EL Estimación y Detección

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "EL7002 - Estimación y Detección"

Transcripción

1 EL Estimación y Detección Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado Patricio Parada Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 1/41

2 Contenidos de la Clase I Introducción Definición Construcción del Estimador Caso Vectorial Propiedades de MELI Aplicaciones Voltaje DC en Ruido Blanco Localización de Fuente Resumen y Lecturas P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 2/41

3 Introducción Es bastante habitual que la construcción de un estimador insesgado de varianza mínima sea una labor difícil o a veces imposible. Situaciones donde esto se puede dar son: la distribución de probabilidad no es conocida y no estamos dispuestos a realizar una suposición respecto de un modelo para él. aunque conozcamos la distribución de probabilidad, métodos como la aplicación del teorema de RBLS no garantizan que el estimador sea de varianza mínima (excepto que el estadístico suficiente sea completo). P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 3/41

4 Criterios Subóptimos En muchas ocasiones resulta conveniente relajar algún aspecto del problema, como por ejemplo la clase a la que pertenece el estimador. Esta consención tiene costos que no siempre pueden ser determinados en forma previa (si no conocemos la varianza del mejor estimador, cómo podemos evaluar cuál es el precio de nuestra decisión?) Sin embargo, si podemos estimar la varianza de este estimador subóptimo y ella se encuentra dentro de un rango aceptable, puede resultar en una buena solución de compromiso. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 4/41

5 Estimadores Lineales Uno de estos criterios subóptimos corresponde a restringir la clase de estimadores posibles a que sea lineal respecto de los datos, y dentro de ellos se selecciona a uno que sea insesgado y de la menor varianza posible. Esta criterio da origen al diseño del mejor estimador lineal insesgado (MELI), el cual sólo requiere de conocer el primer y segundo momento de la distribución para poder ser construido. Este es el tema de la clase de hoy. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 5/41

6 Qué es MELI? (1) Consideremos el conjunto de observaciones{x[0], x[1],..., x[n 1]} cuya densidad de probabilidad conjunta p(x; θ) depende del parámetro desconocido θ. El criterio de Mejor Estimador Lineal Insesgado (MELI) establece que el estimador ˆθ es lineal en los datos, es decir, N 1 ˆθ = a n x[n]. (1) donde las constantes a n deben ser determinadas. El criterio puede ser ampliado para considerar estimadores afines, es decir, donde N 1 ˆθ = a n x[n]+b n=0 n=0 P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 6/41

7 Qué es MELI? (2) Notemos que podemos expresar de manera compacta el estimador si definimos a = [a 0, a 1,..., a N 1 ] T, lo que nos lleva a la expresión: ˆθ = a T x o bien ˆθ = a T x+b en el caso que permitamos que el estimador sea afín. La selección de a definirá una infinidad de posibles estimadores, pero en nuestro caso nos vamos a concentrar en aquellos que dentro de la clase de estimadores lineales sean insesgados y minimicen la varianza del estimador. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 7/41

8 Cómo determinar el MELI? (1) Son dos las condiciones que debe cumplir a para que pueda ser considerado como una solución admisible en el problema de encontrar el mejor estimador lineal insesgado. En primer lugar, debe ser insesgado: E[ˆθ] = E[a T x] = a T E[x] = θ. (2) En segundo lugar, la varianza de ˆθ debe ser la menor posible dentro de los estimadores de esta estructura: var(ˆθ) = E [ (ˆθ E[ˆθ]) 2] = E [ a T (x E[x])(x E[x]) T a ] = a T Ca (3) P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 8/41

9 Cómo determinar el MELI? (2) donde C = E [ (x E[x])(x E[x]) T] Para que el problema tenga solución, se debe cumplir que E[x] = sθ donde s es un vector de señales conocidas. El valor de s se determina a partir del modelo que relaciona las observaciones con los parámetros, por lo que en general puede ser conocido. Luego, la condición (2) se logra cuando a T s = 1 P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 9/41

10 Cómo determinar el MELI? (3) Finalmente, el problema de optimización que se debe resolver es minimizar a R N sujeto a : a T s = 1 a T Ca (4) La solución del problema es directa de aplicar técnicas de optimización con Lagrangiano: L(a,λ) = a T Ca λ(a T s 1) a L = 2Ca λs = 0 a = λ 2 C 1 s. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 10/41

