ESTADÍSTICA MATEMÀTICA I. Recull de problemes

ENSENYAMENT D ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA MATEMÀTICA I Recull de problemes Curs 000-00 prmer quatrmestre Esteba Vegas Fracesc Olva Barceloa, Setembre de 000 DEPARTAMENT D'ESTADÍSTICA Sère de Quaders Docets del Departamet d'estadístca.

ESTADÍSTICA MATEMÀTICA I PROBLEMES Repàs de varable aleatòra.. Sgu X ua varable aleatòra amb fucó de dstrbucó 0 s x < ( + x) 9 s x < 0 F( x) = ( + x ) 9 s 0 x < s x Calculeu: a) P( X = ) ( ) ( ) d) PX { x; x+ x > } b) PX [, 3) c) PX ( 0, ] (, ) ( ). Sgu X ua varable aleatòra amb destat f ( x) = ke x calculeu les probabltats PX, ( ) ( ) a) [ ] b) PX { x; x+ x 3 3}. Trobeu el valor de k 3. Sgu X ua varable aleatòra amb dstrbucó de Raylegh a) Calculeu la fucó de dstrbucó. x x exp x f ( x) = α α s 0 0 s x < 0 b) Calculeu l'esperaça, la medaa, la moda, la varàca la desvacó absoluta medaa. c) L'ampltud d'ua seyal de radar evada des de la superfíce del mar seguex ua dstrbucó de Raylegh. Calculeu α sabet que les mesures efectuades mostre que l'ampltud supera a x o e el 3% dels casos, esset x o = l 003..

4. Es coex com a fucó de rsc d'ua varable aleatòra cotua o egatva T la fucó rt () = f() t [ Ft ()], o f és la fucó de destat F és la fucó de dstrbucó. a) Determeu la fucó de dstrbucó a partr de la fucó de rsc. b)caractertzeu les varables aleatòres amb rsc costat. c) Calculeu la fucó de rsc d'ua varable amb dstrbucó de Raylegh. x 5. Sgu X ua varable aleatòra amb fucó de dstrbucó F( x) =, x (F( x) = 0 e cas cotrar). Calculeu l'esperaça la varàca. [ ] 6. La durada e muts de les trucades e u telèfo públc té la següet dstrbucó de probabltat 0 x < 0 F( x) = x/ [ x/ ] e e x s 3 3 s 0 Qua és la probabltat de que ua trucada dur més de ss muts? I de que dur tres muts?. 7. Calculeu l'esperaça la varàca d'ua varable aleatòra amb fucó de destat a) k k λx λ x e f ( x) = s x > 0 ( λ > 0; k = 345,,,...) ( k )! b) 0 s x 0 λ x e x > (, > ; =,..., ; = ) f ( x) = α λ s 0 α 0 λ 0 α = 0 s x 0 8. Sgu X ua varable aleatòra amb dstrbucó uforme e l'terval [, ]. Trobeu la destat de Y = X de Z = X. 9. Sgu X ua varable aleatòra absolutamet cotua amb fucó de dstrbucó F. Demostreu que la varable aleatòra Y = F( X) té dstrbucó uforme e l'terval [ 0, ]. 0. Sgu X ua varable aleatòra amb fucó de dstrbucó F( x) = ( x+) 3 x [ ), (F( x) = 0 s x < ; F( x) = s x ). Calculeu l'esperaça la varàca s

Vectors aleators: Dscrets cotus. Es llaça u dau equlbrat. Sgu X, Y les varables aleatòres defdes per: X = s el resultat és sear s el resultat és parell s el resultat és, o 3 Y = 0 s el resultat és 4 s el resultat és 5 o 6 a) Trobeu les fucos de probabltat de dstrbucó cojuta les fucos de probabltat margals. b) Calculeu P( X + Y = 0 Y 0) P( X = X + Y = ). Sgu ( XY, ) ua varable aleatòra bdmesoal dscreta amb fucó de destat: x y ( ) ( 3 ) s, {} 0 k x y N f ( x, y) = 3 4 0 e qualsevol altre cas a) Trobeu la costat k. b) Calculeu les fucos de probabltat margals la fucó de dstrbucó cojuta. Só les varables X, Y estocàstcamet depedets? P ( 3 X 5) ( 5 Y 0). c) Calculeu [ ] 3. La fucó de destat de probabltat cojuta de dues varables aleatòres X, Y és: k( x + y) s x ( 0, ), y ( 0, ) f ( x, y) = 0 e qualsevol altre cas a) Trobeu la costat k. b) Calculeu les fucos de destat margals, l'esperaça la varàca de X Y. c) Só les varables estocàstcamet depedets? d) Trobeu la fucó de destat de Y codcoada a X = x. 4. La fucó de dstrbucó de probabltat cojuta de dues varables aleatòres X, Y és: 0 s x 0 o y 0 x ρ y F( x, y) = ( e ) ( e ) s x y > 0 x y ρ ( e )( e ) s y > x > 0

