Sugerencis pr quien imprte el curso Anteriormente se clculron lguns áres emplendo solmente fórmuls de l geometrí pln pr otener áres de triángulos, rectángulos y trpecios; Se utilizó tmién l proimción numéric. Sin emrgo éste último método un cundo es muy útil, conllev muchs operciones y es fctile cometer lgún error en el desrrollo de l solución. Al concluir lo nterior ce mencionr que hst quí se tiene un primer proimción un importnte relción entre ls funciones f() y A(), que se conoce como el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Arrimos hor l uso de un herrmient muy poderos, L función áre A() que hemos otenido, tmién se conoce como l integrl de l función f() y el procedimiento pr encontrrl se reliz medinte un operción llmd integrción.es muy importnte reconocer el concepto de Integrl definid como un poderoso recurso pr clculr áres, volúmenes, etc. Conceptos clve 1. Teorem Fundmentl del Cálculo Se f un función continu en el intervlo [, ], y F culquier función pr l cul se tiene que F () = f(). Entonces f d F() = F() F() De est mner se define l Integrl definid 14. Propieddes de l integrl definid ) Si f() eiste, entonces f ( ) d ) Si f es integrle en [, ], entonces f ( ) d f ( ) d c) Si f es integrle en [, ], entonces culquier constnte. Sen f y g funciones integrles en [, ], entonces kf d k f d, en donde k es Unidd L Integrl definid - 41
d) f g d f d g d c f d f d f d, donde c está en [, ], e) c f) kd k d k, donde k es culquier constnte. g) Se f integrle en [, ] y f() pr tod en [, ], entonces f d Otengmos el vlor de integrles definids sencills y posteriormente lo plicremos l cálculo de áres Ejemplo 5 Evlur 5 5 d Solución; usndo ls propieddes () y (f) tenemos 5d = 5 5 5 5 4 15 145 5 d 5 d 5 5 5 Ejemplo 6 Otén d d 1-4 Unidd L Integrl Definid
Solución; usndo l propiedd (e) evlundo tenemos d d d, hor integrndo y 1 El resultdo de l integrl indefinid es F() = F() = 4 () 81 y F(-1) = 4 4 4 ( 1) 1 Sugerenci pr quien imprte el curso 4 4 1 C evlundo y hcemos l diferenci F() F(-1) 4 4 Enftizr los lumnos, que l mner más fácil de otener un integrl definid es clculr l integrl indefinid y después sustituir en l vrile el límite superior, después el límite inferior y posteriormente hcer l diferenci de cuerdo l teorem fundmentl del Cálculo. Ejemplo 7 Evlú 4 d Solución. Usndo ls propieddes de l integrl definid y el teorem fundmentl del cálculo tenemos 4 d = () () () () () () Complet el resultdo Ejercicio 1 Usndo ls propieddes de l integrl definid y el teorem fundmentl del cálculo evlú ls siguientes integrles Unidd L Integrl definid - 4
1. 6 1 5 d. 5 d. 1 4 6 d 4. 4 1 4.5 d 5. 1 d Ejemplo 8 Clcul cos d Solución; Usndo l identidd trigonométric cos A = 1 1 cos A en l integrl l sustituir tenemos cos d = 1 1 d cos 1 1 cos d = Cuánto vle l primer integrl? Cuánto vle l segund integrl? Sumndo los resultdos tendremos d - 44 Unidd L Integrl Definid
Ejercicio 11 1. Evlur sen d. Evlur 1 1 d. Evlur cos 1 sen d Otengmos hor, medinte l integrl definid, ls áres que otuviste previmente usndo ls fórmuls de geometrí pln Ejemplo 9 El áre jo l función constnte f() = c, donde c es un constnte ritrri culquier en el intervlo [, ] es: Y f() = c X A f ( ) d c d c c( ) c() c Ejemplo 1 El áre jo l función constnte f() = c, donde c es un constnte ritrri culquier en el intervlo [, ] es: Unidd L Integrl definid - 45
Y f() = c A f ( ) d c d c c( ) c( ) c( ) X Ejemplo 11 El áre jo l función constnte f() = c, donde c es un constnte ritrri culquier en el intervlo [, ] es: Y f() = c A f ( ) d c d c c( ) c( ) c( ) X Ejemplo 1 El áre jo l función linel f() = en el intervlo [, ] es: Y f() = ( ) ( ) A f ( ) d d X Ejemplo 1 El áre jo l función linel f() = en el intervlo [, ] es: - 46 Unidd L Integrl Definid
