CÁLCULO DE PRIMITIVAS David Ariza-Ruiz Departamento de Análisis Matemático Seminario I 7 de noviembre de 202 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 / 42
Definición y propiedades Primitiva. Integral indefinida I Definición. Sea f : S R R, con S abierto. Una primitiva de f es una función F : S R R tal que F (x) = f (x) para todo x S. Propisición 2. Si S es un intervalo abierto y F es una primitiva de f, entonces todas las primitivas de f son de la forma F(x) + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 2 / 42
Definición y propiedades Primitiva. Integral indefinida II Definición 3. Se llama integral indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas, y se denota por f (x)dx. Observación 4. Usando la proposición anterior, tenemos que f (x)dx = F(x) + C con C R y siendo F (x) = f (x). (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 3 / 42
Definición y propiedades Primitiva. Integral indefinida III Observación 5. De la definición de integral indefinida se deduce ( ) f (x)dx = f (x), es decir, la derivada de una primitiva cualquiera de la función integrando f es igual a la propia función f. Ejemplo 6. Demostrar que la función F(x) = 5 cotx es la primitiva de la función f (x) = en el intervalo (0,π). sen 2 x (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 4 / 42
Propiedades Definición y propiedades Integral del producto de un número por una función. α f (x)dx = α f (x)dx para todo α R. Integral de la suma o diferencia. (f (x) ± g(x) ) dx = f (x)dx ± g(x) dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 5 / 42
Integrales inmediatas Integrales inmediatas x n dx = xn+ + C con n. n + dx = log x + C. x a 2 x 2 dx = arcsen( x a ) + C. e x dx = e x + C. sen(x)dx = cos(x) + C. a 2 + x 2 dx = a arctan( x a ) + C. cos(x)dx = sen(x) + C. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 6 / 42
Integrales inmediatas Integrales inmediatas (Ejemplos) 2 3 4 (5x 4 3x 3 + 2x π ) dx = x 5 3 4 x4 + x 2 πx + C, con C R. 2 ( ) 3 x 2 4senx dx = 3 + 4cosx + C, con C R. x xdx 2 = x 3 3 + C, con C R. 5 2x 2 + 7 dx = 5 2 ( 2x ) 2 7 arctan 7 + C, con C R. 5 Hallar F(x) sabiendo que F (x) = 6x + 3 y F( 2) = 4. Solución: F(x) = 3x 2 + 3x 2. 6 Hallar F(x) sabiendo que F (x) = 9x 2 + 4x 0 y F( ) = 0. Solución: F(x) = 3x 3 + 2x 2 0x +. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 7 / 42
Métodos de integración Cambio de variable. 2 Integración por partes. 3 Integración de funciones racionales. Tipo p(x) q(x), siendo p(x) y q(x) polinomios. 2 Tipo R(sen x, cos x). [ ) m 3 Tipo R x,( ax+b n cx+d, ( ax+b cx+d ( ) 4 Tipo R x, ±a 2 ± b 2 x 2. ) p ] q, con m,n,p,q Z, n,q 0. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 8 / 42
Cambio de variable Métodos de integración Cambio de variable Este proceso se hace en tres pasos: Paso. Hacemos un cambio de variable. Para ello, sustituimos la variable x por t, teniendo en cuenta dx y dt. Paso 2. Integración de la nueva función en t. Si la integral de la nueva función en t es más sencilla que la dada, se procede a su cálculo. en caso contrario hay que elegir otro cambio de variable u otro método de integración. Paso 3. Deshacemos el cambio de variable, sustituyendo la variable t por x en la primitiva hallada en el paso 2. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 9 / 42
Cambio de variable (Ejemplos) Cambio de variable 2 3 (2x + ) 5 dx x + x 2 dx tan(x) dx 6 7 7 + 2tan(x) cos 2 dx (x) cos(6x) sen(6x) + 4 dx 4 5 log 3 (x) dx x x log 4 (x) dx 8 9 cos x dx x cosx + sen 2 x dx (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 0 / 42
Integración por partes Integración por partes u(x) v (x)dx = u(x) v(x) v(x) u (x)dx. Formalmente, u dv = uv v du. un día vi una vaca sin rabo vestida de uniforme. La elección de u se hace usando la regla ALPES. A tipo Arcotan, Arcsen, Arccos,... L funciones Logarítmicas. P tipo Polinomios. E tipo Exponencial. S tipo Seno, coseno, tangente (trigonométricas). (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 / 42