esset ρ u paràmetre que verfca 0 ρ. a) Trobeu les fucos de dstrbucó margals de X, Y. b) Trobeu la fucó de destat cojuta. c) Só les varables estocàstcamet depedets?. Qua relacó h ha etre les dues varables s ρ =?. 5. Doades les dues fucos de destat bdmesoals següets: 3 ( 5x+ y) ) f ( x, y) = kx y e s x 0, y 0 3 ( x+ y) ) f ( x, y) = k( x + y ) e s x 0, y 0 Trobeu e cada cas: a) la costat k. b) les fucos de destat margals. c) la fucó de destat codcoada f ( y x). Só les varables estocàstcamet depedets? 6. La fucó de destat de probabltat cojuta de dues varables aleatòres X, Y és: f ( x, y) = k(cosx+ cos y) s 0 x π/, 0 y π/ Calculeu: a) la costat k. b) la fucó de dstrbucó cojuta les fucos de dstrbucó margals. Só X, Y depedets? c) esperaça varàca de X, Y. P ( X π/ ) ( Y π/ ) PX π/ 6 Y π/ 3 d) [ 6 3 ] [ ] PX [ π/ 6 Y= π/ 3] P( X + Y ) P( X <π/ 4) 7. Sgu ( XY, ) u vector aleator amb fucó de destat uforme ds el recte delmtat per x = 0, y = 0 x+ y =. a) Trobeu la fucó de destat la fucó de dstrbucó cojuta. b) Calculeu les fucos de destat margals. Só X, Y depedets? P / Y 7/ 8 X = / 3. c) Calculeu [ ] 8. Com és sabut, e u sorteg qualsevol de la LOTO 6/49 s'extreue sese retorar ss (dexat apart el complemetar) de les 49 boles (umerades del fs al 49). Sgu les varables aleatòres X = "ombre de boles (de les ss) amb xfra sear",

Y = 0 s el ombre més pett ha e cas cotrar estat feror a 0 a) Costruïu les fucos de probabltat margals la cojuta. b) Só X, Y depedets? Trobeu la fucó de destat de X codcoada a Y. 9. Sgu el vector aleator ( XYZ,, ) amb fucó de destat kxyz s ( x, y, z) C f ( x, y, z) = 0 e cas cotrar C = ( x, y, z) / 0 x, 0 y, 0 z 3. Calculeu: o { } a) la costat k. b) totes les fucos de destat margals, uvarats bvarats. Só les tres varables estocàstcamet depedets? c) la fucó de destat del vector aleator ( XY, ) codcoat per la varable Z. P ( X < / ) ( Y > / ) ( < Z < ). d) [ ] 0. Sgu el vector aleator ( XYZ,, ) amb fucó de destat Trobeu: x y z { + + } kxy exp 3 s x, y, z 0 f ( x, y, z) = 0 e cas cotrar a) la costat k. b) totes les fucos de destat margals, uvarats bvarats. Só les tres varables estocàstcamet depedets? Só XY, depedets? c) PX ( < Y< Z).. Es tre puts a l'atzar e C R, o C = { x y y x } (, ) / 0. Calculeu: a) les fucos de destat de dstrbucó cojuta de la varable aleatòra bdmesoal ( XY., ) b) les fucos de destat margals les fucos codcoades. c) E( X), E( Y), Var( X ), Var( Y), E ( Y X = x) Var( Y X = x). d) Comproveu per aquesta dstrbucó bvarat les següets gualtats (certes per a qualsevol dstrbucó bvarat, suposat que E( X), E( Y), Var( X ) Var( Y) sgu ftes): [ ( )] = ( ) ( ) = [ ( )] + [ ( )] EEYX EY VarY EVarYX VarEYX

e) Sgu U, U dues varables aleatòres depedets amb dstrbucó uforme e l'terval [ 0, ]. Demostreu que els valors que pre el vector aleator ( max { U, U }, m { U, U }) só puts a l'atzar e C.. Sgu el vector aleator ( XY, ) amb fucó de probabltat f ( x, y) = k xy,,,, ; x y 3 x 3 y 4 = 03 + 3 3 x y a) Trobeu la costat k. b) Calculeu P[ ( 0< X ) ( Y = 3) ]. c) Calculeu PX (. ) 3. Cosderem tres llaçamets d'ua moeda defm les següets varables aleatòres: X = "ombre de cares obtgudes", Y = "ombre de creus abas de la prmera cara". Calculeu: a) La fucó de probabltat cojuta les margals. b) La fucó de dstrbucó de X codcoada a Y = 0.

