INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

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1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROBLEMARIO DE LA ASIGNATURA DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROFESOR M EN C JORGE LUIS ROSAS MENDOZA ENERO DEL

2 Funciones reales de una variable real. Ejercicios Funciones Definiciones de función, dominio, rango y gráfica Operaciones con funciones. Determinar el dominio natural de la función

3 Para determinar a) b) c) 29. Para, determinar a) 3

4 b) c) 30. Para Determine y simplifique 31. Para Determine y simplifique 32. Para Determine cada valor a) b) c) 33. Para, encuentre cada valor a) b) c) 34. Para Determine y simplifique 35. Para Determine y simplifique 36. Determinar una función f que tenga las siguientes propiedades: su dominio es [ 2, 2], y f(0)= f ( 2) = f (2) = Determinar una función f que tenga las siguientes propiedades: su dominio es R, f (3) = 0, f ( 2) = 0 y f (0) = 36 Encuentra la expresión para la función cuya gráfica es la curva dada. 38. El segmento rectilíneo que une los puntos ( 2, 1) y (4, 6) 39. La mitad inferior de la parábola x + (y 1) 2 = 4. Determine si la curva es la grafica de una función de x. Si lo es, dé el dominio y la imagen de la función. 4

5

6 Cuáles de las relaciones siguientes determinan una función f con fórmula? Para aquellas que lo sean, determine. Sugerencia: Despeje a y en términos de x y observe que la definición requiere un solo valor de y para cada x La grafica que se muestra da el peso de cierta persona como función de la edad. Describa con palabras la manera en que varía el peso de esta persona a lo largo del tiempo Qué piensa el lector que sucedió cuando esta persona tenia 30 años? 52. La grafica que se muestra da la distancia a la que se encuentra un vendedor de su casa como función del tiempo en cierto día. Describa con palabras lo que la grafica indica respecto al recorrido del vendedor en este día. 6

7 53. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa como cambia la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. A continuación, trace una grafica aproximada de la temperatura del agua como función del tiempo transcurrido. 54. Trace una grafica aproximada de la temperatura exterior como función de la época, durante un día típico de primavera. 55. El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la tarde. Trace una grafica aproximada de la altura del césped como función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas. 56. En la tabla, se muestra la población P (en miles) de San José, California, desde 1984 hasta (Se dan las estimaciones correspondientes a la mitad del año.) t P (a) Dibuje una gráfica de P como función del tiempo. (b) Use la gráfica para estimar la población de El 18 de marzo de 1996, en Atlanta, Georgia, se registraron las lecturas T de la temperatura, cada dos horas, desde la media noche hasta medio día. El tiempo t se midió en horas a partir de la media noche. T T (a) Use las lecturas para trazar una gráfica aproximada de T como función de t. (b) Utilice la gráfica para estimar la temperatura a las 11 A.M. 7

8 Determine : a) b) c) Ejercicios Operaciones Algebraicas d) e) f) g) h) y calcule sus dominios Respuesta: Supóngase que G es una función y x es un número tal que, Cuál es el valor de 15 veces. Exprese la función F(x) en la forma

9 Sea Demuestre que, siempre y cuando 19. Sea Demuestre que, siempre y cuando.y 20. Sea Demuestre que, siempre y cuando.y 9

10 Ejercicios Operaciones gráficas Trace las gráficas de f para los tres valores de c en un mismo sistema coordenado (utilice desplazamientos verticales, desplazamientos horizontales, ampliaciones o reducciones y reflexiones). 1. ; c=0, c=1, c= ; c=0, c=-1, c=2. 3. ; c=0, c=1, c= c= -1, c= -2, c=1. 5. ; c=1, c= 2, c= ; c= -1, c=3, c=1. 7. ; c=0, c=3, c=1. 8. ; c=0, c=-4, c=2. 9. ; c=0, c=2, c= ; c=0, c=4, c= ; c=0, c=4, c= ; c=0, c=-2, c= ; c=1, c=2, c= ; c=0, c=4, c= ; c=0, c=5, c= ; c=0, c=5, c= ; ; c=-1, c=2, c= ; ; c=-1, c=2, c= ; ; c=-1, c=2, c= ; ; c=-1, c=2, c= ; ; c=1, c=-2, c= ; c=0, c=2, c= ; c=0, c=-2, c= ; c=0, c=2, c= ; c=1, c=2, c= c= -1, c= -2, c= ; c=1, c= 2, c=

