1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS Recordeos los tipos de úeros que cooceos: NÚMEROS ENTEROS: FRACCIONES: ua fracció es el cociete idicado de dos úeros eteros. Por ejeplo, 3 4 es ua fracció. Se puede itroducir ua fracció e la calculadora cietífica CASIO usado la tecla a b/c El proceso es: uerador a b/c deoiador. Por ejeplo, para itroducir 3 4 : 3 a b/c 4. Aparecerá e la patalla 3 4, que sigifica 3 4 NÚMEROS DECIMALES: U úero decial costa de ua parte ates de la coa, llaada parte etera y otra parte después de la coa, llaada parte decial. Por ejeplo: Expresió decial de ua fracció: Si e ua fracció dividios el uerador etre el deoiador se obtiee u valor que se llaa expresió decial de la fracció. Al calcular la expresió decial de ua fracció se puede obteer: A) U úero etero. Esto ocurre cuado el uerador es divisible etre el deoiador. Ejeplos: 7 8 =7:3=9 8:7 4 3 7 B) U úero decial Esto ocurre cuado la divisió o es exacta. 1) Si obteeos u úero fiito de deciales se dice que es u decial exacto. Ejeplos: 7 7 7:80,875 7:5 1,08 8 5 ) Si la divisió da lugar a u decial co cifras que se repite idefiidaete se dice que es u decial periódico. E los deciales periódicos, la cifra o grupo de cifras que se repite se llaa periodo. Si el periodo epieza a partir de la coa el decial se llaa periódico puro y si o periódico ixto. E los deciales periódicos ixtos la parte copredida etre la coa y el periodo se llaa ateperiodo Ejeplos: 11 =11:3=3,666...=3, 6 es u decial periódico puro. La parte etera es 3 y el periodo es 6 3 5 =5:6=0,8333...=0,8 3 es u decial periódico ixto. 6 La parte etera es 0, el periodo es 3 y el ateperiodo es 8 - Págia 1 -
Fracció geeratriz de u decial exacto: Vaos a obteer ua regla para hallar ua fracció geeratriz de u decial exacto. Fíjate e los siguietes casos: x1, 75 x0, 0104 x407, 5 ( se ultiplica por100 porque ( se ultiplica por100 00 porque tiee cifras deciales) tiee4 cifras deciales) ( se ultiplica por10 porque tiee1 cifra decial) 100x175 10000x104 10x4075 úerosicoa úerosicoa 175 7 104 13 x x 1 00 4 10000 150 ceros 4ceros x úerosicoa 4075 815 1 0 1cero Regla geeral: úerosicoa abcdef ab, cdef 10000 4cifras 4ceros Fracció geeratriz de u decial periódico puro: Vaos a obteer ua regla para hallar ua fracció geeratriz de u decial periódico puro. Fíjate e los siguietes casos: x 7,454545... 7, 45 (se ultiplica por 100 porque el periodo tiee cifras) 100x 745,454545... x 7,454545... 100xx 745799x 7457 úero si coa parte etera 745 7 738 8 x 99 99 11 tatos 9 coo cifras tiee el periodo Regla geeral: x 8,103103103... 8, 103 (se ultiplica por 1000 porque el periodo tiee 3 cifras) 1000x 8103,103103... x 8,103103... Al restar:1000xx 81038 999x 81038 x abcde ab ab, cde 3cifras 999 úero si coa parte etera 3ueves 8103 8 999 tatos 9 coo cifras tiee el periodo 8075 999 Fracció geeratriz de u decial periódico ixto: Vaos a obteer ua regla para hallar ua fracció geeratriz de u decial periódico ixto. Fíjate e los siguietes casos: x 1,35767676... 1,3576 (se ultiplica por 1000 porque el ateperiodo tiee 3 cifras) 13576135 1000x135, 76 99 úero si coa parte etera y ateperiodo 13576135 13576 135 133 94 x :1000 99 99 000 99000 uevesporqueelperiodotieecifras El deoiador tiee 3cerosporqueelateperiodotiee3cifras - Págia -
