Variables aleatorias. Distribució biomial y ormal Variable aleatoria Def.- Al realizar u experimeto aleatorio teemos u espacio muestral E. A cualquier ley o aplicació que a cualquier suceso de E le asocie u úmero real se le llama variable aleatoria, y se suele escribir co letras mayúsculas: X, Y, Z X: Suceso de E R Se laza 2 dados, se defie la variable aleatoria X como la suma de los úmeros que aparece arriba E = {(1,1); (1,2); (6,6)} hay 36 = 6x6 casos Posibles valores de la variable aleatoria X: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Se laza 2 dados y se suma los úmeros que aparece arriba, se defie la variable aleatoria X salga u úmero múltiplo de 3 E = {(1,1); (1,2); (6,6)} hay 36 = 6x6 casos Posibles valores de X: 3, 6, 9, 12 Lazo 3 moedas y defio la variable aleatoria X como el º de caras que sale E tiee 2x2x2 = sucesos elemetales Posibles resultados de X: 0,1,2,3 E u cultivo elijo 100 habichuelas co la vaia etera. Defio la variable aleatoria X como la logitud de la vaia. Alumos de 2º de Bachillerato de u IES. Defio la variable aleatoria X como su altura Alumos de 2º de Bachillerato de u IES. Defio la variable aleatoria X como su peso Levatamos ua ficha de domio y defio la variable aleatoria X como la suma de los putos de arriba E tiee 28 elemetos (la ficha 0-1 es la misma que la 1-0, y se cueta sólo ua vez) fichas 0-0, 0-1, 0-2,, 0-6 1-1, 1-2,, 1-6.. 6-6 posibles resultados de X: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Sacamos dos cartas de ua baraja. Variable X º de ases obteidos; posibles resultados X: 0,1,2, U alumo ha estudiado 12 temas de 30 de los que costa el exame. El exame costa de dos temas elegidos al azar. Variable X pregutas que se sabe posibles resultados de X: 0,1,2 Nota.- De los ejemplos ateriores hemos visto que hay variables aleatorias que se les asocia u úmero fiito de valores y otras que e teoría todos los valores de u itervalo umérico. (ejercicios ateriores 4, 5 y 6) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 1
Def.- Ua variable aleatoria X decimos que es discreta si se le asocia u umero fiito de valores. Def.- Ua variable aleatoria X diremos que es cotiua si se la asocia, e teoría, todos los valores de u itervalo. Variable aleatoria discreta Fució de probabilidad Supoemos que teemos ua variable aleatoria discreta X co valores x 1, x 2,., x, y coocemos las siguietes probabilidades p(x= x 1 ) = p 1, p(x= x 2 ) = p 2,.., p(x= x ) = p. Def.- Dada ua variable aleatoria discreta X co valores x 1, x 2,., x, de los cuales coocemos sus probabilidades p 1, p 2, p 3,.., p. Se defie su fució de probabilidad como la ley o aplicació que asocia a cada valor x i su probabilidad p(x=x i )=p i, verificado: 1) p i > o 2) p 1 + p 2 + p 3 +..+ p = 1 Ejemplos Determiar la fució de probabilidad de los ejemplos 1,2,3,7,8, 9 Del 1) Se laza 2 dados, se defie la variable aleatoria X como la suma de los úmeros que aparece arriba E = {(1,1); (1,2); (6,6)} hay 36 = 6x6 casos Posibles valores de X: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 p(x=2)=p(x=12) = 1/36 p(x=3)=p(x=11) = 2/36 p(x=4)=p(x=10) = 3/36 p(x=5)=p(x=9) = 4/36 p(x=6)=p(x=8) = 5/36 p(x=7) = 6/36 Del 2.- Se laza 2 dados y se suma los úmeros que aparece arriba, se defie la variable aleatoria X salga u úmero múltiplo de 3 E = {(1,1); (1,2); (6,6)} hay 36 = 6x6 casos Posibles valores de X: 3, 6, 9, 12 p(x=3) = 2/36 p(x=6) = 5/36 p(x=9) = 4/36 p(x=12) = 1/36 Del 3.- Lazo 3 moedas y defio la variable aleatoria X como el º de caras que sale E tiee 2x2x2 = sucesos elemetales Posibles resultados de X: 0,1,2,3 p(x=0) = 1/8 p(x=6) = 3/8 p(x=9) = 3/8 Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 2