11 Cómo determinar el MELI? (4) Por otro lado, la ecuación: L λ = at s 1 = 0 1 = λ 2 st C 1 s Finalmente: Por lo tanto, el MELI es a opt = C 1 s s T C 1 s ˆθ = st C 1 x s T C 1 s (5) (6) P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 11/41

12 Cómo determinar el MELI? (5) y su varianza es var(ˆθ) = 1 s T C 1 s. (7) Por lo tanto, para poder diseñar el MELI lo único que necesitamos saber son dos cosas: 1. El valor esperado de x, pues x = sθ 2. La covarianza de x, pues C = E [ (x E[x])(x E[x]) T]. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 12/41

13 Extensión al Caso Vectorial (1) Consideremos la extensión natural al caso en que queremos estimar un conjunto de p parámetrosθ = [θ 1,θ 2,...,θ p ] T. En este caso, el estimador lineal en los datos tiene la forma ˆθ = Ax (8) donde(a) in = a jn corresponde al peso que la observación x[n] tiene en el estimador ˆθ i. Nuevamente, la condición que establece que el estimador es insesgado es E[ˆθ] = AE[x] = θ. (9) P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 13/41

14 Extensión al Caso Vectorial (2) Al igual que en el caso escalar, asumimos conocido el valor esperado de x, y le damos la forma E[x] = Sθ donde S es una matriz de señales conocidas. Notemos que en este caso, la condición de que establece que el estimador es insesgado se traduce en Definamos AS = I. (10) A = a T 1 a T 2... a T P P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 14/41

15 Extensión al Caso Vectorial (3) y s i es la i-ésima columna de la matriz S. Luego, la condición (10) puede ser escrita como: a T i s j = δ ij (11) con i = 1, 2,..., p; j = 1, 2,..., p. Notemos que con esta descomposición por columnas tenemos que la varianza del estimador ˆθ i toma la forma var(ˆθ i ) = a T i Ca i P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 15/41

16 Extensión al Caso Vectorial (4) Para determinar el estimador que minimiza la varianza de cada ˆθ i definiremos el problema El Lagrangiano de este problema es: minimizar a i sujeto a a i s j = δ ij, j = 1, 2,..., p p L i = a T i Ca i λ (i) j (a T i s j δ ij ) j=1 a T i Ca i P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 16/41

17 Extensión al Caso Vectorial (5) Encontraremos los puntos candidatos a óptimo igualando el gradiente del i a cero. ai L i = Ca i λ (i) j s j p j=1 ai L i = 2Ca i λ (i) j s j Definiendoλ i = [λ (i) 1,λ(i) 2,...,λ(i) p ], podemos plantear una ecuación vectorial p i=1 ai L i = 2Ca i + Sλ i (12) P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 17/41

18 Extensión al Caso Vectorial (6) Haciendo el gradiente igual a 0 tenemos: a i = 1 2 C 1 Sλ i (13) Para calcular los multiplicadores de lagrange λ i aplicamos la ecuación: a i s j = δ ij, j = 1, 2,..., p Esto nos permite escribir: S T a j = e i (14) donde e i es el i-ésimo elemento de la base canónica der p. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 18/41

19 Extensión al Caso Vectorial (7) Luego, reemplazando (13) en (14) obtenemos: 1 2 ST C 1 Sλ i = e i Si asumimos que S T C 1 S es invertible entonces Si este resultado lo aplicamos en (13) obtenemos que y la varianza de ˆθ i es 1 2 λ i = (S T C 1 S) 1 e i (15) a i = C 1 S(S T C 1 S) 1 e i (16) var(ˆθ i ) = e T i (ST C 1 S) 1 e i P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 19/41

20 Extensión al Caso Vectorial (8) Con un poco más de trabajo podemos ver que el estimador lineal que minimiza la varianza es ˆθ i = a T i x = e T i (ST C 1 S) 1 S T x donde hemos aplicado el hecho que C T = C. Agrupando en el vector ˆθ tenemos la siguiente relación: e T 1 e ˆθ T = 2. e T p (S T C 1 S) 1 S T x P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 20/41

21 Extensión al Caso Vectorial (9) Finalmente, y su covarianza es ˆθ = (S T C 1 S) 1 S T x (17) Cˆθ = (S T C 1 S) 1 (18) Notemos que el estimador MELI tiene exactamente la misma forma que el estimador insesgado de varianza mínima en el caso que exista una relación lineal entre los parámetros y las observaciones. Este resultado es presentado en el teorema de Gauss-Markov. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 21/41