Integración por partes Integración por partes (Ejemplos) I xe x dx 6 x 2 sen(x)dx 2 3 4 x cos(x)dx x 2 log(x)dx log(x) dx 7 8 e x cos(x)dx e x cos(x)dx 5 arctan(x) dx 9 x arctan(x) dx (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 2 / 42
Integración por partes Integración por partes (Ejemplos) II A veces no está claro que una integral se resuelva integrando por partes. { u = a 2 a 2 x 2 x 2 du = a x dx= 2 x 2 dx dv = dx v = x Luego, } = x a 2 x 2 [ = x a 2 x 2 a 2 a 2 x + a2 x 2 ] dx 2 a 2 x 2 = x a 2 x 2 + a 2 a 2 x 2 dx x 2 + a 2 dx = x a 2 x 2 + a 2 arcsen ( ) x a x 2 + a 2 dx x 2 a 2 x 2 dx a 2 x 2 dx = x a 2 2 x 2 + a2 2 arcsen( x a) + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 3 / 42
Funciones racionales I Tipo p(x), con p(x),q(x) polinomios I q(x) Ejemplo 7. { e x dx = t = e x e x = t + dt = e x dx dx = t+ dt } = dt =? t(t + ) MÉTODO: Descomponer p(x) q(x) en fracciones simples. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 4 / 42
Funciones racionales I Tipo p(x), con p(x),q(x) polinomios II q(x) Si el grado de p(x) es mayor que el de q(x), efectuamos la división de polinomios. D x 2 x 5 x 3 4 x 2 x 5 2 x 4 2 x 4 x 3 4 x 2 x 4 2 x 3 x 3 4 x x 3 x 2 x 2 x 2 x 3 2 x 2 x c x d x x 2 4 x x 2 x 5 x En este caso, si c(x) es el cociente, y r(x) el resto, entonces p(x) r(x) q(x) dx = c(x)dx + q(x) dx. r x (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 5 / 42
Funciones racionales I Tipo p(x), con p(x),q(x) polinomios III q(x) Sea pues el grado de p(x) estrictamente menor que el de q(x). En este caso, podemos descomponer p(x) q(x) en fracciones simples. Llamamos fracciones simples a aquellas que son de la forma A (x α) n ó Mx + N (ax 2 + bx + c) m, donde A,α,M,N,a,b,c R y n,m N con n,m y b 2 4ac < 0. Cómo descomponer p(x) q(x) en fracciones simples? Hay que fijarse en las raíces de q(x). (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 6 / 42
Funciones racionales I Tipo p(x), con p(x),q(x) polinomios IV q(x) Distinguimos 4 casos: Caso. q(x) sólo tiene raíces reales simples. Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples (repetidas). Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. Caso 4. q(x) tiene raíces complejas (no reales) múltiples (repetidas). [ESTE CASO NO LO ESTUDIAREMOS] (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 7 / 42
Funciones racionales I Caso. q(x) sólo tiene raíces reales simples Si q(x) = (x α )(x α 2 ) (x α n ), tenemos que p(x) q(x) = A + A 2 + + A n, x α x α 2 x α n donde A,A 2,...,A n son constantes a determinar. En tal caso, obtenemos que [ p(x) q(x) = A + A 2 + + A ] n dx x α x α 2 x α n = A dx + A 2 x α dx + + A n x α 2 x α n dx = A log x α + A 2 log x α 2 + + A n log x α n + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 8 / 42
Funciones racionales I Caso. q(x) sólo tiene raíces reales simples (Ejemplo) Ejemplo 8. Calcular I = Como deducimos que 3x 3 5x 2 4x + 4 x 4 x 3 4x 2 + 4x dx. 3x 3 5x 2 4x + 4 x 4 x 3 4x 2 + 4x = 3 x + 2 + x + 4 x 5 x 2, I = 3log x + 2 + log x + 4log x 5log x 2 + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 9 / 42
Funciones racionales I Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples I Si, por ejemplo, α es una raíz de q(x) con multiplicidad k. Es decir, q(x) = (x α ) k (x α 2 ) (x α n ), tenemos que p(x) q(x) = A, + A,2 x α (x α ) 2 + + A,k (x α ) }{{ k } corresponden al factor (x α ) k + A 2 x α 2 + + donde A,,A,2,...,A,k,A 2,...,A n son constantes a determinar. A n x α n, (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 20 / 42
Funciones racionales I Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples II En tal caso, obtenemos que p(x) q(x) = A, dx + A,2 x α (x α ) 2 dx + + A,k (x α ) k dx+ + A 2 dx + + A n x α 2 x α n dx = A, log x α A,2 A,k x α (k )(x α ) k + + A 2 log x α 2 + + A n log x α n + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 2 / 42