p(x=12) = 1/8 Del 7.- Levatamos ua ficha de domio y defio la variable aleatoria X como la suma de los putos de arriaba E 28 fichas 0-0, 0-1, 0-2,, 0-6 1-1, 1-2,, 1-6.. 6-6 posibles resultados de X: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Dos cartas de ua baraja X = º de ases X = 0,1,2, A = As P(X=0) = igú as = (36/40)(35/39). Sigo la líea dode o hay ases P(X=1) = aparezca u as = (4/40)(36/39) + (36/40)(4/39) P(X=2) = aparezca dos ases = (4/40)(3/39). Se sabe 12 de 30 que costa el libro X = 0,1,2; A = sabe P(X=0) = (18/30)(17/29). Sigo la líea P(X=1) = (12/30)(18/29) + (18/30)(12/29) P(X=2) = (12/30)(11/29). Fució de distribució Def.- La fució de distribució de ua variable aleatoria discreta X, que se escribe F(x i ), es la suma de todas las probabilidades de la variable aleatoria X hasta el valor x i, es decir F(x i ) = p(x x i ) = p(x = x 1 ) + p(x = x 2 ) + p(x = x 3 ) +.. + p(x = x i ) = = p 1 + p 2 + p 3 +.. + p i. Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 3
Es parecido a las frecuecias relativas acumuladas. X p = p(x = x i ) x 1 x 2 x 3... x p1 p 2 p 3...p Su fució de distribució es: 0 si X<x1 p1 si x1 X<x 2 p 1+p2 si x2 X<x3 F(x)= p 1+p 2+...+pi si xi X<xi+1 p +p +...+p =1 si x X<x 1 1 +1 Propiedades: 1) F(x) es costate (toma el mismo valor) e cada itervalo [x i, x i+1 ) 2) F(x) es creciete 3) p(a < X b) = F(b) F(a) X = Nº de caras al lazar 3 moedas 0 1 2 3 P i = p(x = x i ) 1/8 3/8 3/8 1/8 Su fució de distribució es: 0 si X<0 1/8 si 0 X<1 F(x)= 1/8+3/8=4/8 si 1 X<2 4/8+3/8=7/8 si 2 X<3 7/8+1/8=1 si X 3 Se puede represetar gráficamete y calcular alguas probabilidades Media, variaza y desviació típica de ua variable aleatoria discreta. Nota: Supoemos ua variable aleatoria discreta X que toma los valores x 1, x 2, x 3,., x co probabilidades p 1, p 2, p 3,, p, dode p i = p(x = x i ) Def.- Se defie la media o esperaza matemática de la variable aleatoria X, que se escribe µ X, como el siguiete úmero: µ X = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p x = px i i Def.- Se defie la variaza de la variable aleatoria X, que se escribe (σ X ) 2, como el siguiete úmero: (σx) 2 = p 1 ( x 1 - µ X ) 2 + p 2 ( x 2 - µ X ) 2 + + p ( x - µ X ) 2 = p (x -μ ) = p (x ) -(μ ) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 4 i=1 2 2 2 i i X i i X i=1 i=1
Def.- Se defie la desviació típica de la variable aleatoria X, que se escribe (σ X ), como el siguiete úmero: (σ X ) = (σ X ) 2 = p (x -μ ) = p (x ) -(μ ) 2 2 2 i i X i i X i=1 i=1 Calcular la media, variaza y desviació típica de la variable aleatoria X salir cara al lazar 3 moedas x i pi pi.xi pi.(x i ) 2 0 1/8 0 0 1 3/8 3/8 3/8 2 3/8 6/8 12/8 3 1/8 3/8 9/8 Σ 1 12/8 24/8 Media µ X = px i i = 12/8 i=1 Variaza (σ X ) 2 2 2 = p (x ) μ -( ) = 24/8 (12/8) 2 = 3/4 i=1 i i X Desviació típica (σ X ) = (σ X ) 2 2 2 = p i(x i) μ -( ) X = 3 = 3 0'866 4 2 i=1 Hacerlo de los ejercicios resueltos ateriormete Distribució Biomial (como ejemplo de variable aleatoria discreta) Defiició de distribució biomial: Si realizamos veces u experimeto e el que podemos obteer éxito, A, co probabilidad p y fracaso, A C, co probabilidad q (q = 1 p), la obteció de éxito o fracaso es idepediete de u experimeto a otro. La variable aleatoria discreta X = º de éxitos, decimos que sigue ua distribució biomial de parámetros y p, y lo represetaremos por X B(;p). Nota.- La fució de probabilidad de la variable X = º de éxitos, que sabemos sigue ua distribució biomial de parámetros y p ( B(,p) ), viee dada por: p(x = k) = ( sobre k).p k.q (-k) =.p k.q (-k). k ** ( sobre k) = {úmero combiatorio} = = (!)/(k!.(-k)!) k E la calculadora ( sobre k) = tecla Cr k! = factorial de u º = (-1)(-2)(-3).3.2.1 Por coveio 0! = 1, para poder demostrar las propiedades (5 sobre 1) = 5 = (5!)/(1!.(5-1)!) = 5 1 (7 sobre 3) = 7 = (7!)/(3!.(7-3)!) =35 3 Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 5
