TEMA 3 FUNCIONES COMPLEJAS ELEMENTALES 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1.1 La función exponencial 1. Funciones trigonométricas 1.3 Funciones hiperbólicas. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo.1 Función logaritmo sus ramas. Exponentes complejos: funciones potenciales exponenciales.3 Funciones inversas trigonométricas e hiperbólicas 1 / 16 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1.1 La función exponencial 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1.1 La función exponencial Definición. La función exponencial compleja es aquélla que a caa z = x + i C le asigna el número complejo e x (cos + i sen ) que se enota e z ó exp(z). Propieaes e la función exponencial 1. Para too z C, se verifica e z = e Re(z) arg(e z ) = {Im z + kπ : k Z}.. exp(c) = {e z : z C} = C {\ {0}. e z 1+z = e z 1 e z, 3. Daos z 1, z C, se cumple e z 1 z = e z 1 /e z. 4. exp es perióica e perioo πi se verifica: i) e z 1 = e z z 1 = z + kπi con k Z. En particular, e z = 1 z = kπi, k Z. ii) exp ({x + i : x R α < α + π}) = C \ {0} α R. 5. exp es entera sieno ez z = ez para too z C. 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1.1 La función exponencial Geometría e la función exponencial 1. Sean x 0, α R, si L x0,α ={x 0 +i : (α, α+π]} exp (L x0,α) = C(0, e x 0 ) α R, one C(0, e x 0 ) enota la circunferencia e centro el origen raio e x 0.. Dao 0 R, si R 0 = {x + i 0 : x R} = exp(r 0 ) = {re i 0 : r > 0}. / 16 Z W (α+π)i. exp(l x0,α) L x0,α exp(r 0 ) αi R 0 e x 0 x 0 3 / 16
1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1. Funciones trigonométricas 1. Funciones trigonométricas Dao x R: { e ix = cos x + i sen x e ix = cos x i sen x = cos x = eix + e ix sen x = eix e ix i Definición. Las funciones seno coseno complejas se efinen para caa z C como sen z = eiz e iz i cos z = eiz + e iz Propieaes e las funciones complejas seno coseno 1. sen( z) = sen z cos( z) = cos z.. Ientiaes trigonométricas: i) sen(z 1 + z ) = sen z 1 cos z + cos z 1 sen z ; e one sen (z + π/) = cos z. ii) cos(z 1 + z ) = cos z 1 cos z sen z 1 sen z. iii) sen z + cos z = 1. 3. Perioicia: sen(z + π) = sen z cos(z + π) = cos z. 4 / 16 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1. Funciones trigonométricas 4. Relación con las funciones hiperbólicas reales senh = e e cosh = e +e Si z = x + i entonces i) sen z = sen x cosh + i cos x senh. ii) cos z = cos x cosh i sen x senh. 5. Conjugaas e las funciones trigonométricas: sen z = sen z cos z = cos z. 6. Las funciones seno coseno no son acotaas en móulo. Se euce e las relaciones: i) sen z = sen x + senh. ii) cos z = cos x + senh. 7. Ceros e las funciones seno coseno: i) sen z = 0 si sólo si z = kπ con k Z. ii) cos z = 0 si sólo si z = π + kπ con k Z. 8. Las funciones seno coseno son enteras, verificánose que sen z = cos z z : z cos z = sen z 5 / 16 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1. Funciones trigonométricas Otras funciones trigonométricas Función tangente: tan z = sen z cos z Función secante: sec z = 1 Propieaes cos z 1. tan z sec z son holomorfas en C \ Función cotangente: cot z = cos z sen z Función cosecante: csc z = 1 sen z { π + kπ; k Z }. Sieno z tan z = sec z sec z = sec z tan z z. cot z csc z son holomorfas en C \ {kπ; k Z}. Sieno z cot z = csc z csc z = csc z cot z z 3. Perioicia: tan z cot z son perióicas e perioo π sec z csc z e perioo π. 6 / 16