x 0,103535... 0,1035 (se ultiplica por 100 porque el ateperiodo tiee cifras) 103510 100x10,35 999 úero si coa parte etera y ateperiodo 103510 1035 10 10315 x :100 999 99900 99900 3uevesporqueelperiodotiee3cifras El deoiador tiee ceros porque el ateperiodo tiee cifras Regla geeral abcdefghi abcdef ab,cdef ghi 999 0000 4cifras 3cifras 3ueves 4ceros NÚMEROS IRRACIONALES: Hay úeros deciales que o so exactos i periódicos. Estos úeros o se puede expresar e fora de fracció. So deciales que tiee ifiitas cifras que o se repite y se llaa úeros irracioales. Los úeros irracioales ás utilizados so: - El úero. Se obtiee al dividir la logitud de ua circuferecia etre su diáetro. Las prieras cifras de se puede obteer co la calculadora cietífica así: SHIFT EXP. El resultado es 3,14159654. - El úero. Se obtiee al calcular la diagoal de u cuadrado de lado 1. Las prieras cifras de se puede obteer co la calculadora cietífica así:. El resultado es 1,4141356... - El úero de oro o úero áureo. Se obtiee al dividir la diagoal del petágoo regular etre su lado y se represeta co la letra griega φ. Su valor es : 1 5 1,61803398... Las raíces cuadradas, cúbicas, etc o exactas de úeros aturales so úeros irracioales. Por ejeplo,, 3, 5, etc so úeros irracioales Tabié so úeros irracioales los resultados que se obtiee al suar, restar, ultiplicar o dividir u úero racioal co otro irracioal. O tabié, por ejeplo, 3,1010010001... ; 0,3737737773.. pues tiee ifiitas cifras o periódicas. Los úeros que so racioales o irracioales se llaa úeros reales. El cojuto de los úeros reales se represeta co la letra R - Los úeros reales coprede a los racioales y a los irracioales. Se expresa sibólicaete así: R = Q U I y se lee R es igual a Q uió co I - Detro del cojuto de los úeros racioales está el de los úeros eteros, y detro del cojuto de los úeros eteros está el cojuto de los úeros aturales Se expresa sibólicaete así: N Z Q y se lee N está icluido e Z y Z está icluido e Q Para expresar que u úero perteece a u cojuto deteriado usaos el síbolo, que sigifica perteece a. Por ejeplo, π I. - Págia 3 -
Eteros positivos o úeros N Ejeplo: aturales Núeros eteros(z) Elúero0 Eteros egativos. Ejeplo : -7 Racioales(Q) Deciales exactos.ejeplo:,75 Periódicos puros.ejeplo:5,333... 5,3 Deciales periódicos Periódicos ixtos.ejeplo:7,4666... 7,46 Irracioales (I) (deciales o periódicos).ejeplo:3,1010010001... Núeros reales(r). ACTIVIDADES 1 Idica qué tipo de úero es cada uo de los siguietes (atural, etero egativo, decial exacto, decial periódico puro, decial periódico ixto o irracioal). Para los que sea racioales halla la fracció geeratriz irreducible: a),3555. b) 5 c) 3,030030003... d) e) 16 g) 1,34555. h) 9 i) j) 1,5 k),454545.. f) 1.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS.1.- Represetació de úeros e la recta Núeros eteros: - Págia 4 -
Núeros deciales: Para represetar úeros deciales se divide el segeto correspodiete e 10 partes iguales Ejeplos: Fraccioes: - Las fraccioes propias positivas propias (uerador < deoiador) se represeta etre 0 y 1 Por ejeplo, 3 5 : - Las fraccioes positivas ipropias (uerador > deoiador) se expresa priero e fora ixta Para poer ua fracció ipropia a b e fora ixta procedeos así: a b a bc r a r a bc r c r c b b b b b Ejeplo: 31 6 31 6 31 6.5 1 31 1 316.51 5 1 5 6 6 6 6 6 Se puede poer e fora ixta ua fracció ipropia directaete usado la tecla ab/c de la calculadora cietífica CASIO. El proceso es: uerador ab/c deoiador Ejeplo: 31 6 : 31 ab/c 6 Obtedrás 5 1 6, que sigifica 1 5 6 Para represetar ua fracció egativa el proceso es el iso salvo que se hace desde 0 hacía la izquierda Núeros irracioales: Alguas raíces cuadradas se puede represetar de fora exacta e la recta uérica usado étodos geoétricos: - Usado el teorea de la altura. Teoreadelaaltura: h = Ejeplo: Vaos a represetar 1. Coo 1 3.7, toaos 3 uidades a la izquierda de 0 y 7 a la derecha y trazaos u seicírculo coo idica la figura: Por el teorea de la altura, OC 3.71LaalturacorespectoalabaseABesOC 1 - Págia 5 -