11 Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones

12 Ejercicios Aplicación de Funciones 1) (Superficie de un cilindro en función del radio) Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga una capacidad de 1 m 3. Exprese el área de la superficie como una función del radio del cilindro. 2) (Área de un rectángulo en función de un lado ) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados. 3) (Costo de las paredes de un edificio) Un edificio de oficinas está construido sobre un área de 46 m 2. El plano del piso se muestra en la figura. Suponiendo que el costo de las paredes es de $1000 pesos el metro lineal, exprese el costo C de las paredes como una función del ancho x. (Desprecie la porción de pared sobre las puertas). 4) (Caja sin tapa) Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular que tiene dimensiones 15cm X 20cm. Para ello se recortarán cuatro cuadrados idénticos de área x 2, uno en cada esquina y se doblarán hacia arriba los lados resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una función de x. x? x ) (Costo de viaje en taxi) Un taxista cobra 5 pesos por el primer kilómetro (o fracción de kilómetro) y 2 pesos por cada décimo de kilómetro (o fracción) siguiente. Expresa el costo, C, de un viaje como una función de la distancia x, recorrida en kilómetros, para 0 < x < 2, y traza la gráfica de esa función. 6) (El primero Problema de la Ventana) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho x de la misma. 12

13 7) (Distancia recorrida por un globo)un globo de aire caliente se suelta a la 1 P.M. y se eleva verticalmente a razón de 2m/s. Un punto de observación esta situado a 20m del punto en el suelo que se encuentra ubicado directamente abajo del globo. Sea t el tiempo en segundos transcurridos a partir de la 1 P.M.. Exprese la distancia d del globo al punto de observación como una función de t. 8) (Tiradero de basura ) Un tiradero de basura de forma rectangular tiene 400 Km 2 y va a ser cercado. Exprese el costo de la cerca en función de uno de sus lados x., si el precio es de $4.00 dólares el metro lineal de cerca, 9) (El Problema del Libro) Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm 2 de área con márgenes de 2 cm. abajo y a los lados y 3 cm. arriba. Exprese el área impresa en función de uno de sus lados. 10) (Volumen de un cubo) Exprese el volumen V de un cubo como una función del área total de su superficie. 11) (Perímetro de un rectángulo ) Un rectángulo tiene un área de 16 m 2. Exprese su perímetro como función de la longitud de uno de sus lados. 12) (El equilibrista) La figura muestra las instalaciones de un equilibrista en el alambre. La distancia entre los postes es de 16m, pero aun no se ha determinado la altura del punto de amarre P. a) Exprese la longitud L como una función de la altura x del punto P. b) Determine la altura del punto de amarre P suponiendo que el alambre o cuerda tiene una longitud de 24m. 13) (Remar o caminar ) Un hombre se encuentra en un bote a 2 kilómetros del punto mas cercano A de la costa, que es recta, y desea llevar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 kilómetros de A. El hombre piensa en remar hasta un punto P entre A y B que se encuentra a x millas de la casa y luego caminar el resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3 km/h por hora y caminar 5 km/h, exprese el tiempo total T que le tomará llegar a la casa, como una función de x. 13