Y f() = ( ) A d X Ejemplo 14 El áre jo l función linel f() = en el intervlo [, ] es: Y f() = ( ) A d X es: Ejemplo 15 El áre jo un función f() = m +, siendo m positiv en el intervlo [, ] Y m m f() = m + A ( m ) d o X Ejemplo 16 El áre jo un función f() = m + en el intervlo [, ] es: Unidd L Integrl definid - 47
Y f() = m + X m m m m( ) A ( m ) d ( ) es: Ejemplo 17 El áre jo un función f() = m +, siendo m negtiv en el intervlo [, ] Y f() = m + m m m m( ) A ( m ) d ( ) Sugerenci pr quien imprte el curso Reclcr los lumnos que se hn otenido los mismos resultdos utilizndo fórmuls geométrics, que usndo l integrl definid. Pedir los lumnos plicr l integrl definid pr otener, con vlores numéricos, el áre que se encuentr limitd por los ejes coordendos, ls funciones que se proporcionn y los intervlos señldos. Que los lumnos plnteen l integrl y l resuelvn. - 48 Unidd L Integrl Definid
Ejercicio 1 ) f() = 5 en el intervlo [1, 5] ) f() = - en el intervlo [-, ] c) f() =.5 en el intervlo [1, 6] Unidd L Integrl definid - 49
d) f() = + en el intervlo [1, 4] e) f() = - +1 en el intervlo [.5, 5] - 5 Unidd L Integrl Definid
Sugerenci pr quien imprte el curso Preguntr los lumnos porqué considern que resultó negtiv est áre, permitirles hgn conjeturs sore esto y clrr l finl que el áre clculd se encuentr dejo del Eje X y és será l interpretción que se le drá l signo. Sin emrgo el vlor del áre siempre será el vlor soluto correspondiente f) f() = - en el intervlo [-, 5] El áre pedid se dee dividir en prtes. L primer de - ; l segund de hst cero y l tercer prte de cero 5. Cómo se otendrí el áre totl? Sugerir los lumnos clculr integrles diferentes como ls que se encuentrn enseguid. Tomr en cuent que de l gráfic se oserv que l segund y tercer prtes se encuentrn jo del eje X. 1 A ( ) d A ( ) d 5 A ( ) d ÁREAS BAJO UNA CURVA Conceptos clve Unidd L Integrl definid - 51
Si desemos otener el áre de l superficie limitd por un curv y = f() y uno de los ejes de coordends, conviene mostrr en l gráfic el elemento de áre (un rectángulo) y utilizr lguno de los csos siguientes: 15. Y y = f() X Un etremo del rectángulo se poy en el eje X y el otro en l curv. En este primer cso el elemento de áre (rectángulo) es verticl, su ltur es y = f() y su ncho d, por lo tnto el áre se clcul con l siguiente integrl: A y d f ( ) d 16. Y y=d = g(y) y=c X En este segundo cso el elemento de áre (rectángulo) es horizontl, el lrgo es =g(y) y l ltur dy, por lo tnto el áre se otiene con l siguiente integrl: - 5 Unidd L Integrl Definid
yd yd A dy g( y) dy yc yc Un etremo del elemento de áre (el rectángulo) se poy en el eje Y mientrs que el otro en l curv. Prolem de l práol (1) Clculr el áre jo l curv f() = +1 desde = 1 hst =. En este cso el rectángulo es verticl Con qué integrl se clcul est áre? Prolem de l práol () Encontrr el áre jo l curv f() = - +4 +8. Lo nuevo en este ejercicio es que no se dn eplícitmente los límites de l región cuy áre se pide clculr. Oservndo l form de l función, semos que se trt de un práol que re hci jo, porqué? Necesitmos encontrr ls sciss de los puntos donde l práol cort el eje X, pr esto, resolvemos l ecución - +4 +8 = Otenemos 1 y Trtándose de un práol cuyo vértice está rri del eje X, qued definid un región jo l curv y = f(), es decir entre l curv y el eje X. Unidd L Integrl definid - 5
Nuevmente el rectángulo es verticl Cuál es l integrl con l que se clcul el áre? Prolem de l práol () Encontrr el áre entre l curv 1 f ( ) 4 7, y el eje X. Un vez más, se deen encontrr ls ríces de f(), que serán los vlores de donde f() cort l eje X, es decir donde f() = : 1 4 7, de donde 1 4 y 4 Cuál es l integrl con l que se otiene el áre? El resultdo dee ser A=19.5445 u - 54 Unidd L Integrl Definid
