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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Cátedra: ÁLGEBRA LINEAL UNIDAD V ESPACIOS VECTORIALES 1.V Definición de vector VECTOR EN R n y PUNTO EN EL ESPACIO N-DIMENSIONAL SON, MATEMATICAMENTE HABLANDO, SINONIMOS. Un punto en el espacio bi-dimensional (plano) o Vector en R 2, son el mismo objeto matemático. Un punto en el espacio tri-dimensional o Vector en R 3, son el mismo objeto matemático.... Un punto en el espacio n-dimensional o Vector en R n, son el mismo objeto matemático. Cuál es la presentación de un Vector en R n? Elija: Como matriz columna (y también fila) o.. Una n-upla ordenada de números Reales. Veamos: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

2 a11 a12 a13 La matriz A 3 =, a a21 a22 a23 ij R a 31 a32 a33 se puede particionar por columnas o por filas, por tanto, podemos formar las siguientes sub-matrices columnas o filas: y a a a a12 a13,, : Vectores Columna.(1) a 22 a23 a 32 a 33 [ a a ], [ a a ], [ a ] a a23 a : Vectores Fila (2) a33 o las ternas ordenadas (coordenadas de un punto) de números Reales: (a 11, a 21, a 31 ); (a 12, a 22, a 32 ); (a 13, a 23, a 33 ) y (1) (a 11, a 12, a 13 ); (a 21, a 22, a 23 ); (a 31, a 32, a 33 ). (2) o sea, todos VECTORES EN R 3. Conclusión: Un Vector en R n es un objeto matemático definido por una n- upla ordenada de números Reales. Tal arreglo puede presentarse como una columna matricial, como una fila matricial o como una fila de números entre paréntesis y separados por comas (clásica representación de coordenadas). A tales números, les llamamos las componentes del Vector. Un detalle formal: Como un vector es una fila o columna matricial, o simplemente una n-upla dispuesta en fila o columna, sus componentes no requieren dos subíndices. Con uno basta. Y escribirlos de un modo u otro, carece de especial importancia. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

3 Un detalle sustancial: Lo que se debe tener bien presente, es el orden con que se disponen las componentes. Aquél debe ser resguardado con absoluto cuidado, pues aunque los números que forman un vector resulten ser los mismos que los de otro, si el orden de disposición es diferente, estaremos hablando de vectores distintos. Ya que representan puntos en R n. 1.2.V Representación Gráfica de vectores: Sea en R 2 : A = (a 1, a 2 ) x 2 a 2 A= (a 1, a 2 ) 0 a 1 x 1 La flecha, o Vector Geométrico (vemos que gráficamente un vector es la unión del origen del sistema y el punto que determina) tiene una orientación que se denomina sentido. Tiene una inclinación respecto de los ejes de coordenadas, que se considera su dirección y, finalmente, una longitud que representa la magnitud. Sea en R 3 : Al igual que en Matemática II, cuando trabajaba con funciones de tres variables independientes, trazaremos el sistema de octantes, intentando que la perspectiva le permita verlo. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

4 X 3 0 x 1 x 2 El vector nulo θ = (0, 0, 0)) es al mismo tiempo el origen el sistema de coordenadas espaciales. Ahora, para dibujar un vector en R 3, primero determinamos el punto de coordenadas a 1 en x 1 con el a 2 en x 2. Luego, de a 3 en x 3, para conservar la perspectiva, trazamos la coordenada en forma paralela al segmento que une el origen de los ejes con el punto determinado por (a 1, a 2 ). Finalmente, trazamos una paralela a x 3 y perpendicular al punto (a 1, a 2 ) y en donde ésta se intercepta con la paralela mencionada en negrita: allí está el punto buscado de coordenadas (a 1, a 2, a 3 ). Para dibujar el Vector Geométrico (como ya lo dijimos anteriormente), unimos el punto (0, 0, 0) con (a 1, a 2, a 3 ) y le ponemos una punta de flecha en el extremo. X 3 a 2 (a 1, a 2, a 3 ) 0 a 1 x 1 a 2 (a 1, a 2 ) X 2 Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

5 1.3.V. Vector Nulo : ES UN VECTOR EN EL CUAL SUS COMPONENTES SON TODAS IGUALES A CERO (gráficamente es el origen del sistema al cual pertenece). Existe un sólo vector nulo en cada espacio R n. Lo simbolizaremos como : Vector nulo = 0 ó por razones prácticas con θ 1.4.V. Igualdad de Vectores. Del mismo modo que definíamos igualdad de matrices, diremos que dos vectores son iguales, si tienen igual número de componentes - dicho de otro modo, pertenecen al mismo espacio - y son iguales las respectivas componentes. A R A = B a = b i n i B R n : i = 1, 2,...,n Gráficamente, dos vectores iguales tendrán la misma dirección, sentido y longitud, quedan superpuestos (es el mismo punto en el espacio que estén definidos). 1.5.V. Operaciones con vectores V. Suma de Vectores. Sean A, B dos Vectores en R n A = (a 1, a 2,...,a n ) B = (b 1, b 2,...,b n ) A + B = (a 1, a 2,...,a n ) + (b 1, b 2,...,b n ) = (a 1 +b 1, a 2 +b 2,..., a n +b n ). Es decir que la suma queda definida como otro vector en R n, cuyas componentes son suma de las respectivas componentes de cada sumando, con lo cual podríamos decir que con dos vectores y Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

