Algebra Lineal XXI: Existencia de la Función Determinante, Expansión de Cofactores.

Transcripción

1 Algebra Lineal XXI: Existencia de la Función Determinante, Expansión de Cofactores. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@salamanca.ugto.mx En estas notas mostraremos como es posible definir la función determinante para matrices cuadradas de cualquier orden. 1. Menores y cofactores. El primer paso será definir los menores, los cofactores y las matrices de menores y cofactores. Definición: Menores y la matriz de menores. Sea M M m m, el menor i,j de M, denotado por M ij es el valor del determinante de la matriz de m 1 filas y m 1 columnas obtenida eliminando la i-ésima fila y la j-ésima de M. 1 La matriz de menores de M, denominada menorm está dada por menorm = M 11 M 12 M 1m M 21 M 22 M 2m.... M 1m M 2m M mm Definición: Cofactores y la matriz de cofactores. Sea M M m m, el cofactor i,j de M, denotado por M ij está dado por ( 1) i+j M ij. La matriz de cofactores de M, denominada cofactorm está dada por cofactorm = M 11 M 12 M 1m M 21 M 22 M 2m.... M 1m M 2m M mm Definición: Expansión de cofactores. Sea m un entero positivo con m 2 y sea i un entero positivo tal que 1 i m, entonces la siguiente expresión m m ij M ij. j=1 se denomina la expansión de M en los cofactores de la i ésima fila, o simplemente la expansión de M acerca de la i-ésima fila. 1 Si la matriz resultante es de orden 1, es decir si M 11 = [m11], entonces M 11 = m 11. 1

2 Ejemplo: Expansión de cofactores para matrices de orden 2. Considere una matriz M M 2 2 dada por [ ] m11 m M = 12 m 21 m 22 Entonces menorm = [ ] m22 m 21 m 12 m 11 y cofactorm = [ ] m22 m 21 m 12 m 11 Entonces, la expansión de cofactores empleando la primera fila está dada por m 11 M 11 +m 12 M 12 = m 11 m 22 +m 12 ( m 21 ) = m 11 m 22 m 12 m 21 = detm = M Debe notarse que el resultado es el valor del determinante para una matriz de orden 2. Esta observación se generaliza en el siguiente teorema. Teorema. Sea m un entero positivo tal que m 2. Existe una función determinante para cada valor de m. Además, para todo entero 1 i m la función definida por m M = detm = m ij M ij. es la función determinante. Prueba: Se harálapruebaporinducción, yase probóparam = 2. Porlahipótesisde inducción, se supondrá que el resultado es válido para m 1 y a partir de estas suposiciones trataremos probar que el resultado para m. Es suficiente probar que la expansión de cofactores satisface las cuatro propiedades de la función determinante. 1. Considere dos matrices cuadradas de orden m dadas, en términos de sus columnas, por j=1 M = (M 1 M j M m ) y M = (M 1 M j M m) Entonces, considere la matriz N dada por N = (M 1 M j +M j M m) Considere ahora la expansión del determinante de la matriz N en base a la i-ésima fila de N detn = m i1 N i1 + +(m ij +m ij )Nij + m im N im Ahora, es necesario analizar los cofactores de esta expansión. Parak j, setienequen ik = ( 1) i+k N ik,donde N ik esundeterminantedeordenm 1 donde una columna está dada por M j + Mj excepto que la i ésima fila está ausente. Como, por la suposición de inducción, esta propiedad se satisface para los determinantes de orden m 1 se tiene que N ik = M ik +M ik y N ik = M ik +M ik Para k = j, se tiene que N ij = ( 1) i+j N ij, donde N ij es un determinante de orden m 1 donde la j ésima columna dada por M j +Mj está ausente. Por lo tanto N ij = M ij = M ij y N ij = M ij = M ij Recolectando estos resultados se tiene que detn = m i1 (M i1 +M ij )+ +(m ij +m ij )Mij + +m im (M im +M im ) = m i1 M i1 +m i1 M ij + +m ij M ij +m ijm ij + +m im M im +m im M im = (m i1 M i1 + +m ij M ij + +m im M im )+(m i1 M ij + +m ijm ij + +m im M im ) = detm +detm 2