14 14) (Costo de la pintura de un depósito rectangular ) Se desea pintar un depósito rectangular de base cuadrada, abierto por arriba. Debe tener 125 M 3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de $2.00 pesos por metro cuadrado, y el del fondo es de $4.00 por metro cuadrado, Exprese el costo en función del lado, x, de su base. 15) (El Problema del Triángulo) Sea dado un punto (x 0, y o ) ) que se halla en el primer cuadrante en un sistema de coordenadas rectangulares. Trazar por este punto una recta de manera que forme un triángulo con las direcciones positivas de los ejes de coordenadas. Hallar una expresión para el área del triángulo. 16) (El incendio) Un incendio comienza en un campo abierto y seco, y se extiende en forma de círculo. El radio de tal círculo aumenta a razón de 6m/min. Exprese el área con fuego como una razón del tiempo t. 17) (La onda) Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja hacia fuera a una velocidad de 60 cm/s. Exprese el radio r de este circulo como función del tiempo t (en segundos). Si A es el área de este circulo como función del radio, encuentre A o r e interprétala. 18) (Área de un triángulo equilátero) Exprese el área del triángulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados. 19) (Longitud y diagonal de un cuadrado ) Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud d de la diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal. 20) (El problema del alambre). Se tiene un alambre de 100cm de largo. Se corta en dos partes para construir con uno de los trozo de alambre un cuadrado y con el otro un circulo. Exprese la suma de las áreas del cuadrado y del círculo como una función de x. 21) (El Segundo Problema de la Ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con una triángulo equilátero. El área de la ventana es de 6 metros cuadrados. Exprese el perímetro de la ventana como una función de uno de sus lados, x. 22) (El potrero) Se dispone de 400 m de alambrado para cercar un potrero rectangular. Expresar el área del potrero en función de uno de sus lados (x). 23) (La torre y el avión ) En la figura se muestran las posiciones relativas de una avión y una torre de control de 20 metros de alto. El principio de la pista se encuentra a una distancia de 300 metros de la base de la torre, sobre la perpendicular. Exprese la distancia x que el avión ha recorrido sobre la pista. 24) (El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Exprese la longitud de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta del otro poste. 14

15 25) (El Problema del Yate y el Vapor) Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un vapor con una velocidad de 60 km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de 4 km, el vapor se empieza a mover en dirección perpendicular a la del yate con una velocidad de 25 km/h. Determinar la distancia entre las embarcaciones después de t horas en que el vapor se empieza a mover. 26) (El Problema de la Escalera) Una cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un edificio alto. La cerca se encuentra a un pie del edificio. Exprese la longitud de la escalera que puede colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca como una función de x. 27) (Superficie y volumen de un cubo) Exprese el área superficial de un cubo como función de su volumen. 28) (Segundo problema de la caja) Una caja rectangular abierta, con volumen de 2m 3, tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la base. 29) (Problema del Canalón) Una pieza larga y rectangular de lámina de 50 cm. de ancho va a convertirse en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos de 120º con la base. Exprese el volumen del canalón 30) (El Problema del Vaso Cónico) Un vaso cónico de papel tiene capacidad de 100 cm 3. Expresar el área de la cantidad de papel que se usa para fabricarlo como una función del radio. 31) (La tienda de campaña)se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base cuadrada. Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta don s pie cuadrados de lona para los cuatro lados del albergue y x es la longitud de la base. Demuestre que el volumen V de la tienda es 32) (El Problema del Correo) Un paquete puede enviarse por correo ordinario solamente si la suma de su altura y el perímetro de su base es menor que dos metros y medio. Exprese el volumen de una caja que puede enviarse por correo si la base de la caja es cuadrada. 33) (El cilindro y el cono ) Un cilindro circular recto de radio r y altura h esta inscrito en un cono de altura 12 y radio de base 4, como se ilustra en la figura. a) Exprese h como una función de r (sugerencia: use triángulos semejantes.) b) Exprese el volumen V del cilindro como una función de r. 15

16 34) (El Problema del Triángulo Isósceles) Hallar una expresión para el área de un triángulo isósceles de perímetro p = 40 cm. Ejercicios Ejercicios Propiedades de las funciones I.- a) Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. b) Trace un bosquejo de la gráfica de la función. c) Determine si f es monótona. d) Determine si f es biunívoca o no. Explique. e) Si la función no es biunívoca de los intervalos más grandes donde es biunívoca. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 16