6 la operación suma es posible generar un nuevo vector del mismo espacio que los dados. Gráficamente, la suma vectorial, se puede resolver de dos modos: uno, obvio, dibujar el vector que ha resultado de sumar A con B, utilizando como coordenadas del nuevo punto a tal resultado. El otro, es un procedimiento geométrico que es la Ley del Paralelogramo. x2 A+B A 0 B x1 Observe que para hacerlo, hemos trazado una paralela al vector A, que pasa por el punto extremo del vector B. Recíprocamente, por el extremo de A, o simplemente punto A, hemos trazado una paralela al vector geométrico B. Entre las paralelas trazadas y los vectores A y B ha quedado determinado el paralelogramo. El vector geométrico que parte de (0, 0) y llega al vértice opuesto (constituye una diagonal) del paralelogramo, formado por la intersección de las paralelas trazadas es, geométricamente, el vector A + B V.Propiedades: Asociativa: Sean A, B y C, Vectores en R n. A + (B + C) = (A + B) + C Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

7 Existencia de Elemento Neutro. Existe un vector en R n, que se identifica con θ tal que: A + θ = θ + A = A Existencia de Elemento Opuesto o Simétrico. A R n : S R n / A + S = S + A = θ. Luego: S = (-1)A = -A Propiedad Conmutativa. ( A, B) R n : A + B = B + A Realice las demostraciones de las propiedades anteriores basándose en las de números reales V. Producto de escalar por Vector. Dados un Vector A R n y un escalar α R el producto entre ambos queda definido de manera tal que su resultado es otro vector en R n, cuyas componentes se obtienen multiplicando cada una del vector por el escalar dado, por lo que realizando el producto de un escalar por un vector se puede generar otro vector del mismo espacio que el dado. A R n, α R: αa = α(a 1, a 2,..., a n ) = = (αa 1, αa 2,...,αa n ) V. Propiedades: ( A, B) R n (α,β) R: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

8 Distributividad respecto de la suma de escalares: (α+β)a = αa+βa Distributiva respecto de la suma de vectores. α(a + B) = αa + αb Asociativa Combinada. (αβ)a = α(βa) Existencia de Elemento Neutro. 1A = A. De donde se desprende lo que, de algún modo, anticipamos en el punto anterior: Si α = -1, entonces αa es el elemento opuesto de A en la suma vectorial Demuestre estas propiedades con las sugerencias anteriores. Ahora nos queda un temita derivado de esta operación: Sean A y B dos vectores en R n : hagamos -1B y sumemos el resultado con A: A + (-1)B = A + (-B) (-B) es el opuesto o simétrico de B V. Producto Interno de Vectores. De la definición de Producto Matricial cada elemento de la matriz producto, se obtiene mediante la suma de los productos de cada elemento de una fila del primer factor por cada uno de los de una columna del Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

9 segundo si una matriz de números reales puede ser partida por filas o por columnas y, que en tal caso, cada una de ellas constituyen un vector en R n que puede ser escrito como: columna A = (a 1, a 2,..., a n ) una fila y B = (b 1, b 2,, b n ) una define así: Por qué decimos esto? Porque el Producto Interno de Vectores se Dados: (A B) R n : A.B = (a 1, a 2,..., a n ). (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1 + a 2 b a n b n ) = α Obviamente, α R. En consecuencia, el Producto Interno de dos Vectores en R n, es el número Real que se obtiene mediante la suma de los productos de las correspondientes componentes de cada uno de ellos. Veamos un ejemplo. Sean: A = (2, -1, 3, 5) y B = (0, -1, 3, 1) A.B = (-1).(-1) = A.B = V. Propiedades. Sean A, B y C tres vectores en R n y sea k un número Real. Conmutativa: A.B = B.A Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

10 Demuéstrela utilizando las propiedades de los números Reales. Distributiva respecto de la Suma Vectorial. Haga otro tanto. A.(B + C) = A.B + A.C Homogeneidad. k (A.B) = (k A).B = A.(k B) Demuestre!!!. Ojo, recuérdela bien, pues para aplicaciones económicas tiene suma importancia. Positividad. A.A > 0 A θ A.A = 0 A = θ Desigualdad de Cauchy-Schwarz. (A.B) 2 = (A.A)(B.B) 1.6.V. Vectores paralelos La operación producto de un escalar por un vector, más estos detalles derivados, permiten introducir el concepto de paralelismo entre vectores. Ya sabemos que gráficamente, los vectores en R n, son representados como segmentos orientados ( flechas ) que parten del origen del sistema representativo del espacio en que están definidos. Luego, la noción geométrica clásica que tenemos de paralelismo, no tiene una correspondencia con la que queremos ver ahora. El paralelismo vectorial se define como: A y B pertenecientes a R n son paralelos si y sólo si B = αa o A =βb. Siendo:α y β números reales. Gráficamente, el paralelismo vectorial resulta: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