Cav de varables. 4. Sgu XY, dues varables aleatòres depedets. La destat de la varables X és f ( x) = ( x) s 0 x, metre que la de Y és f ( y) = e y s y > 0. Calculeu la probabltat de que el quocet X / Y sgu feror a. 5. Sgu XY, dues varables aleatòres depedets amb dstrbucó N( 0, ). Calculeu el valor del paràmetre a per tal de que les oves varables U X + = Y a sgu també N( 0, ) depedets. V X Y = a 6. Sgu XY, dues varables aleatòres depedets amb dstrbucó expoecal de paràmetres α β respectvamet. a) Calculeu la fucó de destat cojuta de les varables U = ax + by, V = ax by. b) Só U, Vvarables estocàstcamet depedets?. P ( U ) ( V ). c) Calculeu ( ) 7. Sgu XY, dues varables aleatòres depedets amb dstrbucó uforme e l'terval ( 0, ). Determeu la fucó de destat calculeu l'esperaça de la varable { } { } R = max X, Y m X, Y 8. Sgu X ua varable aleatòra amb dstrbucó expoecal de paràmetre α. a) Cosderem la varable aleatòra Y = X, β>0. Trobeu la dstrbucó de la varable aleatòra Y, coeguda com dstrbucó de Webull de paràmetres α, β. b) Demostreu que la varable aleatòra Z = m { Y,!, Y } seguex ua dstrbucó de Webull α, β s les varables Y,!, Y só depedets dètcamet dstrbuïdes a Y. 9. Sgu X,!, X varables aleatòres depedets dètcamet dstrbuïdes. a) Calculeu la fucó de destat cojuta de les varables W = max { X,!, X} Z = m { X,!, X} b) Suposem que la dstrbucó de X ( =,!, ) és uforme e l'terval ( 0, ). / β b.) Calculeu la dstrbucó de R = W Z b.) Calculeu la dstrbucó de Q = Z W.

30. Sgu XY, dues varables aleatòres depedets amb fucó de destat f ( x) = s 0< x <, f ( y) = ( + y) s y > 0 a) Calculeu la fucó de dstrbucó de la varable aleatòra "àrea del rectagle de base X alçàra Y". b) Trobeu, s exstex, l'esperaça de l'àrea del rectagle ateror. 3. Sgu XY, dues varables aleatòres depedets tals que X es dstrbuex segos ua uformemet e l'terval (, 3 ), metre que la fucó de destat de Y és y fy ( y) = e s y > Trobeu la fucó de destat cojuta de les oves varables V = X / Y W = XY. 3. Sgu XY, dues varables aleatòres depedets amb dstrbucó N( 0, ). Trobeu les fucos de destat de les oves varables Z = X + Y W = arctg( Y / X) (0 < W < π). Demostreu que Z W só depedets. Coefcet de correlacó, regressó leal corba de regressó. 33. Trobeu el coefcet de correlacó de les varables XY, del problema del problema 3. 34. Trobeu el coefcet de correlacó de les varables XY, del problema 7 del problema. 35. Sgu XY, dues varables aleatòres depedets amb dstrbucó uforme e l'terval ( 0, ). Calculeu el coefcet de correlacó etre les varables U = XY V = ( X)( Y). 36. Sgu XY, dues varables aleatòres amb dstrbucó uforme e l'terval (, ). a) Trobeu el cojut de possbles valors que pot predre a = Cov( X, Y). Determeu el valor de a e els següets casos: ) XY, depedets, ) X = Y. b) Sgu Z = X k, k N. Trobeu k de maera que Cov( X, Z) = 0. Iterpreteu el resultat.

37. Sgu X, X dues varables aleatòres qualsevol amb la codcó de que exstex la seva varàca és o ul la. Determeu el coefcet de correlacó de les varables aleatòres Y = X + X Y = X X. Què succeex s X, X só depedets? 38. Sgu X,!, X varables aleatòres d (depedets dètcamet dstrbuïdes), amb mtjaa µ desvacó típca σ. Defm les oves varables aleatòres Y = X =,!, j= j Calculeu el coefcet de determacó (ρ ) etre Y geeraltat que k ) Y k (suposeu sese pèrdua de 39. Doades varables X,!, X qualsevol amb varàca coeguda fta, calculeu la mtjaa la varàca de la varable aleatòra Y = ( a X + b ) = 40. Sgu XY, dues varables aleatòres reduïdes amb correlacó ρ( XY, ) = 05.. Axí matex, sgu també Z, W ues altres dues varables reduïdes amb correlacó ρ( ZW, ) = 0. 75. Defm el parell de varables U, Vde la maera següet ( XY, ) amb probabltat p ( UV, ) = ( ZW, ) amb probabltat p ( 0< p < ). Calculeu ρ( UV, ). 4. Sgu X ua varable aleatòra amb dstrbucó uforme e l'terval ( 0, ). Cosderem la varable aleatòra Y = X a, o a ( 0, ). Calculeu el coefcet de correlacó etre X Y. Exstex algu valor de a pel qual les dues varables sgu correlacoades? 4. Sgu la fucó de destat bvarat y f ( x, y) = k( x+ e ) 0< x <, 0< y < Calculeu el coefcet de correlacó ρ( XY,, ) les rectes de regressó mím quadràtques les corbes de regressó.

