Práctica 3 Soución anaítica de probemas de contorno. Ecuación de difusión En esta práctica estudiaremos agunos probemas asociados a a ecuación de difusión. En primer ugar resoveremos e probema genera de una varia finita con una fuente caorífica y condiciones de frontera variabes. En a segunda parte de a práctica estudiaremos as modificaciones a reaizar cuando as condiciones en a frontera dependen también de a derivada de a soución (frontera aisada o con intercambio de caor). 3.1. Varia finita con fuentes de caor y condiciones de contorno no homogéneas La ecuación de caor para una varia finita con fuentes de caor y condiciones de contorno no homogéneas viene dada por t = 2 T a2 + Q(x, t), 2 <x<, t>, con as condiciones de contorno T (,t)=f 1 (t), T(, t) =f 2 (t), y a condición inicia T (x, ) = g(x). 33
Para resover este probema hemos visto que a soución T (x, t) se descompone en dos funciones T (x, t) =u(x, t)+t 3 (x, t) donde T 3 (x, t) =f 1 (t)+ x (f 2(t) f 1 (t)) y u(x, t) es soución de siguiente probema con distinta función fuente pero condiciones de frontera nuas u t = 2 u a2 + R(x, t), <x<, t>, 2 (R(x, t) =Q(x, t) 3 ) con as condiciones de contorno t u(,t)=, u(, t) =, y a condición inicia u(x, ) = g(x) T 3 (x, ). Para resover este segundo probema hemos visto que a soución u(x, t) se descompone en dos funciones u(x, t) =T 1 (x, t)+t 2 (x, t) donde T 1,T 2 tienen condiciones de frontera nuas. T 1 (x, t) es soución de a ecuación homogénea (sin fuentes) y condiciones iniciaes no nuas dadas por 1 t = 2 T 1 a2, 2 con as condiciones de contorno T 1 (,t)=, T 1 (, t) =, y a condición inicia T 1 (x, ) = u(x, ). De o estudiado en teoría, sabemos que ( nπx ) ( ( nπa ) ) 2 T 1 (x, t) = a n sen exp t e imponiendo a condición inicia obtenemos os coeficientes a n = 2 ( nπx ) u(x, ) sen dx., 34
T 2 (x, t) es soución de a ecuación no homogénea (con fuentes) y condiciones iniciaes nuas dada por 2 t = 2 T 2 a2 + R(x, t), 2 con as condiciones de contorno T 2 (,t)=, T 2 (, t) =, y a condición inicia T 2 (x, ) =. De o estudiado en teoría, sabemos que ( t ( ( nπa ) ) ) 2 ( nπx ) T 2 (x, t) = q n (τ) exp (t τ) dτ sen donde as funciones q n (t) se obtienen de a función fuente R(x, t) ( nπx ) R(x, t) = q n (t) sen, esto es q n (t) = 2 ( nπx ) R(x, t) sen dx. Con todo esto, a soución de probema viene dado por T (x, t) =T 1 (x, t)+t 2 (x, t)+t 3 (x, t)., Resumen: agoritmo de cácuo: De igua manera a como se hizo en e tema anterior para e probema de ondas, nos construimos e siguiente agoritmo (se puede obtener fácimente modificando igeramente e agoritmo de a práctica anterior). Definir os parámetros a, y as funciones f 1 (t),f 2 (t),g(x),q(x, t) T 3 (x, t) =... R(x, t) =... u(x, ) =... a n =... T 1 (x, t) =... q n (t) =... T 2 (x, t) =... T (x, t) = T 1 (x, t)+t 2 (x, t)+t 3 (x, t) 35
3.2. Fronteras aisadas En os probemas de transmisión de caor es interesante estudiar probemas en os que aguno de os extremos de dominio está aisado. Supongamos, por ejempo, que se quiere estudiar a distribución de temperaturas en una región comprendida en e intervao [,], suponiendo que e extremo situado en x = está aisado térmicamente. Esta condición se expresa (, t) =. Así, veamos cómo se puede anaizar e siguiente probema t = 2 T a2, 2 con as condiciones de contorno y a condición inicia T (,t)=, (, t) =, T (x, ) = f(x). Para resover este probema se utiiza e método de separación de variabes probando una soución de a forma con o que egamos a a ecuación Se tiene T (x, t) =X(x)P (t), 1 a 2 P P = X X = λ. X + λx =, (3.1) con as condiciones X() =, X () =. (3.2) La soución genera de a ecuación (3.1) es de a forma ( ) ( ) X(x) =A cos λx + B sen λx. Las condiciones de contorno (3.2) impican que A =, λb cos( λ) =. 36
Los autovaores son pues (( ) ) 2 2n 1 π λ n = 2, n =1, 2,... y as autofunciones (( ) ) 2n 1 πx X n (x) = sen 2. Para a parte tempora se tiene a ecuación P n(t)+ ( ) 2 (2n 1)π a P n (t) =, 2 cuya soución es de a forma ( ( ) 2 a(2n 1)π P n (t) =a n exp t) 2. Tenemos pues que a soución de probema viene dada por ( ( ) 2 ( ) a(2n 1)π (2n 1)πx T (x, t) = a n exp t) sen 2 2, donde os coeficientes a n se obtienen a partir de a condición inicia a n = 2 ( ) (2n 1)πx f(x) sen dx. 2 3.3. Intercambio de caor en a frontera En situaciones más reaistas se tiene transferencia de caor en os extremos de dominio. En este caso si consideramos e extremo correspondiente a x =, se tendrán que imponer condiciones de a forma ht (, t)+ (, t) =, donde h es un coeficiente de transferencia de caor. Veamos cómo se resueven os probemas de este tipo. 37