22 Teorema de Gauss-Markov Si la relación entre un conjunto de observaciones y sus parámetros se puede llevar a un modelo lineal de la forma x = Sθ+w donde S es una matriz conocida de dimensión n p,θ es un vector de p 1 parámetros a ser estimados, y w es un vector de media cero y covarianza C, entonces mejor estimador lineal insesgado deθ es: ˆθ = (S T C 1 S) 1 S T C 1 x y la menor varianza de ˆθ i es var(ˆθ i ) = [ (S T C 1 S) 1] ii. Además, la matriz de covarianza de ˆθ es Cˆθ = (S T C 1 S) 1 P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 22/41

23 Propiedades de MELI (1) Propiedad. Estimador Afín Consideremos el caso en El MELI es ˆθ = a T x+b. ˆθ = st C 1 (x b1) s T C 1 s P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 23/41

24 Propiedades de MELI (2) Propiedad. Descomposición en Vectores Propios de C Consideremos el caso en la señal s es proyectada en la base originada por los vectores propios de la matriz C. Ello puede hacerse siempre porque la matriz C es simétrica. Sea esta descomposición: N 1 s = α i v i. i=0 P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 24/41

25 Propiedades de MELI (3) La varianza del MELI es var(ˆθ) = 1 N 1 n=0 dondeλ i es el valor propio de C asociado al vector propio v i. α 2 i λ i P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 25/41

26 Voltaje DC en Ruido Blanco (1) Consideremos una generalización del problema de estimación de un voltaje DC usando medidas ruidosas. En este caso, vamos a relajar nuestra hipótesis sobre el tipo de ruido que afecta la medición, pues sólo vamos a exigir que sea blanco. El modelo es x[n] = A+w[n], n = 0, 1,..., N 1 El proceso de ruido tiene valor medio cero y función de autocorrelación R w [k] = σ 2 δ[k], dondeδ[k] es la función delta Kronecker. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 26/41

27 Voltaje DC en Ruido Blanco (2) El mejor estimador lineal insesgado de A es  = st C 1 x s T C 1 s De acuerdo al modelo (26)E[x[n]] = A, lo que implica que s[n] = 1 para todo n = 0, 1,..., N 1. (19) Por lo tanto, s = 1, el vector con 1 s en cada posición. Luego,  = 1T I/σ 2 x s T I/σ 2 s = 1 N 1 x[n] N y var(â) = 1 1 T I/σ 2 1 = σ2 N n=0 P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 27/41

28 Voltaje DC en Ruido Blanco (3) x[n] n Figura: Simulación del modelo x[n] = 2+w[n], con N = 100 observaciones yσ = 1. En la simulación  = 1,85 y var(â) = 0,01. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 28/41

29 Voltaje DC en Ruido Blanco (4) Consideremos la extensión del problema a var(w[n]) = σ 2 n. En este caso tendremos que  = 1T C 1 x 1 T C 1 1 = N 1 n=0 N 1 x[n] σ 2 n 1 (20) y la varianza del estimador es n=0 σ 2 n var(â) = 1 N 1 1 σ 2 n=0 (21) P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 29/41

30 Voltaje DC en Ruido Blanco (5) x[n] n Figura: Simulación del modelo x[n] = 2+w[n], con N = 100 observaciones y σ[n] = 1+Unif(0, 1)/2. En la simulación  = 2,091 y var(â) = 0,008. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 30/41

31 Localización de Fuente (1) Consideremos el problema de identificar la posición de la fuente de una señal (por ejemplo un faro,una baliza, un cuerpo celeste, etc.) Para realizar esta labor empleamos un arreglo de varias antenas distribuidas en una cierta región geográfica. Un método empleado para realizar la estimación pedida es mediante la medición de las diferencias de tiempo que ocurren entre las mediciones realizas por cada una de las antenas del arreglo. En lo que sigue asumiremos que vamos a utilizar un arreglo de N antenas cuyas posiciones son conocidas, y que contamos con mediciones de tiempos de recepción de la señal en cada antena, las que denotaremos por t i, con i = 0, 1,..., N 1. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 31/41

