MUESTREO 1. Supogamos que e u cetro escolar los alumos y docetes se distribuye de acuerdo co la tabla siguiete: 3 ESO 4 ESO 1º Bach º Bach Prof Hombres 85 80 100 83 4 Mujeres 95 96 110 91 31 Si quieres realizar ua ecuesta etre ellos de tamaño 80 por el método de muestreo estratificado por seo y ivel de trabajo, a cuatas persoas de cada clase deberás pregutar? Se divide la població e subgrupos o estratos homogéeos e los cuales se toma muestras aleatorias simples. La vetaja es que todas las partes e que la població se divide estará represetadas adecuadamete. Si N 1,..., N k es el º de elemetos e cada estrato (N 1 +... +N k N se elige el tamaño de la muestra i ( 1 +... + k de forma que 1 k... N1 N k N Co los datos de la tabla se calcula el úmero total de elemetos N i A partir del úmero total de datos se hace u muestreo estratificado proporcioal al úmero total de datos: 3 ESO 4 ESO 1º Bach º Bach Prof Hombres 80 80 80 80 80 85 8'55 80 8' 05 100 10' 06 83 8' 35 4 ' 4 Mujeres 80 80 80 80 80 95 9'56 96 9' 66 110 11' 07 91 9' 16 31 3' 1 Redodeado 3 ESO 4 ESO 1º Bach º Bach Prof Hombres 9 8 10 8 Mujeres 10 10 11 9 3. E u istituto la estatura del alumado sigue ua distribució ormal N(170,8. a Si elegimos u alumo al azar que probabilidad hay de que su estatura esté compredida etre (168 164. Se pide calcular la probabilidad de que ua variable que sigue ua distribució ormal, este compredida detro de u itervalo, para lo cual habrá que tipificar la variable. Z µ 164 70 168 70 p(164<<168 p < Z < p( 0'75 < Z < 0'5 8 8 Por simetría p(0 75<Z<0 5p(0 5<Z<0 75p(Z<0 75p(Z 0 5Φ(0 75Φ0 5 0 77340 59870 1747: p(164<<16817 47%
b Si elegimos al azar ua muestra de 5 alumos y obteemos su estatura media Qué probabilidad hay de que o supere los 169cm?. E vez de trabajar co la variable, se trabaja co la variable media de ua muestra de tamaño 5, variable que seguirá ua distribució del tipo: N ( µ, siedo X que por tato: Se pide calcular la ( X 169 p p 8 p <, teiedo e cueta que X sigue ua distribució ormal 170, y 5 ( 169 70 X < 169 p Z < p( Z < 0'65 pz > 0' 65 8 5 ( Z 0'65 1 p( Z 0' 65 ( X 169cm 6'76% 1Φ(0 610 7340 676 p < e muestras de 5 alumos. c Si el istituto tiee 900 alumos de los cuales 396 so chicos Cómo elegiremos la muestra si queremos especificarla por seos? Se pide calcular la proporció de alumos del seo masculio que deberá teer cualquier muestra de la població (Istituto. La proporció de chicos respecto al úmero de alumos del cetro debe ser proporcioal a 396 11, por lo que la proporció de chicos y chicas de cualquier muestra especificada 900 5 por seo del istituto debe ser proporcioal a 11. 