I.E.S. Mditáno d Málaga Modlo6_9_Solucions Juan Calos Alonso Gianonatti - Sa f:r R la función dfinida po f ( ) =+. Opción A Ejcicio 1 [ 7 puntos] Dtmina los intvalos d cciminto y dcciminto d f, así como los tmos lativos o locals d f [ puntos] Dtmina los intvalos d concavidad y convidad d f c) [ 7 puntos] Dtmina las asíntotas d la gáfica d f. d) [ puntos] Esboza la gáfica d f - - - - 1 f' ( ) =1- Cciminto f' ( ) > 1- > - >-1 <1 <1 >1 > > Cciminto R/> ( significa paa todo ) Dcciminto R/< Mínimo lativo y absoluto n = f ( ) =+ =1 (,1) (d dcciminto pasa a cciminto) - - f'' = Como simp f'' > > al s una ponncial, la función simp s conva ( )n todo R. c) - 1 f ( ) =+ = + Como sta función no s anula n l dnominado, no tin asíntotas vticals. 1 1 Como lim + = + = +=, f() no tin asíntotas hoizontals n + 1 1 lim + = lim -+ lim - ( -+ ) =- +, indtminación - + = Como, = lim (-)(1- * * = - (1- )= - (- )= + - + * * lim = [, aplicando L'Hôpital] = lim = - - - -1 f() no tin asíntotas hoizontals n - f() La cta y=m+n s asíntota oblicua si m= lim y n= lim ( f() m ) f() 1 1 Como m= lim = lim 1+ = lim 1+ ( 1+ ) =1. = +, y 1 1 n= lim ( f() m ) = lim ( f() m ) = lim = lim + = La cta y = 1.+ = s asíntota oblicua n + f() 1 Como m= lim = lim 1+ = lim ( 1-. ) ( 1-. ) - -. = =, y 1 1 n= lim ( f() m ) = lim ( f() m ) = lim = lim lim - ( ) - - - = = f() no tin asíntotas oblicuas n - d) Un sbozo d la gáfica s 1
I.E.S. Mditáno d Málaga Modlo6_9_Solucions Juan Calos Alonso Gianonatti 1 8 6 fhl - -.. 7. 1 Ejcicio Sa f:r R y g:r R las funcions dfinidas po f ( ) = y g = [1 punto] Dtmina los puntos d cot d las gaficas d f y g. Esboza dichas gáficas. [1 puntos] Calcula l áa dl cinto limitado po dichas gaficas f = - si < -= --= =1+8=9 = + si += +-= =1+8=9 1+ = => No stá n l intvalo studiado 1± 9 1± Si <, = = 1- = =-1< f ( -1) = ( -1) - ( -1) = ( -1, ) -1+ = =1> f ( 1 ) =1 +1= ( 1, ) -1± 9-1± Si, = = 1- = =-1< No stá n l intvalo studiado Ambas amas son paábolas Si <, la abscisa dl vétic s f ()=; -1=, d dond =1/ Si, la abscisa dl vétic s f ()=; +1=, d dond = -1/ Un sbozo d las gáficas s - - - - 1 1 1 1 1 1 1 A= d- ( + ) d =. [ ] -.. -.. =. ( 1- ) -. ( 1 - ) - ( 1 - ) 7 A=- -1= u Ejcicio - 1 S considan las matics A= y B=A-kI, dond k s una constant I la matiz idntidad d -1 odn
I.E.S. Mditáno d Málaga Modlo6_9_Solucions Juan Calos Alonso Gianonatti [ 7 puntos] Dtmina los valos d k paa los qu B no tin invsa [ puntos] Calcula B -1 paa k = -1 c) [1 puntos] Dtmina la constants α y β paa las qu s cumpl A +αa=βi - 1 k --k 1-1 k -1-k --k 1 B = = ( -1).( +k ).( -1).( 1+k ) -= ( +k ).( 1+k ) -=+k+k+k -=k +k+1-1-k -1 B= - = B ( significa" ist al mnos") B -+ k= =-+ -± 1 -- k= =-- Si B = k +k+1= =16-=1> k= { } R- --, -+ B Eist B -1 1 t - 1 t - B = ( -1) +. ( -1) +1=1-+1=- B =.( adj B ) B= B = B 1 1-1 1-1 - - ( -) - - 1 1 t -1 adj B = B =. = c) - 1-1 - 1 11 - -α α 11-α -+α A +αa=. + α. = + = -1-1 -1-8 α -α -8+α -α 1 β βi=β. = 1 β 11-α=β -+α= α= 11- =β β=-1 α= 8+α= α=8 α= -=β β=-1 β=-1 -α=β -1 Ejcicio -y=- =1 Sa la cta dfinida po y la cta s dfinida po -z=- y-z=- [1 punto] Estudia la posición lativa d y s [1 puntos] Halla la cuación dl plano qu contin a s y s paallo a s S studiaá, pimamnt, si son paallas analizando si hay popocionalidad nt sus vctos dictos, d s así vmos si tinn un punto común y si llo s cumpl la cta sá coincidnt. En l caso d qu no ista la popocionalidad s studiaá si tinn un punto común y si no s cotan son ctas qu s cuzan. =λ y=+ y=+λ v = ( 1,1,1) z=+ z=+λ 1 1 No son coincidnts ni paallas =1 1 v s= (,1, ) z=+y y=μ S ( 1,, ) z=+μ λ=1 +1=μ μ= Punto común +λ=μ No s cotan +1=+μ μ= μ=1 +λ=+μ Las ctas y s s cuzan
