de un prtícul Pr relizr el estudio del movimiento de un cuerpo (o conjunto de cuerpos) se recomiend seguir el siguiente protocolo:. Hcer un representción clr de l situción (un dibujo lo más simple posible).. Indicr con precisión cuál es el móvil que se v estudir. 3. Definir el mrco de referenci. En muchos problems elementles h mrcos de referenci comunes mu obvios, por ejemplo: l cer, l clle, el edificio, el lbortorio, el plno inclindo. 4. Definir el eje de coordends con su respectivo origen orientción: se fij l mrco de referenci. 5. Definir ls condiciones iniciles: posición velocidd del móvil en un instnte determindo (es usul que dicho instnte se elij como el instnte inicil del movimiento por ello el nombre). 6. nlizr l situción generl del movimiento (encontrr ls expresiones generles): ést es un ide fundmentl en cinemátic ( en mecánic en generl). Conocer fondo l cinemátic de un cuerpo, es conocer en situción generl l posición, l velocidd l celerción: es decir como dependen del tiempo. veces tmbién es necesrio expresr l situción generl de l velocidd l celerción como función de l posición. 7. Resolver los csos prticulres (búsqued de vlores específicos): resolver lgebricmente ls ecuciones. 8. Si es necesrio encontrr soluciones numérics, reemplzr los vlores en ls ecuciones sin olvidr expresr el resultdo con l respectiv unidd de medid (debe hcerse un correcto nálisis de ls uniddes de l homogeneidd dimensionl de ls ecuciones). 9. nlizr l coherenci del resultdo.
Not: Estos psos son sólo un derrotero se pueden grupr o cmbir de orden de cuerdo l hbilidd dquirid cd situción. Ejemplos de movimientos rectilíneos especiles Ejemplo Dos utos se ubicn respectivmente en un instnte ddo 0,0 m 300 m de un punto de referenci O. Los utos se desplzn el uno hci el otro en ese instnte tiene un rpidez igul 5,00 m/s un rpidez igul,00 m/s. Si se desplz con velocidd constnte con celerción igul,00 m/s (hci ), hllr el punto de encuentro respecto O. Solución:. Representción de l escen físic. Se hizo en el instnte t=0 s, Figur. Figur. Los móviles son. 3. Mrco de referenci: l crreter. 4. Eje coordendo elegido: ver Figur, en donde se represent un situción generl en un instnte culquier t. Figur
5. Ls ecuciones generles de l cinemátic de los utos conocids ls condiciones iniciles escrits en uto : el SI son, x = 0 + 5t [] 3 uto : x = 300 - t - t [] = - - t [3] = 4 - x-300 [4] 6. El punto de encuentro se d cundo x =x por lo tnto, 0 + 5t = 300 - t - t 7. Resolviendo l ecución se obtiene, t=8, s por lo tnto el punto de encuentro es, x = 0 + 5 8, = 00,5 m Es decir se encuentrn un distnci igul 00,5 m del punto de referenci O. Ejemplo Un crrito de longitud L desciende sobre un plno inclindo. Pr medir l celerción con l cul desciende se emplen dos fotocompuerts seprds un distnci sobre el plno igul d. Si los intervlos de tiempo que invierte el crrito en trvesr cd fotocompuert son respectivmente igules t t, demostrr que es igul : = - L x d t t
Solución: En l Figur 3 se ilustr l escen físic con el móvil (crrito) ubicdo en un posición x en un instnte t. Tmbién está representdo el eje de coordends elegido. El mrco de referenci es el plno inclindo. 4 Figur 3 L ecuciones generles de l cinemátic del crrito el cul desciende con celerción constnte (MU), sumiendo que l posición inicil es x o =0 velocidd inicil o =0 son, x = xt [] = t [] x x x = x x [3] Ls velociddes del crrito cundo ps por l primer l segund fotocompuert se pueden clculr como vlores medios, L = [4] t L = [5] t dicionlmente ests velociddes se pueden clculr emplendo l ecución [3], = x [6] x = x [7] x