32 Localización de Fuente (2) El problema que vamos a resolver es estimar la posición de la fuente(x s, y s ) mediante el modelo: t i = T 0 + R i c +ǫ i, i = 0, 1,..., N 1 (22) donde T 0 es el tiempo en el cual se realizó la transmisión de la fuente, c es la velocidad de propagación de la señal en el medio, y ǫ i representa el ruido en la medición de la i-ésima antena. y FUENTE (x s, y s) POSICION NOMINAL (x n, y n) δ y s δx s R ni R i antena 0 α i antena i (x 0, y 0 ) antena 1 (x i, y i ) antena N 1 (x 1, y 1 ) (x N 1, y N 1 ) x P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 32/41

33 Localización de Fuente (2) El ruido de las muestras vamos a asumir que tiene media cero y varianza σ 2, no correlacionada entre ellas. Los parámetros de este problema sonθ = [x s y s ] T y se relacionan con la distancia a la antena i, R i mediante la ecuación: R i = (x s x i ) 2 +(y s y i ) 2 Al sustituir en el modelo obtenemos la ecuación que relaciona las observaciones con los parámetros que deseamos estimar: t i = T 0 + (xs x i ) 2 +(y s y i ) 2 c +ǫ i, i = 0, 1,..., N 1 (23) P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 33/41

34 Localización de Fuente (3) Podemos aplicar el teorema de Gauss-Markov, para lo que vamos a asumir que tenemos acceso a una posición nominal (x n, y n ) que es cercana a la posición real de la fuente, y que puede haber sido obtenida utilizando mediciones anteriores. Por lo tanto, si queremos estimar la nueva posición de la fuente, basta con calcular θ = [(x s x n ) (y s y n )] T = [δx s δy s ] T La distancia nominales (obtenida a partir de la posición nominal) R ni se relacionará con la distancia real R i mediante la aproximación de Taylor de primer orden R i R ni + x n x i δx s + y n y i δy s (24) R ni R ni P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 34/41

35 Localización de Fuente (4) El modelo linealizado es t i = T 0 + R n i c + x n x i R ni c δx s + y n y i R ni c δy s +ǫ i (25) Definiendo el ángulo entre R ni y el eje x como α i entonces el modelo es Finalmente, definiendo obtenemos t i = T 0 + R n i c + cosα i c τ i = T 0 + cosα i c τ i = t i R n i c δx s + sinα i δy s +ǫ c i (26) (27) δx s + sinα i δy s +ǫ i (28) c P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 35/41

36 Localización de Fuente (5) donde los parámetros desconocidos son T 0,δx s,δy s. Dado que T 0 es un parámetro que podemos eliminar del problema (nos interesa sólo la posición), entonces podemos definir las diferencias entre las mediciones de una antena y la inmediatamente adyacente, de la forma: ξ 1 = τ 1 τ 0 ξ 2 = τ 2 τ 1. ξ N 1 = τ N 1 τ N 2 lo que nos permite escribir ξ i = 1 c (cosα i cosα i 1 )δx s + 1 c (sinα i sinα i 1 )δy s +ǫ i ǫ i 1. (29) P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 36/41

37 Localización de Fuente (6) Notar que podemos definir una nueva secuencia de perturbaciones w i = ǫ i ǫ i 1, i = 1,..., N 1. (30) que vectorialmente puede ser escrito como ǫ ǫ 1 w = ǫ N 1 } {{ }} {{ } D ǫ donde D es una matriz de N 1 N. (31) Por hipótesis el vector de ruidos es no correlacionado, lo que implica que E[ǫǫ T ] = σ 2 I. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 37/41

38 Localización de Fuente (7) Sin embargo, el proceso w tiene correlación dado que está definido en términos de un proceso incremental de covarianza: E[ww T ] = E[Dǫǫ T D T ] = σ 2 DD T. (32) El resto de las ecuaciones que describen el modelo de observación son las siguientes: θ = [δx s S = 1 c δy s ] T cosα 1 cosα 0 sinα 1 sinα 0 cosα 2 cosα 1 sinα 2 sinα 1.. cosα N 1 cosα N 2 sinα N 1 sinα N 2 P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 38/41

39 Localización de Fuente (8) El mejor estimador lineal insesgado para la posición de la fuente es ˆθ = [ ˆδxs ˆδy s y la matriz de covarianza es ] = (S T (DD T ) 1 S) 1 S T (DD T ) 1 ξ (33) Cˆθ = σ 2 [S T (DD T ) 1 S] 1 (34) P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 39/41

