IES CASTELAR BADAJOZ Junio de (General) Soluciones Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE LA RIOJA PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) MATEMÁTICAS II JUNIO (GENERAL) MATEMÁTICAS II Tiempo máimo: horas minutos El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le orecen Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta a ejercicios distintos de la otra Es necesario justiicar las respuestas Se permite el uso de calculadoras cientíicas siempre que no sean programables ni gráicas ni calculen integrales Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autoriada, podrá ser epulsado del eamen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra PROPUESTA A L( ) Ejercicio º) Contesta raonadamente si, para la unción eiste algún punto en el que la recta tangente a la gráica de () es perpendicular a la recta La pendiente a una unción en un punto es el valor de la derivada de la unción en ese punto Por otra parte, la pendiente de la recta,, es m Las rectas perpendiculares tienen sus pendientes inversas de signo contrario, L es m por lo cual, la pendiente de la tangente a la unción 6 7 6 7 ± 9 7 ± 5 7 ± 5 6 [ ] L( 6 8) L8 A( 6, L8) ( 6) L ( 6) ( 6) [ ] L( ) L( ) D( ) L El único punto que cumple la condición pedida es A(-6, L8) Ejercicio º) Encuentra un vector de módulo que sea ortogonal a los vectores de coordenadas (,, ) (,, ) Un vector ortogonal a los vectores u (,, ) v (,, ) es cualquier vector w que sea linealmente dependiente de su producto vectorial:
IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Antonio Mengiano Corbacho w i j k (,, ) (,, ) u v j k i i j k w Como el vector pedido tiene que ser unitario, basta dividir sus componentes por el módulo de w : ( ) 9 w El vector unitario pedido es: a,, Nota: También es válido el vector opuesto de a Ejercicio º) Halla una unción () que pase por el punto A(, ) tal que e u d du e d dv e v d ( ) e d ( ) e e d ( ) e e d u d du e d dv e v ( ) e ( e e d) ( ) e e e C e ( ) C ( ) C e Como () contiene al punto A(, ) tiene que satisacer su ecuación: ( ) e ( ) C C C e ( ) Ejercicio º) Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máimos mínimos los puntos de inleión de la unción L( ) Representa la gráica de () a partir de los datos obtenidos Las unciones logarítmicas ( log a ) tienen por dominio (, ), por lo cual el L es el conjunto de valores reales de tales que dominio de la unción
IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Antonio Mengiano Corbacho >, o sea: > > D ( ) (, ) (, ) La unción ( L ) puede epresarse de la orma Le L( ) o también: e L Las asíntotas de la unción son las siguientes: Horiontales: son los valores initos que toma la unción cuando tiende a valer ininito; son de la orma k lím lím e lím e k Hopital L L L Ind L L lím e L Ind L Hopital L lím e L No tiene asístotas hor Verticales: son los valores de que anulan el denominador real Oblicuas: son de la orma m n, siendo m real distinto de n lím m lím L( ) lím L( ) lím L( ) lím L ( ) lím lím Ind L Hopital m s lím lím lím n [ m] L( ) ( ) No tiene asíntotas oblicuas Una unción es creciente o decreciente cuando su derivada es positiva o negativa, respectivamente
IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Antonio Mengiano Corbacho D ± ± ± ± 8 Para estudiar el signo de la derivada nos valemos del gráico siguiente, teniendo en cuenta el dominio de la unción: De la observación de la igura anterior se deducen los periodos de crecimiento decrecimiento, que son los siguientes:,, o : Crecimient, nto : Decrecimie Una unción tiene un máimo o un mínimo relativo para los valores que anulan la primera derivada Para dierenciar entre máimos mínimos se recurre a la segunda derivada: según que sea positiva o negativa para los valores que anulan la primera derivada, el etremo relativo es un mínimo o un máimo, respectivamente No se considera el valor que anula la primera derivada por no pertenecer al dominio de la unción Teniendo en cuenta que R >,, para el valor la unción tiene un mínimo relativo L L L -
IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Antonio Mengiano Corbacho ( 8 ) L8 57 8 Mínimo : (, 8) L A Una unción tiene un punto de inleión para los valores que anulan la segunda derivada hacen distinto de cero la tercera derivada R ( ) () no tiene puntos de inleión La representación de () con los datos obtenidos es, aproimadamente, la siguiente: Y - V - O 5 X () - Ejercicio 5º) Calcula la ecuación de una recta r paralela al plano que pasa por los puntos A (,, ), B(,, ) C(,, ) al plano de ecuación que no esté contenida en ninguno de ellos Los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) determinan los vectores: 5
IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Antonio Mengiano Corbacho (,, ) (,, ) (,, ) u BA A B (,, ) (,, ) (,, ) v CA A C El plano que contiene a los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) es: ( A; u, v ) ( ) ( ) Los vectores normales de los planos son n (,, ) (,, ) n La recta r, por ser paralela a los dos planos, tiene como vector director a cualquiera que sea linealmente dependiente de un vector w ortogonal a los vectores normales de los planos: i j k w i j k k i j i j k (,, ) w Para determinar la ecuación de una de las ininitas rectas que cumplen las condiciones dadas, tomamos un punto P que no perteneca a ninguno de los dos planos, por ejemplo: P(, -, 5): P(,, 5) 5 P P(,, 5) 5 P La recta r, epresada por unas ecuaciones continuas, por ejemplo, es la siguiente: r 5 ********** 6
IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Antonio Mengiano Corbacho PROPUESTA B L( ) Ejercicio º) Contesta raonadamente si, para la unción eiste algún punto en el que la recta tangente a la gráica de () es perpendicular a la recta Ejercicio º) Encuentra un vector de módulo que sea ortogonal a los vectores de coordenadas (,, ) (,, ) Ejercicio º) Halla una unción () que pase por el punto A(, ) tal que ( ) e (Resueltos en la propuesta A) Ejercicio º) Con una cuerda de metros queremos construir un cuadrado de lado un círculo de radio r de modo que la suma de sus áreas sea mínima Cuándo deben medir r? r r r L L L r r ( ) S STotal Scuadrado Scírculo r ( r) r ( r) r S Para que el área sea mínima es condición necesaria que su derivada sea cero: S ( r) ( ) r ( r) r r r ( r r ) S S r r r r r ( ) r metros 7
IES CASTELAR BADAJOZ Eamen Junio de (General) Antonio Mengiano Corbacho 8 metros r r 8 Justiicación de que se trata de un mínimo:, j c q S Mínimo > El lado del cuadrado es de 8 metros el radio de metros Ejercicio 5º) La recta r la recta s que pasa por los puntos P(,, ), a, Q se cortan en un punto Calcular el valor de el punto de corte La recta que pasa por los puntos P(,, ) Q(,, ) tiene como vector director,,,,,, P Q PQ v Las rectas r s epresadas por unas ecuaciones paramétricas son r s Por tener un punto en común tiene que cumplirse lo siguiente: s r De las dos últimas ecuaciones se obtienen los valores de μ: 7 7 8 Sustituendo los valores hallados en la ecuación, resulta: El punto de corte es P(-, -, 6)