17 14) 15) 16) 17) II.- Establezca si cada una de las funciones es par o impar o bien, ninguna de las dos. Demuestre sus afirmaciones. 18) La suma de dos funciones impares es impar. 19) No todo polinomio de grado impar es una función impar. 20) La suma de dos funciones pares es par. 21) El producto de dos funciones impares es impar. 22) La suma de dos funciones impares es impar. 23) El producto de dos funciones pares es par. 24) El producto de una función impar y una par es impar. 25) No todo polinomio de grado par es una función par. III.- Sea F cualquier función cuyo dominio contiene a x siempre que contenga a z. Demuestre que 26) 27) 28) F siempre puede expresarse como la suma de una función par y una función impar. III.- Determine si la función dada tiene inversa en todo su dominio. Si no tiene inversa en todo su dominio, dé un dominio en el que la función tenga inversa. Calcule la función inversa. Determine el dominio y la imagen de la función inversa. Grafique las dos funciones en un mismo plano. 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 17

18 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) IV.- Determinar si la f unción dada es periódica y calcule el periodo. 49) 50) 51) 18

19 Límites Métodos para calcular límites Ejercicios Técnicas para determinar límites I.- Trace la gráfica de la función f definida por partes y determine los límites si es que existen. a) b) c) 1) 2) 3) 4) II.- Utilice simplificaciones algebraicas como ayuda para evaluar el límite, si es que existe. 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 19

20 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 20

21 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) Si hallar 36) Si hallar 37) Si hallar 38) Si hallar 39) Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas. a) b) c) d) f) Hay un número a tal que exista? Si es así, determina los valores 21

22 Funciones continuas Funciones seccionalmente continuas Ejercicios Continuidad I.-Demuestre que la función f es continua en el número a dado. 1., a = 4 2., a = , a = II.- Demuestre que f es continua en el intervalo indicado en [-1, 3]. 14. en [-2, 5] 22

23 15. en [-3, 3] 16. en [-4, 3] III.- Encuentre todos los números en los que la función f es continua

24 IV.- Describa el tipo de discontinuidad que tienen las siguientes funciones y si la discontinuidad es removible define una nueva función que sea continua = Encuentre un valor de c para el cual f sea continua en todo R. 24

25 41. Dar una función necesaria y suficiente sobre A y B para que la función sea continua en x=2 pero discontinua en x= Encuentre un valor de c para el cual f sea continua en todo R. 43. Encuentre un valor de c y d para los que f sea continua en [-3,3]. 44. Encuentre el valor de c, para que f sea continua en [-2 3]. 45. Determinar los valores de c para que f sea continua en todo R Determinar los valores de a para que f sea continua en todo R. 48. Encuentre un valor de a y b para los que f sea continua en todo R. 49. Es continua f en 3? Justifique su respuesta. 50. Es continua f en 3? Justifique su respuesta. 25

26 51. Es continua f en 1? Justifique su respuesta 52. Es continua f en 2? Justifique su respuesta. 53. Sean Determine si las funciones compuestas fog y gof son continuas en x= Un vendedor tiene un salario básico de $10, y recibe $ por cada $50,000 de las ventas que excedan $100, Trace la gráfica que muestre su ingreso como función de las ventas. Discuta la discontinuidad de la función. 55. La cuota de un estacionamiento para automóviles es de $10.00 por la primera media hora y $5.00 por cada media hora o fracción adicional. Hasta un máximo de $ Encuentre una función f que relacione la cuota con el tiempo que se deja un automóvil en el estacionamiento. Trace la gráfica de f y discuta la continuidad de f. 26

27 La derivada La derivada como razón de cambio Interpretación geométrica Propiedades de la derivada. Derivada de las operaciones elementales. Incrementos y diferencias Regla de la cadena y función inversa Derivación implícita Derivadas de orden superior Ejercicios Derivada usando la definición I.- Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado II.- Calcular el dominio de. Trace la gráfica de f y f III.- Cada límite representa la derivada de una función en un número c. Determinar f (x) y c