14 3. A lo largo de las diferetes pruebas de selectividad se ha observado que la distribució de las calificacioes sigue ua ley ormal de media 5 3 putos y desviació típica 0 8. a Cuál es la probabilidad de que la ota de u estudiate elegido al azar sea superior a 5 7?, variable aleatoria cotiua que sigue ua distribució Normal cuyos parámetros so: : N µ, N 5'3, 0'8 ( ( Se pide calcular: p ( > 5'7 tipificado la variable co los parámetros de la distribució se obtiee: o µ o z o 5'7 5'3 5'7 z 0'5 0'8 Fila : 0'5 p > 5'7 p z > 0'50 p z 0'50 1 p z 0'50 1 φ 0'50 1 0'6915 0' Columa : 0'00 p( > 5 7 30 85 % ( ( ( ( ( 3085 b Cuál es la probabilidad de que ua muestra de 49 alumos tega ua media superior a 5 7? Si se toma muestras aleatorias de tamaño 49 y de cada ua se obtiee la media, se obtiee ua ueva distribució de medias muestrales que tambié sigue u comportamieto Normal, siedo sus parámetros: : N 0'8 µ, N 5'3, N 49 ( 5'3, 0'11
Se pide calcular: p ( > 5'7 tipificado la variable co los uevos parámetros de la distribució se obtiee: 5'7 5'3 5'7 z 3'5 0' 11 Fila : 3'5 p > 5'7 p z > 3'50 p z 3'50 1 p z 3'50 1 φ 3'50 1 0'9998 0' Columa : 0'00 p > 5'7 0'03 ( ( ( ( ( 000 ( % 4. Co los mismos datos del problema aterior, calcula el itervalo de probabilidad de las muestras de tamaño 49 co ua cofiaza de:. a 51 6% 0'8 El itervalo de cofiaza para ua variable que sigue ua distribució Normal N 5'3, es: 49 µ Zα, µ + Zα α Zα φ 1 1 0'484 1 : Z φ 1 α φ N.C. 1 α 0'516 : α 0'484 Sustituyedo e la epresió del itervalo: 0'8 0'8 5 '3 0'70,5'3 + 0'70 (5, 5 38 49 49 ( 0'758 0' 70 b 76 % Igual que el aterior, lo úico que cambia es el Z crítico, ya que se varia el ivel de cofiaza. α Zα φ 1 1 0'38 1 : Z φ 1 α φ ( 0'881 1' 18 N.C. 1 α 0'76 : α 0'38 Sustituyedo e la epresió del itervalo: 0'8 0'8 5 '3 ' 18,5'3 + 1' 18 (5 17, 5 43 49 49 c 90 9% Igual que el aterior, lo úico que cambia es el Z crítico, ya que se varia el ivel de cofiaza. α Zα φ 1 1 0'091 1 : Z φ 1 α φ ( 0'9545 1' 69 N.C. 1 α 0'909 : α 0'091 Sustituyedo e la epresió del itervalo: 0'8 0'8 5 '3 '69,5'3 + 1'69 (5 11, 5 49 49 49 A medida que aumeta el ivel de cofiaza, tambié aumeta la amplitud del itervalo
5 El peso de los adultos de ua població umerosa se distribuye ormalmete co ua media 65 Kg y desviació típica 1 Kg: Se elige ua muestra de 30 idividuos al azar. Calcula la probabilidad de que la media de esa muestra sea: a Mayor de 60 Kg Peso de los adultos de ua població. Distribució Normal cuyos parámetros so: : N µ, N 65,1 ( ( Si se toma muestras de tamaño 30 y de cada ua su media, se obtiee ua distribució de medias maestrales que tambié sigue ua distribució ormal, cuyos parámetros so ahora: 1 : N, N 65, N ( 65, '19 µ 30 Se pide calcular: ( 60 p > µ. Tipificado la variable co: z se obtiee: 60 65 ( > 60 z '8 p( z > '8 { Por simetria} p( z < '8 φ( '8 p ' 19 El valor de φ, se obtiee e la tabla de la N(0, 1. F : ' φ '8 0' C : 0'08 por lo tato: p > 60 98'87 b Mayor de 68 Kg por lo tato: Se pide calcular: ( 68 ( 9887 ( % p > µ. Tipificado la variable co: z se obtiee: 68 65 ( > 68 z 1'37 p( z > 1'37 p( z 1'37 1 p( z 1'37 1 φ( 1'37 p ' 19 El valor de φ, se obtiee e la tabla de la N(0, 1. F :1'3 φ 1 '37 0' C : 0'07 ( 9147 ( > 68 1 φ( 1'37 1 0'9147 0' 0853 p ( > 68 8' 53 % p c Esté e el itervalo (60, 68 Se pide calcular: p ( 60 < < 68. Para ello, se puede aprovechar los resultados obteidos e los dos primeros apartados para resolver este último. p ( 60 < < 68 p( > 60 p( > 68 98'87 8'53 90' 34 por lo tato: p 60 < < 68 90' % ( 34