11 X 2 ka A 0 -ta X 1 Es la representación gráfica del producto de un escalar por un vector. O sea que al realizar un producto así definido, el vector resultante es paralelo (en términos vectoriales) al vector original. Observemos, entonces, que los vectores paralelos A y B (B = αa) tienen: La misma dirección: están sobre la misma recta, cualesquiera sea α. Sentido opuesto si α < 0. Distinta longitud, excepto cuando α = V. Vectores Ortogonales Veamos X 2 A A+B A A+B 0 B B X 1 Donde A, B y A + B, son respectivamente, las longitudes de los vectores A, B y A+B. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

12 Para comprobarlo en el gráfico, debemos observar que la norma de A + B mide la hipotenusa del triángulo que queda determinado por :el punto origen del sistema, el vector (A + B) y el A, luego se puede poner, sin temor a equívocos que: A + B 2 = A 2 + B 2 por el teorema de Pitágoras. y que al mismo tiempo: A 2 = A.A y B 2 veremos como justificamos esto) = B.B (1) (luego A + B 2 = A.A + B.B Aplicando al primer miembro lo que vimos en (1), el resultado será: A.A. + 2 A.B + B.B Entonces, podemos poner: A.A + 2 A.B + B.B = A.A + B.B Pero para que la igualdad recuadrada se verifique, necesariamente el segundo término del primer miembro debe ser igual a 0 (cero). 2 A.B = 0 A.B = 0 De aquí podemos concluir que: Dados dos vectores ortogonales (perpendiculares) su Producto Interno es igual a 0 (cero). 1.8.V. Norma de un Vector. A la magnitud (longitud) de un vector la denominamos NORMA de un vector y las simbolizamos con A. Ahora definimos NORMA de un vector en R n como: A R n : A = a 1 + a a n Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

13 Si recordamos algo de Geometría Analítica (Matemática I), nos daremos cuenta que la expresión que acabamos de definir no es más que distancia entre dos puntos: es un valor modular, queriendo decir con ello que siempre será positiva pues mide una longitud. Gráficamente tenemos x 2 a 2 A= (a 1, a 2 ) A 0 En R 2 : a 1 x 1 y por cierto que en R 3, será: X 3 a 2 B B =(a 1, a 2, a 3 ) 0 a 1 x 1 a 2 (a 1, a 2 ) X V.Propiedades Considerando A y B dos vectores en R n y k un número Real: A 0 Si A = 0 A = 0 Si A 0 A > 0 Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

14 k.a = k A La longitud del vector k.a no puede ser negativa. Desigualdad de Cauchy-Schwarz A.B A B A 2 = A.A El cuadrado de la norma de un vector es igual al Producto Interno del vector con sí mismo. Desigualdad Triangular. A + B A + B 1.9.V.Vectores Normales Diremos escuetamente que un vector en R n se denomina normal, si su norma es igual a 1 (uno): A R n : A = 1 A es normal. Todo vector cuya norma sea distinta de 1 (uno) y mayor que 0 (cero) puede ser normalizado ( transformado a otro con norma igual a 1 (uno)). Este proceso se efectúa de la siguiente manera: A R n : A 1 y A > 0 1 se tiene: A Normalizado = B siendo B = A A Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

15 1.10.V. Vectores unitarios o i-esimo unidad I n = L L L L L K 1 Observando una matriz Identidad de orden = n, y extrayendo de ella los vectores fila o columna como lo hicimos al comienzo de este capítulo, podemos determinar n vectores con la siguientes características: si el vector corresponde a la primera fila (o primera columna), tendremos el vector: (1, 0, 0,..., 0) Si corresponde a la segunda fila (o segunda columna): (0, 1, 0,..., 0) columna: Y así, sucesivamente, si corresponde a la i-ésima fila ( o i-ésima) (0, 0,...,1,.., 0) i-ésima posición. Siguiendo, se llegará a obtener: (0, 0, 0,...,1) Los vectores unitarios son, entonces, aquellos en que la i-ésima componente es igual a 1 (uno) y las restantes son iguales a 0 (cero). Por supuesto que estamos trabajando con Vectores en R n, con lo cuál, es fácil darse cuenta que según sea n, en tal conjunto existirán n vectores unitarios o i-ésimo unidad. Llamando E i al vector i-ésimo unidad, donde la i nos indica la posición del 1(uno) mientras que las restantes componentes son ceros, es fácil identificar a estos vectores para cualquier n. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

16 Así, si n = 2, en R 2 tendremos: E 1 = (1, 0) i=1 E 2 = (0, 1) i=2 Si n = 3, en R 3 serán: E 1 = (1, 0, 0) i=1 E 2 = (0, 1, 0) i=2 E 3 = (0, 0, 1) i=3 Para un n cualquiera: E 1 = (1, 0,...,0) i=1 E 2 = (0, 1,...0) i=2 Gráficamente: E n = (0, 0,..., 1) i=n En R 2 : Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