De ls ecuciones [6] [7] sbiendo que x -x =d se obtiene, x = - [8] d Reemplzndo [4] [5] en [8] se obtiene, = - L x d t t 5 l verificr ls uniddes se observ homogeneidd dimensionl. Ejemplo 3 Un helicóptero sciende verticlmente con un rpidez de 5,0 m.s -. un ltur de 5 m, un person suelt un pquete desde un ventnill. Cuánto tiempo trd el pquete en llegr l suelo? Solución: En l Figur 4, se ilustr l escen físic con el móvil (pquete), el eje de coordends elegido el mrco de referenci (el piso). l izquierd se represent el móvil en ls condiciones iniciles elegids: t=0 s, o =5 m, o =5,0 m/s (por inerci, el pquete sle con l velocidd que llev el helicóptero en el instnte en que se suelt). l derech se represent el pquete en un instnte t en donde se encuentr en descenso. Figur 4
Como el pquete está en cíd libre ls ecuciones generles básics escrits en el SI con ls condiciones iniciles elegids son, = 5 + 5,0t - 4,90t [] = 5,0-9,8t [] = 7,04-9,6-5 [3] 6 En el piso =0, por lo tnto reemplzndo en l ecución [] se obtiene, 5 + 5,0t - 4,90t = 0 t = 5,6 s Tre: Clculr l ltur máxim l velocidd de llegd l piso. Hcer un nálisis gráfico trvés de l gráfic vs t. Ejemplo 4 Un globo desciende con velocidd constnte de 0 m/s. En cierto momento su tripulnte dej cer un piedr sin comunicrle ningún impulso. Hllr l distnci entre el globo l piedr en función del tiempo. Evlur los 5 s. Solución: En l Figur 5, se ilustr l escen físic con el móvil (piedr), el eje de coordends elegido el mrco de referenci (el piso). l izquierd se represent el móvil en ls condiciones iniciles elegids: t=0 s, o =h, o =-0 m/s (por inerci, l piedr sle con l velocidd que llev el globo en el instnte en que se suelt). l derech se represent l piedr el globo en un instnte t culquier en donde están seprdos por un distnci igul H. Como l piedr está en cíd libre ls ecuciones generles básics escrits en el SI con ls condiciones iniciles elegids son, p = h - 0t - 4,90t [] p = -0-9,8t [] = 00-9,6 -h [3] p En el cso del globo este desciende con movimiento uniforme (MU) su ecución generl básic es, g = h - 0t [4]
7 Figur 5 Trnscurrido un intervlo de tiempo igul t, l distnci que se llevn mbos se obtiene restndo l ecución [] con l ecución [4], - = - 4,9t p g Evlundo en t= 5 s se obtiene, - = -,5 m p g H = - p g H=,5 m Movimientos ligdos ejemplos Ejemplo 5 Pr el sistem mecánico de l Figur 6 demostrr que, + = 0 + = 0 en donde,, son ls respectivs velociddes celerciones de los bloques.
8 Figur 6 Solución: En l Figur 7 se ilustr el eje de coordends elegido. Como mrco de referenci se eligió en techo. Figur 7 Los móviles (bloque bloque ) se encuentrn ligdos por l cuerd. Supóngse que l cuerd tiene longitud L, l cul permnece constnte, por lo tnto, L = + πr + = constnte en donde R corresponde l rdio de l pole. Derivndo es ecución respecto l tiempo se obtiene, d dt d dt + = 0 es decir,
+ = 0 derivndo de nuevo respecto l tiempo, d dt d dt + = 0 + = 0 9 Ejemplo 6 Pr el sistem mecánico de l Figur 8 demostrr que, + = 0 + = 0 Figur 8 en donde,, son ls respectivs velociddes celerciones de los bloques. Solución: En l Figur 9 se ilustr el eje de coordends elegido. Como mrco de referenci se eligió en techo. Figur 9
Los móviles (bloque bloque ) se encuentrn ligdos por l cuerd. Supóngse que l cuerd tiene longitud L, l cul permnece constnte, por lo tnto, L = c + - c + πr + - c + πr + = constnte en donde R corresponde l rdio de l pole móvil, R el de l pole fij, c c son constntes. Derivndo es ecución respecto l tiempo se obtiene, 0 d dt d dt + = 0 es decir, + = 0 derivndo de nuevo respecto l tiempo, d dt d dt + = 0 + = 0 Ejemplo 7 Pr el sistem mecánico de l Figur 0 demostrr que, + + C= 0 + + C= 0 Figur 0 en donde,, C,, c son ls respectivs velociddes celerciones de los bloques.