- Usado el teorea de Pitágoras. Sólo se puede e alguos casos: cuado el radicado es sua de dos cuadrados. Ejeplo: Vaos a represetar el úero 5 : Expresaos 5 coo sua de dos cuadrados: 5 = + 1. Dibujaos u rectágulo de lados y 1. Por el teorea de Pitágoras la diagoal d = + 1, siedo d la diagoal del rectágulo. Luego, d 5 Usado el copás Coo puedes observar por este iso procediieto se puede represetar su opuesta 5 Tabié por u proceso de reiteració se puede represetar, 3, etc,etc Dados dos úeros racioales cualesquiera, siepre se pueda ecotrar ifiitos úeros racioales copredidos etre abos: se dice que Q es u cojuto deso. Dados dos úeros reales cualesquiera, siepre se pueda ecotrar ifiitos úeros reales copredidos etre abos: se dice que R es u cojuto deso...- Ordeació de úeros Núeros eteros: Dados dos úeros eteros, es eor el que está ás a la izquierda e la recta uérica. Ejeplos: 3 < 0, 4 > 0, 5 <, 7 < 4 Fraccioes: Si las fraccioes tiee el iso deoiador, es eor la que tiee eor uerador. Por ejeplo, 1 3 porque 1 < 3. 4 4 Si las fraccioes tiee distito deoiador, se puede coparar reduciédolas a coú deoiador. 5 1 11 3 3,,, c(4,8,6,3) c(,,.3,3).34 4 8 6 3 Ejeplo: 5.(4:4) 30 1.(4:8) 3 11.(4:6) 44.(4:3) 16,,, 4 4 8 4 6 4 3 4 Deciales: Dados dos úeros deciales, es ayor el que tega ayor parte etera. Por ejeplo, 34,65 > 136,76 Si tiee la isa parte etera, se copara la priera cifra decial distita. Ejeplo: 146,8 > 146,74 357,56 > 357,53 634,18 > 634,15 Para los deciales co ifiitas cifras puedes trabajar co aproxiacioes deciales. - Págia 6 -
ACTIVIDADES 1 Represeta e la recta de fora exacta (cada uo e ua recta diferete) y ordea de ayor a eor: A = 8,7 B = 58 C = 9 D = 0,6 E = 0,84 F = 10 G = 34 H = 5 I = 0, 7 6 J = K = 0,1666 L =,3333. M = 0,6 N = 9 Ñ = 17 5 O = 0,666. 3 3.- INTERVALOS Y ENTORNOS 3.1.- Itervalos de la recta real U itervalo de la recta es u segeto o ua seirrecta. Los segetos correspode a los úeros reales copredidos etre otros dos. Las seirrectas so todos los úeros reales ayores o eores que u úero dado. Hay ocho tipos de itervalos: Los sigos y os idica que el extreo está icluido (itervalo cerrado) y los sigos < y > os idica que o está icluido (itervalo abierto) Los sigos corchetes os idica que el extreo está icluido (itervalo cerrado) y los parétesis os idica que o está icluido (itervalo abierto) - Págia 7 -
3..- Operacioes co itervalos Uió de itervalos: Es el cojuto forado por todos los putos de abos itervalos. La uió de dos itervalos A y B se represeta por A U B y se lee A uió co B Ejeplo: Si A = [ 5, 1 ], B = [ 3, ) A U B = [ 5, ) Itersecció de itervalos: Es el cojuto forado por los putos coues a los itervalos. La itersecció de dos itervalos A y B se represeta por A B y se lee A itersecció co B Ejeplo: Si C = (, 1 ], D = (0, ) C D = ( 0, 1 ] Itervalos e fora de valor absoluto: Epeceos co u ejeplo: Cuáles so los úeros reales cuyo valor absoluto es eor que 5? Observaos que so todos los úeros copredidos etre 5 y 5: x 5 5x5 ( 5,5) E geeral, x a axa ( a,a) Veaos ahora: cuáles so los úeros reales cuyo valor absoluto es ayor que 5? Lógicaete, sería los que o está etre 5 y 5. Es decir, los ayores que 5 o eores que 5 x5 x 5 ó (, 5) (5, ). E geeral, x5 xa x a ó (, a) (a, ) xa - Págia 8 -
