Capítulo Covergecia de variables aleatorias El objetivo del presete capítulo es estudiar alguos tipos de covergecia de variables aleatorias. Iiciaremos co la defiició de los distitos modos de covergecia... Defiicioes básicas Defiició.. Sea X, X, y X variables aleatorias defiidas sobre el mismo espacio de probabilidad (Ω, F, P); co fucioes de distribució F, F, y F, respectivamete.. X } coverge a X casi seguramete (c.s.), si Usaremos la siguiete otació: X P(ω Ω : X (ω) X(ω)}) =. c.s.. X } coverge a X e media p-ésima, p, si E( X p ) <, para toda y Se usará la otació comú: X E ( X X p ) 3. X } coverge e probabilidad a X, si P( X X > ɛ) 0, para todo ɛ > La covergecia e probabilidad se deota por: X P 4. X } coverge e distribució a X, si F (x) F (x), para todo x R tal que F es cotiua e x. Usaremos la otació: X d X. Es importate hacer otar que, para este tipo de covergecia, o es ecesario que las variables aleatorias este defiidas sobre el mismo espacio de probabilidad.
Notemos que, la covergecia casi segura es práticamete la covergecia sucesioes e aálisis ya que, dado ω Ω, se tiee que X (ω)} es ua sucesió de úmeros reales. Por lo tato, el cojuto dode X (ω)} o coverge tiee probabilidad cero. Por otro lado, covergeia e media p-ésima e aálisis es coócida como covergecia e. Vale la pea mecioar que los tipos de covergeia defiidos ateriormete o so equivaletes, de hecho, e geeral se cumple el siguiete Teorema.. E geeral se cumple que X c.s X X P X, (.) X X X P X, (.) y X P X X d (.3) E este curso os cocetraremos e estudiar alguas de las propiedades de covergecia e probabilidad y covergecia e distribució. Cabe mecioar que, los otros modos de covergecia tambié so importates e la teoría de probabilidad... Covergecia e probababilidad La primera cosa que os gustaría saber es si el límite está bie defiido. El objetivo de la siguiete proposició es precisamete dar respuesta a la preguta aterior. Proposició.. (Uicidad del límite) Sea X } ua sucesió variables aleatorias tal que X P X y X P Y, etoces P(X = Y ) =. Demostració: Por la desigualdad de triágulo teemos que X Y X X + X Y. Etoces, para cada ɛ > 0 se tiee que X Y > ɛ} X X + X Y > ɛ} X X > ɛ/} X Y > ɛ/}. Por lo tato, por la defiició de covergecia e probabilidad teemos que P( X Y > ɛ) = 0, para todo ɛ > Fialmete, otemos que X Y > 0} = = X Y > /},
es decir, P( X Y > 0) P( X Y > /) = = Proposició.. Sea X } y Y } dos sucesioes de variables aleatorias tales que X P X y Y P Y. Etoces, para todo c R se tiee que cx + Y P cx + Y. Demostració: Es claro que si c = 0 o hay ada que probar. Por lo tato, supogamos que c Usado argumetos similares a los usados e la Proposició.. se obtiee que, para todo ɛ > 0 cx cx + Y Y > ɛ} cx cx > ɛ} Y Y > ɛ}. Etoces, lím P( cx cx + Y Y > ɛ) lím [P( X X > ɛ/ c ) + P( Y Y > ɛ)] = Ejemplo..3 Sea Ω = (0, ] y P la medida que asiga a cada itervalo su logitud. Dicha medida es coocida co medida de Lebesgue sobre Ω. Para cada N, defiimos X = (0,/), es decir, para cada ω Ω, si w < /, X (ω) = 0, e otro caso. Demuestre que X P Solució: sea ɛ > 0, etoces P( X > ɛ) = > ɛ) P(X = /, si ɛ <, 0, e otro caso. Por lo tato, lo cual demuestra que X P lím P( X > ɛ) = 0, 3
Ejemplo..4 Sea Ω y P como e el ejemplo aterior. Cosidere la siguiete sucesió (0,/], si es impar, X = (/,], si es par. E este caso, se tiee que X } o coverge e probabilidad. E efecto, sea ɛ > 0, etoces para cada impar se tiee que /, si ɛ < P( X > ɛ) 0, e otro caso. Por lo tato, X + P Por otro lado, para par se tiee que P( X > ɛ) /, si ɛ < 0, e otro caso. Lo cual implica que X P. Ejemplo..5 (Variables aleatorias i.i.d.) Sea X } u sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, co media µ y variaza fiita σ. Defiamos S = X i. Etoces, S L µ. Solució: otemos que ( S E µ ) = E (X µ)) = E(X µ), (idepedecia) = = σ. Por lo tato, haciedo, obteemos que S σ L µ. 4
El ejemplo aterior cotiee la demostració de la Ley débil de los grades úmeros, la cual euciamos e el siguiete Teorema..6 (Leyes de los grades úmeros) Sea X } ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, co media µ <. Etoces, (i) (Ley débil de los grades úmeros) (ii) (Ley fuerte de los grades úmeros) X P µ. X c.s. µ. Demostraremos la parte (i) bajo el supuesto adicioal que las variables aleatorias tiee segudo mometo fiito. La demostració de la parte (ii) requiere de alguos coceptos más avazados, y por lo tato, por el mometo postpoemos su demostració. Demostració: Sea ɛ > 0, luego por la desigualdad de Chebyshev teemos que ( P ) X µ > ɛ ɛ E X µ. El resultado se cocluye aplicado el Ejemplo..5. Obeservemos que, la parte (i) del teorema aterior es u caso particular de (.). Lema..7 Sea X, X} variables aleatorias tales que X X, para algú p. Etoces, X P Demostració: La demostració usa la misma idea de la prueba del Teorema..6 (i). Sea ɛ > 0, etoces P( X X > ɛ) E X X p ɛ r 0, cuado. El cocepto de covergecia e probabilidad es importate e la teoría estadística ya que, si ˆθ := ˆθ(X, X,, X ) es u estimadador para u parámetro θ, se dice que ˆθ es u estimador cosistete si ˆθ P θ. 5