28 Calcular A y B suponiendo que la función es diferenciable en x= Sea g la función definida por Demostrar que g es diferenciable en x=c. Cuál es su derivada? IV.- Dar un ejemplo de una función f, definida para todos los reales, que verifique las siguientes condiciones. 18. para todo ; no existe. 19. existe para todo ; no existe. 20. ; 21. para ; para ; 22. Sea a) Demostrar que f es continua en x=0 y discontinuas en cualquier. b) Pueden ser f una función diferenciable en un valor x donde? c) Demostrar que f no es diferenciable en x= Sea a) Demostrar que g es una función ontinua en x=0 y discontinuas en cualquier. b) Pueden ser g una función diferenciable en un valor x donde? Explicarlo. c) Demostrar que g es diferenciable en x=0 y calcular. 28

29 24. Sea a) Demostrar que f es una función continua en x=0. b) Demostrar que f no es diferenciable en x= Sea a) Demostrar que g es una función continua en x=0. b) Demostrar que g es diferenciable en x=0 y calcular. 26. Sea a) Es continua la función? Si no es continua, indique el tipo de discontinuidad que tiene. b) Es derivable la función en: x = -3, x = -1, x = 0, x = 1, x = 3? a) Es derivable la función? 27. Sea a) Es la función continua? b) Es la función derivable? 28. Sea con dominio. a) Es continua la función? b) Es derivable la función? 29

30 30

31 Ejercicios Reglas de derivación I:- Calcular la derivada de las siguientes funciones II.- Hallar una fórmula para derivada n-ésima a, b y c constantes 17. n entero positivo, a,b constantes III.- Calcular y

32 22. Hallar los coeficientes A, B, C, D de tal modo que la curva sea tangente a la recta en el punto (1,0) y tangente a la recta en el punto (2,9). 23. Determinar los coeficientes A, B y C de tal modo que la curva pase por el punto (1,3) y sea tangente a la recta en el punto (2,0). 24. Hallar el o los valores de x para los que la tangente a la gráfica de la función cuadrática es una recta horizontal. 25. Hallar condiciones en A,B,C y D que garanticen que la gráfica del polinomio cúbico tenga: a) Exactamente dos tangentes horizontales. b) Exactamente una tangente horizontal. c) Ninguna tangente horizontal. 26. Demostrar la regla del producto 27. Demostrar la regla del cociente. 28. Hallar A y B para que la derivada sea continua para todo x real. 29. Hallar A y B para que la derivada sea continua para todo x real. 30. Sea, donde n es un entero positivo. a) Hallar Para k=n. b) Hallar Para k<n. c) Hallar Para k>n. 31. Dada la función polinomial a) Hallar b) Cuál es para k>0? 32. Si Demostrar que 32

33 Comprobar la identidad 35. Una función L tiene la propiedad de que para toda. Calcular la derivada de 36. Sean f y g funciones diferenciables tales que y, y sea. Hallar. 37. Sean f y g funciones diferenciables tales que y, y sea. Hallar. 38. Sea f una función diferenciable. Utilizar la regla de la cadena para demostrar que: a) Si f es par, entonces f es impar. b) Si f es impar, entonces f es par. 39. Sea a) Demostrar que f es diferenciable en x=0 y dar. b) Determinar para todo x. c) Demostrar que no existe. d) Dibujar las gráficas de y. 40. Sea a) Demostrar que tanto como existen y dar sus valores. b) Determinar y para todo x. c) Demostrar que no existe. d) Dibujar las gráficas de,.y. 33