3.3.- Etoros de u puto Distacia etre dos úeros: La distacia etre dos úeros a y b, que se escribe d(a, b), se defie coo el valor absoluto de la diferecia de abos úeros: d(a, b) = a b Ejeplo: La distacia etre 5 y 4 es d( 5, 4) = 5 4 = 9 = 9 uidades ab d(a,b) ba Etoros: Sea u itervalo (a, b), su puto edio y r su radio Se llaa etoro de cetro y radio r y se represeta por E(, r) al itervalo ( r, + r) Ejeplo: E(1, ) = (1, 1 + ) = ( 1, 3) ACTIVIDADES 1 Dados los itervalos: A = { x R / x 5 } B = { x R / 3 x < 7 } C: (, 1 ] D = { x R / x > 0 } a) Represétalos e la recta uérica y exprésalos de todas las foras posibles b) Deteria A U B y C D Expresa e fora de uió de itervalos { x R / x > 4 } 3 4 Escribe e fora de etoro los siguietes itervalos: a) (,75 ; 7,5) b) ( 4, 9) 4.- OPERACIONES CON NÚMEROS 4.1.- Operacioes básicas NÚMEROS ENTEROS: Sua: Si tiee igual sigo se deja el sigo y se sua los valores absolutos. Por ejeplo, 3 + ( ) = (3 + ) = 5 Si tiee distito sigo se deja el sigo del úero co ayor valor absoluto y se resta los valores absolutos. Ejeplos: 6 + 5 = 1 4 + 6 = 3 + ( 9) = 6 Resta: Para restar dos úeros eteros se le sua al priero el opuesto del segudo. Ejeplos: 5 6 = 5 + ( 6) = 1 6 3 = 6 + ( 3) = 9 Para restar u úero egativo se puede usar las reglas de los sigos: Ejeplos: 3 ( 1) = 3 + 1 = 4 ( 7) = 4 + 7 = 3 9 ( 5) = 9 + 5 = 14 Suas y restas. Ejeplo: 3 (+5) + ( 6) ( 4) + ( ) = 3 5 6 + 4 Agrupado: (3 4) (5 6 ) 7 13 6 De izquierda a derecha: 3 Ε5Φ 5 6 4 Ε55Φ 6 4 Ε555Φ 8 4 4 6 - Págia 9 -
Producto: Se ultiplica por u lado los sigos y por otro los valores si sigo. Ejeplos: ( 7).( 8) = 56.( 9) = 18 Divisió: Se divide los sigos y después se divide los valores si sigo. Se puede usar las reglas de : : los sigos: Ejeplos: ( 4):( 6) = 4 7 :( 9) = 8 : : FRACCIONES: Sua y resta: a c a + c + = b b b a c a c = b b b Ejeplos: 7 4 74 11 5 5 5 5 7 5 7 5 1 4 3 3 3 3 - Si las fraccioes tiee distito deoiador, se reduce a coú deoiador y se aplica la regla aterior. 5 1 11 3 3 c(4,8,6,3) c(,,.3,3).34 4 8 6 3 Ejeplo: 30 3 44 16 5 4 4 4 4 4 Producto: a c a.c. = b d b.d 6 10 60 5 Ejeplo:. 4 9 36 3 Divisió: Ejeplo: 3 5 3.7 1 : 7.5 10 4..- Potecias Potecias de expoete atural: siespar, ( a) a. Ejeplo: ( 3) 4 = 3 4, a a b b Ejeplos: 3 3 8 5 3 5 15 a a...a veces siesipar, ( a) a. Ejeplo: ( ) 5 = 5 3 3 ( ) 8 5 3 5 15 Cualquier potecia se puede hallar co la calculadora cietífica CASIO. Por ejeplo, 15 se calcula así: 15. El resultado es 3 768 Propiedades de las potecias: a a a. Por ejeplo, 7 4 1 3 3.3 3 0 a 1 a a. Por ejeplo, 3 ab a b. Por ejeplo, 7 1 4 4 4 (.3) 3 a :a a a. Por ejeplo, a 1 a a. Por ejeplo, 7 0 = 1 ó 5 1 = 5 a b (ab) a b. Por ejeplo, a b 7 7 7 7 5 10. Por ejeplo, 0 9 9 6 10 9 - Págia 10 -