Funciones racionales I Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples (Ejemplo) Ejemplo 9. Calcular I = 8x 2 20x + 3 x 3 4x 2 + 5x 2 dx. Como deducimos que 8x 2 20x + 3 x 3 4x 2 + 5x 2 = 3 x (x ) 2 + 5 x 2, I = 3log x + + 5log x 2 + C, con C R. x (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 22 / 42
Funciones racionales I Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. I Al hacer la factorización de q(x) nos sale un factor irreducible del tipo ax 2 + bx + c, con b 2 4ac < 0. En este caso en la descomposición de p(x) q(x) en fracciones simples, le corresponde el sumando Mx + N ax 2 + bx + c donde M,N son constantes a determinar. Así pues, tendremos que hallar (entre otras) la integral Mx + N ax 2 + bx + c dx, la cual se reduce a una tipo logarítmica y otra tipo arcotangente. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 23 / 42
Funciones racionales I Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. II Ejemplo 0. Calcular I = x x 2 + 2x + 7 dx. I = 2 2x + 2 2 x 2 + 2x + 7 dx I = 2 2x + 2 x 2 + 2x + 7 dx I = 2 log x 2 + 2x + 7 x 2 + 2x + 7 dx Buscamos la derivada del denominador Separamos integrales (Logaritmo+Arcotangente) (x + ) 2 + 4 2 dx La o integral inmediata y la 2 o completamos cuadrados I = 2 log x 2 + 2x + 7 ( ) 4 arctan x+ 4 + C Es una integral tipo arcotangente con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 24 / 42
Ejemplos Métodos de integración Funciones racionales I x 2 x 2 + dx 7 x x 2 3x 4 dx 2 x 2 5x + 4 dx x + 8 x 3 + x 2 + x + dx 3 4 5 6 x 3 3x 2 + x 2 dx 4 x 2 4 dx x(x + )(x 2 4) dx 3x 5 x 3 x 2 x + dx 9 0 x 3 + x dx 5x 3 + 2x 2 + 3x + x 4 x 2 + 2x + 2 dx 5x 3 9x 2 + 4x 0 4x 4 4x 3 + 0x 2 dx (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 25 / 42
Tipo R(sen x, cos x) Métodos de integración Funciones racionales tipo II Sea R una función racional en sus argumentos. Si R es impar en seno, hacemos el cambio t = cosx. Si R es impar en coseno, hacemos el cambio t = senx. Si R es par en seno y coseno, hacemos el cambio t = tanx. Si no se da ninguno de los casos anteriores, hacemos t = tan( x 2 ). (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 26 / 42
Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con impar en seno Que R(senx,cosx) sea impar en seno significa que R( senx,cosx) = R(senx,cosx). En este caso hacemos el cambio t = cosx x = arccos(t) observando que dx = t 2 dt. Ejemplo. Calcular I = sen 3 x cos 4 xdx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 27 / 42
Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con impar en seno (Ejemplos) Ejemplo 2. Calcular las siguientes integrales senx dx. 4 tanx cosx + 5 dx. 2 senx(cos 2 x + 5cosx) (sen 2 x )(cosx + ) dx. 5 senx cos 2 x + 2sen 2 x dx. 3 2 + sen 2 x senx(2 cosx) dx. 6 cos 4 x sen 7 xdx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 28 / 42
Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con impar en coseno Que R(senx,cosx) sea impar en coseno significa que R(senx, cosx) = R(senx,cosx). En este caso hacemos el cambio t = senx x = arcsen(t) observando que dx = t 2 dt. Ejemplo 3. Calcular I = sen 4 x cos 7 xdx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 29 / 42
Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con impar en coseno (Ejemplos) Ejemplo 4. Calcular las siguientes integrales 2 3 cosx dx. cosx 2sen 2 x dx. 4 cos 2 x cosx( + senx) dx. 4 5 6 cos 3 (2 senx)(senx ) 2 dx. sen 2 x cosx 2sen 2 x + cos 2 x 5 dx. cos 3 x sen 0 xdx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 30 / 42
Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con par en seno y coseno Que R(senx,cosx) sea par en seno y coseno significa que R( senx, cosx) = R(senx,cosx). En este caso hacemos el cambio t = tanx observando que dt = cos 2 x dx = ( + tan2 x)dx. Ejemplo 5. Calcular I = 9 sen 2 x dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 3 / 42
Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con par en seno y coseno (Ejemplos) Ejemplo 6. Calcular las siguientes integrales 2 3 + tanx senx cosx dx. senx cosx sen 4 x + cos 4 x dx. sen 4 x + cos 4 x dx. 4 5 6 4sen 2 x + cos 2 x dx. cos 2 x 4sen 2 x + cos 2 x dx. (senx + cosx) 2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 32 / 42
Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx) y el C.V. t = tan ( ) x 2 Siempre se puede hacer el cambio t = tan ( x 2), que nos dará una integral racional en t. En este caso: dx = 2 2t dt senx = + t2 + t 2 cosx = t2 + t 2 tanx = 2t t 2. Las tres últimas fórmulas se recuerdan fácilmente con el triángulo de la figura, considerando que el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo es igual al cateto t 2 2 t puesto partido por la hipotenusa, el coseno es igual al cateto adyacente/contiguo por la hipotenusa, y la tangente es igual al cateto opuesto partido por el cateto adyacente. x t 2 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 33 / 42
Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx) y el C.V. t = tan ( x 2 ) [Ejemplos] Ejemplo 7. 2 + cosx + senx dx. 2 3 4 senx dx. cosx dx. 2 3 + cosx dx. 6 7 8 9 cosx + cosx dx. senx dx. cosx dx. 4senx + 3cosx dx. 5 senx + senx dx. 0 + senx + cosx dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 34 / 42
[ ) m Tipo R x,( ax+b n cx+d, Métodos de integración ) p q ( ax+b cx+d Funciones racionales tipo III ], con m,n,p,q Z, n,q 0. Hacemos el cambio de variable t α = ax + b cx + d donde α = m.c.m.(n,q). Ejemplo 8. Calcular I = x+3 + x+2 x+3 x+2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 35 / 42
[ ) m Tipo R x,( ax+b n cx+d, Métodos de integración ) p q ( ax+b cx+d Funciones racionales tipo III ], con m,n,p,q Z, n,q 0. [Ejemplos] Ejemplo 9. Calcular las siguientes integrales 2 x 2 x + x dx. x + 2 6 x 5 6 x 5 ( + 3 x ) dx. 4 5 x + 3 x + x + + 3 x + dx. (x + 3) 6 (x 2) dx. 4 5 3 + + x + x dx. 6 3 + x x ( x) 2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 36 / 42
( ) Tipo R x, a 2 b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV Para resolver ( ) R x, a 2 b 2 x 2 dx hacemos el cambio de variable bx = a cost, o el otro cambio de variable bx = a sent. Ejemplo 20. Calcular I = x 2 25 9x 2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 37 / 42
( ) Tipo R x, a 2 b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV [Ejemplos] Ejemplo 2. Calcular las siguientes integrales 25 9x 2 dx. 4 9 (x 2) 2 dx. 2 3 x 2 9 4x 2 dx. ( x 2 ) 3 dx. 5 4 9x 2 dx. x 3 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 38 / 42
( ) Tipo R x, a 2 + b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV Para resolver ( ) R x, a 2 + b 2 x 2 dx hacemos el cambio de variable bx = a tant. Recordar que sen 2 α + cos 2 α = y + tan 2 x = cos 2 x. Ejemplo 22. Calcular I = x 2 25 + 9x 2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 39 / 42
( ) Tipo R x, a 2 + b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV [Ejemplos] Ejemplo 23. Calcular las siguientes integrales 25 + 9x 2 dx. 4 9 + (x 2) 2 dx. 2 3 x 2 9 + 4x 2 dx. ( + x 2 ) 3 dx. 5 4 + 9x 2 dx. x 3 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 40 / 42
( ) Tipo R x, a 2 + b 2 x 2 Para resolver Métodos de integración Funciones racionales tipo IV ( ) R x, a 2 + b 2 x 2 dx hacemos el cambio de variable bx = a sect. Entonces, dx = a sect tant dt. b Recordar que Ejemplo 24. Calcular I = secα = cosα x 2 25 + 9x 2 dx. y + tan 2 α = sec 2 α. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 4 / 42
( ) Tipo R x, a 2 + b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV [Ejemplos] Ejemplo 25. Calcular las siguientes integrales 25 + 9x 2 dx. 4 9 + (x 2) 2 dx. 2 3 x 2 9 + 4x 2 dx. ( + x 2 ) 3 dx. 5 4 + 9x 2 dx. x 3 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 42 / 42