El áre seguirá siendo positiv como prendimos mnejrl en Geometrí elementl. El signo menos sólo nos inform que el áre se uic jo del eje X. No será tomdo en cuent cundo se teng que sumr el áre con l de otrs regiones. Prolem de l práol horizontl Clculr el áre comprendid entre l curv y = +1, el eje Y y ls rects horizontles y = 1 y y =. Por l posición que tiene hor l superficie determinr, el elemento de áre dee ser horizontl Lo que llev implícit l ide de sumr un serie de rectángulos de ltur dy y lrgo = g(y). Con lo que hor utilizremos el concepto clve 14 yd A g( y) dy verific lo siguiente yc L integrl hor será y A ( y 1) dy ( y) u 1 1 Ejemplo 18 Encontrr el áre de l superficie limitd por l curv y rects y= y y=5 4, el eje Y, ls L gráfic corresponde un práol verticl con vértice en el origen, pero hor se pide el áre con referenci l eje Y Unidd L Integrl definid - 55
El áre se otiene clculndo l integrl 5 y dy 4 Comprue que el resultdo es A= 9 4 u Ejemplo 19 Encontrr el áre jo l curv f() = + + 1, en el intervlo [-, 1]. Se muestr enseguid su gráfic: En este cso el rectángulo es verticl y el áre se clcul medinte l integrl 1 A 1 d Cuál es el vlor de l integrl? - 56 Unidd L Integrl Definid
Prolem del áre totl Encontrr el áre totl comprendid entre l función f() = - 9, y el eje X. Clculndo ls ríces de - 9 =, pr conocer los puntos donde cort l eje X otenemos 1 =-, = y = Es conveniente oservr l gráfic de est función pr entender cómo clculr el áre solicitd: A 1 A El áre entre l curv y el eje X const de dos regiones, A1 rri y A jo del eje X. Por lo que estlecimos nteriormente pr áres jo del eje X, el áre totl que uscmos deerá otenerse con l sum del vlor soluto del áre de cd un de ls regiones: A T A 1 A hor: A 1 ( 9) d 81 u 4 A ( 9) d 81 u 4 Por lo tnto: A T 81 4 81 4 81 u Qué ocurrirí si el lumno no se perctr que un prte del áre está jo el eje X? Clculrí simplemente A ( 9) d u (!!!) Prolem del áre jo un rcd de f ( ) sen Unidd L Integrl definid - 57
Un rcd de l función sen corresponde l áre entre l curv f ( ) y el eje X en un período completo Complet los cálculos cuiddosmente: sen d sen d cos ( sen A T cos ) = = 4u El áre requerid const de dos prtes, un positiv desde cero hst π, que está rri del eje X y l otr, negtiv, desde hst que está situd jo del eje X. pr evitr que ls áres se nulen un con otr tomremos el vlor soluto de l segund Ejercicio 1 Otén el áre jo l curv en el intervlo señldo: 1. y = - +1 en el intervlo [-, ]. y = en el intervlo [-1, ]. y = - + en el intervlo [ 1, 1] 4. y = - + en el intervlo [-1.5, 1.5] 5. y = 4 + 1 en el intervlo [- 1, 1] 6. y = + + 1 en el intervlo [, ] 7. y = + + + en el intervlo [-1, ] 8. f() = cos, desde = hst = De ser posile osquej l gráfic de cd función l resolverlos. - 58 Unidd L Integrl Definid
ÁREA ENTRE DOS CURVAS Conceptos clve Al otener el áre entre dos curvs, se presentn tmién los dos csos siguientes: En este cso el elemento de áre 17. (rectángulo) se coloc en form verticl estndo el etremo superior en l curv que re hci jo y el inferior en l curv que re hci rri. Si y 1 = f 1 () corresponde l primer curv y y = f () corresponde l segund, l ltur del rectángulo es f ( ) f ( ) y el ncho dy 1 Por lo tnto pr otener el áre se utiliz l siguiente integrl: ( f ( ) f ( )) dy 1 Los límites de integrción, y, corresponden ls sciss de los puntos de intersección de ls curvs. En este segundo cso el 18. rectángulo se coloc en form horizontl de modo que sus etremos están en un y en otr curv. Si g ( y) corresponde 1 1 l curv que re hci l izquierd y g ( y) corresponde l que re hci l derech, el lrgo del rectángulo es hor g ( y) g ( y) y l ltur es dy, 1 por lo tnto el áre se otiene utilizndo l siguiente integrl: d A g ( y) g ( y) dy c 1 Unidd L Integrl definid - 59