17 En R 3 X 3 1 E 3 =(0,0,1) 0 1 E 1 =(1,0,0) x 1 1 E 2 =(0,1,0) X 2 Y en general, diremos que en R n (aunque no podamos graficarlos) podemos afirmar que los vectores unitarios, necesariamente están ubicados sobre los ejes de coordenadas, por tener una sola componente distinta de cero. 2.V.ESPACIO VECTORIAL Vamos a determinar cuándo estamos en presencia de un espacio vectorial: 1º) Tener los dos conjuntos bien definidos: V y K. (V conjunto de vectores y K conjunto de números reales, respectivamente) 2º) Tener operaciones bien definidas en ellos y entre ellos: por ejemplo, la suma de elementos de V, la suma y la multiplicación entre elementos de K, y la operación externa con la que salimos de V y volvemos a V, la multiplicación de un elemento de V por uno de K, con resultado un elemento de V. O sea, básicamente, operaciones cerradas o bien, conjuntos cerrados respecto de tales operaciones. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

18 3º) La suma en V debe tener las siguientes propiedades: Asociativa : (X + Y) + Z = X + (Y + Z) Existencia de elemento neutro: X + E = E + X = X Existencia de elemento simétrico u opuesto: X + (-X) = (-X) + X= E Conmutativa: X + Y= Y + X 4º) Multiplicación de un elemento de K (operador - escalar) por uno de V (vector) Distributiva respecto de la suma en K: (α +β) X = α X +β X Distributiva respecto de la suma en V: α (x+y) = α X +α Y Asociativa respecto del producto en K: α ( β X ) = ( α β) X Existencia de elemento neutro en K neutro en la operación combinada: Si µ K / ( α K : µ α = α µ = α ) ( X V : X µ = µ X = X) Diremos que todo objeto matemático que encuadre inequívocamente en la definición, es un ESPACIO VECTORIAL. Obviamente, que a nosotros habrá de interesarnos uno en particular que es, ni más ni menos con el que estamos trabajando. Es el Espacio Vectorial que tiene: V = Vectores en R n K = R (conjunto de números Reales). Ley de composición interna en R n = La suma de Vectores en R n Ley de Composición Externa = el producto de un escalar o número de R (reales) por un Vector de R n. Primera ley de composición interna en R: la suma de reales. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

19 reales. Segunda ley de composición interna en R: la multiplicación de Luego, (R n, +, R, ) constituye un Espacio Vectorial sobre el cuerpo de los números Reales. 2.1.V.Subespacios vectoriales: En muchos problemas, un espacio vectorial consta de un subconjunto adecuado de vectores de algún espacio vectorial mayor. Este conjunto se denomina subespacio vectorial si cumple con la definición: Si S es un conjunto no vacío incluido en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y las leyes interna y externa de V, aplicadas en S, dan a S estructura de espacio vectorial, entonces S se llama subespacio vectorial de V. Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto S de V, cuyos elementos deben cumplir con tres propiedades: a) El vector nulo de V está en S. (S no es vacío). b) S es cerrado bajo la suma de vectores, Esto es, para cada U y T en S, la suma U + T está también en S. c) S es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada U en S y cada escalar α de R, el vector αu está en S. En este caso, necesitaremos verificar sólo tres de los diez axiomas de espacio vectoriales. El resto se verificarán automáticamente. Las propiedades (a), (b) y (c) garantizan que un subespacio S de V es en sí mismo un espacio vectorial, bajo las operaciones de espacio vectorial ya definidas en V. Para verificar esto, observe que las propiedades anteriores son axiomas del espacio vectorial. Los axiomas restantes son automáticamente verdaderas en S ya que todas las propiedades se aplican a todos los elementos de V, incluidos los que están en S. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

20 Así, todo subespacio es un espacio vectorial. Recíprocamente todo espacio vectorial es un subespacio vectorial (de sí mismo o posiblemente de espacios mayores). El término subespacio se usa cuando se tiene en mente por lo menos dos espacios vectoriales, uno dentro del otro y la frase subespacio de V identifica a V como el espacio mayor. Veamos un gráfico: V S θ Subespacios de R 2 : {} 1- θ el conjunto cuyo elemento es el vector nulo. 2- Rectas que pasan por el origen. 3- R 2 Subespacios de R 3 : {} 1- θ el conjunto cuyo elemento es el vector nulo. 2- Rectas que pasan por el origen. 3- Planos que pasan por el origen. 4- R 3 Importante: Las operaciones que se consideran para definir espacios o subespacios vectoriales, no son arbitrarias: La suma de vectores resultado otro vector cerrada al conjunto de vectores. El producto de escalar por vector resultado otro vector cerrado al conjunto de vectores. Se las toma por que son las dos operaciones que garantizan la linealidad: Aditividad y Homogeneidad (la suma y el producto por escalar). 3.V.Combinación Lineal de Vectores: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

