Plan de recuperación El plan de recuperación consta de una colección de ejercicios que abarcan los objetivos del curso. Estos ejercicios sirven para preparar el examen de recuperación. No se trata de una colección de ejercicios resueltos que permitan el estudio de la asignatura por sí solos. Para realizar un correcto estudio de la asignatura se deben de seguir las explicaciones del libro de texto, estudiar los ejercicios resueltos de cada apartado del libro, realizar ejercicios propuestos en cada apartado, realizar ejercicio del final de cada tema y realizar especialmente los de autoevaluación al final de cada tema. La colección de ejercicios de este plan de recuperación sirve para preparar el examen de recuperación de septiembre. La realización de esta colección de ejercicios no es obligada para presentarse al examen de recuperación. El alumno puede realizar el examen de recuperación y recuperar la asignatura si obtiene una puntuación mayor o igual que 5 aún sin haber entregado la colección de ejercicios. No obstante, la correcta entrega de esta colección de ejercicios el día del examen de recuperación ayudará a aprobar la asignatura en aquellos casos en los que la nota obtenida haya sido inferior a 5 pero muy próxima a ella. La fecha de entrega de esta colección de ejercicios es el propio día del examen. La entrega de esta colección debe de realizarse en hojas aparte, exceptuando algunos ejercicios de gráficas y poliedros en los se pueden utilizar estas hojas. Los ejercicios entregados deben de estar bien ordenados, la resolución de cada ejercicio debe ser clara y ordenada, y se debe de realizar una buena caligrafía que permita su correcta lectura. 1 / 18
Colección de ejercicios 1) Obtener, por el método práctico, el MCD y MCM de los siguientes grupos de números; en el caso de una pareja, comprueba con la fórmula MCM (a,b) MCD (a,b) = a b (Fíjate en el 1er ejemplo): a) 12 y 225: Comprobación: MCD (12,225) MCM (12,225) = 3 900 = 2700 = 12 225 b) 8 y 12 c) 8 y 3 d) 8 y 36 e) 75 y 45 f) 30 y 63 2) Ana tiene ahorrados 30. Un fin de semana sale al cine con unos amigos y se gasta 7, le compra un regalo que le cuesta 12 a una amiga y paga el billete de tren, que le supone 3. Si al llegar a casa su padre le da sus 15 semanales, cuánto le queda finalmente? (Plantear la solución como una única operación con enteros). 2 / 18
3) Tres barcos zarpan del mismo puerto: el primero cada 5 días, el segundo cada 9 días y el tercero cada 15 días. Si coincidieron un determinado día, cuándo volverán a coincidir? 4) Se desea cubrir con baldosas cuadradas el suelo de una habitación que mide 330 cm de ancho por 390 cm de largo. Se quiere realizar el trabajo utilizando baldosas lo más grandes posibles y sin cortar ninguna. a) Cuál debe ser el tamaño de las baldosas? b) Cuántas baldosas se necesitan? 5) Un rollo de cable mide más de 150 metros y menos de 200 metros. Cuál es su longitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 metros y también en trozos de 9 metros? (No vale resolverlo por tanteo) 6) De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. 7) Calcular las siguientes cantidades: a) La mitad de 300 m3 b) Un tercio de 90 kg c) Dos tercios de 90 kg d) 1/5 de 1000 e) 4/5 de 1000 f) La mitad de la mitad de una docena g) La tercera parte de la mitad de los días del mes de septiembre h) El 5% del 20% de una cantidad. 8) Calcular la cantidad de procedencia (problema inverso del anterior), y comprobar el resultado: a) La mitad de una determinada edad son 20 años. Hallar dicha edad. b) La tercera parte de la capacidad de un depósito son 150 m3. Hallar la capacidad del depósito. 3 / 18