I.E.S. Mditáno d Málaga Modlo6_9_Solucions Juan Calos Alonso Gianonatti Es un plano π gnado po l vcto dicto d s, po l d y po un punto S d la cta s y l punto gnéico G dl plano s π v = 1,1,1-1 y z- v =,1, 1 1 1 = SG=, y, z - 1,, = -1, y, z- 1. -1 + z- - -1 -y= -1 -y+ z- = π -y+z-= Opción B Ejcicio 1 [ puntos] D todos los tiángulos cuya bas y altua suman cm., qué bas tin l d áa máima?. A B B+H= H=-B 1 1 da 1 1 A= B ( -B ) = ( B-B ) A'= =.( -B) A=.B.H db da 1 A'= -B= B= B=1 A'= =.( -) =-1< Máimo db B=1 cm. H=-1=1 cm Ejcicio [ puntos] Calcula un númo positivo a, mno qu, paa qu l cinto limitado po la paábola d cuación y = y las dos ctas d cuacions y = y y = a, tnga un áa d 8 unidads cuadadas. = =± =a = =- = a =± a =- a 9 C 8 7 6 1 y = a - - -1 1
I.E.S. Mditáno d Málaga Modlo6_9_Solucions Juan Calos Alonso Gianonatti a a 8 1 = d- a d- d = d-a d- d a a 1 [ ] [ ] a 1 1 1 = -a - =. - -a. a- - - a a 1 8 a. a 1-8.a. a 1 16.a. a.a. a =8-a. a- + = - = - - =- a. a=1 a. a =1 a.a=1 a =1 a= 1=1 Ejcicio +y=m+1 Sa l sistma d cuacions +my+z=1 m+y-z=m [1 puntos] Dtmina los valos d m paa los qu l sistma s compatibl [1 punto] Rsulv l sistma n l caso m = -1 1 1 1 1 m+1 Matiz d los coficints A = 1 m 1 ; matiz ampliada A * = 1 m 1 1 m 1-1 m 1-1 m 1 1 Como A = 1 m 1 m 1-1 = {Adjuntos 1ª fila} = 1(-m-1)-1(-1-m) =, ango(a) < sa cual sa m d R. En A utilizando las columnas y como 1 = 1, ango(a) =, sa cual sa m d R. m 1 En A *, utilizando la columna, (columnas con las qu h fomado l mno d la matiz A) y la d los 1 m+1 téminos indpndints tnmos qu compatibl. 1 m+1 m 1 1 1-1 m m 1 1 1-1 m = {Adjuntos 1ª fila} = 1(m+1)+(m+1)(-1-m) = -m m = tin qu s, paa qu ango(a * ) = y l sistma sa Rsolvindo -m m =, obtnmos m = -1 y m =, po tanto l sistma s compatibl si y solo si m = y m = -1 Lo solvmos paa m = -1 1 1 1 1 1 1 1-1 1 1-1 1-1 1 y+z=1 z=1+y +y= -1 1-1 -1-1-1 =-y -λ, λ,1+λ Ejcicio +y+z=1 Sa l punto P(,, -1) y la cta dfinida po -y-z=1 [1 puntos] Halla la cuación dl plano qu pasa po P y contin [1 puntos] Halla l punto d qu stá más cca d P Podmos halla un haz d planos dtminados po la cta y calculamos l qu contnga a punto P qu s l plano π pdido
I.E.S. Mditáno d Málaga Modlo6_9_Solucions Juan Calos Alonso Gianonatti ( ) π Haz d planos +y+z-1+λ -y-z-1 = ++. -1-1+λ. -.-. -1-1 = --1+λ. -6+-1 = -λ= λ= +y+z-1+. -y-z-1 = -y-6z-= -y-z-1= Es l punto R d mínima distancia nt P y, paa llo po P hallamos un plano ppndicula a, qu tndá como vcto dicto l d sta cta qu s ppndicula al vcto fomado po P y l punto G qu gna l plano y l poducto scala d stos dos s nulo. Hallamos, dspués l punto d cot dl plano y la cta +y+z=1 y+6z= y+z= y=-z -z+z=1 =1 -+y+z=-1 =1 uu y=-λ v = (, -,1) z=λ uuu PG= (, y, z) - (,, -1) = ( -, y-, z+1) g uu uuu uu uuu v PG v gpg=, -,1 -, y-, z+1 = -. y- +z+1= -y+6+z+1= π y-z-7= 7. ( -λ ) -λ-7= -λ-λ-7= -λ-7= -λ=7 λ=- =1 7 1 1 7 R y=-. - = R 1,, - 7 z=- 6