Solución: En l Figur se ilustr el eje de coordends elegido. Como mrco de referenci se eligió en techo. Figur El bloque l pole P se encuentrn ligdos por un cuerd. Supóngse que l cuerd tiene longitud L, l cul permnece constnte, por lo tnto, L = - c + πr + p- c = constnte [] en donde p es l posición de l pole móvil, R es el rdio de l pole fij c es un constnte. El bloque el bloque C se encuentrn ligdos por otr cuerd. Supóngse que l cuerd tiene longitud L, l cul permnece constnte, por lo tnto, p p L = - + πr + - = constnte [] c en donde p es l posición de l pole móvil, R es el rdio de ést. Derivndo respecto l tiempo ls ecuciones [] [] se obtiene, + = 0 [3] p + C - p = 0 [4] Combinndo ls ecuciones [3] [4], + C+ = 0 [5] Derivndo est ecución respecto l tiempo, + C+ = 0 [6]
Movimiento reltivo ejemplos En l Figur se ilustrn dos prtículs en movimiento respecto lgún mrco de referenci. Figur Ls posiciones de ls prtículs respecto l sistem de coordends elegido son respectivmente r /O, r /O. L posición reltiv de l prtícul respecto l prtícul es r /. De l sum de vectores se conclue que, r /o = r /o + r / Y por lo tnto, r / = r /o - r /o [] Derivndo respecto l tiempo est ecución, / = /o - /o [] Derivndo respecto l tiempo otr vez, / = /o - /o [3] Ls ecuciones [], [] [3] son ls ecuciones básics que expresn l cinemátic del movimiento reltivo entre dos prtículs. Ejemplo 8 Un cuerpo se dej cer dentro de un scensor, Figur 3. Clculr l celerción de cíd del cuerpo respecto l piso del scensor en los siguientes csos:
El scensor sube con velocidd constnte. El scensor bj con velocidd constnte. El scensor sube con celerción respecto l edificio igul 3 m.s -. El scensor bj con celerción respecto l edificio igul 3 m.s -. Se revient el cble el scensor desciende en cíd libre. 3 Figur 3 L celerción del cuerpo respecto O es, = - g ˆj /O L celerción del scensor respecto O es en generl, = ˆj /O Usndo l expresión [3] pr el movimiento reltivo se obtiene que l celerción del cuerpo respecto l piso del scensor es, / = /O - /O / = -g ˆj- ˆj / = - g + ˆj [] Si el scensor sube o bj con velocidd constnte, =0 por lo tnto l ecución [] qued, = -g ˆj / Es decir l celerción respecto l piso del scensor tmbién es l celerción de l grvedd.
Si el scensor sube con celerción de 3 m.s -, =+3 m.s - por lo tnto l ecución [] qued, / ˆ = - 9,80 + 3 j m.s = -,8 ˆj m.s / Es decir l grvedd prente es mor 9,80 m.s -. 4 Si el scensor bj con celerción de 3 m.s -, =-3 m.s -, por lo tnto l ecución [] qued, / ˆ = - 9,80-3 j m.s = - 6,80 ˆj m.s / Es decir l grvedd prente es menor 9,80 m.s -. Si el scensor bj en cíd libre, =-g por lo tnto l ecución [] qued, = - g - g ˆj / / = 0 ˆj m.s Es decir l grvedd prente es nul (esto se denomin estdo de ingrvidez ). Recordr que el scensor sólo será un mrco de referenci inercil si está en reposo o se mueve con velocidd constte respecto O. Ejemplo 9 Un got de lluvi ce con velocidd de,00 m/s respecto l clle. Si un hombre vnz horizontlmente con un velocidd de 4,00 m/s respecto l clle, clculr l velocidd de l got respecto l hombre. er Figur 4. Solución: Figur 4
L velocidd de l got respecto O es, = -,00 ˆj m.s G/O L velocidd del hombre respecto O es, = 4,00 ˆi m.s H/O Usndo l expresión [] pr el movimiento reltivo se obtiene que l velocidd del cuerpo respecto l hombre es, 5 G/H = G/O - H/O ˆ ˆ G/H = -,00 j - 4,00 i m.s Es decir su rpidez respecto l hombre es, G/H - = -,00 + 4,00 m.s = 4, m.s G/H l dirección de l velocidd de l got respecto l hombre es, Figur 5, Figur 5 Ejemplos de movimientos rectilíneos no especiles Ejemplo 0 Un cuerpo se desceler proporcionlmente su velocidd, es decir, = - k Demostrr que: = e o - kt