6. El perímetro torácico de los idividuos adultos (hombres e ua població se distribuye segú la ley ormal N(90 6 cm. a Cómo se distribuye las medias de las muestras de tamaño 81 etraídas de esa població? perímetro torácico medio de ua muestra de 81 hombres adultos. Sigue ua distribució Normal cuyos parámetros so: : N, N µ 90, 6 N 81 ( 90, 0'67 b Cuál es la probabilidad de que ua de esas medias sea meor de 87 cm? Y de que sea mayor de 91 cm? µ z p( > 87 p( z > 3'83 { Por simetria} p( z < 3'83 φ( 3'83 87 90 z 3'83 0'67 F : 3'8 N ( 0,1 : : φ( 3'83 0' 9999 C : 0'03 ( > 87 99'99 % p por lo tato p z µ ( > 91 p( z > 1'50 p( z 1'50 1 p( z 1'50 1 φ( 1'50 91 90 z 1'50 0'67 ( : : φ( 1'50 N 0,1 p F :1'5 C : 0'00 0'933 ( z > 1'50 1 0'933 0' 0668 ( > 91 6'68 % p 7. La altura de los mozos de u llamamieto al Servicio Militar sigue ua distribució ormal media p 173 < < 175 Altura media de ua muestra de 144 mozos. Sigue ua distribució Normal cuyos parámetros so: 10 : N, N 174, N ( 174, 0'83 µ 144 Se pide calcular: 174 y desviació típica 10 cm. Si se halla la media de ua muestra de tamaño 144, calcula ( 173 74 173 z '0 175 74 175 z + 1'0 0'83 ( 0'83 < < 175 p( '0 < z < 1'0 p 173 p TIPIFICANDO LA VARIABLE ( '0 < z < 1'0 p( z < 1'0 p( z '0 p( z < 1'0 p( z 1' 0 POR POR SIMETRIA ( z < 1'0 p( z < 1'0 p( z < 1'0 1 p( z < 1'0 ( p( z < 1'0 p 1 COMPLEMENTARIO
por lo tato: F :1' φ C : 0'00 ( 1'0 N( 0,1 : φ( 1'0 0'8849 0'8849 0' 7698 ( 173 < < 175 76'98 % p 8. El tamaño de las parcelas de ua determiada provicia se distribuye ormalmete. Si su media es 3 Ha y su desviació típica es 0 6 Ha, cual es la probabilidad de que elegidos al azar 5 propietarios, tega al meos u total de 65 5 Ha? (Sugerecia: determia ates la media de esas parcelas. Superficie de parcela. Sigue ua distribució Normal cuyos parámetros so: : N µ, N 3, 0'6 ( ( Para que el total de la superficie de 5 parcelas sea mayor o igual que 65 5 Ha se deberá de 65'5 cumplir que la media la superficie de esas 5 parcelas sea mayor o igual que 9 Ha ' 9. 5 Si es ua variable co comportamieto Normal, las medias maestrales de tamaño de esta variable tambié tedrá u comportamieto Normal cuyos parámetros so: 0'6 : N, N 3, N ( 3, 0'04 µ 5 Por lo tato el problema se reduce a calcular p ( > '9 p Tipificado '9 z '5 0'04 F : '5 φ '5 0' C : 0'00 POR ( '9 '9 3 p( z '5 p( z '5 φ( '5 Utilizado la N(0, 1: ( 9938 Por lo tato: ( '9 99' 38 p > % SIMETRIA 9. E las eleccioes a decao de ua facultad se represetaro dos cadidatos: A y B. El resultado de la votació fue del 60% para A y 40% para B. Si ates de la elecció