21 La combinación lineal de vectores (la llamaremos sólo combinación lineal) es una operación combinada, surge de relacionar la suma vectorial y el producto de un escalar por un vector. Estas dos operaciones vimos que son operaciones que permiten generar nuevos vectores, con la operación combinación lineal es posible generar cualquier vector de un espacio cualquiera, sólo hace falta tener escalares y al menos dos vectores, por lo que se convierte en la operación generadora por excelencia. Supongamos n vectores V i R n y α i R, la combinación lineal de los mismos es la expresión: α 1. V 1 + α 2. V 2 + α 3 V α n V n = n αi Vi i= 1 Cuando la suma de los escalares que intervienen en una combinación lineal es igual a uno, y todos los escalares son menores que uno y mayores o iguales a cero esa combinación se denomina Combinación Lineal Convexa. n β V y 0 β 1 y β = 1 i i i i i= 1 i= 1 n 4.V.Independencia y dependencia de vectores: Formalizaremos lo que logramos anteriormente: Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente (L.I) si ningún vector del conjunto es combinación lineal (C.L.) de otro u otros Para comprobar si un conjunto es L.I. hacemos: Dado T { T 1, 2, K, p,} = T T V p α i i= 1 α i si T = θ resultan los i R todos iguales a cero. El conjunto T es L.I. O sea que si la C.L. de vectores igualada al θ los escalares son todos ceros el conjunto es Linealmente Independiente Un conjunto de V será Linealmente Dependiente si no es Linealmente Independiente. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

22 4.1.V. Propiedades de los conjuntos Linealmente Independientes y Linealmente Dependientes: - Todo conjunto que contiene un conjunto L.D. es L.D. - Todo subconjunto en un conjunto L.I es L.I. - Todo subconjunto en un conjunto L.D. L.I. o L.D. - Todo conjunto que contiene al θ es L.D. Si un conjunto tiene un solo elemento será: o L.D. si el vector del conjunto es el θ o L.I. si el vector del conjunto no es el θ Estas propiedades son fáciles de comprobar aplicando lo sugerido para probar la independencia lineal de los vectores. 5.V.Envolvente Lineal Como vimos la combinación vectores en un mismo espacio da por resultado un nuevo vector de mismo espacio, por lo que cuando queremos generar otro sólo deberemos cambiar los escalares de la combinación lineal (C.L). El conjunto de todas estas C.L., de un conjunto de vectores, lo denominaremos la envolvente lineal de ese conjunto de vectores. Vamos a ver la representación gráfica de una C.L., en el espacio R 2. Para ello consideraremos los vectores A y B R 2, α y β dos números reales α mayor que cero y β menor que cero: Representemos A + B, α A + B, α A + β B, α A + β B x 2 α A β B A A+B α A+B B x 1 Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

23 6.V. Sistemas de Generadores de Vectores. Hasta aquí, hemos visto dos operaciones con vectores en R n : la Suma Vectorial y el Producto de un escalar por un Vector, estas dos operaciones, pueden ser combinadas y llevarnos a observar una característica que, más adelante, tendrá presentación y formalización adecuadas. Por ahora, veamos qué puede pasar con la combinación de ellas: Los conjuntos de vectores que intervienen en una combinación lineal forman un sistema de generadores de vectores del mismo espacio. Sean A y B Vectores en R n, α y β R. α (a 1, a 2,...,a n ) + β (b 1, b 2,...,a n ) = (c 1, c 2,., c n ) (αa 1, αa 2,..., αa n ) + (βb 1, βb 2,..., βb n ) = (c 1, c 2,., c n ) (αa 1 + βb 1, αa 2 + βb 2,...,αa n + βb n ) = (c 1, c 2,., c n ) [1] No haría falta mostrar que cada (αa i + βb i ) = c i, para i = 1...n, es un número real, no obstante lo haremos. Pero antes, trataremos la siguiente temática: operación cerrada. Recordaremos algo importante que se da por sobrentendido, pero que quizá no sea tan así: las operaciones entre objetos matemáticos pueden ser cerradas o no. Es operación cerrada cuando, definida sobre un conjunto determinado, el compuesto o resultado es un elemento que pertenece al mismo conjunto. Así, dado un conjunto A y definida una operación entre sus elementos, simbolicémosla con (asterisco), tal operación será cerrada si y solamente si, dados dos elementos cualesquiera de dicho conjunto, se verifica que el compuesto o resultado pertenece al mismo conjunto: Simbólicamente: [a A b A (a b) A] es una operación cerrada. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

24 En el conjunto de los números Reales, las operaciones de suma y producto son cerradas: sus compuestos o resultados son, también, números reales, esto es, pertenecen al mismo conjunto que los operandos. Hecho el recordatorio, retomamos nuestro análisis: αa i :es un PRODUCTO de números reales, luego el compuesto (o resultado) es, inequívocamente, un numero Real. Lo mismo ocurre con βb i. Y luego tenemos la SUMA de dos números Reales, por tanto, el resultado también pertenece R. Luego el paréntesis [1], tiene como componentes, necesariamente números reales. Luego, tal paréntesis es un Vector en R n. Esto nos está diciendo que la combinación de operaciones de Suma Vectorial y Producto de un escalar por un vector, tal como la hemos presentado, es cerrada respecto al Conjunto de Vectores en R n. Como consecuencia directa de ella, podemos pensar en que podemos crear un nuevo vector en R n, dados dos o más vectores y considerando escalares reales, al menos uno de ellos, distinto de 1 (uno). Sean A y B dos vectores en R n, α y β Reales, α 1 β 1. α A + βb = C: C R n Lo que quiere decir que C es otro vector que ha sido creado con la combinación de operaciones que estamos tratando. Pero la palabra crear no es la más adecuada para indicar la existencia de C. En este caso, debemos utilizar el término GENERAR: la combinación de operaciones (suma y producto de escalar por vector) genera un vector en R n Esto, que parece algo trivial, asumirá especial importancia en futuros temas. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