34 Rapidez de variación Razones de cambios relacionadas. Para resolver los problemas de variación relacionada posemos seguir los siguientes pasos: 1) Dibujar una diagrama, cuando sea pertinente, e indicar las cantidades que varían. 2) Especificar en forma matemática la tasa de variación que se está buscando y recopilar toda la información dada 3) Hallar una ecuación que implique la variable cuya tasa de variación se debe hallar. 4) Diferenciar respecto a t la ecuación hallada en el paso 3). 5) Enunciar la respuesta final de forma coherente, especificando las unidades empleadas. 1) Una escalera de 10 metros está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la escalera resbala alejándose de la pared a razón de 2m/s. Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 6 metros del piso? Respuesta: En el instante en el que y=6 la escalera resbala verticalmente a razón de 2) Una persona comienza a correr a partir de un punto A hacia el este, a una velocidad de 3 m/s. Un minuto después, otra persona sale corriendo desde A hacia el norte a 2 m/s. Cuál es la rapidez de variación de la distancia entre las personas un minuto más tarde? cuando 3) A las 10:00 horas el barco A se encuentra a 25 kilómetros al sur del barco B. Suponiendo que A navega hacia el oeste a razón de 12km/h, y que B navega hacia el sur a 16km/h cuál es la rapidez de variación de la distancia entre los barcos a las 11:00?. Nota: Observe que 4) Un vaso de papel en forma de cono con un diámetro de 10 centímetros y una profundidad de 10 centímetros está lleno de agua. El vaso pierde agua por abajo a razón de 2 centímetros cúbicos por minuto. A qué velocidad está bajando el nivel del agua en el instante en el cual tiene exactamente 5 centímetros de profundidad. Respuesta: 5) Cuando un disco metálico circular se calienta, su diámetro aumenta a razón 0.01 cm/min. cuál es la rapidez de cambio del área de uno de sus lados, cuando el diámetro es de 15 cm?. 6) Un hombre que está en un muelle tira de una cuerda atada a la proa de un bote que se halla 30 cm sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobre una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 m del agua (véase la figura). Si tira de la cuerda a razón de 1 m/s, con qué rapidez se acerca el bote al muelle en el momento en que la proa está a 6 m del punto sobre el agua que se encuentra directamente abajo de la polea. 34

35 7) Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va soltando a razón de 1.5 m/s. El torno desde el cual se suelta la cuerda está a 6 m de la plataforma de abordaje. Si se han soltado 150 m de cuerda, con qué rapidez asciende el globo? 8) Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de 1 centímetro por cada 30 segundos. con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 centímetros.+ 9) Una partícula se mueve en el sentido de las manecillas del reloj en una órbita circular dada por. Cuando la partícula pasa por el punto, su ordenada disminuye a razón de 2 unidades por segundo. Con qué rapidez varía su abscisa? 10) Un depósito para agua con sección vertical transversal en forma de triángulo equilátero se llena a razón de 1 metro cúbico por minuto. Suponiendo que la longitud del depósito es de 3 metros. con qué rapidez sube el nivel del agua en el momento en el cual ésta alcanza una profundidad de 2 metros. 11) Dos aviones uno rumbo al oeste y el otro al este, se aproximan uno a otro siguiendo dos trayectorias paralelas que distan 80 metros. Sabiendo que ambos aviones vuelan a una velocidad de 800km por hora, con qué rapidez está disminuyendo la distancia entre ambos cuando distan entre sì 100 kilómetros. 12) Un vaso de papel tiene forma de cono, de 10 centímetros de alto y 5 centímetros de radio en la base. Se suministra agua a razón de 2 centímetros cúbicos por minuto. cuál es la rapidez de cambio del nivel del agua cuando tiene exactamente 5 centímetros de profundidad. 13) Un globo despega a 500 metros de un observador y se eleva verticalmente a la velocidad de 140 metros por minuto. Con qué velocidad está creciendo el ángulo de inclinación de la visual del observador en el instante en el cual es globo está exactamente a 500 metros del suelo? Respuesta: El ángulo de visión crece a razón de 0.14 radianes por segundo es decir aproximadamente 8 grados. 14) Una escalera de 15 metros de largo está apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera se separa de la pared a razón de 0.2 metros por segundo, con qué velocidad está cambiando el ángulo formado por la escalera y el suelo en el instante en el cual el otro extremo de ésta se encuentra a 10 metros del suelo?. Respuesta: En el instante en el que el extremo de la escalera está apoyada a 10 mtros. Del cuelo, el ángulo formado por el otro extremo y el suelo, disminuye a razón de 0.02 rad. por seg. 35