se hizo ua ecuesta a 36 votates, cuál habría sido la probabilidad de acertar el gaador? Se pide hacer ua estimació de ua proporció muestral ( pˆ de votates a u determiado cadidato coocida la proporció poblacioal (resultado electoral. Puesto que el úmero de elemetos de la muestra es superior a 30, la distribució de las proporcioes muestrales de tamaño sigue ua ley Normal cuyos parámetros so: p q N p, p proporció de votates del cadidato A 0'60 dode: q 1 p 1 0'60 0'40 º de elemetos de la muestra 36 Por lo tato las proporcioes de muestras de 36 elemetos sigue ua ormal: 0'6 0'4 pˆ : N 0'6, N( 0'6, 0'08 36
Para que ua ecuesta realizada sobre 36 votates hubiese acertado el gaador de las eleccioes, la proporció muestral de votates debería haber sido superior al 50%, por lo que el problema se reduce a p p > 0'50 calcular ( Los valores de estas distribucioes se tipifica co la siguiete epresió p p p 0'60 Z p q 0'08 0'50 0'60 POR p 0'08 SIMETRIA F :1' φ ( 1 '5 0' 8944 C : 0'05 ( p > 0'50 p 0'50 z '5 p( z > '5 p( z < 1'5 φ( 1'5 La probabilidad de que ua ecuesta realizada sobre 36 votates hubiese acertado el resultado electoral habría sido del 89 44 % 10. Halla la probabilidad de que e los 00 próimos acimietos se produzca e tu ciudad: a Meos del 40% sea iños; b etre el 48% y el 5% sea iños. Nota: La probabilidad (a posteriori de que u recié acido sea iña es p 0 485. a. Meos del 40% sea iños. Se pide ua estimació para la proporció muestral de recié acidos, coocida la proporció poblacioal. Si se defie p como la proporció poblacioal de recié acidos iños, y el úmero de elemetos de las muestras es superior a 30, las proporcioes muetrales sigue ua distribució Normal cuyos parámetros so: p : Np, p Proporció poblacioal de iños 0'515 siedo: q Proporció poblacioal de iñas 0'485 úmero de elemetos de la muestra 00 p q 0'515 0'485 p : N 0'515, N( 0'515, 0'035 00 El problema se trasforma e calcular: 0'40 0'515 POR POR p( p < 0'40 p 0'40 z 3'9 p( z < 3'9 p( z > 3'9 p( z 3' 9 0'035 SIMETRIA COMPL F : 3' 1 p( z 3'9 1 φ( 3'9 N( 0,1 : φ( 3'9 0'9995 1 0'9995 0' 0005 C : 0'09 La probabilidad de que e u muestra de 00 recié acidos la proporció de iños sea iferior al 40%, es del 0 05 % b. Etre el 48% y el 5% sea iños. Co la misma distribució para la proporció del apartado a, esta vez pide: 0'48 0'515 p 0'48 z '00 p 0'48 < p < 0'5 0'035 p '00 < z < 0' 14 p z < 0' 14 p z ' 00 0'5 0'515 p 0'5 z 0' 14 0'035 ( ( ( (
SIMETR COMPL p( z < 0' 14 p( z 1'00 p( z < 0' 14 p( z < 1'00 p( z < 0' 14 ( 1 p( z < 1' 00 ( φ( 0' F : 01' 14 0'5557 N 0,1 ( ( ( C : 0'04 φ 0' 14 1 φ 1'00 0'5557 ( 1 0'8413 0' 3970 F :1'0 φ( 1'00 0'8413 C : 0'00 La probabilidad de que el porcetaje de iños e 00 acimietos este compredido etre el 48% y 5% es del 39 7 % 11. De 1000 muestras de 00 iños cada ua, e cuatas de ellas cabe esperar? : a Meos del 40% de iños; b Etre el 48 y el 5% de iños? Supógase equiprobables