43. Sgu la fucó de destat bvarat 3 f ( x, y) = k( x + y ) 0 x, 0 y Calculeu el coefcet de correlacó ρ( XY,, ) les rectes de regressó mím quadràtques les corbes de regressó. Iterpreteu els resultats. 44. Ua varable aleatòra bdmesoal dscreta XY, té la següet fucó de probabltat f ( x, y ) = k( + j) x =,,!, ; y =,,!, q j j a) Trobeu la costat k. b) Calculeu E( X), E( Y), Var(X), Var(X). c) Calculeu el coefcet de correlacó ρ( XY, ) 45. Sgu ( XY, ) ua varable aleatòra bdmesoal de la qual es coex que les rectes de regressó só y = ( x+ 9) 5 x = ( y+ 8) Trobeu el coefcet de correlacó etre X Y. 46. Sgu ( XY, ) ua varable aleatòra bdmesoal amb fucó de destat f ( x, y) = 3y / 8 s y 0, xy <, y < x ( f ( x, y ) = 0 e cas cotrar). Trobeu les rectes de regressó, el coefcet de correlacó les corbes de regressó.

Fucó geeratru de momets fucó característca. 47. Es du que ua varable aleatòra X seguex ua fucó degeerada o de Drac, D(s), qua agafa u sol valor s R amb probabltat gual a, és a dr, s x = s p( x) = 0 cas cotrar Obteu la fucó característca, la fucó geeratru de momets, el momet d'ordre k respecte a l'orge la varàca. 48. Calculeu la fucó característca la fucó geeratru de momets de les següets varables aleatòres: a) Ua uforme etre (α, β) b) Ua expoecal de paràmetre α. c) Ua ormal tpfcada. d) Ua gamma de paràmetres α r e) Ua Laplace estàdard f) Ua Cauchy estàdard 49. Demostreu que la suma de varables aleatòres Beroull de paràmetre p és ua bomal de paràmetres p, utltzat com ea, la fucó característca. 50. Utltzat la fucó característca tpfcada o estàdard que correspogu obteu la fucó característca geeral de : a) Ua ormal de paràmetres µ σ. b) Ua Cauchy de paràmetres µ λ 5. Sgu la varable aleatòra amb fucó de destat Determeu: a) Fucó característca. f ( x) = e x s x > 0 b) La varàca a través de la fucó característca c) La fucó característca de R = 0,5X + 3

5. Mtjaçat l aplcacó de les propetats de les fucos característques es demaa les següets pregutes: a) És la suma de dos varables depedets de Posso de paràmetres 3, ua varable de Posso de paràmetre 5? b) És la seva dfereca ua varable de Posso de paràmetre? c) És la varable ormal reproductva respecte a ambdós paràmetres? 53. La fucó de destat cojuta de dues varables XY, és ( x+ y) f ( x, y) = e s y > x > 0 Trobeu la fucó geeratru de momets bvarat, mtjaçat aquesta fucó, calculeu el coefcet de correlacó ρ( XY., ) 54. Sgu XY, dues varables aleatòres d amb fucó geeratru de momets M ( t) = e t( t+ 3) t R Calculeu la fucó geeratru de momets de la varable Z = X 3Y + 4. 55. La fucó de destat cojuta de dues varables aleatòres XY, és (, ) = x f x y e s x > y > 0 a) Trobeu la fucó característca bvarat les margals. b) Calculeu el coefcet de correlacó ρ( XY, ) utltzat la fucó característca. c) Obteu la fucó característca cojuta de les varables R = X + Y S = X + Y 56. Sgu X ua varable aleatòra uforme sobre l'terval (-/,/). Sgu X, X,...,X ua successó de varables aleatòres depedets també uformes (-/,/). a) Qua és l expressó de la fucó geeratru de momets M X (t) de la fucó característca C X (t) de X b) Utltzat la fucó geeratru M X (t) o la fucó característca, demostra que L X N 0 (,) = qua 57. Sgu X ua varable aleatòra Posso de paràmetre λ. Sgu X, X,...,X ua successó de varables aleatòres depedets també Posso de paràmetre λ. a) Troba la fucó geeratru de momets M X (t) la fucó característca C X (t) de X.

b) S sabet que λ =, utltzat la fucó geeratru de momets o la fucó característca, demostra la covergèca e probabltat de p X qua = 58. Obteu la fucó de destat o probabltat de massa, segos el cas, a partr de la fucó característca utltzat el teorema d versó e el següet casos. a) Dstrbucó de Cauchy estàdard b) Dstrbucó Beroull

