Formulrio EL-470 Señle y Sitem / EL-470 Modelo de Sitem Ecuel de Ingenierí Electrónic Intituto Tecnológico de Cot Ric Prof.: Dr. Pblo Alvrdo Moy M α n = αm+ α en(a ± B) = en(a) co(b) ± co(a) en(b) co (A) = ( + co(a)) en en(a) en(b) = (co(a B) co(a + B)) co(a) α n = α, α < co(a ± B) = co(a) co(b) en(a) en(b) (A) = ( co(a)) co(b) = (co(a B) + co(a + B)) en(a) co(b) = (en(a B) + en(a + B)) ( ) A en = ( co(a)) co e jω = co(ω) + j en(ω) co(ω) = ejω + e jω Decompoición en funcione imétric tn(a) = en(a)/ co(a) ( ) A = ( + co(a)) en(ω) = ejω e jω j f(t) = f e (t) + f o (t), f e (t) = f e ( t), f o (t) = f o ( t) f(t) + f( t) f(t) f( t) f e (t) = f o (t) = Mpeo Círculo centrdo en z 0 y rdio r: z z 0 = r Rect meditriz egmento entre y b: z = z b Mpeo linel: w = αz + β Mpeo de inverión: w = /z Mpeo bilinel: w = z + b cz + d = λ + µ αz + β, Derivción complej λ = /c, µ = bc d, α = c, β = cd Pr f(z = x + jy) = u(x, y) + jv(x, y). Ecucione de Cuchy Riemnn f (z) u x = v y, u y = v x Funcione conjugd u(x, y) y v(x, y) i cumplen Ec. Cuchy-Riemnn. Función rmónic: u(x, y) + u(x, y) = 0 x y Mpeo conforme: f (z), f (z) 0 c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08
Poicione del círculo unitrio z = Im{z} +j +j +j 5π 6 π 4 50 π 0 5 j π 90 60 π 45 +j 0 π 4 +j π 6 +j π 80 60 0 π Re{z} j 7π 6 j 5π 4 0 j 5 5 40 00 70 4π π j 5π 0 7π 4 j π 6 j j Integrle z n dz = xn+ n + ; n e z dz = ez en(z) dz = co(z) co(z) dz = en(z) in (z) dz = z 4 en(z) ln(z) dz = z(ln z) z z dz = ln z ze z dz = ez (z ) z en(z) dz = [en(z) z co(z)] z co(z) dz = [co(z) z en(z)] co (z) dz = z + 4 en(z) c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08
Serie Rdio de convergenci R y rzón de D Alembert pr (z z 0 ) n Serie de Tylor: f(z) = f (n) (z 0 ) n! Serie de Lurent: f(z) = c n (z z 0 ) n Reiduo: = n= (m )! lím z z 0 { } d m dz [(z z 0) m f(z)] m n z n : R = lím e z = + z! + z! +... zn n! +... ; z < en z = z z! + z5 5!... + ( )n z n+ (n + )! +... ; z < co z = z! + z4 zn... + ( )n 4! (n)! +... ( z 0 ) n pr z z (z z n= 0 ) n 0 > z 0 = z (z z 0 ) n pr z z ( z 0 ) n+ 0 < z 0 ; z < n Integrción complej Teorem de l integrl de Cuchy: f(z) dz = 0 i f (z) dentro y obre C. C f(z) Fórmul de l integrl de Cuchy: C (z z 0 ) dz = f (n) (z n+ 0 ) πj n! n Teorem del reiduo: f(z) dz = πj Serie de Fourier C b Producto interno u k (t), x(t) = u k (t)x(t) dt x(t) = c k u k (t) con {u k k Z} un be funcionl ortogonl, c k C. k= i= (i) Generlizd: c k = u k(t), x(t) u k (t) Fourier exponencil complej (pr funcione periódic de periodo ). Fourier coenoidl x(t) = x(t) = c 0 + k= c k e jω 0kt c k = t0 + e jω0kt x(t) dt c k co(ω 0 kt + θ k ) c k = c k, θ k = c k, k > 0 k= t 0 n n+ c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08