los sucesos iño / iña a. Meos del 40% sea iños. El úmero medio de muestras co ua proporció determiada, tambié deomiada esperaza matemática para la proporció, se obtiee multiplicado el úmero de elemetos por la probabilidad de que se de esa proporció µ N p( p < 0'40 p proporció de iños e ua muestra 00 idividuos. Sigue ua distribució ormal cuyos parámetros so: p : Np, p Proporció poblacioal de iños 0'50 siedo: q Proporció poblacioal de iñas 0'50 úmero de elemetos de la muestra 00 p q 0'50 0'50 p : N 0'50, N( 0'50, 0'035 00 N ( 050, 0'035 0'40 0'50 SIMETRIA p( p < 0'40 p 040 z '86 p( z < '86 p( z > ' 86 0'035 N( 0,1 F : '8 p( z '86 1 p( z '86 1 φ( '86 φ '86 0'9979 1 0'9979 0' C : 0'06 µ 1000 0'001 1' E 1000 muestras de 00 acimietos habrá que tega ua proporció de iños meor del 40% COMPLEMENTARIO b. Etre el 48 y el 5% de iños? µ N p 0'48 < p < 0'5 p ( 0'48 p < 0'5 ( ( 001 0'48 0'50 N( 0'50, 0'035 p 0'48 z 0'57 < 0'035 p( 0'57 < z < 0' 57 0'5 0'50 p 0'5 z 0'57 0'035 SIMETRIA COMPL ( z < 0'57 p( z 0'57 p( z < 0'57 p( z 0'57 p( z < 0'57 p( z < 0' p 57 F : 0'50 p C : 0`07 ( z < 0'57 ( 1 p( z < 0'57 p( z < 0'57 φ( 0'57 0'7157 0' 4314
De 1000 muestras de 00 recié acidos, 431 de ellas tedrá ua proporció de iños compredida etre el 48% y el 5%. 1. La catidad de diero que lleva (e sus bolsillos las persoas de ua determiada ciudad se distribuye ormalmete, co media µ 30 y 6 cuál es la probabilidad de que u grupo de 15 idividuos lleve u total iferior a 355. Catidad de diero. Variable cotiua co distribució Normal : N µ, N 30, 6 ( ( Si se toma muestras de tamaño 15, las medias de estas sigue tambié ua distribució Normal 6 : N, N 30, N ( 30,0'54 µ 15 Para la variable media muestral, se pide: 355 N ( ( 30,0'54 8' 30 SIM p < p < 8' 8' z 3'33 p( z < 3'33 p( z > 3' 33 15 0'54 COMPL ( ( ( F : 3'3 p z 3'33 1 p z 3'33 1 φ 3'33 1 0'9996 0' 0004 C : 0'03 La probabilidad que e u grupo de 15 persoas la catidad de diero que lleva etre todos sea meor de 355 es del 0 04 % 13. Supógaos que el 5% de los jóvees carece de sesibilidad ecológicas. Calcula el itervalo de probabilidad al 99%, para la proporció de isesibles e muestras de tamaño 100. p proporció de los jóvees que carece de sesibilidad ecológica. Se pide calcular u itervalo de probabilidad para la proporció e muestras de tamaño 100, co ua cofiaza del 99%. Itervalo de probabilidad para la proporció: p q p q p Z + α, p Zα p 0'5 dode: q 0'75, Z α se relacioa co el ivel de sigificació (α, y este a su vez co el de cofiaza 100 (1α. Si el ivel de cofiaza es del 99%, el ivel de sigificació es: α 1 0 99 0 01 Coocido α, se calcula Z α mediate: α 1 0'01 1 Z 1 φ 1 α φ φ ( 0'9950 ' 58 sustituyedo e el itervalo de cofiaza: 0'5 0'75 0'5 0'75 0 '5 '58, 0'5 + '58 ( 0' 138, 0'36 100 100 E muestras de 100 jóvees, la proporció de los que carece de sesibilidad ecológica co ua probabilidad del 99% estará compredida etre 13 8% y el 36 %.