Potecias de expoete etero egativo: a 1 Por ejeplo, a 1 1 3 5 5 1 1 7 Iverso de 7 7 7 1. 1 E geeral, a iverso de a a 1 1 1 1 1 3 iverso de. 1 3 3 1 3 3 E geeral, 1 a b a iverso de b a b 1 3 3 5 5 5. 5 5 3 3 9 E geeral, a b b a 5 1 1 Trasforació de ua fracció e u producto. Fíjate: 5. 5..la regla es x Ejeplos: 3 xy 3 y 3a 5b 3ab 5 A AB B Jerarquía de operacioes co úeros: Para realizar operacioes cobiadas debeos teer e cueta que priero se calcula las potecias, luego las ultiplicacioes y divisioes (de izquierda a derecha) y al fial las suas y restas (tabié de izquierda a derecha). Las operacioes que hay detro de los parétesis o corchetes se hace e prier lugar. Si hay deciales coviee pasarlos priero a fracció irreducible Ejeplos: 1 7 0,50,333... 5 :0,16 1,36= 1 1 1 7 1 41 1 11 7 1 41 1 1 6 41 1 5 : : 4 35 3 4 35 6 30 34 35 6 30 1 5 30 4 3 13.( ) :( ) = 5 5 13. 1 :( ) 1 3 5 :( ) 1 3 5 8 3 5 14 7 8 8 4 8 8 8 8 8 8 4 ACTIVIDADES 1 Realiza las siguietes operacioes cobiadas dejado el resultado coo fracció irreducible: 3 1 4 a) :,3 4. 3 3 3 b) 3 1 1 3 4. 1,3: 1,5. 3 1 3 Usado propiedades de las potecias, reduce las siguietes expresioes: 7 5 3 3.(3 ) a) 3.(3 ) 1 3 b) x 3 y 3 4 10 x y y - Págia 11 -
Potecias de base 10: 10 10...0. Ejeplo: 10 8 = 100000000 ceros 4.3.- Notació cietífica 10 0,...01. Ejeplo: 10 7 = 0,0000001 ceros Producto de u úero por ua potecia de base 10: Se desplaza la coa tatos lugares coo idica el expoete (hacía delate si es positivo y hacía atrás si es egativo) Ejeplos: 3,5. 10 3 = 350 3,5. 10 3 = 0,0035 Notació cietífica: U úero está escrito e otació cietífica si es de la fora A. 10, siedo A u úero co ua cifra etera o ula, llaado coeficiete y el expoete u úero etero, llaado orde de agitud. Ejeplos:,5. 10 7 y 1,75. 10 6. Cualquier úero se puede expresar e otació cietífica. Ejeplos: 11 cifras 378 500 000 000 3,785.10 11 Orde de agitud: 11 Notació cietífica 1 ceros 0,000 000 000 00706 7,06.10 1 Orde de agitud: 1 Notació cietífica Dados dos úeros, es ayor el que tega ayor orde de agitud Ejeplos: 3,5. 10 15 > 8,7. 10 1, 1,35. 10 6 > 4. 10 7. Si tiee el iso orde de agitud, es ayor el que tega ayor coeficiete Ejeplos: 3,75.10 7 >,5.10 7, 9,45.10 4 > 7,.10 4. Las expresioes de u úero por ua potecia de 10 se puede itroducir e la calculadora cietífica CASIO usado la tecla EXP. Por ejeplo, la fora de itroducir,756.10 1 es:.756 EXP ( ) 1. Aparecerá e la patalla Operacioes: x10 1.756 que sigifica,756. 10 1. A.10 ± B.10 = (A ± B).10 Ejeplo:,5.10 4. 10 4 + 0,5. 10 4 = (,5 + 0,5). 10 4 = 0,75. 10 4 Si o aparece la isa potecia de 10, los trasforaos y luego usaos la regla aterior Ejeplo: 4 5 7 4 5 7 0,87.10 0,00000004.10 5,3. 10 0,87. 10 0,00000004. 10 5,3. 10 7 7.10. 10 7 7.10. 10 4 7 5 7 7 7 7 (0,87.10.10 0,00000004.10.10 5,3).10 (87040005,3).10 4817,7.10 (A.10 ).(B.10 ) = (A.B).10 + Ejeplo: (3,5.10 7 ) (8,5.10 4 ) = (3,5. 8,5). 10 7 + 4 = 76,5.10 3 A.10 =A : B.10 Ejeplo: B. 10 0,5.10 0,5 10 0,15.10 0,15 10 6 6 6 ( ) 4. (0,5: 0,15).10 4.10 (A.10 ) A.10 Ejeplo: 3 3 6 (0,5.10 ) 0,5.(10 ) 16.10 - Págia 1 -
ACTIVIDADES 4 Realiza las siguietes operacioes: - -3-1 30000.(5.10 30, 5. 10 0,. 10 ) -7-6 (4.10 ):(5.10 ) 5 6 U gusao pesa aproxiadaete 0,00 kg y la ballea azul uos 137000 kg. a) Expresa cada catidad e otació cietífica e idica su orde de agitud b) Calcula cuátos gusaos so ecesarios para igualar el peso de la ballea usado la otació cietífica y clasifica el úero obteido 7 E uestro sistea solar recieteete se ha descubierto u sistea de plaetas seejate al uestro, a ua distacia de 39 años-luz (1 año-luz = 9,46.10 1 k), y la couidad cietífica se preguta si sería viable platearse u viaje a este sistea de plaetas co ua ave tripulada que pueda alcazar los 30 000 k/h. Cuáto tiepo se tardaría? 4.4.