3 2. A partir de la definición de la matriz M, dada por M = (M 1 M j M m ) defina la matriz N como N = (M 1 λm j M m ) Entonces detn = m i1 N i1 + +λm ij N ij + m im N im Ahora, es necesario analizar los cofactores de esta expansión. Para k j, se tiene que N ik = ( 1) i+k N ik, donde N ik es un determinante de orden m 1 donde una columna está dada por λm j excepto que la i ésima fila está ausente. Como, por la suposición de inducción, esta propiedad se satisface para los determinantes de orden m 1 se tiene que N ik = λm ik y N ik = λm ik Para k = j, se tiene que N ij = ( 1) i+j N ij, donde N ij es un determinante de orden m 1 donde la j ésima columna dada por λm j está ausente. Por lo tanto Recolectando estos resultados se tiene que N ij = M ij y N ij = M ij. detn = m i1 λm i1 + +λm ij M ij + m im λm im = λ(m i1 M i1 + +m ij M ij + m im M im ) = λdet M. 3. A partir de la definición de la matriz M, dada por M = (M 1 M j M j M m ) Entonces detm = m i1 M i1 + +m i,j M ij +m i,j+1 M i,j+1 + m im N im Ahora, es necesario analizar los cofactores de esta expansión. Para k j y k j +1 se tiene que M ik = ( 1) i+k M ik, donde M ik es un determinante de orden m 1 donde dos columnas son iguales. Como, por la hipótesis de inducción, esta propiedad se satisface para los determinantes de orden m 1 se tiene que M ik = 0 por lo tanto M ik = 0 Para k = j, se tiene que M ij = ( 1) i+j M ij, mientras que para k = j + 1 M i,j+1 = ( 1) i+j+1 M i,j+1, donde M ij = M i,j+1 pues ambos menores tienen las mismas columnas. Además m ij = m i,j+1. M i,j+1 = ( 1) i+j+1 M i,j+1 = ( 1) i+j M i,j ( 1) = M ij. Recolectando estos resultados se tiene que detm = m i1 0+ +m ij M ij +m i,j+1 M i,j+1 m im 0 = m ij M ij +m ij ( M ij ) = 0. 3

4 4. Considere la matriz identidad de orden m I m = Realizando la expansión por cofactores en base a la primera fila I m = 1I 11 m +0I12 m + +0I1m m = 1( 1)1+1 I m11 Sin embargo, I m11 es un determinante de una matriz identidad de orden m 1 y por la hipótesis de inducción I m11 = 1 por lo tanto I m = 1 Una vez probados esos resultados, es posible probar, por la misma técnica de inducción otros resultados. Corolario. Sea D M p p una matriz diagonal. Es decir, los elementos de D están dados por Entonces, el determinante de D está dado por d ij = 0, i j. detd = d 11 d 22 d pp = p d ii. Prueba: Por inducción, para p = 2, se tiene que detd = d d 22 = d 11 d = d 11 d 22. Por la hipótesis de inducción, se tiene que si D es de orden p 1, se tiene que i=1 detd = d 11 d 22 d p 1,p 1. Finalmente si D es de orden p, se tiene que realizando la expansión por cofactores en base a la p ésima fila, se tiene que d d detd = d p 1,p d pp d = d pp ( 1) p+p 0 d d p 1,p 1 = d 11 d 22 d p 1,p 1 d pp. Corolario. Sea T M p p una matriz triangular superior. Es decir, los elementos de T están dados por t ij = 0, i > j. 4

5 Entonces, el determinante de T está dado por dett = t 11 t 22 t p 1,p 1 t pp = P t ii. Prueba: Por inducción, para p = 2, se tiene que dett = t 11 t 12 0 t 22 = t 11 t 22 0 t 12 = t 11 t 22. Por la hipótesis de inducción, se tiene que si T es de orden p 1, se tiene que dett = t 11 t 22 t p 1,p 1. Finalmente si T es de orden p, se tiene que realizando la expansión por cofactores en base a la p ésima fila, se tiene que t 11 t 12 t 1,p 1 t 1p 0 t 22 t 2,p 1 t 2p dett = t p 1,p 1 t p 1,p t pp t 11 t 12 t 1,p 1 = t pp ( 1) p+p 0 t 22 t 2,p t p 1,p 1 = t 11 t 22 t p 1,p 1 t pp. 2. Problemas Resueltos. Problema 1. Para la siguiente matriz determine su matriz de menores y su matriz de cofactores M = Los menores asociados a la matriz están dados por M 11 = = 3 M 12 = = 3 M 13 = i= = 3 M 21 = = 5 M 22 = = 5 M 23 = = 5 M 31 = = 7 M 32 = = 7 M 33 = = 7 La matriz de menores está dada por menorm =

6 Los cofactores de la matriz están dados por M 11 = ( 1) 1+1 M 11 = 3 M 12 = ( 1) 1+2 M 12 = 3 M 13 = ( 1) 1+3 M 13 = 3 M 21 = ( 1) 2+1 M 21 = 5 M 22 = ( 1) 2+2 M 22 = 5 M 23 = ( 1) 2+3 M 23 = 5 M 31 = ( 1) 3+1 M 31 = 7 M 32 = ( 1) 3+2 M 32 = 7 M 33 = ( 1) 3+3 M 33 = 7 y la matriz de cofactores está dada por cofactorm = Problema 2. Para la matriz del problema 1, determine el determinante de la matriz empleando la expansión por cofactores a) en base a la primera fila, b) en base a la tercera fila. Solución. a) En base a la primera fila, el determinante está dado por M = m 11 M 11 +m 12 M 12 +m 13 M 13 = 1( 3)+3(3) 2(3) = 0. b) En base a la tercera fila, el determinantes está dado por M = m 31 M 31 +m 32 M 32 +m 33 M 33 = 1(7)+2( 7) 3( 7) = Problemas Propuestos. Problema 1. Determine el determinante de cada una de las siguientes matrices 1. Matriz 1 2. Matriz 2. M 1 = M 2 =