14. Al acto de presetació de uas oposicioes asistió el 65% de los cadidatos. Si se hubiese tomado, elegidos al azar, 81 opositores, cuál es la probabilidad de que se presete meos de 55? Se pide hacer ua estimació de ua proporció muestral ( pˆ de asistetes a uas oposicioes coocida la proporció poblacioal. Puesto que el úmero de elemetos de la muestra es superior a 30, la distribució de las proporcioes muestrales de tamaño sigue ua ley Normal cuyos parámetros so: N p, p proporció de asistetes 0'65 dode: q 1 p 1 0'65 0'35 º de elemetos de la muestra 81 p q Por lo tato las proporcioes de muestras de 81 elemetos sigue ua ormal: 0'65 0'35 pˆ : N 0'65, N( 0'65, 0'05 81 55 ( 0'65 55 N 0'65, 0'05 55 81 F : 0'5 pp < p z 0'58 p z < 0'58 0' 81 81 0'05 C : 0'08 La probabilidad de que asista meos de 55 opositores de etre 81 es del 71 9 % ( 7190 15. El 40% de los ciudadaos de ua regió se opoe a la costrucció de ua presa. Si se preguta a 60 persoas de esa regió, qué probabilidad hay de que gae los que se opoe? Se pide hacer ua estimació de ua proporció muestral coocido la proporció poblacioal. p Proporció de ciudadaos que se opoe a la costrucció de ua presa. p 0 40. Puesto que el úmero de elemetos de la muestra es superior a 30, la distribució de las proporcioes muestrales de tamaño sigue ua ley Normal cuyos parámetros so: p q 0'40 0'60 p : N p, N 0'40, N( 0'40, 0'06 60 Para que gae los que se opoe, la proporció de la muestra tedrá que ser mayor del 50%. N ( 0'40, 0'06 0'50 0'40 COMPL p( p > 0'50 p 0'50 z 1'67 p z > 1'67 p z 1'67 1 p z 1' 67 0'06 1 φ ( 1'67 N ( 0,1 φ 1'67 F :1'6 C : 0'07 ( ( ( ( 0'955 1 0'955 0' 0475 Co la proporció poblacioal del 40% para los que se opoe, la probabilidad de que e ua muestra de 60 idividuos gae los que se opoe es del 4 75%.
16. Cuatos uos debe de salir al lazar u dado 00 veces para que co u ivel de cofiaza del 95% podamos asegurar que el dada o está trucado? Se pide calcular el itervalo de cofiaza para la proporció de uos al lazar u dado 00 veces, y ua vez obteido este que se trasforme e valores medios. Si el dado o está trucado la proporció de uos debe ser 1, y e muestras de 00 lazamietos la 6 proporció muestral seguirá ua ley Normal cuyos parámetros so: 1 5 p q 1 p : N p, N, 6 6 N( 0' 167, 0'06 6 00 El itervalo de probabilidad para la proporció de uos e doscietos lazamietos es: p q p q p Z + α, p Zα Para u ivel de cofiaza del 95%, el ivel de sigificació (α es: 1 α 0 95 α 0 05 Coocido el ivel de sigificació se obtiee el valor de Z α. α 1 0'05 1 Z 1 φ 1 α φ φ ( 0'9750 1' 96 Sustituyedo: 1 5 1 5 1 1 1'96 6 6, 1'96 6 6 + ( 0' 115, 0'19 6 00 6 00 aplicado esta proporció a 00 lazamietos, el úmero de uos que os debe de aparece debe estar 3, 43, ambos iclusive compredido etre ( 17. Para ua muestra, de tamaño 81, de alumas de segudo de bachillerato se obtuvo ua estatura media de 167 cm. Si por trabajos ateriores se sabe que la desviació típica de la altura de la població de chicas de segudo de bachillerato es de 8 cm, costruye los itervalos de cofiaza para la estatura media de la població. a al 90%; b al 95%. Se pide calcular el itervalo de probabilidad para la altura media de muestras de 81 alumas de º de bachiller coocida ua media muestral a dos iveles diferetes de cofiaza. El itervalo de probabilidad a u ivel de cofiaza 1 α a partir de ua media muestral es: Zα, + Zα dode: 167, 8, 81 8 8 167 Zα,167 + Zα 81 81