Covergèces estocàstques. Lles dels gras ombres. Teorema cetral del límt. 59. Sgu X, X,..., X varables aleatòres uformes (a, b) depedets. a) Demostreu que Y = m{x, X,..., X } covergex e probabltat al valor a b) Demostreu que Y = max{x, X,..., X } covergex e probabltat al valor b 60. Sgu X, X,..., X varables aleatòres depedets gualmet dstrbuïdes. Cosderem les successos Y = max{x, X,..., X } Z = (- Y ) a) Prova que s la dstrbucó comú de X, X,..., X és uforme (0,) aleshores Z covergex e lle a ua varable amb dstrbucó expoecal de paràmetre α=. b) Prova que s la dstrbucó comú de X, X,..., X és expoecal de paràmetre α, aleshores W = m{x, X,..., X } és també expoecal per a qualsevol. Dscutex la dferèca amb el cas ateror. 6. Cosdere la successó de varables aleatòres depedets X, X,..., X o cada X és Posso de paràmetre λ = /. a) Demostra la covergèca X 0 especfcat el tpus de covergèca: ordàra, e probabltat, e dstrbucó, etc b) Estuda s la successó de v. a. {Y } tal que Y = X, Y = X + X,..., Y = X + X,+...+ X,... també covergex. 6. Sgu (X, Y) dues varables aleatòres depedets amb dstrbucó absolutamet cotua o E(X) = /3, E(Y) = 7/6, Var(X) = /36 Var(Y) = /36. Sgu (X, Y ), (X, Y ),..., (X, Y ) parelles de v.a. depedets amb la matexa dstrbucó que (X, Y). Suposem gra. Calcula la probabltat: P(X + X +... + X + (/) < Y + Y +... + Y )

63. Quates vegades s haurà de llaçar u dau per tal que la probabltat de l esdevemet {que la freqüèca relatva del ombre de vegades que surt el 6 sgu dferet de /6 e meys de 0.0 } sgu més gra o gual que 0.95 a) Utltzat la desgualtat de Tchebychev b) Utltzat el teorema de Laplace-Movre. c) Cometa els resultats. 64. Sgu ua successó de varables aleatores {X } defdes com: P X = = P X = = Covergexe e probabltat? Covergexe cas seguramet? 65. Sgu ua successó de varables aleatores {U } amb dstrbucó uforme [-, ]. Estudar s aquesta successó covergex e dstrbucó. 66. Demostreu que s es complex: aleshores també es cert que X X d c p c 67. Sgu {X, } ua successó de varables aleatòres depedets amb fucó de massa p (k) = P(X = k), k = 0,,,...; =,,... sgu p(k) = P(X = k) la fucó de massa d'ua varable aleatòra X. Demostreu que ua codcó ecessàra sufcet per a que X covergex e dstrbucó cap a X és que p (k) p(k), k 68. Demostreu que la dstrbucó bomal (, p) covergex cap a la dstrbucó de Posso (λ=p) qua p 0. 69. Sgu {X, } ua successó de varables aleatòres amb dstrbucó χ amb graus de llbertat. Demostreu que X / covergex e dstrbucó a. 70. Sgu {X, } ua successó de varables aleatòres amb dstrbucó t Studet amb graus de llbertat. Demostreu que X covergex e dstrbucó a ua varable aleatòra X amb dstrbucó ormal tpfcada.

Dstrbucos multvarats otables. 7. Sgu XY, dues varables aleatòres amb dstrbucó N( 0, ) amb coefcet de correlacó 0.5. Suposem edemés que la dstrbucó cojuta és ormal bvarat. a) Qua és la dstrbucó de la varable aleatòra Z = X 7Y + 8? b) Calculeu P( Y > X + ). 7. Sgu X ua varable aleatòra amb dstrbucó N( 0, ). Suposem que la dstrbucó d'ua altra varable aleatòra Y codcoada a X = x seguex ua dstrbucó N( x, ). És cert que la varable bdmesoal ( XY, ) seguex ua dstrbucó ormal bvarat? 73. Sgu ( XY, ) ua varable aleatòra amb dstrbucó ormal bdmesoal de paràmetres µ = Σ = 6 ( 50 45) 4 Trobeu la dstrbucó cojuta de les varables aleatòres U = 4X + Y V = X + 4Y calculeu les probabltats PU ( 50) PV ( > 0). 74. La dstrbucó cojuta del vector aleator X = ( X X X3 ) és N ( µ, Σ ), o 9 µ = ( 0) Σ = 3 a) Calculeu la matru de correlacos. b) Calculeu P( X + X + X ). 3 3 c) Trobeu a de maera que la varable Z = ax + X sgu estocàstcamet depedet de X 3 75. L'ESA (Agèca Europea de l'espa) està preparat u vol o trpulat a Mart. Sgu XY, les desvacos e els dos exos del pla respecte al put d'aterratge. Suposem que XY, só dues varables aleatòres depedets amb dstrbucó ormal, amb esperaça zero varàces guals. Qua ha de ser la desvacó estàdard màxma permesa per tal de que puguem assegurar amb ua probabltat del 99% de que el vehcle espacal aterrarà a meys de 00 metres del lloc escollt?