40 Ideas para madurar En esta clase hemos visto cómo derivar un estimador lineal en las observaciones que minimiza la varianza del estimador (dentro de esta clase de estimadores). Recibe del nombre de MELI. El teorema de Gauss-Markov nos permite conectar la solución que conocíamos para sistemas lineales en los parámetros, con la solución MELI. Este nuevo estimador requiere sólo que conozcamos el valor esperado de las observaciones x y de su matriz de covarianza. No es necesario conocer la función de verosimilitud. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 40/41

41 Lecturas Steven M. Kay. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Volume 1 - Estimation Theory, Capítulo 6. Jerry M. Mendel. Lessons in Estimation Theory for Signal Processing, Communications, and Control, Lesson 9. P. Parada, DIE-UCh EL7002, Clase No. 9: Mejor Estimador Lineal Insesgado 41/41

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles

8. Estimación puntual

8. Estimación puntual 8. Estimación puntual Estadística Ingeniería Informática Curso 2009-2010 Estadística (Aurora Torrente) 8. Estimación puntual Curso 2009-2010 1 / 30 Contenidos 1 Introducción 2 Construcción de estimadores

Más detalles

METODOS ESTADISTICOS.

METODOS ESTADISTICOS. AREA DE ESTADISTICA E INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMA: METODOS ESTADISTICOS. PROYECTO: SERVICIO DE CONSULTORIA ESTADISTICA. SERVICIO DE CONSULTORIA ESTADISTICA. Diseño con propósitos de un posterior

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Análisis de procesos estocásticos en el dominio del tiempo

Análisis de procesos estocásticos en el dominio del tiempo Análisis de procesos estocásticos en el dominio del tiempo F. Javier Cara ETSII-UPM Curso 2012-2013 1 Contenido Introducción Procesos estocásticos Variables aleatorias Una variable aleatoria Dos variables

Más detalles

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre

Más detalles

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =

Más detalles

Conceptos Fundamentales. Curso de Estadística TAE, 2005 J.J. Gómez-Cadenas

Conceptos Fundamentales. Curso de Estadística TAE, 2005 J.J. Gómez-Cadenas Conceptos Fundamentales Curso de Estadística TAE, 2005 J.J. Gómez-Cadenas Análisis de datos en física de partículas Experimento en física de partículas: Observación de n sucesos de un cierto tipo (colisiones

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Matrices invertibles. La inversa de una matriz

Matrices invertibles. La inversa de una matriz Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad

Más detalles

Capítulo 7: Distribuciones muestrales

Capítulo 7: Distribuciones muestrales Capítulo 7: Distribuciones muestrales Recordemos: Parámetro es una medida de resumen numérica que se calcularía usando todas las unidades de la población. Es un número fijo. Generalmente no lo conocemos.

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra ADVERTENCIA: manuscrito en estado de preparación muy preliminar, particularmente en lo que respecta a la secuencia temática, orden y terminación

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos

Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos Departamento de Investigación Operativa Instituto de Computación, Facultad de Ingeniería Universidad de la República, Montevideo, Uruguay

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo ESTIMACIÓN puntual y por intervalo ( ) Podemos conocer el comportamiento del ser humano? Podemos usar la información contenida en la muestra para tratar de adivinar algún aspecto de la población bajo estudio

Más detalles

1. Cambios de base en R n.

1. Cambios de base en R n. er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II:

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II: MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II: FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES ÓPTIMOS DE UNA FUNCIÓN ESCALAR MATERIAL DIDÁCTICO DE SOPORTE González-Vila Puchades, Laura Ortí Celma, Francesc J. Sáez Madrid, José B. Departament

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS

MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Tema 1.- MATRICES MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 1 Un poco de historia Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría

Más detalles

Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α.

Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α. Engrape aqu ı No doble Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α. Operaciones con matrices. Sistemas de ecuaciones lineales. Nombre: Calificación ( %): examen escrito tarea 1 tarea 2 asist.+

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística Felipe José Bravo Márquez 11 de noviembre de 2013 Para realizar conclusiones sobre una población, generalmente no es factible reunir todos los datos de ésta. Debemos realizar conclusiones razonables respecto

Más detalles

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES M. C. Roberto Rosales Flores INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TLAXCO Ingeniería en Logística M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

Más detalles

Fundamentos para la Representación y Análisis de Señales Mediante Series de Fourier

Fundamentos para la Representación y Análisis de Señales Mediante Series de Fourier Fundamentos para la Representación y Análisis de Señales Mediante Series de Fourier Andrés Felipe López Lopera* Resumen. Existe una gran similitud entre vectores y las señales. Propiedades tales como la

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V.