8 (8 sobre 4) = = (8!)/(4!.(8-4)!) = 70 4 (100 sobre 98) = 100 = (100!)/(98!.(100-98)!) = 4950 98 Nota: Observar que las probabilidades de éxito y fracaso so complemetarias, es decir, q = 1 p y p = 1 q, por lo que basta saber ua de ellas para calcular la otra. Ates teíamos B(7; 1/6), y queríamos calcular p(x=3) (obteer 3 éxitos). Aplicado la fórmula: p(x = 3) = (7 sobre 3).(1/6) 3.(5/6) 4 = 0 0781 Supogamos que la probabilidad de que ua pareja tega u hijo o ua hija es igual. Calcular la probabilidad de que ua familia co 6 descedietes tega 2 hijos. E este caso Éxito = A = teer hijo y p(a) = 0 5. Fracaso = A C teer hija y p(a C ) = 0 5. Estamos por tato ate ua biomial B(6;0 5) y os pide p(x=2). Si aplicamos la fórmula es: p(x = 2) = (6 sobre 2).(0 5) 2.(0 5) 4 = 0 2344 Probabilidades acumuladas Nota.- Es posible que os pida o sólo la probabilidad de que ocurra u cierto umero de éxitos e cocreto, sio que ocurra como mucho k éxitos o pregutas similares. E el ejemplo aterior, por ejemplo, podría pediros: Cuál es la probabilidad de que apruebe como mucho 2 alumos?. Si éxito = aprobar y fracaso = suspeder, p= 0 7 y q = 0 3, etoces os pide p(x 2). E este caso, basta pesar e que para que apruebe 2 alumos como mucho, puede que apruebe 2, 1 o iguo, es decir: p(x 2) = p(x = 0)+p(X = 1)+p(X = 2) = 0 0001 + 0 0012 + 0 01 = 0 1013 Nota.- A veces es más fácil por la probabilidades cotrario Cuál es la probabilidad de que apruebe etre 3 y 6 alumos (iclusive)?. Del mismo modo: p(3 X 6) = p(x = 3)+p(X = 4)+p(X = 5)+p(X = 6) = = 0 0467 + 0 1361 + 0 2541 + 0 2965 = 0 7334 Los alumos de cierta clase se ecuetra e ua proporció del 67% que estudia iglés y el resto fracés. Tomamos ua muestra de 15 alumos de la clase, calcular: a) Probabilidad de que al meos ecotremos tres alumos de iglés. b) Probabilidad de que los 15 alumos estudie iglés. c) Probabilidad de que estudie iglés etre 7 y 10 alumos. Sol Si éxito = estudiar iglés, p = 0 67 y fracaso = estudiar fracés, q = 1-0 67 = 0 33. Maejamos por tato ua Bi(15;0 67) a) p(x 3) = p(x = 3)+p(X = 4)+p(X = 5)+p(X = 6)+...+ p(x = 15). Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 6
Ua opció es calcular estas 13 probabilidades y sumarlas. Como hay que aplicar la fórmula para calcular cada ua, la tarea se puede hacer bastate larga. Otra opció, mas secilla, es pasar al complemetario. El complemetario de ecotrar al meos 3 alumos de iglés es ecotrar como mucho 2 alumos de iglés, p(x 2). Es decir, p(x 3) = 1 p(x <3) = 1 p(x 2) = 1 (p(x = 0)+p(X = 1)+p(X = 2)) y sólo teemos que calcular 3 probabilidades: p(x = 0) 0, p(x=1) = 0 000001, p(x=2) = 0 000026 (!compruébalo!). Por lo cual, p(x 3) = 1 (0 + 0 000001 + 0 000026) = 1 0 000027 = 0 999973 b) p(x=15) = 0 0025 (aplica la fórmula). c) p(7 X 10) = p(x = 7)+p(X = 8)+p(X = 9)+p(X = 10) = = 0 0549 + 0 1114 + 0 1759 + 0 2142 = 0 5564. Media y desviació típica e ua distribució biomial Nota.- Auque o se demostrará, e ua distribució biomial B(;p), el umero esperado de éxitos o media, viee dado por x =.p. (Recordemos que la media es ua medida de cetralizació). La variaza es σ 2 = (.p.q), y la desviació típica, σ, s la raíz cuadra de la variaza, es decir σ = (.p.q). Ejercicios E ua B(7;0 4) determia: p(x=2), P(X=5), P(X=0), P(X>0), P(X>5). Determia su media y desviació típica. Lazamos u dado 5 veces seguidas. Calcula la probabilidad de obteer: a. Más de 3 uos. b. Nigú uo. c. Determia su media y desviació típica. Sol ( = 5, éxito= obteer 1 al lazar u dado., P (éxito) = 1/6) La probabilidad de que u cierto producto se rompa cuado es trasportado es del 2%. Si se trasporta 20 de éstos, calcula la probabilidad de que: a. Se rompa más de 2. b. No se rompa iguo. c. Determia su media y desviació típica. Sol (= 20, éxito= que se rompa u producto.; P (éxito) = 0,02 = 2% = 2/100 = 0,02) u exame tipo test tiee 10 pregutas, cada ua de ellas co 3 opcioes para elegir. Si u alumo cotesta al azar; calcula la probabilidad de que: a. Acierte más de 8 pregutas. b. No acierte igua. c. Acierte todas. d. Determia su media y desviació típica. Sol ( =10, éxito= acertar la preguta. P (éxito) = 1/3) El 53% de los trabajadores de ua empresa so mujeres. Si elegimos 8 persoas de esa empresa al azar. Calcula la probabilidad de que haya: Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 7