- Radicales Cocepto de radical. Eleetos: 5 40es el úero que elevado a la quita da 400 y se llaa radical (5 es el ídice y 40 es el radicado). E geeral, a co es el úero que elevado a da a y se llaa radical o raíz de ídice y radicado a. El ídice,, es u úero atural ayor que 1. Si el ídice es, se llaa raíz cuadrada y se expresa de fora siplificada así: a Los radicales se puede hallar co la calculadora cietífica (CASIO). El proceso es: ídice SHIFT radicado Ejeplo: 3 100 3 SHIFT 100 Nos da 4.641588834.., que es u úero irracioal. Núero de solucioes de u radical: Depediedo del ídice (si es par o ipar) y del radicado (si es positivo o egativo), u radical puede teer, 1 o igua solució: Ídice par Ídice ipar solucioes opuestas. 1 solució positiva. Radicado positivo 4 Por ejeplo, 81 3 Por ejeplo, 3 15 5 Nigua solució. 1 solució egativa. Radicado egativo Por ejeplo, 4 Por ejeplo, 3 8 - Págia 13 -
Relació etre las potecias y radicales: a a Ejeplos: 5 5 3 3 7 7 x x a a Ejeplo: 5 5 3 3 1 a a a a a a Ejeplos: 6 6 85 85 Más ejeplos: 3 18 18 3 6 64 5 40 40 5 8 x x x Siplificació de radicales: :d :d 1 8 1: 4 8: 4 3 3 a a Ejeplo: 5 5 5 5 Reducció de radicales a coú ídice: Se toa coo ídice coú el c de los ídices. El coú ídice se divide etre cada ídice y el resultado se ultiplica por el expoete del radicado. Ejeplo: 6 3 y 8 7 5 ; c(6, 8) = 4 4 4 3 y Coparació de radicales: Si tiee el iso ídice, es ayor el que tega ayor radicado. Por ejeplo, 5 37 5 35. Cuado o tega el iso ídice, se reduce a coú ídice y se aplica la regla aterior. Producto y divisió de radicales: a b ab a b a b 4 1 5. Ejeplos: 3 35 3.5 3 7 7 10 3 3 Cuado o tega el iso ídice, se reduce a coú ídice y se aplica las reglas ateriores. Potecia de u radical: 3 A A. Por ejeplo, 5 5 3. E particular, A A A Raíz de u radical: A 3 6 A. Por ejeplo, 5 5 - Págia 14 -
Raíz de u producto y de u cociete: AB A B A A. B B Ejeplos: 3.5 = 3. 3 5 7 3 = 7 3 Itroducció de factores e la raíz: A B A B A B A B A B 3 3 3 3 Ejeplo: 5 5 40 Extracció de factores de la raíz: 3 3 3 3 A B A B Ejeplo: 40 5 5 Otro ejeplo: Sua y resta de radicales: M AN A (M N) A Por ejeplo, 3 3 3 3 3 5 7 7 7 (51) 7 6 7 Más ejeplos: - Págia 15 -
ACTIVIDADES 8 9 10 Racioalizació de fraccioes radicales: Cosiste e trasforar ua fracció co algua raíz e el deoiador e otra fracció equivalete pero que NO tega igua raíz e el deoiador. Esto se cosigue ultiplicado los dos térios de la fracció por la expresió adecuada. Ejeplos: 5a Multiplico por b 5a b 5a b 5a b. 3 b 3 b b 3 b 3b 7 6 7 6 7 6 7 Multiplico por. 7 7 7 6 64 5 5 5. 5 5 3 5 3 5 3 5 3 Multiplico por y x y x y x y x. 5 5 5 3 5 5 3 y 3 y y 3 y - Págia 16-3y
4 3 4 3 4 3 4 3 Multiplico por 3 1 1 3 3 3. 3 3 3 3 3 4 7 4 7 4 3 4 4 7 Multiplico por 3 (expresió cojugada) 7 3 7(3 ) 7(3 ). 3 3 3 3 3 ( ) 7 5 Multiplico por 3 3 (expresió cojugada) 5 3 3 5(3 3 ) 6 15 10. 3 3 3 3 3 3 (3 3) ( ) 5 Más ejeplos: 11 ACTIVIDADES 1 5.- APROXIMACIONES DECIMALES Cocepto de aproxiació: Ua aproxiació de u úero es otro úero que está relativaete próxio a él. Ua aproxiació es por defecto si el úero aproxiado es eor que el valor - Págia 17 -