Para u ivel de cofiaza del 90%: α 1 φ 01' 1 1 α 0 90 α 0 1 : φ ( 0'9500 1' 65 Z α Para u ivel de cofiaza del 95%: φ 8 8 167 1'65,167 1'65 + 81 81 ( 165'5,168'5 0'05 1 α 0 95 α 0 05 : Z φ 1 φ 1 φ ( 0'9750 1' 96 α α 8 8 167 1'96,167 1'96 + 81 81 ( 165'3,168'7 Al aumetar el ivel de cofiaza, aumeta la amplitud del itervalo. 18. Para la població de alumas de segudo de bachillerato visto e el problema aterior: a Qué error máimo se admite para la media poblacioal e cada ua de las estimacioes hechas?, al 90% y 95% de cofiaza. Se defie el error máimo para ua media muestral como: ε ma > µ E fució de los parámetros que caracteriza la distribució de las medias muestrales y del ivel de cofiaza que se le quiera dar, el error máimo se defie como: ε ma > Zα Sustituyedo la desviació y el úmero de datos 8 ε ma > Zα 81 Para u ivel de cofiaza del 90%: 1 α 01' 1 1 α 0 90 α 0 1 : φ φ φ ( 0'9500 1' 65 sustituyedo e el error máimo: Z α Para u ivel de cofiaza del 95%: 8 ε ma > 1'65 1'5 81 0'05 1 α 0 95 α 0 05 : Z φ 1 φ 1 φ ( 0'9750 1' 96 sustituyedo e el error máimo: α ε > 1'96 α 8 ma Mateiedo el úmero de elemetos de las muestras costates, si se quiere aumetar el ivel de cofiaza, se debe aumetar el error máimo admitido. 81 1'7
b Qué tamaño muestral sería ecesario e cada caso si se admite u error de 1cm? Partiedo de la defiició de error máimo admitido, se puede despejar el úmero de elemetos de la muestra. ε ma > Zα > Z Sustituyedo la desviació y el error máimo admitido Para u ivel de cofiaza del 90%: sustituyedo e tamaño muestral: Para u ivel de cofiaza del 95%: sustituyedo e tamaño muestral: 8 > Zα 1 Z α 1'65 α 8 > 1'65 174'5 1 175 Z α 1'96 8 > 1'96 45'86 1 46 Si se quiere aumetar el ivel de cofiaza mateiedo el máimo error admitido costate, se debe aumetar el tamaño de las muestras 19. Ua ivestigació eamia los gastos e cosumo de ua muestra de 64 familias españolas elegidas al azar. La media muestral es de 10 000 y la desviació típica s 000. Costruir el itervalo de cofiaza 95% para todas las familias españolas. gasto e cosumo de las familias españolas. Variable cotiua que sigue ua distribució ormal, de la que se cooce la desviació y se descooce la media poblacioal. Las medias de las muestras de tamaño 64 tamaño 64 tambié sigue ua distribució Normal. El itervalo de probabilidad a partir de ua media muestral co u ivel de cofiaza 1 α viee represetado por: o Zα, o + Zα Para u ivel de cofiaza del 95%, el Z crítico se calcula de la siguiete forma: α 1 0'05 1 1 α 0 95 α 0 05 : Z 1 φ 1 α φ φ ( 0'9750 1' 96 Sustituyedo e el itervalo los datos del euciado y el valor del Z crítico: 000 000 10 000 1'96, 10 000 1'96 + ( 9 510, 10 490 64 64 Co ua probabilidad del 95%, el gasto medio e cosumo de 64 familias Españolas estará compredido etre 9510 y 10490. ε ma
0. E 1995, u iforme de uo de los grades bacos españoles afirmaba, a partir de ua muestra de tamaño 100, que el 65 % de las familias españolas teía dificultades ecoómicas para llegar a fi de mes. Costruye el itervalo de cofiaza al 95% para la totalidad de las familias españolas. 