a. Algua mujer. b. Más de 6 mujeres. c. Determia su media y desviació típica. Sol ( =8, éxito= obteer mujeres. P(éxito)= 0,53 ; fracaso=0,47) Distribucioes Cotiuas. Distribució Normal Itroducció Ya hemos visto que la las variables aleatorias cotiuas X e teoría tomaba todos los posibles valores de u itervalo, que puede ser todo R. E las variables aleatorias discretas teíamos el cocepto de fució de probabilidad, que verificaba las propiedades: 1) p i > 0, co p(x=x i ) = p i 2) p 1 + p 2 + p 3 +..+ p = 1 Sabemos que si ua fució f(x) es cotiua si su gráfica se dibuja si levatar el lápiz del papel. Por ejemplo El cocepto de el cocepto de fució de probabilidad, e las variables aleatorias discretas, lo hará ahora la fució f(x) que se llamará fució de desidad, y las propiedades: 1) p i > 0, co p(x=x i ) = p i de la discreta, se trasformará e que f(x) 0, es decir esté por ecima del eje OX. 2) p 1 + p 2 + p 3 +..+ p = 1 de la discreta, se trasformará e que el área bajo f(x), etre - y + (e el dibujo es etre c y d ) y el eje OX, valga 1. + b Si se cooce el cálculo itegral esto se expresa como f(x)dx = f(x)dx = 1. Fució de desidad de ua variable aleatoria cotiua. Def.- Ua fució f(x) decimos que es ua fució de desidad de ua variable aleatoria cotiua X si verifica: 1º f(x) 0, para todo puto x del itervalo e que está defiida, es decir siempre es positiva (recordar que e las variables discretas p i 0) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 8 a
2º El área ecerrada bajo la curva y = f(x) y el eje OX es igual a la uidad, es decir + f(x)dx = 1. (recordar que e las variables discretas p 1 + p 2 +..+ p p - i=1 i=1 = ). 3º La probabilidad de f(x) e u itervalo [a,b] es el área bajo f(x), el eje OX y las abscisas x=a y x=b, es decir Área = p(a X b) = f(x)dx. b a Propiedades 1.- No existe la probabilidad de u puto x= a, es decir p(x=a) = 0 = a f(x)dx=0 a 2.- Por la propiedad aterior las siguietes probabilidades so iguales p(a X b) = p(a<x b) = p(a X<b) = p(a<x<b). Fució de distribució de ua variable aleatoria cotiua Def.- La fució de distribució F(x) de ua fució de desidad f(x) de ua variable aleatoria cotiua (v.a.c.) es la fució F(x) que verifica la siguiete codició de probabilidad F(X) = p(x x), es decir el área bajo f(x) etre - y x, y el eje OX.(si se cooce el cálculo itegral F(X) = p(x x) = - fució área. x f(t)dt ), que es lo que se cooce como Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 9
Si se cooce el cálculo itegral la fució la fució de distribució F(x)se obtiee itegrado la fució de desidad f(x). Fució de desidad f(x) Fució de distribució F(x) 0 si x<0 1 f(x)= si 0 x 3 3 0 si x>3 Itegrado 0 si x<0 x F(x)= si 0 x 3 3 1 si x>3 Propiedades de las fucioes de distribució: 1. Puesto que F(x) es el valor de ua probabilidad, se verifica: 0 F(x) 1 2. La fució de distribució F(x) es ula para todo valor de x aterior al meor valor de la variable aleatoria, es decir F(x) = 0, si x < a. (Supoiedo defiida f(x) e [a,b] ) 3. La fució de distribució F(x) es igual a la uidad para todo valor de x posterior al mayor de la variable aleatoria, es decir F(X) = 1, si x > a. (Supoiedo defiida f(x) e [a,b] ) 4. La fució F(x) siempre es creciete. (Se dibuja hacia arriba, de izquierda a derecha) 5.- Las probabilidades se calcula mediate la fórmula p(a X b ) = b' a' [ ] b' f(x)dx = F(x) = F(b ) F(a ), co F (x) = f(x), si se cooce el cálculo itegral a' Media de ua variable aleatoria cotiua Recordemos las expresioes de la media de ua variable estadística y de ua variable aleatoria discreta: Variable estadística Variable aleatoria discreta i.xi i=1 x= μ= p i.xi N i=1 Nota.- De forma similar a como defiimos la media de ua variable aleatoria discreta, defiiremos ahora la media de ua variable aleatoria cotiua. Úicamete tedremos e cueta que e aquel caso se trataba de sumar u úmero fiito de sumados, e cambio ahora tratamos de «sumar» u úmero ifiito de sumados ifiitesimales (itegral defiida). Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 10