exacto. Si el úero aproxiado es ayor que el valor exacto direos que es la aproxiació es por exceso. Por ejeplo, e el úero π = 3,1415.., las aproxiacioes por defecto y por exceso so a las uidades a las décias a las cetésias a las ilésias etc por defecto 3 3,1 3,14 3,141 por exceso 4 3, 3,15 3,14 Aproxiació por redodeo a ua deteriada cifra: Ejeplos: redodeo a las uidades 36,5 36,5 37,0037 5 redodeo a las ilésias 7,834 7,83 4 7,830 7,83 5 redodeo a las ceteas 3164 31 64300 Para redodear co la calculadora cietífica, puedes usar la fució Fix. Pulsa MODE varias veces hasta que aparezca Fix, seleccioa esta fució pulsado 1. Luego seleccioa del 0 al 9 segú el úero de cifras deciales a las que quieras redodear, por ejeplo, si quereos todos los resultados redodeados co cifras deciales tecleareos. Aproxiació por trucaieto a ua deteriada cifra: Cosiste e sustituir por ceros las cifras a partir de ua dada. trucar a las cetésias trucar alasuidadesdeil Ejeplos: 3,76343,7000 3,7 543 000 Error absoluto e ua aproxiació: Es la diferecia (toada e valor absoluto) etre el valor exacto E = V V o real (V R ) y el valor aproxiado (V A ): A R A El error absoluto se expresa e las isas uidades que el valor exacto. Si el error absoluto es uy pequeño sigifica que la aproxiació es uy buea Por ejeplo, si el valor exacto de u úero es,3 y se toa coo aproxiació el error absoluto es E A = V R V A =,3 = 0,3. Si ebargo, si se toa coo aproxiació,5 el error absoluto es E A =,3,5 = 0, = 0,. Observa que la ª aproxiació es ejor que la 1ª porque da eor error absoluto Error relativo e ua aproxiació: E E = R V R El error relativo o lleva uidades y se suele expresar e fora de porcetaje (llaado etoces error porcetual ). Para ello se ultiplica el valor obteido por 100. El error relativo se usa para coparar aproxiacioes que tiee el iso error absoluto y poder saber qué aproxiació es la ejor o ás precisa. Siepre es ás precisa la aproxiació que os dé eor error relativo. Ejeplo: La fachada de la casa de Rosa ide exactaete 10 pero Rosa al edirla obtiee 10,5 La altura de ua torre es exactaete 100 pero Jua al edirla obtiee 99,5. El error relativo que ha coetido cada persoa es: - Págia 18-5
E 1010,5 0,5 E 10099,5 0,5 Rosa: ER 0,055% Jua: ER 0,0050,5% VR 10 10 VR 100 100 Hasidoás precisojua porquesuedidadaeor E R Precisió de ua edida y cota de error absoluto Si heos realizado ua edida obteiedo coo valor aproxiado V A y sabeos que la precisió de la edida es p etoces el valor real V R está etre V A p y V A + p, V A p < V R < V A + p Luego el error absoluto E A es eor que p. Es decir, la precisió de la edida siepre es ua cota del error absoluto Si o cooceos el valor real del úero por ejeplo, porque tega ifiitos deciales, e vez de toar el error absoluto se suele toar ua cota de error absoluto que es el ayor error que se puede coeter cuado se aproxia el úero a u cierto orde k Ua cota de error absoluto siepre es c = 0,5.10 k. El valor de k depede de la últia cifra o ula que se deja al aproxiar: Si es la de las uidades, k = 0 ; para las deceas, k = 1; ceteas, k =, etc. Si es la de las décias, k = 1 ; cetésias, k =, etc. Por ejeplo, al edir el acho del cuadero co ua regla graduada se observa que es ayor que 1,3 c y eor que 1,4 c. Podeos decir que el acho está copredido etre 1,3 y 1,4 por lo que se habrá coetido u error absoluto eor que 0,1. Ua cota de E A es 0,1, pues E A < 0,1 1 ACTIVIDADES He edido el largo de ua esa obteiedo 5 c cuado e realidad ide 50 c. Luego he edido el largo del aula obteiedo 498 c cuado e realidad ide 500 c. a) Halla el porcetaje de error relativo que se ha coetido e cada edida b) A la vista de los resultados obteidos, explica qué edida es la ás precisa 3 Alicia es cotroladora aérea y trabaja e la torre de cotrol de u aeropuerto. Hoy está cotrolado el vuelo de u avió cuya velocidad es 40 5 k/h, auque se decide aproxiar esta catidad por redodeo a las deceas, coetiedo u error relativo. Calcula el porcetaje de error relativo co ua precisió de cetésias. 4 5 - Págia 19 -
