ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL Eamen de la Tercera Evaluación I Término 9/septiembre/008 Nombre: Paralelo: TEMA No. (0 PUNTOS Caliique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o alsa. Justiique ormalmente su respuesta. a ( sen sen lim = 0 ( sen sen( VERDADERO sen sen sen sen lim = lim lim = (( = 0 sen 0 sen 0 ( sen( ( cos cos lim = = 0 40% Aplicación correcta de reglas 40% Cálculos correctos 0% Resultados correctos b La unción y = e tiene dos valores etremos. FALSO ( e y = y' = e e = e ( e y' > 0, 0, y no está deinida en =0, presenta una asíntota vertical. y no tiene valores etremos. 40% Derivación correcta 40% Análisis apropiado de la derivada 0% Conclusión correcta
TEMA No. (0 PUNTOS Calcule los siguientes límites: a lim ( ( lim ( ( ( = lim = lim lim = = = 40% Técnica algebraica correcta 40% Cálculos correctos 0% Respuesta correcta b 4 4 ( 4 lim lim 6 0 = 0 = = /4 / ( ( ( /4 4 ( lim lim 6 = = = / ( ( 0 0 / 40% Selección correcta de técnica 40% Cálculos correctos 0% Respuesta correcta (
TEMA No. (5 PUNTOS Obtenga dy cos( d para y = ln cos ( y = ln ( cos ln ( cos dy ( sen( sen( sen( sen( = = d cos( cos( cos( cos( dy sen( sen( = d cos ( = = sen ( sen( 60% Derivación correcta 40% Manipulación algebraica adecuada TEMA No. 4 (0 PUNTOS Determine la ecuación de la recta tangente a la unción punto de inleión. ' 4 = ''( = 6 4 = 0 = 8 8 8 4 7 = = 7 9 = 7 = 7 = en su Punto de inleión es, 7 4 8 9 5 5 ' = 4 = = m= 5 Recta L : y = 7 0% Derivación correcta 60% Punto de inleión y pendiente 0% Ecuación correcta
TEMA No. 5 (5 PUNTOS Dadas las curvas en coordenadas polares r = sen( θ y r sen( θ = : a Bosqueje la gráica de las curvas. b Determine sus puntos de intersección. c Las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva r en los puntos de intersección. a θ=π/4 b c : Bosquejo correcto 4 puntos ( θ ( θ ( θ ( θ sen ( θ ( θ ( ( θ sen( θ ( θ 0 cos( θ sen( θ r = r sen = sen sen cos = 0 sen cos = 0 sen = = θ = 0 π θ = 4 P π P De acuerdo a la gráica: 0,0 y, 4 : Puntos de intersección Álgebra correcta 4 puntos Resultado correcto punto = sen( θ cos( θ = sen( θ r = sen( θ y = sen ( θ dy dy dθ ( sen( θ cos( θ sen( θ = = = = tan ( θ d d cos( θ dθ cos( θ ( dy En P, = 0 d Recta L: y = 0 dy En P, = mt no eiste,la recta es vertical Recta L: = d : Puntos de intersección Derivada correcta 4 puntos Rectas tangentes puntos
TEMA No. 6 (0 PUNTOS c, = a b, < <, determine los valores de a, b, c y d para que: d 6, Sea a sea continua en todo su dominio. b sea derivable en todo su dominio. a Para que sea continua en = lim a b = = 4c b a = 4c Para que sea continua en = b= 4c a i lim a b = d 6 a b = d 6 d = 6 a 4c a d = a c ii Por lo tanto, el conjunto solución para los valores a, b, c, d es: a b b= 4c a ; ac, c d = c a d y eisten ininitas soluciones. Se puede particularizar para a=c= b=6 d=7. b Si además debe ser derivable en = y en =, tenemos: = lim c = lim a 4 c = a iii = lim a= lim d a= d iv Reemplazando iii y iv en ii 4c= ( 4c c c= a= b= d =6 La regla de correspondencia sería:
(, = 6 6, > a 0% Ecuaciones correctas de límites 0% Determinación correcta de valores de a, b, c, d b 0% Ecuaciones correctas de límites 0% Determinación correcta de valores de a, b, c, d
TEMA No. 7 (0 PUNTOS Determine la ecuación de la recta tangente a ( g( que: g(=, g (=, h( =, h ( =. h( = = = ( g Por lo tanto, la ecuación de la recta es: (( L: y = ' Si h = ln ( h( ln g( g = '( ' ( h h' ( ( ln( g( ( ' ( ( ' (( h' (( ln ( g( ( g( ( ( ( ' ( 0 =6 ( '( ( ( ( g' ( ( g h g = h' ( ( ln( g( g = h g = = ( L: y =6 y = 6 7 h = en =, conociendo 60% Derivación correcta 0% Determinación de puntos y pendientes 0% Determinación de ecuación de la recta
TEMA No. 8 (0 PUNTOS Bosqueje la gráica de una unción de variable real que cumpla las siguientes condiciones: a dom = {,} b En (, (,0 ( 0, (,, la unción es continua y c ''( < 0 en (, ( 0, d ''( > 0 en (, 0 (, e ε > 0 N > 0, > N ( < ε ε > 0 N > 0, <N ( < ε g M > 0 δ > 0,0< < δ ( > M h M > 0 δ > 0,0< < δ ( < M i ε > 0 δ > 0,0< < δ ( < ε j ε > 0 δ > 0,0< < δ ( < ε k M > 0 δ > 0,0< < δ ( > M l M > 0 δ > 0,0< < δ ( < M m ( 0 = 0 b es decreciente siempre c es cóncava hacia abajo d es cóncava hacia arriba lim = y = Asíntota horizontal e g lim h lim i ( 0 j ( 0 k lim l lim lim = 0 y = 0 Asíntota horizontal = = Asíntota vertical = = Asíntota vertical lim = lim = = = Asíntota vertical = = Asíntota vertical 50% Traducción correcta de los datos 50% Síntesis correcta para bosquejo consistente con los datos ' < 0