Def.- Sea X ua variable aleatoria cotiua cuyo recorrido es el itervalo [a, b] y sea f(x) su fució de desidad. Se llama media de la variable cotiua X al valor de la siguiete itegral: μ= b x.f(x)dx a sobre el cetro de los datos. ( si se cooce el cálculo itegral), si ó diremos que es u valor Nota.-La media de ua variable aleatoria cotiua tambié recibe el ombre de esperaza matemática o valor esperado. Variaza y desviació típica de ua variable aleatoria cotiua X Siguiedo co el paralelismo establecido co las otras variables ya estudiadas, recordemos ahora la expresió de la variaza y desviació típica para el caso de variable estadística y para el caso de variable aleatoria discreta. Variable estadística 2 2 i.(xi-x) i.(x i) 2 i=1 i=1 2 σ = (x) N = N Variable aleatoria discreta 2 σ = σ σ = p.(x -μ) = p.(x ) -(μ) 2 2 2 2 i i i i i=1 i=1 2 σ = σ Def.- Sea X, ua variable aleatoria cotiua cuyo recorrido es el itervalo [a, b] y sea f(x) su fució de desidad. Se llama variaza de la variable aleatoria cotiua X al valor de la siguiete itegral: b b 2 2 2 2 X = (xμ).f(x)dx (x).f(x)dx (μ) a a σ = Def.- Se llama desviació típica de la variable aleatoria cotiua X a la raíz cuadra a positiva de la variaza, es decir : σ X b b 2 2 2 2 X= μ) (x-.f(x)dx (x).f(x)dx (μ) a a. = σ = Ejercicios resueltos de distribucioes cotiuas 1. Hallar la media, la variaza y la desviació típica de ua variable aleatoria cotiua que tiee la siguiete fució de desidad: Sol a) Media: b)variaza: 3 3 0 si x<0 f(x)= 1/3 si 0 x 3 0 si x>3 2 3 1 x 9 μ= x.f(x)dx = x. dx= 1'5 0 0 3 = = 6 6 σ 0 3 3 2 2 2 X = (x- 0 0 2 1 ( x 1' 5) μ).f(x)dx = (x-1'5). dx= 0' 75 3 = 9 c) Desviació típica: σ = σ 2 X = 0'75 = 0'866 Se supoe que se cooce el cálculo itegral, para resolver el ejercicio. Distribució Normal (Como ejemplo de Distribució Cotíua) Nota.- La gráfica de ua distribució ormal tiee forma de campaa. Es simétrica y cetrada e la media µ, y es de la forma: 3 0 Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 11
Experimeto de Galto Sobre u tablero icliado está distribuidos regularmete u sistema de clavos. Éstos permite deslizar u gra úmero de bolas que procede de u depósito superior del aparato. Las bolas, al chocar co los clavos, se aleja e mayor o meor medida de la líea cetral de caída, segú la ley del azar. Recogiedo estas bolas e compartimietos estrechos, distribuidos a lo largo del borde iferior del tablero, las alturas que alcaza las bolas e las distitas columas da ua idea, bastate clara, de la distribució ormal. Nota.- Hay muchos feómeos que sigue distribucioes so ormales, por ejemplo: los pesos, las alturas, etc de los idividuos de cualquier especie. Nota.- No todas las distribucioes so ormales, por ejemplo: El ivel de reta de los españoles, porque hay pocos co reta muy alta, y muchos co retas bajas Defiició de la distribució ormal de media μ y desviació típica σ.- Decimos que ua variable aleatoria cotiua X sigue ua distribució ormal de media μ y desviació típica σ, y se desiga por N(μ, σ), si se cumple las siguietes codicioes: 1ª La variable recorre toda la recta real, es decir (-,+ ) = R. 2ª La fució de desidad, que es la expresió e térmios de ecuació matemática 2 1 x μ- 1 -. 2σ de la curva de Gauss, es: f(x)=.e σ 2π Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 12