6.- LOGARITMOS 6.1.- Cocepto y cálculo de logaritos Cocepto de logarito: La solució de la ecuació x = 6 es el úero al que hay que elevar el para obteer el 6. Se llaa el logarito e base de 6 y se escribe así: log 6. E geeral, si a > 0, a 1, la solució de la ecuació a x = N es el úero al que hay que elevar la base a para obteer N. Dicho úero se llaa logarito e base a de N y se escribe así: log a N Usado la defiició podeos ver que se cuple la regla: log a N = x a x = N Si la base es 10, etoces log 10 N se escribe sipleete coo log N y se llaa logarito decial de N o de Briggs. Las tablas que tradicioalete se ha usado para calcular logaritos, so tablas de logaritos deciales. Si la base es el úero e, etoces log e N se escribe sipleete coo l N ó L y se llaa logarito eperiao o logarito atural de N. El úero e =,7188188. es u úero irracioal y tiee gra iportacia e las Mateáticas. Ejeplo: Cálculo de logaritos co la calculadora: La calculadora cietífica CASIO os perite calcular tato logaritos deciales coo eperiaos usado las teclas log y l, respectivaete. log 3 log 3. Nos da 0,4771154 Ejeplos: l 0 l 0. Nos da,9957374 Está deostrado que todos los logaritos que o de u resultado exacto (úero etero o decial exacto o periódico) so úeros irracioales. 1 ACTIVIDADES - Págia 0 -
M1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS I UNIDAD 1.- NÚMEROS REALES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 6..- Propiedades de los logaritos 1) log a a = 1 Ejeplo: log 5 5 = 1 ) log a 1 = 0 Ejeplo: log 3 1 = 0 3) log a N, si N 0 Ejeplos: log ( 4) log 6 0 4) log a (MN) = log a (M) + log a (N) Ejeplo: log 7 (3.1) = log 7 3 + log 7 1 M 5) loga logam logan N Ejeplo: 5 log log(5) log() Ejeplos: 6) log a (M N ) = N log a (M) Ejeplo: l (5 3 ) = 3. l 5 7) log a a N = N logam a M Ejeplos: log 4 4 9 = 9 log37 3 7 a 8) log M loga Ejeplo: 3 log 10 (10) 3 log= Fórula de cabio de base: Es ua fórula que os perite calcular logaritos trasforádolos a otra base. La fórula es E particular, si b = 10: log N b logan log b A logn ln, si b = e (úero e): logan la logan loga Cualquiera de estas dos últias fórulas os perite hallar el logarito e base a de u úero usado la calculadora cietífica. log7 Por ejeplo, aplicado la priera fórula: log7,8073549... log l7 Si aplicaos la seguda fórula obteeos el iso resultado: log7,8073549... l - Págia 1 -
ACTIVIDADES 3 4 5 6 7 Iterés copuesto aual: Supogaos que colocaos u capital C e u Baco al r% de fora que los itereses que se produce cada año se acuula al capital para producir uevos itereses e el siguiete año. Si llaaos i r (o tato por uo), el diero que obteiedo después de t años es: 100 C C(1 i) f Ejeplo: Cuátos años estuvo ipuesto u capital de 0000 e u Baco si colocado al 0,5% de iterés copuesto aual produjo uos itereses de 1553,65? El capital fial es C f = 0000 + 1553,65 = 1553,65 t Cf t Cf t Cf C(1i) (1i) log log(1i) tlog(1i) C C Cf 1553,65 1553,65 log log log C Sustituyedo Luego, t 0000 0000 15 años log(1i) log(10,005) log(1,005) t ACTIVIDAD 8 Se ivierte 4 500 al,15% de iterés copuesto aual. Cuáto tiepo debe pasar para teer 5 000? - Págia -