1. E u istituto, de los 50 alumos de Bachillerato 180 de ellos elige la religió católica como optativa. E el supuesto de que esos alumos sea represetativos de su ciudad, determia el itervalo de cofiaza para la proporció de los alumos que elige tal opció e toda la població, co ua cofiaza del 99%.. U grajero quiere coocer el peso gaado por sus pollos tras u periodo de 15 días co ua ueva alimetació. Estima el úmero de pollos que habrá que pesar para coocer el peso medió gaado por cada pollo, co u error máimo de 50g y ua cofiaza del 90%, si por estudios sobre utrició se sabe que la desviació típica del aumeto de pesos es de 150 gramos. 36. septiembre 1999 (Putuació máima: putos Ua variable aleatoria tiee ua distribució ormal de media µ y desviació típica. Si se etrae muestras aleatorias simples de tamaño, a Qué distribució tiee la variable aleatoria media muestral X? La media de las medias muéstrales (, es igual a la media real de la població (µ, mietras que la desviació típica de las medias muéstrales viee dada por. Esto sigifica que la distribució de las medias muéstrales de tamaño, etraídas de ua població ormal N(µ,, se ajusta a ua ormal : N µ, b Si se toma muestras de tamaño 4 de ua variable aleatoria X co distribució N(165, 1 calcúlese p (X < 173'7. Si tomamos muestras, de tamaño 4, de ua distribució N(165,1, las medias de estas muestras seguirá ua 1 distribució N 165,, es decir, tedrá ua distribució N(165,6. Para calcular la p ( > 173'7, habrá 4 que tipificar la variable co los parámetros de la distribució. µ 173'7 65 Sí 173' 7 etoces Z 1' 45, por lo tato 6 p > 173'7 p Z > 1'45 p Z 1'45 1 p Z 1'45 1 φ 1'45 0' ( ( ( ( ( 0735 F 1'4 φ ( 1'45 TABLA 0'0735 C.05
38. (Putuació máima putos Se está realizado ua ecuesta sobre el ivel de coocimietos geerales de los estudiates de Bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido ua muestra aleatoria de 9 de éstos estudiates, a los que se ha realizado u eame. Las calificacioes obteidas ha sido las siguietes: 7 8 6 5 5 4 7 1 5 0 8 3 5 6 6 6 6. Se supoe que la variable aleatoria objeto de estudio sigue ua distribució ormal de desviació típica coocida e igual a 1. Se pide: a U itervalo de cofiaza al 98% para la media de las calificacioes e el eame b El tamaño míimo que debería teer la muestra, e el caso de admitir u error máimo de 0,5 putos, co u ivel de cofiaza del 95%. a Se pide calcular u itervalo de cofiaza para la media (se supoe poblacioal co u ivel de cofiaza del 98%, a partir de ua media obteida de ua muestra de tamaño 9. E estos casos la variable media de las muestras sigue ua distribució del tipo N(,, dode co lo que la distribució queda de la forma: N,. El itervalo de cofiaza para ua variable co esta distribució viee dado por la epresió: Zα, + Zα Dode α represeta el riesgo que se asume. α 0'01; φ Z 1 0'99 Z ' α α α 7'8 + 6'5 + 5'4 + 7'1+ 5'0 + 8'3+ 5'6 + 6'6 + 6' 6'5 9 Nivel de cofiaza 1 α 0 98; α 0 0; ( 33 1 1 6 '5 '33, 6'5 '33 + 9 9 b E má Z α despejado : > Z α E má 1 α 0 95; Zα 1' 96 > 1'96 ( 5'7, 7'3 1 15'4 16 0'5 39 (Putuació máima putos Dos variables aleatorias idepedietes X 1 y X sigue ua distribució ormal co media µ y la desviació típica. a Qué distribució tiee la variable aleatoria b Si µ15 y 8, calcúlese p(x 1 +X >8. Solució. X1 + X X?
a. La ueva distribució será la correspodiete a ua variable media muestral co tamaño de muestra, por lo que su distribució será: N X µ, X1 + X 8 b. p( X1 + X < 8 p < p( X < 14 siedo X la variable media muestral de tamaño, cuya distribució es: p 14 5 8 N X 15, N X ( 15, ( X < 14 Z 0'5 p( Z < 0'5 p( Z > 0'50 p( Z 0'50 1 p( Z 0'50 1 φ( 0' 50 Simetrica 1 0 6915 0 3085 p(x 1 +X >8 30 85%