76. A ua poblacó, els quatre grups sagus es trobe dstrbuïts segos els percetatges: O = 45% A = 43% B = 8% AB = 4% a) Escollm a l'atzar e codcos depedets 0 dvdus de la poblacó. Calculeu la probabltat de que quatre sgu del grup O, tres del A, dos del B u de l'ab. b) Qua és la probabltat de que dels 0 dvdus al meys u sgu del grup AB?. c) Qua és la probabltat de que dels 0 dvdus al meys u sgu del grup B o del grup AB?.

ESTADÍSTICA MATEMÀTICA I SOLUCIÓ DELS PROBLEMES Repàs de varable aleatòra.. (a) /3 (b) 7/8 (c) 3/36 (d) 9/36. k = / (a) - e - (b) /(-e -3 + ) x 3. (a) F( x) = exp α, x 0 (b) E( x) =α π Moda(x) = α Med( x) =α l( ) E( x - Med(x) ) = α Var x α π ( ) = ( ) Med( x) l( ) + π 5, ( 0, ) F α N (c) α= 4. t (a) F() t = exp rxdx ( ), t 0 (b) Ft () = exp( ct), t 0 t (c) r()= t, t 0 α 5. E(x) = Var (x) = 6. P(X > 6) = e -, P(X = 3) = /( - e - ) 0 7. (a) E(x) = k λ, Var (x) = k (b) E(x) = α α α, Var (x) = λ = λ = λ = λ y 8. f ( y) = y [ 0,, ] f () z = z [ 0, ] 9. F(y) = P(Y y) = P(F(x) y) =... 0. E(x) = 43, Var (x) =0,844 3

Vectors aleators: Dscrets cotus. /, s y = -. (a) P(x) = /, x = -, ; Py ( ) = / 6, s y = 0 / 6, s y = xy ( Pxy (, ) = /6, s (, ) = -, -) / 6, s ( xy, ) = (-, ), (, -), (, 0), (, ), s x, y /, s - x <, y o x, - y < 0 F( x, y) = / 3, s - x <, - y < / 3, s x, 0 y < 0, s x < o y < - (b) P( X + Y = 0 Y 0) = /4, P( X = X + Y = ) = x. (a) k = / (b) Px ( ) = x N {} 0 ; Py ( ) = y N {} 3 3 3 0 ; 4 4 F( x, y) = 0 [ y] [ x] ( (3/ 4) ) ( / 3) ( ) (c) P[ ( 3 X 5) ( 5 Y 0) ] = 0,00458 s x, y ; S s x < o y < 3. (a) k = 6/5 6 6 (b) f ( x) = x + s x ( 0, ) ; f ( y) = y+ s y ( 0, ) 5 5 3 E(x) = E(y) = 3/5, Var (x) = /5, Var (y) = / 50, (c) No x + y s y ( 0, ) (d) f ( y X = x) = x + / 0 e qualsevol altre cas 4. (a) x ( e ) s x > 0 F( x) = 0 y ( ) e qualsevol altre cas ; e F( y) = 0 y s y > 0 e qualsevol altre cas

0 s x 0 o y 0 x ρ ( x+ y) e e s x y > 0 (b) f ( x, y) = ( ρ)( ) ( ρ)( ) (c) No, ρ = X = Y y ρ ( x+ y) e e s y > x > 0 5. Fucó : (a) k = 500/3 5 5x 8 3 y (b) f ( x) = x e s x 0; f ( y) = y e s y 0 3 (c) f ( y X = x) = f ( y) Fucó : (a) k = /8 x (b) ( ) (c) 6. (a) k = /π (b) f ( x) = e x + 6 x 0 8 3 ( + ) y 3 s ; ( ) f ( y) = e y + s y 0 8 y x y e f ( y X = x) = s x 0, y 0 x + 6, No 0 e qualsevol altre cas 0 ( y se x + x se y) π π π F( x, y) = ( se x + x se ) π π π ( se y + y se ) π 0 s x < 0 se x x F ( x) = + s 0 x π/, π s x > π/ s x < 0 o s x > π /, s x > π /, y < 0 s 0 x π /, s 0 x π /, 0 y π / y > π / 0 y π / y > π / 0 se y y F( y) = + π s y < 0 s 0, y π/ s y > π/ No so depedets (c) E(x) = E(y) = 3 π 5 π 3 5, Var (x) =Var (y) = + π 8 9 8 4 P ( X π/ ) ( Y π/ ) PX π/ 6 Y π/ 3 = 0,5477 (d) [ 6 3 ] = 0,80, [ ] PX [ π/ 6 Y= π/ 3] = 0,5733, P( X + Y ) = 0,97, P X ( <π/ 4 ) = 0,6036