Consideremos e probema t = 2 T a2, 2 con as condiciones de contorno y a condición inicia T (,t)=, (, t) = ht (, t), T (x, ) = f(x). De igua manera que antes, por separación de variabes 1 P a 2 P = X X = λ. se ega a que a soución genera para X(x) es X(x) =A cos( λx)+b sen( λx). (3.3) Las condiciones de contorno son ahora de a forma X() =, X () = hx(). De a condición, X() = obtenemos A = y de a segunda condición se deduce a siguiente ecuación B λ cos( λ) = hb sin( λ), o sea, tan( λ λ) = h. Tomando β = λesta ecuación se expresa tan(β) = β h. (3.4) Esto es, para que a función T (x, t) =P (t)x(x) cumpa as condiciones de frontera, éstas deben de imponerse a a función X(x) dada en (3.3), y eo impica que A =yλsóo puede tomar un número discreto de vaores, λ n, n =1, 2,..., taes que sean soución de (3.4). Si, por ejempo, dibujamos as curvas y = tan(x) ey = x, obtenemos a gráfica mostrada en a Figura 3.1 38
1 2 4 6 8 1 12 14-1 -2 Figura 3.1: Raíces de a ecuación (3.4) para h = =1. Observamos que a ecuación (3.4) tiene una sucesión de raíces positivas β 1,β 2,... Como tenemos que haaras numéricamente, necesitamos conocer dónde se encuentran aproximadamente. A partir de a figura vemos que a raíz, β n se encuentra en e intervao [π(2n 1)/2,πn], (y cerca de extremo izquierdo de intervao). Las siguientes instrucciones nos permiten definir un vector cuyas componentes sean estas raíces. resu:=findroot[tan[x]==-x,{x,pi(2n-1)/2+1/n,pi(2n-1)/2,pi*n}] rega:=fatten[resu] bet[n_]=x/. rega; Con e FindRoot, e cero n-ésimo o empezamos a buscar a partir de punto de partida x = 1π(2n 1) + 1 y e decimos que se encuentra dentro de 2 n intervao β n [ 1 π(2n 1),nπ]. Resutados simiares se obtienen si dibujamos 2 as curvas y = tan(x) ey = x para os correspondientes vaores de h y. h Viendo a gráfica, se observa que e número de ceros seguirá siendo e mismo. Habrá una raíz en cada intervao, β [(2n 1)π, 2nπ], aunque tomarán vaores igeramente distintos. Los autovaores serán ( ) 2 βn λ n =. Como funciones espaciaes se toman (a constante B se puede absorver dentro de a función P (t)) ( ) ( ) βn X n (x) = sen λn x = sen x. Se puede comprobar que estas funciones satisfacen una reación de ortogonaidad de a forma ( ) ( ) ( ) βn βn sen x sen x dx = δ n,m sen 2 βn x dx. (3.5) 39
Para comprobar as regas de ortogonaidad, podemos definir a función ort[n_,m_]:=nintegrate[sin[bet[n]*x]*sin[bet[m]*x],{x,,1}] y observar que éstas se cumpen. Para e caso anterior (se corresponde con e caso h = = 1) se tiene, por ejempo In[]:= ort[1,3] Out[]= -8.93383*1^(-17) In[]:= ort[3,3] Out[]=.57733 Para a parte tempora se tiene a ecuación ( ) 2 P n(t)+a 2 βn P n (t) =, cuya soución es de a forma ( ( ) 2 aβn P n (t) =a n exp t). Por tanto, asoución viene dada por ( ( ) 2 ( ) aβn βn T (x, t) = a n exp t) sen x donde os coeficientes a n se obtienen a partir de a condición inicia, haciendo uso de a reación de ortogonaidad (3.5). a n = 1 ( sen2 β n x ) dx ( ) βn f(x) sen x dx. (3.6), 4
3.4. Ejercicios 1. Suponed que un modeo simpe para obtener a distribución de temperatura en una habitación de 1 metros de profundidad a a que una de sus paredes e da e So es T t =3 2, t 24, x 1, 2 con as condiciones de contorno ( ) πt T (,t)=2 5sin, T(1,t)=2, 12 y a condición inicia T (x, ) = 2. a) Dibujar con e Manipuate a distribución de temperatura para t [, 1] utiizando 1 autofunciones. b) Dibujar a variación de temperatura en x =8yt [, 1]. c) Haar T (5, 4) con 15 autofunciones. Suponiendo que éste es e vaor exacto, haar e error absouto cometido a cacuar este vaor con 2 y con 6 autofunciones. 2. Dado e probema t = 1 2 T 2, x 1, t >, 2 con as condiciones de contorno y a condición inicia T (,t)=, (1,t)=,2T (1,t), T (x, ) = 4x 3 1 x2. a) Comprobad que se satisface a reacin de ortogonaidad (3.5) para os 3 primeros autovaores (para os vaores de h y de probema). b) Dibujad a distribucin de temperatura para t [, 2]. 41