dode: e = 2,7182..., costate: base de los, logaritmos eperiaos π = 3,1415... relació de la logitud de ua circuferecia a su diámetro x = abscisa, valor cualquiera de u puto del itervalo. μ = media de la variable aleatoria X (parámetro). σ = desviació típica de la variable aleatoria X (parámetro). f(x) = ordeada de la curva. A los valores μ y σ se los deomia parámetros de la distribució ormal. Nota.- Algo sobre la gráfica de la fució de desidad de la N(μ, σ). 1- La curva tiee forma campaiforme y es simétrica respecto a la recta vertical x = μ. 2- La ordeada máxima se obtiee precisamete para el valor de x = μ. 3- El área del recito ecerrado bajo la campaa y el eje X es igual a la uidad, es decir + f(x)dx - = 1, por tratarse de ua fució de desidad. Al ser simétrica respecto al eje vertical que pasa por μ, dicho eje de simetría deja u área igual a 0 5 a la izquierda y otra igual a 0 5 a la derecha. 4. A ambos lados del valor x = μ las ordeadas de la curva decrece, primero letamete, y después co mayor rapidez, hasta hacerse su ordeada ula a medida que la abscisa se aleja hacia la derecha o hacia la izquierda del valor cetral. E la práctica, o es ecesario alejarse mucho de los valores cetrales para que la ordeada sea casi ula. (Posteriormete veremos que fuera del itervalo (μ - 3σ, μ + 3 σ) es muy improbable ecotrar ua observació). La compresió de estas propiedades facilitará mucho el maejo de las tablas. Media y variaza de la distribució ormal Por la propia defiició de la distribució se tiee que las características estadísticas de ua distribució N(μ, σ) so: a) Media: = μ b) Variaza: = σ 2 c) Desviació típica: = σ Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 13
Distribució ormal estádar Def.- De las ifiitas distribucioes N(μ, σ), tiee especial iterés la distribució N(0,1); es decir, aquella que tiee por media el valor cero (μ = 0) y por desviació típica la uidad (σ = 1). Esta distribució se llama ley ormal estádar, o bie distribució ormal reducida. La fució de desidad para μ = 0 y σ = 1 es: 1 f(x)=.e 2π cuya represetació gráfica es parecida a la de la ormal N(μ; σ), pero u poco mas achatada. Nota.- La fució de distribució es F(x) = p(x x), e el caso de la ormal, la variable siempre es z o x, y se escribe F(z) = p(z z) = Ф(z). Recordamos que la fució de distribució de la ley ormal estádar proporcioa el área del recito sombreado de la figura. 2 x - 2 Recordamos que la fució de distribució es F(x) = p(x x), e el caso de la ormal, la variable siempre es z o x, y se escribe F(z) = p(z z) = Ф(z). Nota.- Recordamos que las propiedades de la fució de distribució era: 1. Puesto que F(z) es el valor de ua probabilidad, se verifica: 0 F(z) 1 2. La fució de distribució F(z) es ula para todo valor de x aterior al meor valor de la variable aleatoria, es decir F(z) = 0, si z < a. (Supoiedo defiida f(z) e [a,b] ) 3. La fució de distribució F(z) es igual a la uidad para todo valor de x posterior al mayor de la variable aleatoria, es decir F(z) = 1, si x > a. (Supoiedo defiida f(z) e [a,b] ) 4. La fució F(z) siempre es creciete. (Se dibuja hacia arriba, de izquierda a derecha) 5.- Las probabilidades se calcula mediate la fórmula p(a X b ) = b' a' [ ] b' f(x)dx = F(x) = a' F(b ) F(a ), co F (x) = f(x), si se cooce el cálculo itegral. Como el cálculo de esta itegral es complicada, se ha realizado ua tabla co los valores más usuales de la ormal N(0,1), que es lo que se cooce como tabla de la ormal. Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 14