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL x x x1 n θ y y ȳ1 n 1 n x1 n ȳ1 n Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. 2003 Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo

Más detalles

Tema 2: Estimación puntual

Tema 2: Estimación puntual Tema 2: Estimación puntual 1 (basado en el material de A. Jach (http://www.est.uc3m.es/ajach/) y A. Alonso (http://www.est.uc3m.es/amalonso/)) Planteamiento del problema: estimador y estimación Insesgadez

Más detalles

Curso de Procesamiento Digital de Imágenes

Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Impartido por: Elena Martínez Departamento de Ciencias de la Computación IIMAS, UNAM, cubículo 408 http://turing.iimas.unam.mx/~elena/teaching/pdi-lic.html elena.martinez@iimas.unam.mx

Más detalles

REGRESIONES QUE APARENTEMENTE NO ESTAN RELACIONADAS (SUR)

REGRESIONES QUE APARENTEMENTE NO ESTAN RELACIONADAS (SUR) BANCO CENTRAL DE COSTA RICA DIVISIÓN ECONÓICA DEPARTAENTO DE INVESTIGACIONES ECONÓICAS NT-06-96 REGRESIONES QUE APARENTEENTE NO ESTAN RELACIONADAS (SUR) Rigoberto Araya onge Juan E. uñoz Giró NOVIEBRE,

Más detalles

TEMA 6: Gráficos de Control por Variables

TEMA 6: Gráficos de Control por Variables TEMA 6: Gráficos de Control por Variables 1 Introducción 2 Gráficos de control de la media y el rango Función característica de operación 3 Gráficos de control de la media y la desviación típica 4 Gráficos

Más detalles

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3) Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Álgebra lineal y matricial

Álgebra lineal y matricial Capítulo Álgebra lineal y matricial.. Vectores y álgebra lineal Unconjuntodennúmerosreales(a,,a n )sepuederepresentar: como un punto en el espacio n-dimensional; como un vector con punto inicial el origen

Más detalles

Dualidad y Análisis de Sensibilidad

Dualidad y Análisis de Sensibilidad Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Industrial IN34A: Clase Auxiliar Dualidad y Análisis de Sensibilidad Marcel Goic F. 1 1 Esta es una versión bastante

Más detalles

EL FILTRO DE KALMAN. Resumen

EL FILTRO DE KALMAN. Resumen EL FILTRO DE KALMAN Carlos Pillajo Universidad Politécnica Salesiana - Ecuador cpillajo@ups.edu.ec Javier E. Sierra Universidad Pontificia Bolivariana Colombia javier.sierra@upb.edu.co Resumen El filtro

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico Unidad 4: Vectores 4.1 Introducción En este capítulo daremos el concepto de vector, el cual es una herramienta fundamental tanto para la física como para la matemática. La historia de los vectores se remonta

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINICION La transformada de Laplace es una ecuación integral que involucra para el caso específico del desarrollo de circuitos, las señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia,

Más detalles

Números aleatorios. Contenidos

Números aleatorios. Contenidos Números aleatorios. Contenidos 1. Descripción estadística de datos. 2. Generación de números aleatorios Números aleatorios con distribución uniforme. Números aleatorios con otras distribuciones. Método

Más detalles

Tema 2: Estadística Descriptiva Multivariante

Tema 2: Estadística Descriptiva Multivariante Tema 2: Estadística Descriptiva Multivariante Datos multivariantes: estructura y notación Se llama población a un conjunto de elementos bien definidos. Por ejemplo, la población de las empresas de un país,

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Simulación de Sistemas Continuos y a Tramos. Prof. Dr. François E. Cellier Institut für Computational Science ETH Zürich.

Simulación de Sistemas Continuos y a Tramos. Prof. Dr. François E. Cellier Institut für Computational Science ETH Zürich. Simulación de Sistemas Continuos y a Tramos Prof. Dr. François E. Cellier Institut für Computational Science ETH Zürich 5 de junio 007 Introducción Análisis del Error por Truncamiento Queremos hacer un

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Comunicaciones Digitales - Ejercicios Tema 3

Comunicaciones Digitales - Ejercicios Tema 3 Comunicaciones Digitales - Ejercicios Tema 3 007. 1. Considere el diagrama de rejilla para un canal discreto equivalente genérico con 4 coeficientes no nulos (memoria K p = 3) y una constelación -PAM.