c) Los 2/5 de una determinada compra son 6. A cuánto ascendió la cuenta? d) El 10% de una cantidad son 15. De qué cantidad se trata? e) Los 3/8 de una población son 6000 habitantes. Cuántos habitantes tiene en total? f) El 15 % de un artículo suponen 9. Cuál es su precio? OPERACIONES CON POTENCIAS DE EXPONENTE N: 9) Simplificar, utilizando las propiedades de las potencias, dejando el resultado como potencia única (no vale usar calculadora, salvo para comprobar, una vez finalizado todo el ejercicio, los resultados): a) 2 7 2 5 = b) 3 10 /3 8 = c) (2 4 ) 5 = 4 / 18
RECORDAR: 10) calcular las siguientes potencias de base fraccionaria, dejando el resultado en forma racional: a) ( 1 2 2 ) = b) ( 3 3 2 ) = c) ( 5 2 ) 2 = RECORDAR: 5 / 18
CONSEJO: «Para dividir dos potencias de la misma base se recomienda restar el mayor menos el menor exponente, dejando la potencia donde estaba el mayor exponente» (De esta forma evitamos exponentes negativos) Ejemplos: 11) Simplificar, mediante las propiedades de las potencias, dejando el resultado como potencia de exponente positivo y base lo más simple posible (no se puede usar calculadora): a) ( 3 1 2 ) ( 3 3 2 ) = b) 3 c) 7 8 : [( 1 2] 7 ) = d) ( 2 1 3 ) ( 2 4 3 ) ( 2 3 ) 2 = 15 2 3 2 5 3 45 2 25 5 3 125 27 = 12) Calcular el volumen aproximado (en m 3 ) de la Tierra, tomando como valor medio de su radio 6378 km, dando el resultado en notación científica con dos cifras decimales. (Volumen de la esfera = 4 π 3 R3 ) Polinomios 13) Dados P(x)=4x 3 +6x 2-2x+3, Q(x)=2x 3 -x+7 y R(x)=7x 2-2x+1, hallar: a) P(x)+Q(x)+R(x) b) P(x)-Q(x)-R(x) c) P(x)+3Q(x)-2R(x) 6 / 18
14) Extraer el máximo factor común posible: a) 12x 4 y 2 +6x 2 y 4-15x 3 y b) -2x(x-3) 2 +4x 2 (x-3) 15) Efectuar los siguientes productos: a) (5x 3-4x 2 +x-2) (x 3-7x 2 +3) = b) (-x 6 +x 5-2x 3 +7) (x 2 -x+1) = 16) Operar y simplificar: a) (x+1) 2 +(x-2)(x+2) = b) (-x+2) 2 -(2x+1) 2 -(x+1)(x-1) = 17) Efectuar los siguientes cocientes, y comprobar el resultado mediante la regla D=d C+R: a) x 3 +2x 2 +x-1 x 2-1 b) x 4 +3x 3-2x+5 x 3 +2 Ecuaciones y sistemas 18) Resolver las siguientes ecuaciones de 1 er grado con denominadores y comprobar la solución: a) 3(x 2) 4 2(x 3) 3 = x 6 3(x 6) 4 b) 3(x 3) 2 + 2x 3 2x = 3(2x 1) 9 1 6 7 / 18
19) Resolver las siguientes ecuaciones de todo tipo, operando convenientemente en cada caso, para así pasarlas a la forma general de 2º grado: a) (2x 3) 2 + x 2 + 6 = (3x + 1)(3x 1) b) x 2 4 x + 3 = 12 20) Calcular el valor del coeficiente b en la ecuación 5x 2 +bx+6 = 0 sabiendo que una de sus soluciones es 1 Cuál es la otra solución? 21) Resuelve los siguientes sistemas: a) 3x y = 1 x + 2y = 5 } b) 2x 3y = 4 x + 8y = 2 } 22) Resuelve por igualación: a) y = 6x 7x = 2y 5 } b) 3x 4y = 4 2x + y = 1 } 23) Resuelve por reducción: a) 4x 3y = 2 2x + y = 4 } b) 3x + 2y = 3 x + y = 7/6 } 24) Resuelve los siguientes sistemas: a) 2(x 3) + y 5 4 = 1 2 3(y 2) + x 5 9 = 1 } 3 b) x 1 2 + y + 1 = 1 4 2x 1 2y + 1 } = 1 2 6 c) x 1 2 + y + 1 = 1 4 2x 1 2y + 1 } = 1 2 6 d) 2 x 3 + 3 + y 6 = 2 8 3x 2 + y } = 2 6 9 8 / 18