25 7.V.Base: Como veremos, una base es un conjunto de vectores que es un generador eficiente que no contiene vectores innecesarios. De hecho, se puede construir una base a partir de un conjunto generador desechando algunos vectores innecesarios. Para generar R 2, por ejemplo, necesitamos como mínimo dos vectores de que tengan distinta dirección, si tenemos más vectores podemos también generar R 2? Siempre lo podremos hacer si por lo menos dos de los vectores del conjunto considerado tienen distinta dirección. El conjunto de estos vectores que permiten generar nuevos vectores del espacio se denominan Sistema de generadores. Luego generalizando esto para cualquier espacio vectorial tendremos: = K un conjunto en V (espacio vectorial) tal que Sea S { V1, V2,, Vp} cualquier vector de V se puede expresar como combinación lineal de los elementos de S. Diremos que el conjunto S constituye un Sistema de generadores de V. Simbólicamente: p α i V i= 1 i α i X V X = R Sea S un subespacio de un espacio vectorial V. Un conjunto de vectores B = B B B V es una base para S, si: { 1, 2, K, p} Definición de Base: - B es un conjunto L.I. - El subespacio generado por B coincide con S, o sea que B es sistema de generadores de S. B( S ) Con simbolizamos que B es una base de S. La definición de Base dada abarca al caso en que S =V, porque cualquier espacio vectorial es un subespacio en si mismo. Por lo que una base de un espacio V permite obtener cualquier vector del espacio al que pertenece (sistema de generador) y de una única manera (L.I). En cada base como es un conjunto generador eficiente está el Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

26 número mínimo de vectores que permiten generar los vectores de un espacio o subespacio y además es el número máximo de vectores L.I. que pueden tener los conjuntos de vectores del espacio o subespacio. Algunas conclusiones que se pueden obtener a partir del concepto de base: - Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene infinitas bases asociadas a él. - En todo espacio vectorial de dimensión finita, de todo sistema generador se puede extraer una base. - En todo espacio vectorial de dimensión finita todas las bases tienen igual número de elementos. 8.V.Dimensión de los espacios vectoriales: Hasta ahora hemos hablado de Dimensión de un espacio R n de acuerdo al número de componentes de los vectores que pertenecen a él ya que este número nos permitía determinar a que espacio geométrico (euclidiano) pertenecían. A partir de la nueva definición de vectores referidos a los espacios vectoriales, vemos que los mismos quedan determinados por una base de estos espacios vectoriales ya que pertenecen a espacios o subespacios vectoriales. Por lo que definiremos: Definiremos la dimensión de los espacios vectoriales como: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Se llama dimensión de V (dim(v)) al número de elementos de cualquier base de V. Ejemplo anterior: Dim S = 2; ya que hay 2 elementos (vectores) en la Base ( B 1( S ) ). Si el espacio vectorial V = θ, es decir que tiene un elemento y es el vector nulo, su dimensión es cero Definida la dimensión de un espacio vectorial y considerando que dado un E.V. V tal que dim V = n, podemos afirmar que: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

27 -Todo conjunto de V de n vectores L.I. es una base. -Todo conjunto de V de más de n vectores es L.D.. -Todo sistema de generador de vectores de V tiene al menos n elementos. -Todo sistema de generador de V con n elementos es una base. Los conjuntos de vectores unitarios de los distintos espacios vectoriales constituyen una base para el espacio al que pertenecen, esa base es la Base Canónica del espacio. 9.V.Teorema del canje Como vimos cada Espacio vectorial tiene asociado a él infinitas bases, el presente teorema permite a través de una base conocida obtener otras. Tomemos S + S S S S S S = [ ] { L L V j j 1 n},,,,,,, o sea una base para un espacio, llamémoslo V, de Dim = n Si n X V X = α S i i i= 1 El teorema del Canje propone: canjear por X a cualquier vector de la base (S ) que en la combinación lineal anterior no esté [ V ] acompañado por el escalar cero, así el nuevo conjunto que se obtiene también es una base de V. Por lo que si en n X= α i Si i= 1 el α j 0, canjeamos en S [V ] a Sj por X, luego: {,,,, X,,, } S 1 S1 S2 S3 Sj+ 1 Sn = L L es una nueva base de V. Demostración: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

