EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO HOMOGÉNEO POR DESARROLLO EN FUNCIONES PROPIAS 1. PROBLEMA NO-HOMOGÉNERO CON CONDICIONES DE CONTORNO HO- MOGÉNEAS Consideremos el sigiente problema de valores iniciales y de contorno: x, t = Mx, t + Qx, t, < x < L, t >, t α, t + β =, t L, t α L L, t + β L =, t x, = Ψx, x L 1 siendo M el operador diferencial y L el operador diferencial de Strm-Lioville M = 1 L, px >, 2 px L = d rx d + qx, rx > 3 dx dx 1.1. Obtención de las fnciones propias: Resolción del problema homogéneo es, En primer lgar deben obtenerse las fnciones propias del problema homogéneo de 1, esto wx, t = Mwx, t, < x < L, t > w, t α w, t + β =, t wl, t α L wl, t + β L =, t wx, = Ψx, x L 4 De hecho no es estrictamente necesario resolver completamente el problema 4, sino qe basta con obtener ss fnciones propias por separación de variables. Así, si se descompone wx, t = φxt t y se separan variables en 4 se obtiene el problema de contorno Mφ n x = λ n φ n x, < x < L α φ n + β φ n =, α L φ n L + β L φ nl =, 5
donde φ n x denota la fnción propia asociada al valor propio λ n para n = 1, 2,... El problema de contorno 5 es eqivalente al problema de Strm-Lioville Lφ n x λ n pxφ n x =, α φ n + β φ n =, α L φ n L + β L φ nl =, < x < L 6 cyas solciones no triviales las fnciones propias asociadas a cada valor propio son ortogonales respecto de la fnción de peso px, esto es = ; i j pxφ i xφ j xdx ; i = j 7 1.2. Resolción del problema no-homogéneo Conocidas las fnciones propias del problema homogéneo, podemos pasar a resolver el problema 1 desarrollando la solción x, t como na serie generalizada de fnciones propias φ n x. Así si consideramos qe la solción x, t es na serie de la forma x, t = n tφ n x 8 donde n t son fnciones en la variable t qe deberemos determinar de forma qe se satisfaga 1. Si derivamos respecto al tiempo y aplicamos el operador M a la serie 8 y sstitimos en la ecación diferencial en derivadas parciales del problema 1 x, t = Mx, t + Qx, t, < x < L, t > obtendremos es decir, o bien ntφ n x = n tmφ n x + Qx, t, 9 ntφ n x = n tλ n φ n x + Qx, t, 1 n t λ n n t φ n x = Qx, t. 11 Esta igaldad establece qe n desarrollo en serie generalizada de fnciones propias debe ser igal a la fnción conocida Qx, t.
Así, si de desarrolla esta fnción en serie generalizada de φ n x tendremos Qx, t = q n tφ n x q n t = Q, φ n 12 siendo f, g el prodcto interno entre dos fnciones fx y gx definido en < x < L respecto de la fnción de peso px como: f, g = pxfxgxdx. 13 Y ahora sstityendo 12 en 11, reslta n t λ n n t q n t φ n x =. qe se verifica para todo pnto x si se n t satisface la EDO Lineal de primer orden: nt λ n n t q n t = 14 cya solción general es n t = e λ nt K n + t q n τe λnτ dτ 15 donde K n es na constante. Esta constante se determina finalmente imponiendo qe la solción en serie 8 con n t dada por 15 verifiqe la condición inicial x, = Ψx, esto es qe x, t = e λ nt K n + t q n τe λnτ dτ φ n x 16 evalada para t = sea Ψx. Es decir, K n φ n x = Ψx 17 por lo qe K n vale K n = Ψ, φ n 18 con la definición de prodcto interno dada por 13. La solción final viene dada por 16 donde q n t se obtiene de 12 y K n de 18, y los valores propios λ n y las correspondientes fnciones propias φ n x de la resolción del problema de contorno 6.