25) Resuelve los siguientes sistemas cuadráticos por sustitución: a) x y = 2 x 2 y 2 = 16 } b) x + y = 9 x 2 + y 2 = 41 } 26) Hallar dos números positivos consecutivos cuyo producto sea 380. 27) Juan ha leído ya la quinta parte de un libro. Cuando lea 90 páginas más, todavía le quedará la mitad del libro. Cuántas páginas tiene el libro? Cuántas páginas lleva leídas? 28) Calcular un número positivo sabiendo que su triple más el doble de su cuadrado es 119. 29) Un padre tiene el doble de edad que su hijo. Hace 17 años, tenía el triple. Hallar la edad de ambos. 30) El perímetro de un solar rectangular mide 40 m. Si su ancho es la tercera parte de su largo, cuánto miden los lados del solar? 31) Problema del bambú (texto indio del siglo IX): Un bambú que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento, de forma que la punta se queda ahora colgando a 16 codos del suelo. A qué altura se ha roto? 32) El Perímetro de un triángulo isósceles mide 48 cm y su altura mide 12 cm. Calcula la longitud de sus lados. y 1 2 x y 9 / 18
Funciones 33) Tres alumnos, que nombraremos A, B y C, participan en una carrera de 1000 m. La presente gráfica muestra de forma aproximada su comportamiento en la prueba. Cómo describirías dicha carrera? 34) El siguiente gráfico describe la evolución de la temperatura corporal de una persona durante varias horas. Teniendo en cuenta que se considera fiebre por encima de 37,5º, describir dicha evolución. 10 / 18
35) El punto de fusión de una aleación depende de las proporciones en que intervienen cada uno de sus componentes. Para aleaciones de dos ciertos componentes, A y B, se ha obtenido la siguiente gráfica: a) Cuál es el dominio de definición que hemos considerado? b) Entre los valores estudiados, en qué proporción de A se alcanza la máxima temperatura de fusión? Cuál es esa temperatura? c) Con qué proporción de A se alcanza la mínima temperatura de fusión? Cuál es esa temperatura? d) Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función en el intervalo que hemos considerado. 36) Obtén la ecuación de cada una de estas rectas: 11 / 18
37) Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado (expresa el tiempo en horas y la distancia en kilómetros). Esta mañana, Pablo salió a hacer una ruta en bicicleta. Tardó media hora en llegar al primer punto de descanso, que se encontraba a 25 km de su casa. Estuvo parado durante 30 minutos. Tardó 1 hora en recorrer los siguientes 10 km y tardó otra hora en recorrer los 20 km que faltaban para llegar a su destino. 12 / 18
38) Representa las rectas: e) y = 2x 1 f) y = 1/2 x + 2 g) y = 3 4 x + 1 h) 2x + 3y = 4 13 / 18
Geometría 39) Indica el valor de los ángulos señalados en cada figura: 40) Indica el valor de los ángulos señalados en cada figura: b) 41) Halla el área de la figura: 14 / 18
42) Halla el área de la figura de la derecha en la que el triángulo inferior es equilátero: 43) Indica, razonando tu respuesta, si las siguientes figuras son poliedros regulares, semirregulares, irregulares, prismas o si no son poliedros: 15 / 18
44) Halla la altura de este tronco de cono: 45) Halla la altura del siguiente tronco de pirámide con bases cuadradas: 46) Halla el área total de cada una de estas figuras: 47) Halla el volumen de cada una de estas figuras: a) b) 16 / 18
48) Hallar la capacidad, en m3, de la piscina de la figura. (Dato: 1 m3 = 1 000 l) (Soluc: 144 000 l) 49) Hallar el volumen de un cubo de Rubik de 8 cm de arista. Hallar también el de una de sus piezas. 50) Trunca los siguientes poliedros: 17 / 18
Estadística 51) La tabla recoge el número de veces que ha salido cada una de las puntuaciones de un dado en 20 lanzamientos. PUNTUACIÓN 1 2 3 4 5 6 N.º DE VECES 5 3 2 6 2 2 a) Calcula la media y la desviación típica. b) Calcula la mediana y los cuartiles. c) Represéntalos en un diagrama de caja y bigotes. 52) En la siguiente distribución: a) Calcula la media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación (CV) de la distribución mostrada debajo. b) Halla la mediana (Me), primer cuartil (Q1) y tercer cuartil (Q3). xi 0 1 2 3 4 5 fi 12 31 86 92 48 19 18 / 18