36 Valores extremos y gráficas Máximos y mínimos Criterio de la primera derivada Concavidad y criterio de la segunda derivada Gráficas con elementos de derivación Ejercicios Máximos Mínimos y Concavidades I.- Calcule los valores máximos y mínimos absolutos de f sobre el intervalo dado [-1,3] [-4, 5] [-1,8] 13. II.- Calcule los máximos y mínimos locales de f. Describa los intervalos en los que f es creciente o decreciente y trace la gráfica de f

37 III.- Halla los intervalos en los que f es creciente, o decreciente. Halla los valores máximos o mínimos de f. Halla los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. Bosqueje la gráfica de la función

38 IV.- a. Halle las asíntotas verticales y las horizontales. b. Halle los intervalos de crecimiento o decrecimiento. c.- Halle los valores máximos y mínimos locales. d.- Halle los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. e.- Bosqueje la gráfica de la función

39 VI.- Trace la gráfica de una función continua f que satisfaga todas las condiciones dadas. 58. si si si si. 59. si si si o si si o si Aplicaciones de máximos y mínimos Ejercicios Aplicaciones de máximos y mínimos 1) Halle el rectángulo de área más grande que se puede inscribir en un triángulo equilátero de lado L si un lado del rectángulo se encuentra sobre la base del triángulo. 39

40 2) Un trozo de alambre de 1m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea (a) máxima y (b) mínima? 3) Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe que se ocuparán todos si la renta es de 400 dólares al mes. Una investigación del mercado sugiere que, en promedio, quedará una unidad adicional vacía por cada incremento de 5 dólares en la renta. Cuánto debe cargar el gerente por renta para maximizar el ingreso?. 4) Demuestre que de todos los rectángulos con área dada, el que tiene perímetro menor es el cuadrado. 5) Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un vapor con una velocidad de 60 km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de 4km, el vapor se empieza a mover en dirección perpendicular a la del yate con una velocidad de 25 km/h. Determinar el momento en que las embarcaciones se encuentran a la mínima distancia. 6) Se va a construir una vía de ferrocarril de un pueblo A a un pueblo C, que cambiará su dirección t grados hacia C, en un punto B. Debido a las montañas que hay entre A y C el punto B de la curva debe estar por lo menos 20 Km al este de A. El costo de la construcción es de 500,000 pesos por kilómetro entre A y B, y de por kilómetro entre B y C calcule el ángulo t para el cual el costo de la construcción es mínimo. 7) (El problema de la escalera) Una Cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un edificio alto. La cerca se encuentra a un pies del edificio. Encuentre la longitud de la escalera más corta que puede colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca. 8) (El problema de la ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triangulo equilátero. El área de la ventana es de 3.4 metros cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el perímetro de la ventana sea mínimo. 9) Dos pasillos de 3m y 4m de ancho se encuentran formando un ángulo recto evalùe la longitud de la barra rígida más larga que puede transportarse horizontalmente dando vuelta a la esquina, (Desprecie el grosor de la barra). 10) Sea dado un punto (x 0, y 0 ) que se halla en el primer cuadrante en un sistema de coordenadas rectangulares. Trazar por este punto una recta de manera que forme un triangulo de área mínima con las direcciones positivas de los ejes de coordenadas. 11) Si un cultivador californiano planta 200 naranjos por acre, el rendimiento promedio es de 300 naranjas por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por acre, el cultivador obtendrá 15 naranjas menos por árbol. Cuántos árboles por acre darán la mejor cosecha? 12) Calcule las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en un cono de radio a y altura h. 13) Un hombre se encuentra en un bote a 2 kilómetros del punto mas cercano A de la costa, que es recta, y desea llevar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 kilómetros de A. El hombre puede remar a una velocidad de 3 km/h y caminar 5 km/h. a) Qué debe hacer para llegar a su casa en el menor tiempo posible. b) Que debe hacer si el hombre tiene una lancha de motor que puede viajar a 15km/h. 14) Girando un rectángulo de perímetro p alrededor de uno de sus lados, se genera un cilindro circular recto. Calcule las dimensiones del rectángulo que producen el cilindro de mayor volumen. 15) Se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base cuadrada. Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta con S pies cuadrados para los cuatro lados de 40

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