Tipificació de la variable Nota.- Todas las distribucioes ormales N(μ,σ) se puede trasformar e la distribució N(0,1), se ecuetra tabulada (tablas), mediate u cambio de variable que se deomia tipificació de la variable. Dicho cambio de variables es: Si X sigue ua N(μ,σ), etoces Z = X µ σ Maejo de tablas sigue ua N(0,1). Sea Z ua variable que sigue ua distribució ormal N(0,1). Veamos co ejemplos, y e orde creciete de dificultad, los casos más frecuetes que se suele presetar. (Utilizar la tabla aterior que es la que da e Selectividad.) Caso 1. p(z 1,45) (Se mira directamete e las tablas) Recuerda que p(z 1,45) = F(z) = Ф(z) La probabilidad pedida es igual al área sombreada (mira la gráfica de la tabla), y se ecuetra directamete e la tabla, si más que buscar 1,4 e la columa 1ª y 0,05 e la fila 1ª; su itersecció os da la probabilidad p(z 1,45) = 0,9265 Esto quiere decir que el 92,65 % de las observacioes se distribuye etre - y 1,45. Caso 2. p(z -1,45) (Simetría y probabilidad del cotrario) La probabilidad pedida es igual al área sombreada de la figura de abajo. La tabla sólo proporcioa probabilidades para valores de Z positivos. Pero teiedo e cueta la simetría de la fució de desidad f(x), y que el área ecerrada por toda la curva es igual a la uidad (probabilidad del suceso cotrario p(a C ) = 1 p(a) ), resulta: p (Z < -1,45) = p (Z > 1,45) = 1 - p (Z 1,45) = 1-0,9265 = 0,0735 Este resultado idica que úicamete u 7,35 % de las observacioes se distribuye etre - y -1,45. Caso 3.- p(1,25 < Z 2,57) [ F(2 57) F(1 25), se mira directamete e tabla ] La probabilidad pedida es el área sombreada que muestra la figura de abajo. Su cálculo lo realizaremos restado al área mayor la meor: p(1,25 < Z - 2,57) = p(z < 2, - 57) - p(z < 1,25) = 0,9949-0,8944 = 0,100 5 Caso 4. p(-2,57 < Z -1,25) (Simetría co probabilidad del cotrario) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 15
La probabilidad pedida es igual al área sombreada (figura de abajo), y como cosecuecia de la simetría de la fució de desidad se tiee: p(-2,57 < Z -1,25) = p(1,25 < Z - 2,57) = 0,1005 Tambié puede hacerse por la defiició de probabilidad y por la probabilidad del suceso cotrario, es decir p(-2,57 < Z -1,25) = p(z -1,25) p( Z (-2,57) = [1- p(z 1,25)] - [1- p(z 2,57)] = = p(z 2,57) - p(z 1,25) = p(1,25 < Z - 2,57) = 0,1005 Es decir, úicamete el 10 05 % de las observacioes se distribuye etre 1,25 y 2,57, o bie etre -2 57 y -1 25. Caso 5. p(-0,53 < Z 2,46) La probabilidad pedida es igual al área sombreada (figura de abajo). E este caso, uo de los valores de la abscisa Z es egativo y el otro es positivo. Teiedo e cueta todo lo aterior, resulta: p(-0,53 < Z 2,46) = p(z 2,46) - p(z -0,53) = p(z 2,46) - p(z > 0, 53) = = p(z 2,46) [1 - p(z 0, 53)] = 0,9931 - (1-0,7019) = 0,695 Lo que quiere decir que el 69,5 % de las observacioes se ecuetra etre -0,53 y 2,46. Nota.- Cualquier otro caso que se pueda presetar cabe reducirlo, adecuadamete, a los que acabamos de expoer. Nota.- El 68,26% de las observacioes (o de los idividuos) se ecuetra e el itervalo (μ - σ, μ + σ). El 95,4% de las observacioes está e (μ - 2σ, μ + 2σ) y el 99,7% de las observacioes está e (μ - 3σ, μ + 3σ). Ejercicios resueltos de la ormal Los pesos de los idividuos de ua població se distribuye ormalmete co media 70 kg y desviació típica 6 kg. De ua població de 2000 persoas, calcular cuátas persoas tedrá u peso etre 64 y 76 kg. Sol Se trata de ua distribució N(70,6). Como el 68,2% de los idividuos está e el itervalo (70-6,70+6), habrá que calcular el 68,2% de 2000; es decir: Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 16
68,2.(2000/100) = 1364 Tambié se puede hacer calculado la probabilidad p(64 < X < 76) y después multiplicarlo por el º de persoas que es 2000. Luego se espera que haya 1364 persoas co pesos compredidos etre 64 y 76 kg. Se ha aplicado a 300 alumos de 4º de ESO u test de agresividad y se ha observado que se distribuye ormalmete co media 30 y desviació típica 12. Se pide: a) Qué proporció de alumos tedrá ua putuació e dicho test etre 20 y 35? b) Cuátos alumos tedrá ua putuació superior a 42? Sol Se trata de ua distribució N(30,12). Calculemos las probabilidades pedidas: a) p(20 < X 35) = 20-30 20-30 p < Z 12 12 = p(-0 83 < Z 0 42) = = p(z 0,42) - [1 - p(z 0,83)] = = 0,6628 - (1-0,7967) = 0,4595 Es decir, aproximadamete el 46% de los alumos tiee ua putuació de agresividad etre 20 y 35. 