Fourier enoidl x(t) = 0 + k co ω 0 kt + b k en ω 0 kt k= k= k = t0 + x(t) co ω 0 kt dt = c k co(θ k ) b k = t 0 t0 + t 0 x(t) en ω 0 kt dt = c k en(θ k ) Propiedde de l Serie de Fourier (periodo, ω 0 = π/ ) Propiedd Señl en el tiempo Coeficiente x(t) x (t) x (t) c k c k c k Linelidd α x (t) + α x (t) α c k + α c k Simetrí pr x(t) = x( t) c k = Tp c k IR Simetrí impr x(t) = x( t) c k = j c k jir Función rel x(t) IR c k = c k Deplzmiento temporl x(t τ) e jω0kτ c k Conjugción x (t) c k Inverión en el tiempo x( t) c k Eclmiento en el tiempo x(αt), α > 0 c k Convolución periódic x (τ)x (t τ) dτ c k c k Multiplicción x (t)x (t) c l c k l Diferencición Integrción Relción de Prevl dx(t) dt t x(t) dt, c 0 = 0 t0 + l= jkω 0 c k c k jkω 0 t 0 x(t) dt = 0 Tp 0 x(t) co(ω 0 kt) dt k= x(t) en(ω 0 kt) dt c k 4 c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08
Trnformd de Fourier Trnformd direct: X(jω) = Trnformd inver: x(t) = π Algun Trnformd de Fourier x(t)e jωt dt X(jω)e jωt dω Nombre Señl en el tiempo Trnformd Trnformción x(t) = X(jω)e jωt dω X(jω) = x(t)e jωt dt π Impulo unitrio δ(t) Eclon unitrio u(t) jω + πδ(ω) Impulo rectngulr [u(t t τ 0) u(t t 0 τ)] e jω(t 0+ τ ) (ωτ/) Exponencil e t u(t), Re{} > 0 + jω Exponencil por rmp e t tu(t), Re{} > 0 ( + jω) Lplcin e t, Re{} > 0 + ω Exponencil complej e jω 0t πδ(ω ω 0 ) Contnte c πcδ(ω) Función periódic c k e jkω 0t πc k δ(ω kω 0 ) Función muetred k= k= x(kt )δ(t kt ) k= c k = X T T (jω 0 k); ω 0 = π T X(jω jkω 0 ); ω 0 = π T k= Impulo guino σ ( σ) t π e e (ωσ) π Seno en(ω 0 t) j [δ(ω ω 0) δ(ω + ω 0 )] Coeno co(ω 0 t) π [δ(ω ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )] Pr l función periódic x(t) e ume que X T (jω) e l trnformd de Fourier de un único periodo de x(t). c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08 5
Propiedde de l Trnformd de Fourier Propiedd Señl en el tiempo Trnformd x(t) X(jω) x (t) X (jω) x (t) X (jω) Linelidd α x (t) + α x (t) α X (jω) + α X (jω) Simetrí pr x(t) = x( t) Simetrí impr x(t) = x( t) j 0 X(jω) IR x(t) co(ωt) dt 0 x(t) en(ωt) dt X(jω) jir Función rel x(t) IR X(jω) = X ( jω) Dulidd X(jt) πx( ω) Deplzmiento temporl x(t τ) e jωτ X(jω) Deplzmiento en frecuenci e jω0t x(t) X(jω jω 0 ) Modulción co(ω 0 t)x(t) 0) + X(jω + jω 0) Conjugción x (t) X ( jω) Inverión en el tiempo x( t) X( jω) ( ) jω Eclmiento en el tiempo x(t) X Convolución Multiplicción Diferencición Integrción Relción de Prevl x (τ)x (t τ) dτ x (t)x (t) dx(t) dt d n x(t) dt n tx(t) t x(t) dt X (jω)x (jω) π X (jω) X (jω) jωx(jω) (jω) n X(jω) j d dω X(jω) X(jω) + πx(0)δ(ω) jω x(t) dt = X(jω) dω π 6 c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08
Trnformd de Lplce Bilterl: X() = x(t)e t dt Inver: x(t) = πj Propiedde de l Trnformd Bilterl de Lplce σ+j σ j X()e t d Propiedd Señl en el tiempo Trnformd ROC x(t) X() R x (t) X () R x (t) X () R Linelidd α x (t) + α x (t) α X () + α X () R R Función rel x(t) IR X() = X ( ) R Deplzmiento temporl x(t τ) e τ X() R Deplzmiento en e 0t x(t) X( 0 ) R + 0 Conjugción x (t) X ( ) R Inverión en el tiempo x( t) X( ) R ( ) Eclmiento en el tiempo x(t) X R/ Convolución x (t) x (t) X ()X () R R Diferencición dx(t) dt X() R d n x(t) n X() R dt n d tx(t) d X() R t Integrción x(τ) dτ X() R {σ > 0} Trnformd Bilterle de Lplce de funcione elementle Señl Trnformd ROC Señl Trnformd ROC δ(t) todo u(t) u( t) tn (n )! u( t) e t u( t) tn (n )! et u( t) [co(ω 0 t)]u(t) [e t co(ω 0 t)]u(t) σ < 0 σ > 0 t n (n )! u(t) n σ > 0 σ < 0 e t u(t) n σ > t n σ < (n )! et u(t) ( ) n σ > σ < δ(t τ) e τ todo ( ) n ω 0 σ > 0 [en(ω + ω0 0 t)]u(t) σ > 0 + ω0 σ > [e t ω 0 en(ω ( ) + ω0 0 t)]u(t) σ > ( ) + ω0 d n dt n δ(t) n todo c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08 7