x = o k - e - kt = o - kx en donde 0 corresponde su velocidd inicil. Solución: 6 = - k d = - k dt d = o 0 t -k dt Ln - Ln o = -kt - kt = o e [] En l Figur 6 se ilustr el comportmiento est ecución. Continundo, Figur 6 dx = o e dt - kt x t -kt dx = oe dt 0 0 x = t -kt o e dt 0 o -kt x = - e [] k
En l Figur 7 se ilustr el comportmiento de est ecución. 7 Figur 7 Continundo, combinndo ls ecuciones [] [], = o - kx En l Figur 8 se ilustr el comportmiento de est ecución. Figur 8 Ejemplo L celerción de un cuerpo que oscil tdo un resorte, Figur 8, es: = -w en donde W es un constnte (denomind frecuenci ngulr, se mide en rd.seg- ). Demostrr que l posición en función del tiempo t es un función senosoidl, = sen wt+α en donde (denomind l mplitud del movimiento) (l fse inicil de l oscilción) dependen de ls condiciones iniciles de posición o velocidd o. = + w o o α = sen - o
8 Figur 8 Hcer su representción gráfic: =f(t). Solución: = -w L ecución diferencil [3] de cinemátic rectilíne es, d = d d = o o -w d = w + - w o o d = w + - w dt o o d dt= w + - w o o wdt= d + w o o -
Se u=/, d=du, por lo que si = o entonces u o = o / por lo tnto, t u du wdt = - u 0 uo wt=rcsen u - rcsen u o o wt=rcsen - rcsen 9 = sen wt+α = sen wt+α En l Figur 9 se ilustr l gráfic vs t. Figur 9 Tller Con los ejercicios siguientes el objetivo es dquirir l destrez pr nlizr de form ordend metódic l cinemátic de cuerpos desplzándose con trectori rectilíne. En cd un de ls soluciones se deberá:. Hcer un representción clr de l situción (un dibujo lo más simple posible).. Indicr con precisión cuál es el móvil que se v estudir. 3. Definir el mrco de referenci. En muchos problems elementles h mrcos de referenci comunes mu obvios, por ejemplo: l cer, l clle, el edificio, el lbortorio, el plno inclindo. 4. Definir el eje de coordends con su respectivo origen orientción: se fij l mrco de
referenci. 5. Definir ls condiciones iniciles: posición velocidd del móvil en un instnte determindo (es usul que dicho instnte se elij como el instnte inicil del movimiento por ello el nombre). 6. nlizr l situción generl del movimiento (encontrr ls expresiones generles): ést es un ide fundmentl en cinemátic ( en mecánic en generl). Conocer fondo l cinemátic de un cuerpo, es conocer en situción generl l posición, l velocidd l celerción: es decir como dependen del tiempo. veces tmbién es necesrio expresr l situción generl de l velocidd l celerción como función de l posición. 0 7. Resolver los csos prticulres (búsqued de vlores específicos): resolver lgebricmente ls ecuciones. 8. Si es necesrio encontrr soluciones numérics, reemplzr los vlores en ls ecuciones sin olvidr expresr el resultdo con l respectiv unidd de medid (debe hcerse un correcto nálisis de ls uniddes de l homogeneidd dimensionl de ls ecuciones). 9. nlizr l coherenci del resultdo. Ejercicios sobre movimientos rectilíneos especiles (MU MU). Dos locomotors se proximn un l otr en vís prlels. Cd un tiene un rpidez de 95 km.h - con respecto l suelo. Si inicilmente están seprds 8,5 km, cuánto tiempo psrá ntes de que se lcncen? Rp.,7 min. En un momento determindo el coche de unos ldrones ps por un punto con un velocidd de 90 km.h -. los 0 minutos ps persiguiéndole l policí con un velocidd de 0 km.h -. qué distnci de dicho punto lo lcnz? Cuánto tiempo hbrá trnscurrido desde que psó el primer coche? Rp. 60 km; 30 min. 3. Un ciclist sle de un ciudd con un rpidez de 5 km.h -. Un segundo ciclist sle con un velocidd de 5 km.h -, h después desde l mism ciudd en l persecución el primero. Cuánto tiempo trd en lcnzrlo? qué distnci del punto de prtid? Rp.,5 h; 37,5 km. 4. Qué distnci debe recorrer un uto pr que con un celerción constnte de 3,0 m.s - lcnce un velocidd de 33 m.s -?