42-30 b) p(x > 42) =1 - p(x 42) = 1 - p Z 12 = 1 p(z < 1) = 1-0,8413 = 0,1587 Es decir, el 15,87% de los idividuos tiee putuacioes superiores a 42. El úmero de idividuos se obtedrá multiplicado el total de alumos por la proporció; es decir: 300.(15,87/100) = 48 alumos. Aproximació de la biomial por la ormal Teorema.- Si X, variable aleatoria discreta, sigue ua B(,p), verificado que es muy grade y que p y q 5, co q = 1 p, etoces la variable X se puede aproximar por ua ueva variable X cotiua que sigue ua ormal N(p, (pq) ). Esta ueva variable X, después por tipificació Z = X' - p pq seguirá ua ormal N(0;1) Nota.- Gracias a esta aproximació es fácil hallar probabilidades biomiales pues la probabilidad de la distribució biomial para valores grades de resulta muy complicada de calcular y, e cosecuecia, prácticamete iutilizable. Nota.- Recordemos que la distribució biomial es de variable aleatoria discreta X y, por tato, tiee setido calcular probabilidades putuales; por ejemplo, p(x = 2). E cambio, la variable aleatoria cotiua X sigue ua distribució ormal y, por tato, o tiee setido calcular probabilidades putuales, pues so todas ulas; e este caso p(x = 2) = 0. Para resolver este problema se itroduce uas correccioes (correccioes de Yates), que cosiste e cosiderar los valores de la variable aleatoria discreta X como marcas de clase de itervalos del siguiete modo: X sigue ua B(,p) y X sigue ua N(p, (pq) ). p(x = a) = p(a 0 5 < X' a + 0 5) p(x a) = p(x' a - 0 5) Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 17
p(x < a) = p(x' < a - 0,5) Ejercicios resueltos de aproximació de ua biomial a ua ormal Se sabe, por ua estadística sociológica realizada recietemete, que el ivel de aceptació de u determiado partido es del 25% de la població. De u muestreo aleatorio realizado sobre 40 persoas, se desea saber cuál es la probabilidad de que 15 de ellos acepte a dicho partido. Sol Es obvio que e pricipio se trata de ua distribució biomial: A = Éxito = «aceptar el partido» p = p(a) = 0,25 A C = «o aceptar el partido» q = p(a C ) = 0,75 Sea X la variable que expresa el úmero de persoas de la muestra que acepta el partido. Se verifica etoces que X sigue ua distribució B(40; 0 25). Como se verifica que: p = 40.0 25 5 y q = 40.0 75 5, por tato podemos aproximarlo por ua ormal, es decir aproximamos la variable X que sigue ua biomial B(40; 0 25) por la variable X' que sigue ua distribució ormal N(p, (pq) ) = = N(10;2 74). Calculemos la probabilidad pedida: p(x=15) = p(14,5 < X' 15,5)=p ( (14,5-10)/ 2,74 < Z (15,5-10)/2,74) ) = = p(1,64 < Z 2) = p(z 2) - p(z 1,64) = 0,9772-0,9495 = 0,0277 Después de realizar varios sodeos sobre ua població co escasa cultura, se ha coseguido averiguar que úicamete el 15% de la misma es favorable a los tratamietos de psicoterapia. Elegida al azar ua muestra de 50 persoas de dicha població, se desea saber: a) La probabilidad de que haya más de cico persoas favorables a dichos tratamietos. b) La probabilidad de que a lo sumo haya seis persoas favorables. Sol Se trata de ua distribució biomial: A = Éxito = «ser favorable» p = p(a) = 0,15 A C = «ser desfavorable» q = p(a C ) = 0,85 Sea X la variable aleatoria que expresa el úmero de persoas de la muestra favorables a los tratamietos de psicoterapia, sigue ua distribució B(50;0 15). Como se cumple que: p = 50.0 15 5 y q = 50.0 85 5, por tato podemos aproximarlo por ua ormal, es decir aproximamos la variable X que sigue ua biomial B(50;0 15) por la variable X' que sigue ua N(p, (pq) ) = N(50.0 15; (50.0 15.0 85)) = = N(7 5;2 52). Calculemos las probabilidades pedidas: a) p(x>5)=p(x'>4,5)=p(z>(4,5-7,5)/ 2,52))=p(Z>-1 19)=1- p(z 1 19) = 1-0,8830 =0,1170 b) p(x 6)=p(X' 6,5)=p(Z (6,5-7,5)/ 2,52))=p(Z - 0,4)=1-p(Z 0,4)=1-0,6554=0,3446. Variables aleatorias discretas (Biomial) y variables aleatorias cotiuas (Normal) 18