Los límites de integrción corresponden hor ls ordends de los puntos de intersección de ls curvs Ejemplo Al dr inicio l estudio de est Unidd plntemos un prolem inicil que corresponde hllr l superficie de un terreno. Se sugirió otener el áre considerndo el áre de un superficie cotd por l práol y y l rect y 1 l utilizr un sistem de coordends, como se puede precir en l figur siguiente y eligiendo un escl propid. Con lo que hemos prendido hst hor podemos considerr si el elemento de áre puede ser horizontl o verticl. Si inscriimos un rectángulo horizontl hy un prte del áre cercn l vértice de l práol en l cul los etremos del rectángulo estrín solo en l práol. Por otro ldo si insertmos un rectángulo verticl, en culquier posición éste tiene sus etremos en l práol y en l rect. Por lo nterior elegimos el rectángulo verticl cuy ltur es l diferenci entre l ordend de l rect y l ordend de l práol. Los límites de integrción serán ls sciss de los puntos de intersección. Pr esto, igulmos ls y son: 1 1, 1 1 y resolvemos est ecución. Ls ríces - 6 Unidd L Integrl Definid
Entonces l integrl será: 1.4141 ( ) ( 1 ) 1 rect práol.4141 Compror que el resultdo es.7716 u y y d d Ejemplo 1 Otener el áre limitd por ls curvs y y y 6 Resolvemos en primer lugr el sistem formdo por ls ecuciones, en este cso igulndo ls y, 6 Igulndo cero y simplificndo tenemos 8 Ls ríces de est ecución son 1, 4. Estos vlores, l sustituirlos en ls ecuciones nos proporcionn los puntos (, -) y (4, 5). Oservemos l gráfic enseguid Cuál es el vlor de est integrl? Deiste her otenido 64 Ejemplo Otener el áre entre l curv Al igulr ls y, result l ecución 5 Ls ríces de l ecución son: 1 1 1 1 1 1.79187,.79187 y El elemento de áre dee ser verticl, su ltur es l diferenci entre l y de l práol que re hci jo y l y de l práol que re hci rri: ( y y1) ( 6 ) El ncho es d Por tnto el áre se clcul con l integrl 4 y l rect y 1 4 1 4 ( 8 ) A d, simplificándol tenemos Unidd L Integrl definid - 61
L gráfic se muestr enseguid y el elemento de áre dee ser verticl con un ltur y y ( 5) práol Y un ncho d rect Pr otener el áre se dee clculr l siguiente integrl: 1.79187 ( 5) A d.79187 Cuál es el vlor de est integrl? Deiste her otenido A=16.914 u Ejemplo Otener el áre comprendid entre ls curvs y y 4 y Pr resolver el sistem se iguln ls y se tiene y 4 y Al igulrl cero y simplificr se tiene L gráfic se muestr enseguid y 6 cuys ríces son y Oservndo l gráfic nos perctmos que el áre uscd qued dividid ectmente l mitd por el eje X, por lo tnto podemos colocr el elemento de áre en form horizontl. El lrgo del rectángulo será l diferenci entre ls de ls práols ( y y 4) (6 y ) L ltur será dy Pr otener el áre se podrá integrr desde cero hst y multiplicr por - 6 Unidd L Integrl Definid
(6 ) A y dy Cuál es el vlor de est integrl? Deiste her otenido A= 1.8564 u Ejemplo 4 Otener el áre de l superficie limitd por l curv y y y y l rect Igulmos ls pr resolver el sistem y otenemos l ecución y 4 L cul tiene como ríces y1 1 5 1.66, y y 1 5.66, Conviene, en este cso considerr el elemento de áre horizontl El lrgo del rectángulo será l diferenci entre l de l práol y l de l rect ( y y 4) y l ltur dy Los límites de integrción serán 1 5 y 1 5, que corresponden ls ordends de los puntos de intersección, por lo tnto el áre se otendrá con l integrl 1.66 ( 4) A y y dy.66 Cuál es el vlor de est integrl? A= 14.9711 u Unidd L Integrl definid - 6
Ejercicio 14 Otener el áre comprendid entre ls siguientes curvs. 1. f ( ) y f ( ) 4. f ( ), f ( ) y l rect =. f() = y g() = - 4. f ( ) 9 y 5. f ( y) y y g( y) 4 6. f(y) = y y y g(y) = y f ( ) - 64 Unidd L Integrl Definid