Rp.,8x0 m. 5. Qué velocidd máxim podrá llevr un coche pr no chocr con un obstáculo que prece repentinmente 00 m del coche? Suponer que el conductor reccion inmeditmente que l celerción de frendo (es decir, l descelerción) es igul 4,00 m.s -. Rp. 8,3 m.s -. Ejercicios sobre cíd libre 6. Un beisbolist trp un bol 3,0 s después de lnzrl verticlmente hci rrib. Con qué rpidez l lnzó que ltur lcnzó? Rp. 4,7 m.s - ;,0 m. 7. Un piedr es lnzd verticlmente hci rrib con un rpidez de,0 m/s desde el extremo de un risco de 70,0 m de lto. () Cuánto tiempo después lcnz el fondo del risco? (b) Cuál es su rpidez justo ntes de golper? (c) Qué distnci recorrió? Rp. () 5, s;(b) 38,9 m.s - ; (c) 84,7 m. 8. Se lnz un piedr verticlmente hci bjo desde el borde de un zote de un edificio. Mientrs trnscurre el décimo segundo de cíd, l piedr recorre un distnci igul l doble de l que recorrió mientrs trnscurrió el quinto segundo. Con qué velocidd se lnzó l piedr? Rp. 4,9 m.s -. 9. Dos piedrs se lnzn verticlmente hci rrib l mismo tiempo. L primer piedr se lnz con un velocidd inicil de,0 m/s desde un blcón en el piso golpe el suelo luego de 4,50 s. Con qué velocidd inicl se debe lnzr l segund piedr desde un blcón del piso 4, de modo que golpee el suelo l mismo tiempo que l primer piedr? Rp. 8 m/s Ejercicios sobre movimientos ligdos (dependientes) 0. Pr el sistem mecánico de l Figur demostrr que, + = 0 + = 0
= p = p en donde,, p,, del centro de l pole. Figur P son ls respectivs velociddes celerciones de los bloques. Pr el sistem mecánico de l Figur demostrr que, + + C = 0 + + C = 0 en donde C.,, C,, Figur C son ls respectivs velociddes celerciones de los bloques,
Ejercicios sobre movimiento reltivo. Un río flue hci el este con velocidd de 3 m.s - un bote se mueve en gu quiet con un velocidd de 4 m.s - hci el norte. Si el bote nveg en el río, clculr l velocidd del bote respecto tierr. Rp. 5 m/s, 53, o con l dirección del río. 3 3. Un río flue hci el norte con velocidd de 3 km.h -. Un bote se dirige l Este con velocidd reltiv l gu de 4 km.h -. Clculr l velocidd del bote respecto de tierr. Si el río tiene km de nchur, clculr el tiempo necesrio pr cruzrlo. Cuál es l desvición hci el norte del bote cundo lleg l otr orill del río? Rp. 5 km.h - 36,9 o con l horizontl; 5 min; 750 m. 4. Un vión vuel desde un punto otro que se encuentr 3 000 km de distnci en l dirección Este. El viento sopl en l dirección S 30 o E con velocidd de 80 km.h -, l velocidd del vión es de 600 km.h -. Determinr el tiempo de vuelo del vión entre ls dos locliddes. Rp. 4,7 h. Ejercicios sobre movimientos rectilíneos generles (NO son ni MU, ni MU) 5. L celerción de un cohete que se desplz hci rrib está dd por l ecución en el SI, = 6,00 + 0,0 x Determinr el tiempo necesrio pr que el cohete lcnce un ltitud igul 00 m. Inicilmente =0, x=0 en t = 0. Rp. 5,6 s 6. Cundo un tren está vijndo lo lrgo de un ví rect m/s, comienz celerr según l ecución en el SI, 60 = 4 Determinr l velocidd l posición 3,0 s después de celerr. Rp. 3,93 m/s 9,98 m FIN.