7. (a) f(x,y) = s 0 x, 0 y - x 0 s x < 0 o y < 0 ( - xx ) s 0 x<, y> ( - y)y s x > 0, y < F( x, y) = ( y) x + x x y s + xy s 0 x + y < s x, y (b) f ( x) = ( x) x ( 0, ) (c) P[ / Y 7/ 8 X = / 3] s ; ( ) = 0,5 f ( y) = y s y ( 0, ); No 8. (a) X H(49, 5, 6); P(Y = 0) = 0,7, P(Y = ) = 0,73; f(x, y) = f(y) f(x y) o f(x y = 0) H(40, 0, 6) (b) No 9. (a) k = /9 (b) f ( x) = x y 0 x ; f ( y) = 0 y ; f ()= z z 9 0 z 3 f ( x, y) = xy 0 x, 0 y, 4 f ( x, z) = xz 9 0 x, 0 z 3; f ( y, z) = yz 9 0 y, 0 z 3, S (c) f ( x, y z) = xy 0 x, 0 y,( 0 z 3) (d) P[ ( X < / ) ( Y > / ) ( < Z < )] 0. (a) k = /43 x ( x 3) (b) f ( x) = e x 0; 9 = 0,0785 y ( y 3) f ( y) = e y 0; 9 xy ( x+ y) 3 y ( y+ z) 3 f ( x, y) = e x, y 0, f ( y, z) = e y, z 0; 8 7 ( z 3) f ()= z e z 0 3 x ( x+ z) 3 f ( x, z) = e x, z 0, S, S (c) PX ( < Y< Z) = 7/08 7. (a) f(x,y) = s 0 y x 0 x F( x, y) = y(x y) y( y) s x < 0 s x y, s x >, s x, o y < 0 0 x < s 0 y x < 0 y y

(b) f ( x) = x 0 x ; f ( y) = ( y) 0 y f ( x y) = ( y) s x [ y, ], ( y [ 0, ]) ; f ( y x) = s y [ 0, x], ( x [ 0, ]) x (c) E( X) = /3; EY ( ) = /3; Var( X )= Var( Y)= /8; x x (d) E( YX = x) = ( x [0, ]) ; Var( Y X = x) = ( x [0, ]) (e) F(x,y) = P{( max { U, U} x) ( m { U, U} y)}=.... (a) k = /0 (b) P[ ( 0< X ) ( Y = 3) ] = 0 (c) PX ( ) = 85/0 /, s y = 0 3. (a) X B(3, 0.5); Py ( ) = / 4, s y = /8, s y =, 3 xy ( Pxy (, ) = / 8, s (, ) =, 0) / 8, s ( xy, ) = (0, 3), (, 0), (, ), (, ), (, 0), (, ), (3, 0) 0 s x < s x < 4 F( x y) = 3 s x < 3 4 s x 3

Cav de varables. 4. P(X/Y < ) = 0,85 5. a = ± u αv β u 6. (a) f ( u, v) = αβexp + uv, v + > 0; a b ab( v + ) (b) E geeral o (c) P( ( U ) ( V )) = αβ a α ab α β a 3 + + aβ bα α a αb+ βa a b exp ( ) exp 3 7. f () r = ( r) 0 r ; E(R) = /3 αy β 8. (a) F( y) = e y > 0 (b) F(z) = P(Z, z) = P( m { Y,, } β αy β αβ, > 0, f ( y) = αβe y y > 0 α, β > 0! Y, z) =... 9. (a) (, ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] f w z = f z f w F w F z a z w b X X X X (b.) f () r = ( )( r) r 0< r < (b.) f ( q) = ( )( q) 0 q zl +z s z > 0 30. (a) F()= z z 0 s z 0 (b) No exstex la E(Z) 3. (a) f v w v e wv 9 (, ) = w ; w > 4v 4 v v z z e s z 0, 0< w< π 3. (a) f (, z w)= π 0 e qualsevol altre cas z f ()= z ze s z 0 0< w < π ; f ( w) = π 0 s z < 0 0 e qualsevol altre cas

Coefcet de correlacó, regressó leal corba de regressó. 33. () Corr (X, Y) = -0,486; (3) Corr (X, Y) = -0,67 34. (7) Corr (X, Y) = -0,5; () Corr (X, Y) = 0,5 35. Corr (U, V) = -5/7 36. -/3 Cov (X, Y) /3; (a.) Cov (X, Y) = 0; (a.) Cov (X, Y) = -/3 (b) Cov (X, Z) = 0 s k és parell Var( X ) Var( X ) 37. Corr (Y, Y ) = ( ) Var( X ) + Var( X ) 4Cov ( X, X ) S X, X só depedets: Corr (Y, Y ) = Var ( X Var X ) ( ) Var( X ) + Var( X ) 38. ρ (Y, Y k ) = k/ 39. E(Y) = ( aµ + b ) = Var(Y) = a Var( X ) + a a Cov( X, X ) = > j j j 40. ρ(u, V) = -0,5p + 0,75 4. ρ(x, Y) = 4. ρ(x, Y) = 3 a a + 3 ; a = 0,5 4 3 a + a a + e( e+ 3) [( 3e 6e+ )( 8e 4e+ 48) ] 5 e( e+ 3) 5 rectes M.Q.O.: Y X y k = x k 4 e 3e 6e+ 6 e 5 e( e+ 3) 5 X Y x k = y k 6 e 8e 4e+ 48 4 e x + corbes de regressó: Y X y = E( Y X = x) = e + x e y e X Y x = E X Y = y = ( ) + y e + ; 3 ( 0< x < ) ( 0< y < )