Más detalles

CLAVE: LII PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO

CLAVE: LII PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO Estadística Superior CLAVE: LII PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO 1 1. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Y MÚLTIPLE 1.1. Regresión lineal simple 1.2. Estimación y predicción por intervalo en regresión lineal

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Vectores Autorregresivos (VAR)

Vectores Autorregresivos (VAR) Vectores Autorregresivos (VAR) 1 Procesos estocasticos multivariados Y t = [Y 1t, Y 2t,, Y Nt ], t = 1, 2,..., T Estamos interesados en el comportamiento temporal de N variables simultaneamente. E(Y t

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará

Más detalles

SISTEMAS INTELIGENTES

SISTEMAS INTELIGENTES SISTEMAS INTELIGENTES T11: Métodos Kernel: Máquinas de vectores soporte {jdiez, juanjo} @ aic.uniovi.es Índice Funciones y métodos kernel Concepto: representación de datos Características y ventajas Funciones

Más detalles

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Ingeniería Técnica Industrial Métodos estadísticos de la ingeniería Métodos estadísticos de la ingeniería Ingeniería Técnica

Más detalles

Vectores aleatorios. Estadística I curso 2008 2009

Vectores aleatorios. Estadística I curso 2008 2009 Vectores aleatorios Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Estadística I curso 2008 2009 En numerosas ocasiones estudiamos más de una variable asociada a

Más detalles

Apéndice A. Repaso de Matrices

Apéndice A. Repaso de Matrices Apéndice A. Repaso de Matrices.-Definición: Una matriz es una arreglo rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas. Una matriz com m filas y n columnas se dice que es de orden m x n de

Más detalles

Imágenes binarias. Horn, Robot Vision Haralick & Shapiro, Computer and Robot Vision Gonzalez & Woods, Digital Image Processing. imagenes binarias 1

Imágenes binarias. Horn, Robot Vision Haralick & Shapiro, Computer and Robot Vision Gonzalez & Woods, Digital Image Processing. imagenes binarias 1 Imágenes binarias Horn, Robot Vision Haralick & Shapiro, Computer and Robot Vision Gonzalez & Woods, Digital Image Processing imagenes binarias 1 Propiedades geométricas simples: Area: la integral de la

Más detalles

SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN

SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 7 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN 7.1. INTRODUCCION Estudiaremos el sistema de n ecuaciones lineales de primer orden: x 1 = a 11 (t)x 1 +a 12 (t)x 2 +...+a 1n (t)x n +f 1 (t) x 2 = a 21 (t)x

Más detalles

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística EYP14 Estadística para Construcción Civil 1 Inferencia Estadística El campo de la inferencia estadística está formado por los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

Diseños en bloques aleatorizados

Diseños en bloques aleatorizados Capítulo 5 Diseños en bloques aleatorizados 5.1. ntroducción En las situaciones que hemos estudiado en el Capítulo 1 hemos supuesto que existe bastante homogéneidad entre las unidades experimentales, así,

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Ortogonalidad y Series de Fourier

Ortogonalidad y Series de Fourier Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 2005

Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 2005 Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 005 SOLUCIÓN MODELO A 1. Una persona se está preparando para obtener el carnet de conducir, repitiendo un test de 0 preguntas. En la siguiente tabla

Más detalles

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Halle el punto P simétrico del punto P ( 3, 4, 0) respecto del plano Л que contiene a la recta s : x = y 2 = z 1 y al

Más detalles

Procesos de Media Móvil y ARMA

Procesos de Media Móvil y ARMA Capítulo 4 Procesos de Media Móvil y ARMA Los procesos AR no pueden representar series de memoria muy corta, donde el valor actual de la serie sólo está correlado con un número pequeño de valores anteriores

Más detalles

Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas

Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas Índice 3 Variables aleatorias. Función de distribución y características asociadas 3.1 3.1 Introducción.......................................... 3.1 3.2 Concepto de variable aleatoria................................