1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1.3 Funciones hiperbólicas 1.3 Funciones hiperbólicas Definición. Se efinen las funciones complejas seno coseno hiperbólicos para caa z C como senh z = ez e z cosh z = ez + e z Propieaes e las funciones hiperbólicas complejas 1. senh( z) = senh z cosh( z) = cosh z.. Relación con las funciones trigonométricas complejas: i) senh z = i sen(iz) cosh z = cos(iz). ii) sen z = i senh(iz) cos z = cosh(iz). 3. Ientiaes i) senh(z 1 + z ) = senh z 1 cosh z + cosh z 1 senh z. ii) cosh(z 1 + z ) = cosh z 1 cosh z + senh z 1 senh z. iii) cosh z senh z = 1. 4. Perioicia: senh(z + πi) = senh z cosh(z + πi) = cosh z. 7 / 16 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1.3 Funciones hiperbólicas 5. Relación con las funciones hiperbólicas reales: Si z = x + i entonces i) senh z = senh x cos + i cosh x sen. ii) cosh z = cosh x cos + i senh x sen. 6. Conjugaas e las funciones hiperbólicas: senh z = senh z cosh z = cosh z. 7. Las funciones seno coseno hiperbólicas no son acotaas en móulo, obviamente pues restringias a R no son acotaas. Aemás, se verifican las siguientes relaciones: i) senh z = senh x + sen. ii) cosh z = senh x + cos. 8. Ceros e las funciones seno coseno hiperbólicos: i) senh z = 0 si sólo si z = ( kπi con k Z. π ) ii) cosh z = 0 si sólo si z = + kπ i con k Z. 9. Las funciones seno coseno hiperbólicos son enteras, verificánose que senh z = cosh z z z cosh z = senh z 8 / 16 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1.3 Funciones hiperbólicas Otras funciones hiperbólicas Tangente hiperbólica: tanh z = senh z cosh z Secante hiperbólica: sech z = 1 Propieaes cosh z 1. tanh z sech z son holomorfas en C \ Cotangente hiperbólica: coth z = cosh z senh z Cosecante hiperbólica: csch z = 1 senh z {( π ) } + kπ i; k Z. Sieno z tanh z = sech z sech z = sech z tanh z z. coth z csch z son holomorfas en C \ {kπi; k Z}. Sieno z coth z = csch z csch z = csch z coth z z 3. Perioicia: tanh z coth z son perióicas e perioo πi sech z csch z e perioo πi. 9 / 16
. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo.1 La función logaritmo sus ramas.1 La función logaritmo sus ramas Para efinir una función compleja inversa e la exponencial ha que tener en cuenta: 1) e w 0, w C ) e w = z 0 w = ln z + i(arg z + kπ), k Z Definición. Dao z C\{0} se efine { logaritmo e z: log z = {ln z + i(arg z + kπ) : k Z} logaritmo principal e z: Log z = ln z + i Arg z De la función multivaluaa log se efine para α R la rama o eterminación el logaritmo log α z = ln z + i arg α z, one arg α es la rama e arg con valores en (α, α + π). Por tanto, Dominio e efinición e log α es Ω α = C \ {re iα : r 0}. El conjunto C α = {re iα : r 0} se enomina corte e ramificación e la rama log α. La imagen e log α es {w C : α < Im w < α + π}. Si α = π = log α = Log es la rama principal el logaritmo. Si C α semirrecta que parte el origen con peniente α [0, π), existen infinitas ramas el logaritmo istintas con corte e ramificación C α : f k (z) = ln z + i(arg α z + kπ) con k Z 10 / 16. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo.1 La función logaritmo sus ramas Propieaes 1. e log α z = z z Ω α α R.. log α (e z ) z se verifica log α (e z ) = z + kπi, sieno k Z. log α (e z ) = z si sólo si α < Im z < α + π. log(e z ) = {z + kπi : k Z}. 3. Daos z 1, z C \ {0}, log α (z 1 z ) log α z 1 + log α z, se verifica: i) log α (z 1 z ) = log α z 1 + log α z + kπi sieno k Z. ii) Fijaas os ramas el logaritmo, existe una tercera verificano log α0 (z 1 z ) = log α1 z 1 + log α z. 4. Daos z 1, z C \ {0}, log α (z 1 /z ) log α z 1 log α z, se verifica: i) log α (z 1 /z ) = log α z 1 log α z + kπi sieno k Z epeniente e z 1 z. ii) Fijaas os ramas el logaritmo, existe una tercera verificano log α0 (z 1 /z ) = log α1 z 1 log α z. 5. Para caa α R, log α H(Ω α ) sieno log α z z = 1 z z Ω α. 11 / 16. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo. Exponentes complejos: funciones potenciales exponenciales. Exponentes complejos: funciones potenciales exponenciales Definición. Daos z, w C, sieno z 0, la potencia e base z exponente w es z w = {e w(log z+kπi)) : k Z} = {e w(ln z +i(arg z+kπ)) : k Z}. Para un valor el logaritmo, log α z, se tiene el único valor 1 z w = e w log α z = e w(ln z +i arg α z). Propieaes 1. Daos z, w C, con z 0, e e w(log z+kπi)) = e w Log z e wkπi se sigue i) Si w Q z w conjunto finito pues: - Dao n N z n = {z. n).. z} z n = {z 1. n).. z 1 } - si w = 1/n z w es el conjunto e las n raíces n-ésimas e z. ii) Si w / Q z w es infinito sus elementos ifieren entre sí en un factor e la forma e wkπi, k Z.. Si z C \ {0} w 1, w C, fijaas las eterminaciones e os potencias e las 3 que involucra la fórmula e los siguientes casos, existe una e la tercera potencia verificano: i) z w 1+w = z w 1 z w. ii) z w 1 w = z w 1 z w. 1 Se utiliza la misma notación que para el conjunto e infinitos valores, por lo que en el contexto se ebe especificar 1 / 16
. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo. Exponentes complejos: funciones potenciales exponenciales Funciones potenciales Dao w C, la función potencial multivaluaa C \ {0} P(C) z z w etermina, para caa α R, la rama o eterminación e la función potencial e potencia w o α-rama e z w : Ω α = C \ {re iα : r 0} C z e w log α z =: z w que es holomorfa en Ω α sieno z w z = wz w 1 z Ω α, one z w 1 = e (w 1) log α z. Observación: Sea w Z. a) Para w = n N = N {0}, la función entera efinia para caa z C por z n = z. n).. z restringia a Ω α coincie con la α-rama e z w, para cualquier α R. b) Para w = n, con n N, la función efinia por z n = 1, que es holomorfa en z n C \ {0}, restringia a Ω α coincie con la α-rama e z w, para cualquier α R. 13 / 16. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo. Exponentes complejos: funciones potenciales exponenciales Funciones exponenciales Dao w C \ {0}, la función exponencial multivaluaa C z P(C) etermina, para caa k Z, la rama o eterminación e la función exponencial e base w C C z que es entera cua erivaa es e z(log w+ikπ) =: w z w z z = w z (Log w + ikπ) z C. w z 14 / 16. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo.3 Funciones inversas trigonométricas e hiperbólicas.3 Funciones inversas trigonométricas e hiperbólicas Funciones inversas trigonométricas Las funciones inversas e las funciones trigonométricas e hiperbólicas son multivaluaas pues vienen efinias a través el logaritmo. Por ejemplo, ao w C, w puee ser consierao un valor e arcsen z si verifica sen w = z z = eiw e iw ( e iw) ize iw 1 = 0 i Resolvieno esta ecuación se llega a { arcsen z = i ( ln iz ± 1 z + i ( Arg(iz ± )) } 1 z ) + kπ : k Z, one 1 z enota uno e los os valores e la raíz. Abreviaamente arcsen z = i log ( iz + (1 z ) 1/), one la raíz el logaritmo inican las funciones multivaluaas. Fijaa una rama el logaritmo otra e la raíz se obtiene una función arco seno cuo ominio e holomorfía quea eterminao por ambas ramas sieno su erivaa z arcsen z = 1 (1 z ). 1/ 15 / 16
. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo.3 Funciones inversas trigonométricas e hiperbólicas De forma análoga se obtienen las funciones arco coseno arco tangente. En el siguiente cuaro, one las erivaas eben entenerse referias a las ramas efinias en el corresponiente ominio e holomorfía, se reúnen estas funciones: arcsen z = i log ( iz + (1 z ) 1/) arccos z = i log(z + (z 1) 1/ ) arctan z = i ( ) i + z log, z ±i i z z arcsen z = 1 (1 z ) 1/ z arccos z = 1 (1 z ) 1/ z arctan z = 1 1 + z. 16 / 16. Función logaritmo funciones efinias meiante el logaritmo.3 Funciones inversas trigonométricas e hiperbólicas Funciones inversas hiperbólicas De forma similar al caso e las funciones trigonométricas se obtienen las inversas e las funciones hiperbólicas, recogias en el siguiente cuaro, one nuevamente las erivaas eben entenerse referias a las ramas en el corresponiente ominio e holomorfía: arcsenh z = log(z + (z + 1) 1/ ) arccosh z = log(z + (z 1) 1/ ) arctanh z = 1 ( ) 1 + z log, z ±1 1 z z arcsenh z = 1 (z + 1) 1/ z arccosh z = 1 (z 1) 1/ z arctanh z = 1 1 z 17 / 16