UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS. Cálculo III, Examen Final. Semestre Primavera 1 Tiempo: 11 min. Problema 1 [1,5 puntos] La curvatura de una trayectoria r es la magnitud de la razón de cambio del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco. Matemáticamente, esta se puede definir como: κ T t) r t) Sea la trayectoria descrita mediante la función rt) t sen t, 1 cos t, 4 sen t ) a) [,7 puntos] Calcule la curvatura en t. b) [,8 puntos] Encuentre el plano normal a la trayectoria en t. Problema [1,5 puntos] Dada la función f : R 3 R definida por: donde a y b son parámetros reales. fx 1, x, x 3 ) x 1 + x + bx 1 x + ax 3 a) [,4 puntos] Determine los valores de a y b para que el punto 1, 1, 1) sea un punto estacionario de f en R 3 b) [,4 puntos] Clasifique el punto estacionario, es decir, diga si es un mínimo, un máximo o un punto de silla. c) [,4 puntos] Obtenga una relación entre los parámetros a y b que nos proporcione una condición necesaria para que 1, 1, 1) sea un punto estacionario de f sobre la esfera x 1 + x + x 3 3 d) [,3 puntos] A partir de la relación encontrada en el item c), hacer b y clasificar el punto 1, 1, 1) de f sobre la esfera. Justifique su respuesta. 1
Problema 3 [1,5 puntos] Si la función densidad de un objeto sólido que ocupa la región E es ρx, y, z), en unidades de masa por unidad de volumen, en cualquier punto x, y, z) dado, entonces su masa es: m ρx, y, z) dv E Determine la masa de un cono circular recto de radio R y altura h cuya densidad en cada punto P x, y, z), es igual a la distancia de P a la base del cono. Considere que la base del cono esta en el plano xy. Problema 4 [1,5 puntos] a) [,5 puntos] Sea D una región acotada por una curva cerrada simple C la frontera de D que se expresa como es exactamente la trayectoria de la curva C). Utilizando el Teorema de Green, demuestre que el área de la región D acotada por C es: A 1 x dy y dx b) [1, puntos] Utilice el ítem anterior para calcular el área de la región encerrada por la hipocicloide: x /3 + y /3 a /3 Use la parametrización x a cos 3 θ, y a sen 3 θ con θ [, π]. SOLUCIÓN Problema 1 a) Dada la trayectoria descrita mediante la función rt) t sen t, 1 cos t, 4 sen t ) entonces, r t) 1 cos t, sen t, cos t )
y r t) 1 cos t) + sen t + 4 cos t 1 cos t + cos t + sen t + 4 cos t cos t + 4 cos t cos t t ) sen + 4 cos t + cos t + t ) sen Por otro lado, el vector tangente unitario y por tanto y T t) r t) r t) T t) 1 1 cos t, 1 sen t, cos t 1 sen t, 1 cos t, 1 sen t ) ) 1) T t) 1 sen t + cos t + sen t 1 1 + sen t Finalmente tenemos que la curvatura de la trayectoria es κ T t) r t) 1 1 + sen t 4 y evaluando en t obtenemos que κ 1 4. b) El plano normal está formado por todos aquellos puntos ortogonales al vector tangente unitario evaluado en t. De la relación 1), si evaluamos en t obtenemos que Por otro lado, si denotamos por: n T ),, 1) r r),, ) 3
entonces el plano normal se define como todos los puntos r x, y, z) tales que: n r r ) obteniendo finalmente, el plano z. Problema a) Para que el punto 1, 1, 1) sea un óptimo local de f es necesario que el gradiente de la función f en el punto se anule: y por tanto fx 1, x, x 3 ) f1, 1, 1) + b + b a x 1 + bx x + bx 1 a de donde, a y b. b) Dado que b y a entonces la función f queda: fx 1, x, x 3 ) x 1 + x x 1 x x 1 x ) ) y evaluada en el punto 1, 1, 1) tenemos que f1, 1, 1). Pero de ) se ve claramente que fx) para todo x R 3 y podemos concluir que el punto 1, 1, 1) es un mínimo de f. c) Denotemos por hx 1, x, x 3 ) x 1 + x + x 3 3, la restricción de igualdad y definamos la función Lagrangeana como: Lx 1, x, x 3 ; λ) x 1 + x + bx 1 x + ax 3 + λ x 1 + x + x 3 3 ) Notemos primero que el punto 1, 1, 1) es un punto factible h1, 1, 1) ) y además es regular, ya que h1, 1, 1),, ),, ), por lo tanto, el será un punto estacionario del Lagrangeano si las siguientes ecuaciones x 1 x 1 + bx + λx 1 x x + bx 1 + λx x 3 a + λx 3 λ x 1 + x + x 3 3 4
evaluadas en 1, 1, 1), se cumplen. Evaluando, tenemos que: b + λ a + λ de donde, el multiplicador de Lagrange es λ a obteniendose la siguiente relación: b + a 3) d) Si b, entonces de la relación 3) se tiene que a y por tanto, la función f queda: fx 1, x, x 3 ) x 1 + x x 1 x ) x 1 x 4) y evaluada en el punto 1, 1, 1) tenemos que f1, 1, 1). Pero de 4) el análisis es exactamente el mismo que en el item b)) se ve claramente que fx) para todo x R 3, en particular para aquelllos puntos x R 3 que estan sobre la esfera x 1 + x + x 3 3, por lo que podemos concluir que el punto 1, 1, 1) es un mínimo de f sobre la esfera. Problema 3 Haciendo el cambio de variables a coordenadas cilíndricas, se tiene que x r cos θ y r sen θ z z Por otro lado, dado que la región de integración es un cono circular recto de radio R y altura h con base en el plano xy, se tiene que θ π, z h y r R 1 z h), y por tanto: m E π h R R π h z dv z r π πr h 1 z π h R1 h) z R1 z h) dz dθ 1 z h) dz dθ z z3 3h + z4 4h 5 h zr dr dz dθ dθ
Problema 4 a) El Teorema de Green plantea que si D es una región acotada y es su frontera esta notación se usa para la curva frontera de D orientada contra el sentido en que se mueven las manecillas del reloj), entonces si suponemos que P : D R y Q : D R son funciones continuamente diferenciables, se tiene que Q P x, y) dx + Qx, y) dy x P ) dx dy y Aplicando este teorema a las funciones P x, y) y, Qx, y) x se tiene que: Q y dx + x dy D x P ) dx dy y x D x + y ) dx dy y dx dy A D D y por tanto: A 1 x dy y dx 6
b) Usando la parametrización x a cos 3 θ, y a sen 3 θ con θ [, π] se tiene: A 1 x dy y dx 1 π 3 a 3 a 3 8 a 3 8 a 3 16 a 3 8 πa [ a cos 3 θ ) 3a sen θ cos θ ) a sen 3 θ ) 3a cos θ sen θ )] dθ π π π π π [ sen θ cos 4 θ + sen 4 θ cos θ ] dθ sen θ cos θ dθ sen θ dθ [ ] 1 cos 4θ dθ dθ 3 16 a π cos 4θ dθ 7