Trnformd Unilterl de Lplce: X() = x(t)e t dt 0 Propiedde de l Trnformd Unilterl de Lplce Propiedd Señl en el tiempo Trnformd ROC x(t) = x(t)u(t) X() R x (t) = x (t)u(t) X () R x (t) = x (t)u(t) X () R Linelidd α x (t) + α x (t) α X () + α X () R R Función rel x(t) IR X() = X ( ) R Deplzmiento temporl x(t τ), τ > 0 e τ X() R Deplzmiento en e 0t x(t) X( 0 ) R + 0 Conjugción x (t) X ( ) R ( ) Eclmiento en el tiempo x(t), > 0 X R/ Convolución x (t) x (t) X ()X () R R Diferencición dx(t) dt X() x(0 ) R d n Diferencición múltiple dt x(t) n n X() n n i x (i ) (0 ) d Diferencición en tx(t) d X() R t Integrción x(τ) dτ X() R {σ > 0} 0 Teorem de vlor inicil x(0 + ) lím X() Teorem de vlor finl lím x(t) lím X() t 0 Trnformd Unilterle de Lplce de funcione elementle Señl Trnformd ROC Señl Trnformd ROC δ(t) todo t n (n )! t n (n )! et co(ω 0 t) e t co(ω 0 t) i= σ > 0 e t n σ > 0 σ > σ > δ(t τ), τ > 0 e τ todo ( ) n ω 0 σ > 0 en(ω + ω0 0 t) σ > 0 + ω0 σ > e t ω 0 en(ω ( ) + ω0 0 t) σ > ( ) + ω0 d n dt n δ(t) n todo 8 c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08
Trnformd z Propiedde de l trnformd z bilterl. Propiedd Dominio n Dominio z ROC Notción x[n] = X(z)z n X(z) = x[n]z n R = {z r < z < r} πj C n= x[n] X(z) R x[n] X(z) R Linelidd x[n] + x[n] X(z) + X(z) por lo meno R R Deplzmiento en n x[n k] z k X(z) R \{0} i k > 0 y R \{ } i k < 0 Ecldo en z α n x[n] X(α z) α r < z < α r Reflexión en n x[ n] X(z ) < z < r r Conjugción x [n] X (z ) R Prte rel Re{x[n]} (z )] Incluye R Prte imginri Im{x[n]} [X(z) + X [X(z) X (z )] Incluye R Derivción en z nx[n] z dx(z) dz r < z < r Convolución x[n] x[n] X(z)X(z) Por lo meno R R Teorem del vlor inicil Si x[n] e cul x[0] = lím z Propiedde de l trnformd z unilterl. Notción x[n] = X(z)z n X(z) = x[n]z n R = {z z > r} πj Retrdo temporl x[n k], k > 0 z k X(z) + Adelnto temporl x[n + k], k > 0 z k X(z) Teorem del vlor finl lím n C k n= k x[n] = lím z x[ n]z n k R \ {0} x[n]z k n R (z )X(z) c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08 9
Trnformd z bilterl de lgun funcione comune Señl x[n] Trnformd z, X(z) ROC δ[n] Plno z u[n] n u[n] n n u[n] ( n )u[ n ] n( n )u[ n ] co(ω 0 n)u[n] en(ω 0 n)u[n] n co(ω 0 n)u[n] n en(ω 0 n)u[n] z z > z z > z ( z ) z > z z < z ( z ) z < z co ω 0 z co ω 0 + z z > z en ω 0 z co ω 0 + z z > z co ω 0 z co ω 0 + z z > z en ω 0 z co ω 0 + z z > Trnformd z unilterl de lgun funcione comune Señl x[n] Trnformd z, X(z) ROC δ[n] Plno z z z > n z z > n n co(ω 0 n) en(ω 0 n) n co(ω 0 n) n en(ω 0 n) z ( z ) z > z co ω 0 z co ω 0 + z z > z en ω 0 z co ω 0 + z z > z co ω 0 z co ω 0 + z z > z en ω 0 z co ω 0 + z z > 0 c 005-08 P. Alvrdo Uo excluivo ITCR Verión de junio de 08