28 Sea S un conjunto de vectores del espacio vectorial V, tal que S constituye una base para V. Sea X un vector cualesquiera perteneciente a V, excepto el neutro de la ley de composición interna. Con estas caracterizaciones, podemos decir sin temor a equívoco alguno, que X se puede expresar como una combinación lineal única de los elementos de S: entonces: S = {S 1, S 2,..., S n } (V, +, K, ); S = S [V] X V X 0, X = n αi Si [1] i= 1 Ahora viene la condición de Steinitz, para canjear un vector de S por otro, de manera que el nuevo conjunto sea también una base para V: en la combinación lineal [1], cualquier vector que esté multiplicado por un escalar distinto del neutro de la primera ley interna en K (llamémosle 0), puede ser reemplazado por X y el nuevo conjunto, que (x) denotaremos como S [ V ], constituye una base para V. Supongamos un S j cualquiera, para el cual, su correspondiente α j 0 en [1]. Si reemplazamos al S j asociado a dicho escalar, nos queda el conjunto que hemos representado como (x) S [V], y nos queda el trabajo de demostrar que éste es una nueva base para V. O sea, debemos probar que (x) S ={ S1, S 2,...,S j-1, X, S j+1,...,s n } [V] es una base, y eso lo conseguiremos si probamos que este conjunto es Linealmente Independiente. Hagamos los siguientes pasos: 1. S = {S 1, S 2,..., S n } es L.I. 2.Lamamos S al subconjunto de vectores de S que no contiene al (1) [V] (1) [V] (1) S [V] vector Sj, por lo que S S es L.I. (Todo subconjunto de un conjunto L.I. es L.I.), por lo tanto se debe verificar que: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

29 n 1 αi Si = 0 ; i es α i = 0 i= 1 i j Entonces, si agregamos el vector x en esta combinación lineal, multiplicado por un escalar: n 1 αi Si + β X = 0 i= 1 Sólo se verificará para β = 0, pues ya hemos puesto la condición de que x 0. Por lo tanto, el nuevo conjunto S = {S1, S 2,, X,..., S n } (x) [V] genera al vector nulo, únicamente con escalares todos iguales a cero. Ello implica unívocamente que el nuevo conjuntos es Linealmente Independiente. Por otro lado al ser el nuevo conjunto linealmente independiente y al tener ( x) n componentes y ser la dim V = n, se tiene que S es un sistema de generadores de V. Por lo que habiendo probado que S (x) [V] [ V] es linealmente independiente y sistema de generadores de V entonces es una nueva base de V. (x) [V] 10.V.Vector de coordenadas: Si B { B,,, 1 B2 B } = L n es una base de V, entonces para cada vector X V existe un solo conjunto de escalares, α 1, α 2,..., α n, que permiten: X n α ibi i= 1 = Estos escalares (α i ) que identifican al vector de acuerdo a una base del espacio al que pertenecen, forman el vector de coordenadas del vector dado respecto de una base determinada. O sea α 1, α 2,..., α n son las componentes del vector de coordenadas que se representa por un vector columna: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

30 [] x [ B ] = 1 2 que se lee vector de coordenadas de M n α α α X respecto de la base B. Piense en el vector de coordenada como un nombre para X que le da los escalares que se usan al construir X como combinación lineal de los vectores de una base cualquiera. Importante Cada vector de un espacio vectorial se identifica de manera única con su vector de coordenadas, referido a una base en particular. Conclusión: Cada vector de un espacio vectorial tiene asociado a él infinitos vectores de coordenadas, uno por cada una de las infinitas bases del espacio vectorial al que pertenezca. 11.V. Matrices como conjunto de vectores: Con este nuevo concepto de vectores podemos redefinir una matriz, y diremos que: Matriz es un conjunto de vectores fila. es un conjunto de vectores columnas. Si consideramos la matriz A que pertenece a R mxn : Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

31 a11 a12 L a1 n a21 a22 a 2n A mxn = L L L L L am1 am2 L amn Si la particionamos por columnas obtendremos el conjunto de vectores columnas C: C = {, L, L ), L, )} (a,a,a ),(a,a,a,(a m m2 1n 2n L,a,a mn todos vectores que pertenecen a R m, ya que tienen m componentes. Ahora particionamos a A por filas y obtendremos el conjunto de los vectores filas: F = {, L, L ), L, )} (a,a,a ),(a,a,a,(a n n m1 m2 L,a,a mn Los vectores de este conjunto son todos de R n, tiene n componentes. 12.V.Espacio Fila y Espacio Columna de una matriz Tomemos una matriz genérica A R nxm : a a a L L m a21 a L L 22 a2m A = M M M M M M M M M M L L n1 n2 nm a a a Si la particionamos por columnas obtendremos un conjunto de vectores C: {(, L ), (, L ), L, (, )} C = a11,a21,an1 a12,a22,an2 a1m,a2m L,anm cada uno de los elementos del mismo es una columna de la matriz A, por lo que cada uno de ellos pertenece a R n, lo denominaremos conjunto de los vectores columnas de la matriz y tiene m elementos. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