43. ρ(x, Y) = -0,4; rectes M.Q.O.: Y X 9 9 / 490 y = x 4 086 / 575 35 X Y x = 9 / 490 9 y 35 497 / 6860 4 corbes de regressó: Y X X Y y = E( Y X = x) = x = E( X Y = y) = 3 4 5 3 ( x + ) ( 3x + ) ( 5y + ) ( 4y + ) ( 0 x ) 3 ( 0 y ) 44. (a) k = q( + q + ) (b) E(x) = kq ( + ) 4 ( + q) + + 4 3 ; E(y) = kq ( + q ) 4q ( + ) + + 4 3, Var (x) = kq ( + ) ( + q)( + ) kq( ) 4 ( + ) + ( q) 4 3 + + + + 4 3 Var (y) = kq ( + q ) ( + )( + q) kq( q) 4q q( + q) + ( ) 4 3 + + + + 4 3 (c) Cov (X, Y) = kq( + q)( + ) kq( + ) 4 kq( q) 4q ( + q + ) ( + q) + + + ( ) 6 4 3 + + + 4 3 45. Corr (X, Y) = 0 46. No exstex la Corr (X, Y). Tampoc les rectes de regressó. 4 x ( 0< x < ) 3 corbes de regressó: Y X y = E( Y X = x) = 4 ( x ) 3x 4 X Y x = E( X Y = y) = = + y ( 0< y < ) 4y

Fucó geeratru de momets fucó característca. 47. M X (t) = e ts t R; C X (t) = e ts t R; k µ ' k = s ; var(x) = 0 48. a) M X (t) = tβ tα e e t( β α) t R C X (t) = tβ tα e e t( β α) t R b) M X (t) = -α/(t- α) t < α C X (t) = -α/(t- α) t R c) M X (t) = exp(t /) t R C X (t) = exp(-t /) t R d) M X (t) = e) M X (t) = t r ( t / α ) t < α C X (t) = t < C X (t) = t + r ( t / α) t R t R f) No es calcule drectamet. No exstex M X (t) C X (t) = exp(- t ) t R 49. Teòrc 50. a) C X (t) = e t µ t σ t R b) C X (t) = e µ t t λ t R 5. a) C X (t) = (-t) - t R b) var(x) = /4 c) C R (t) = 4e t3 (4 t) t R 5. a) Sí b) No c) Sí 53. M (X,Y) (t, t ) = / {(t -)(t + t )} t <, t + t < ρ( XY, ) = 5 54. M Z (t) = e t(3t +) t R 55. a) C (X,Y) (t, t ) = C X (t) = (t ) (t + t -)(t ) t R C Y (t) = t, t R t R (t ) b) ρ( XY, ) = / c) C (R,S) (t, t ) = t e (3t + t -)(t + t ) t, t R 56. a) M X (t) = e e t t / t / t R ; C X (t) = e e t t / t / t R

57. a) M X (t) = ( e t ) e λ t R ; C X (t) = t ( e ) e λ t R ; 58. Calculeu la tegral

Covergèces estocàstques. Lles dels gras ombres. Teorema cetral del límt. 59. Teòrc 60. a) Covergex e probabltat b) No covergex 6. 0.5 6. a) 7778 b) 5336 63. Covergex e probabltat cas seguramet al valor zero 64. Covergex e dstrbucó al valor ½ 65. Teòrc 66. Teòrc 67. Teòrc: Aplqueu el resultat de l exercc ateror 68. Teòrc 69. Teòrc, Aplqueu propetats del quocet de successos de v.a. 70. Teòrc

Dstrbucos multvarats otables. 7. (a) Z N(8, 39 ) (b) P( Y > X + ) = 0,5 7. S, (X, Y) N 0 0, 73. (U, V) N 45 6 74 30, PU ( 50) = 0, 38; PV ( > 0) = 0, 8599 74 86 74. (a)r = 3 3 3 3 3 6 3 6 (b) P( X + X + X ) = 0,587 (c) a = - 75. 33 3 3 76. (a) P(O = 4, A = 3, B =, AB = ) = 0,005 (b) P(AB ) = 0,335 (c) P({B } {AB }) = 0,75