2. PROBLEMA NO-HOMOGÉNERO CON CONDICIONES DE CONTORNO NO- HOMOGÉNEAS Consideremos el sigiente problema de valores iniciales y de contorno: x, t = Mx, t + Qx, t, < x < L, t >, t α, t + β = γ t, t L, t α L L, t + β L = γ L t, t x, = Ψx, x L siendo M el operador diferencial definido en 2. 19 2.1. Obtención de las fnciones propias: Resolción del problema homogéneo En primer lgar, es preciso obtener las fnciones propias del problema homogéneo de 19 qe es 4, por lo qe las fnciones propias φ n x correspondientes a valores propios λ n resltan de resolver el problema de contorno dado en 6 y cmplen, entre otras propiedades, la de ortogonalidad dada en 7. 2.2. Resolción del problema no-homogéneo Conocidas las fnciones propias del problema homogéneo, podemos pasar a resolver el problema 19 desarrollando la solción x, t como na serie generalizada de fnciones propias φ n x. De modo qe, de nevo, consideraremos qe la solción x, t es na serie de la forma dada en 8, donde ahora n t son fnciones en la variable t qe deberemos determinar de forma qe se satisfaga 19. Si derivamos respecto al tiempo la serie 8, y desarrollamos en serie generalizada de fnciones propias la fnción Qx, t según 12, y sstitimos en la ecación obtendremos x, t = Mx, t + Qx, t, < x < L, t > ntφ n x = Mx, t + q n tφ n x. 2 es decir, n t q n t φ n x = Mx, t. 21 Esta igaldad establece qe n determinado desarrollo en serie generalizada de fnciones propias debe ser igal al resltado de aplicar el operador M a la fnción x, t. Así, si de desarrolla la fnción Mx, t en serie generalizada de φ n x tendremos Mx, t = m n tφ n x, 22
donde m n t son fnciones en la variable t qe vienen dados por m n t = M, φ n 23 y en consecencia, de 21: n t m n t q n t φ n x =. 24 Si tenemos en centa la definición de prodcto interno dado en 13, el término M, φ n del coeficiente m n t de 23 es M, φ n = pxmx, tφ n xdx = Lx, tφ n xdx 25 donde se ha introdcido la definición del operador M dada en 2. Por otra parte, y dado qe para dos fnciones calesqiera U y V de clase C 2 en n dominio a, b se cmple la Identidad de Green b UxLV x V xluxdx = [ rxuxv x V xu x ] b, 26 a a si elegimos U = y V = φ n en el dominio, L, reslta x, tlφ n xdx φ n xlx, tdx = rl L, tφ L, t nl φ n L r, tφ n φ n, t. 27 Obsérvese qe el segndo smando del término de la izqierda de la igaldad 27 es precisamente el término dado en 25. Por tanto, si se despeja dicho término y se tienen en centa qe las fnciones propias φ n x satisfacen las condiciones de contorno homogéneas del problema 5, se obtiene φ n xlx, tdx = x, tlφ n xdx rl L, t + β L L, t α L φ nl + r, t + β, t α φ n. 28 Segidamente, si tenemos en centa qe debe cmplir las condiciones de contorno dadas por 19, reslta φ n xlx, tdx = x, tlφ n xdx rlγ L tφ nl + rγ tφ n, 29 e introdciendo ahora la relación Lφ n x = λ n pxφ n x de 6 obtendremos φ n xlx, tdx = λ n pxx, tφ n xdx rlγ L tφ nl + rγ tφ n, 3
y finalmente por 25 M, φ n = λ n pxx, tφ n xdx rlγ L tφ nl + rγ tφ n. 31 Si ahora sstitimos este resltado en 23 obtenemos qe los coeficientes m n t vienen dados por pxx, tφ n xdx m n t = λ n + rlγ Ltφ nl + rγ tφ n. 32 Por otra parte, dado qe pxx, tφ n xdx =, φ n, entonces, φ n m n t = λ n + rlγ Ltφ nl + rγ tφ n = λ n n t + rlγ Ltφ nl + rγ tφ n. 33 Sstityendo ahora m n t de 33 en 24, obtendremos qe debe cmplirse para todo pnto x la igaldad nt λ n n t + rlγ Ltφ nl + rγ tφ n q n t φ n x =, 34 es decir, verificarse la EDO Lineal de primer orden nt λ n n t + rlγ Ltφ nl + rγ tφ n q n t = 35 Si se compara este resltado con la EDO obtenida en 15 para el problema con condiciones de contorno homogéneas, se pede observar cómo intervienen las condiciones de contorno cando estas no son homogéneas. A partir de este pnto, la integración de la EDO y la imposición de la condición inicial son similares a las de la ecación diferencial 14 obteniéndose finalmente x, t = e λ nt K n + t [ q n τ + rlγ Lτφ nl rγ τφ ] n e λnτ dτ φ n x donde K n viene dada por 18.