32 Si ahora la particionamos por filas tendremos el conjunto F: {(, L ), (, L ), L, (, )} F = a11,a12,a1m a21,a22,a2m an1,an2 L,anm donde cada elemento del mismo es un vector fila de la matriz A, cada uno de ellos pertenece a R m y es el conjunto de los n vectores fila de la matriz. La combinación lineal de los elementos del conjunto columna genera un elemento que pertenece al mismo espacio vectorial que las columnas. Por lo que todas las combinaciones lineales posibles, la envolvente lineal de las columnas de la matriz la denominaremos Espacio Columna de la matriz. Por lo que realizando el análisis para el conjunto fila diremos que la envolvente lineal del conjunto fila de la matriz es el Espacio Fila de la misma. Si hablamos de espacio vectorial sabemos que los mismos tienen una determinada dimensión, por lo que existe una dimensión del espacio fila y un dimensión del espacio columna, dimensiones que obtenemos a partir de una base para dichos espacios vectoriales. Importante: La dimensión del espacio fila y la dimensión de la espacio columna de una matriz son iguales. 13.V.Rango Según lo que vimos anteriormente las dimensiones de los espacios filas y columnas de una matriz son iguales, con lo cual el número de vectores, tanto filas como columnas, linealmente independientes es igual. Este número es el rango de la matriz, luego diremos: El rango de una matriz está dado por el número de vectores (filas o columnas) linealmente independientes de una matriz. Lo simbolizamos de la siguiente manera: Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

33 Dada la matriz A, si el rango de A es 2 ρ(a) = 2, que representa el número de vectores (filas o columnas) linealmente independientes. Pero que también representa las dimensiones de los espacios filas o espacios columnas. Con lo que Dim(Ef A) = Dim(Ec.A) = ρ(a) Para obtener el rango de una matriz usaremos Gauss-Jordan, ya que al obtener la forma canónica o reducida de la matriz, contando los vectores columnas unitarios tendremos el número que representa el rango de la matriz dada V. Rango en matrices cuadradas. Veremos más en detalle, qué ocurre cuando estamos frente a matrices cuadradas. Esto es, rango para A nxn. En este caso, tanto las filas como las comunas, son vectores en R n y además podemos decir que tales vectores constituyen dos conjuntos incluidos en (R n, +, R, ). Por otra parte, el rango de A nos da el número máximo de filas y/o columnas L.I., entonces para este tipo de matrices, podemos decir que ρ(a) nos indica si los conjuntos generan al espacio vectorial o a un subespacio de éste (en este caso, claro, el mismo para ambos conjuntos). En caso de ρ(a) = n, esto es, tanto el conjunto de vectores filas o de columnas, con todos sus elementos, conforman conjuntos de n vectores L.I., entonces se dice que la matriz tiene rango máximo. Y este concepto tiene importantes connotaciones, a saber: Si A tiene rango máximo, esto ρ(a) = n, entonces: Su determinante es distinto de 0 (cero). A admite inversa: es Regular o no Singular Si A no tiene rango máximo, esto ρ(a)< n, entonces: Su determinante es igual a 0 (cero). Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

34 A no admite inversa: es no Regular o Singular 14.V.Soluciones Básicas en Sistemas Compatibles Indeterminados. Ya sabemos que en un Sistema de Ecuaciones Lineales AX = B en el que A R mxn con m < n (menor número de ecuaciones que de incógnitas) y con ρ(a) = m, entonces tal Sistema es compatible indeterminado. Podemos a partir de él obtener subsistemas que permitan encontrar soluciones determinadas. Si para que un S.E.L. sea determinado es necesario que las columnas de la matriz de coeficientes constituyan una base para el espacio al que pertenece el vector B, tendremos que tomar de la matriz de coeficientes una submatriz cuadrada de rango máximo y así garantizarnos solución única. Para ello particionamos por columnas la matriz A en dos submatrices, tal que una de ellla tenga rango máximo (ρ(a) = m): A mxn = A A 1 mxm 2 mx(n-m) Para poder realizar el producto deberemos particionar a X convenientemente: X nx1 = X X 1 mx1 2 (n m)x1 Por lo que: AX = A A 1 mxm 2 mx(n-m) X X 1 mx1 2 (n m)x1 = B Resolviendo: AX = A 1 X 1 + A 2 X 2 = B Como anulamos las incógnitas de la particion X 2 AX = A 1 X 1 + A 2 0 = B Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

35 AX = A 1 X 1 = B Donde A 1 tiene rango máximo, o bien, determinante distinto de cero, o bien es regular o invertible, su rango es máximo e igual a m, con lo cual las columnas de A constituyen una base para el espacio a que pertenece B, y por lo tanto éste se pude expresar como combinación lineal de las columnas de A 1. Este subsistema puede ser resuelto pre-multiplicando por su inversa: 1 1 A 1 A1 X1= A 1 B 1 X1= A 1 B solución: Entonces, la solución básica, para esta submatriz de A, será el vector X = X 1 0 mx1 (n- m)x1 Esta es, entonces, una solución indeterminada denominada básica porque surge de una base de la matriz de coeficientes del Sistema. Otro concepto a tener en cuenta en este punto es el siguiente: a los elementos de X 1 de X 1 0 mx1 (n- m)x1 se los denomina variables básicas. Esto nos lleva a un nuevo concepto: Solución básica degenerada. Decimos que una solución básica de un Sistema de Ecuaciones Lineales indeterminado es degenerada cuando, al menos, una variable básica se anula. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año

36 O sea que si al resolver el subsistema A 1 X 1 = B, siendo A 1 una matriz de rango máximo, se presenta que un xi X 1 asume el valor cero, entonces la solución básica se dice que es degenerada. Material elaborado por la Profesora Ana Aída Sforzini - Año