Más detalles

Capítulo 17 Análisis de correlación lineal: Los procedimientos Correlaciones bivariadas y Correlaciones parciales

Capítulo 17 Análisis de correlación lineal: Los procedimientos Correlaciones bivariadas y Correlaciones parciales Capítulo 17 Análisis de correlación lineal: Los procedimientos Correlaciones bivariadas y Correlaciones parciales Cuando se analizan datos, el interés del analista suele centrarse en dos grandes objetivos:

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Álgebra Vectorial Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Indice. 1. Magnitudes Escalares y Vectoriales. 2. Vectores. 3. Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS ASPECTOS PRÁCTICOS EN IDENTIFICACIÓN

IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS ASPECTOS PRÁCTICOS EN IDENTIFICACIÓN IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS ASPECTOS PRÁCTICOS EN IDENTIFICACIÓN Ing. Fredy Ruiz Ph.D. ruizf@javeriana.edu.co Maestría en Ingeniería Electrónica Pontificia Universidad Javeriana 2013 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS

Más detalles

- se puede formular de la siguiente forma:

- se puede formular de la siguiente forma: Multicolinealidad 1 Planteamiento Una de las hipótesis del modelo de regresión lineal múltiple establece que no existe relación lineal exacta entre los regresores, o, en otras palabras, establece que no

Más detalles

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones. Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

1. Teorema del Valor Medio

1. Teorema del Valor Medio 1. l Valor Medio Uno de los teoremas más importantes del cálculo diferencial de funciones reales de una variable real es el l Valor Medio, del que se obtienen consecuencias como el Taylor y el estudio

Más detalles

Curso Completo de Electrónica Digital

Curso Completo de Electrónica Digital CURSO Curso Completo de Electrónica Digital Departamento de Electronica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid Prof. Juan González Gómez Capítulo 3 ALGEBRA DE BOOLE 3.1. Introducción

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Problemas teóricos Muchos de estos problemas me los han enseñado mis colegas: profesores Flor de María Correa Romero, Carlos Domínguez Albino, Sergio González Govea, Myriam Rosalía

Más detalles

Ignacio Romero 20 de Septiembre de 2004. Notación indicial

Ignacio Romero 20 de Septiembre de 2004. Notación indicial INGENIERÍA GEOLÓGICA: MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Ignacio Romero 20 de Septiembre de 2004 Notación indicial En Mecánica de Medios Continuos los objetos matemáticos más empleados son los escalares, vectores

Más detalles

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos.

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

Matriz identidad y su propiedad principal

Matriz identidad y su propiedad principal Matriz identidad y su propiedad principal Objetivos Dar la definición de la matriz identidad y establecer su propiedad principal Requisitos Notación para entradas de matrices, producto de matrices, la

Más detalles

BREVE APUNTE SOBRE EL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL

BREVE APUNTE SOBRE EL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL BREVE APUNTE SOBRE EL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL Ramón Mahía Febrero 013 Prof. Ramón Mahía ramon.mahia@uam.es Qué se entiende por Multicolinealidad en el marco

Más detalles

Generación de Números Pseudo-Aleatorios

Generación de Números Pseudo-Aleatorios Números Aleatorios Son un ingrediente básico en la simulación de sistemas Los paquetes de simulación generan números aleatorios para simular eventos de tiempo u otras variables aleatorias Una secuencia

Más detalles

Experimentos con un solo factor: El análisis de varianza. Jhon Jairo Padilla Aguilar, PhD.

Experimentos con un solo factor: El análisis de varianza. Jhon Jairo Padilla Aguilar, PhD. Experimentos con un solo factor: El análisis de varianza Jhon Jairo Padilla Aguilar, PhD. Experimentación en sistemas aleatorios: Factores Controlables Entradas proceso Salidas Factores No controlables

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo

Más detalles

Capítulo 9 Vectores en el espacio

Capítulo 9 Vectores en el espacio Capítulo 9 Vectores en el espacio Introducción El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles

1 Conceptos Básicos de Señales y Sistemas

1 Conceptos Básicos de Señales y Sistemas CAPÍTULO 1 Conceptos Básicos de Señales y Sistemas Cuando se hace referencia a los conceptos de señales y sistemas, su aplicación es válida para una variedad amplia de disciplinas, tales como sismología,

Más detalles

HERRAMIENTAS Y TECNICAS DE LA PLANEACIÓN

HERRAMIENTAS Y TECNICAS DE LA PLANEACIÓN HERRAMIENTAS Y TECNICAS DE LA PLANEACIÓN Análisis del Entorno. Es el análisis de grandes cantidades de información del medio ambiente para detectar tendencias emergentes y crear escenarios. Análisis del

Más detalles