35.- Ondas progresivas.

Transcripción

1 35.- Ondas progresivas Introduión (1079); Tipos de ondas (1080); Frente de onda. Ondas planas y esférias (1082); Perturbaión progresiva. Funión de onda plana. Veloidad de fase (1084); Euaión diferenial de la onda plana (1086); Ondas armónias. Longitud de onda (1087); Propagaión de ondas planas en una direión arbitraria (1090); Ondas transversales. Polarizaión (1092); Veloidad de propagaión de las ondas transversales (1095); Ondas longitudinales (1097); Veloidad de propagaión de las ondas longitudinales (1099); Caráter adiabátio del movimiento ondulatorio longitudinal (1103); Ondas superfiiales en los líquidos (1105); Energía en el movimiento ondulatorio (1108); Absorión (1114); Problemas (1115) Introduión.- El movimiento ondulatorio aparee en asi todos los ampos de la Físia. Sin duda alguna, la noión más intuitiva que tenemos del movimiento ondulatorio está asoiada on las ondas produidas por el viento o alguna otra perturbaión sobre la superfiie del agua. Oímos un foo sonoro por medio de las ondas (ondas sonoras) que se propagan en el aire o en ualquier otro medio material; y las vibraiones del propio foo (v.g., la uerda de una guitarra, la olumna de aire en un tubo sonoro,...) onstituyen una onda denominada onda estaionaria. Muhas de las propiedades de la luz se explian satisfatoriamente por medio de una teoría ondulatoria, estando firmemente estableido hoy día que las ondas luminosas tienen la misma naturaleza que las radiondas, las radiaiones infrarrojas y ultravioletas, los rayos X y la radiaión gamma. Uno de los progresos más importantes de la Físia del siglo XX ha sido el desubrimiento de que toda la materia está dotada de propiedades ondulatorias (ondas de materia) y que, por ejemplo, un ristal difrata del mismo modo un haz de eletrones que un haz de rayos X. En esta Leión vamos a entrar nuestra atenión en las ondas que se propagan en los medios deformables o medios elástios. Tales ondas, entre las que se enuentran las ondas sonoras ordinarias, pueden denominarse ondas meánias y se originan al desplazarse alguna porión de un medio elástio de su posiión normal, iniiándose así una osilaión respeto a su posiión de equilibrio. Entones, debido a las propiedades elástias del medio material, la perturbaión original se transmite a las poriones de materia veinas, y de éstas a las siguientes, y así suesivamente, de modo que la perturbaión se propaga por el medio, alanzando a todas las poriones de éste, que quedarán sometidas a movimientos análogos al del punto donde se iniió la perturbaión. Obviamente, todos los puntos del medio no serán alanzados simultáneamente por la perturbaión, ya que ésta se propaga on una Manuel R. Ortega Girón 1079

2 1080 Le Ondas progresivas. veloidad finita que depende de las propiedades (elástias e ineriales, omo veremos más adelante) del medio, de modo que las partíulas más alejadas del origen de la perturbaión omenzarán a moverse on un ierto retraso. En definitiva, podemos deir que la propagaión de una perturbaión en un medio onstituye un movimiento ondulatorio. Obsérvese que el medio mismo no se mueve en su onjunto al progresar en él la perturbaión (i.e., la onda). Las partíulas materiales del medio tan sólo osilan en trayetorias limitadas, de modo que el movimiento ondulatorio no implia la traslaión de materia. Lo únio que se traslada o transmite es "movimiento" (aunque mejor sería deir energía). Así, por ejemplo, en las ondas que se forman sobre la superfiie del agua de un estanque, los pequeños objetos que están flotando sobre diha superfiie nos muestran que el movimiento real de las diversas poriones del agua onsiste en pequeños desplazamientos haia adelante-atrás y haia arriba-abajo. La onda en sí (i.e., la perturbaión) avanza ontinuamente sobre la superfiie del agua y uando alanza a los objetos flotantes los pone en movimiento, trasfiriéndoles energía. El movimiento ondulatorio transporta energía. Este transporte de energía, que puede tener lugar a distanias onsiderables, se realiza sin neesidad de desplazamiento de materia a gran distania, ya que ada elemento del medio transmite energía a los elementos veinos. Para que se propaguen las ondas meánias es neesario tener omo soporte un medio material. Sin embargo, no es neesario tal medio para la propagaión de ondas eletromagnétias (v.g., la luz), que pueden propagarse en el vaío, aunque también se propagan en los medios materiales. Las propiedades del medio material que determinan la veloidad de las ondas meánias en él son su elastiidad y su ineria. Todos los medios materiales (v.g., aire, agua, aero,...) poseen esas propiedades y en ellos pueden propagarse las ondas meánias. Es la elastiidad la que da lugar a las fuerzas restauradoras sobre ualquier elemento que se desplaza de su posiión de equilibrio; es la ineria la que responderá a esas fuerzas restauradoras Tipos de ondas.- La perturbaión que se propaga en un medio puede ser de naturaleza muy diversa, y la onda reibe el nombre de la magnitud físia uya perturbaión se propaga. Así, tenemos ondas de desplazamiento, ondas de presión (v.g., las ondas sonoras), ondas térmias, ondas eletromagnétias (v.g., la luz),... Como la magnitud físia asoiada on la onda puede ser esalar o vetorial, las ondas pueden tener aráter esalar o vetorial. Podemos distinguir diferentes tipos de ondas al onsiderar omo están relaionados los movimientos de las partíulas del medio material on respeto a la direión de propagaión de la onda misma. Si las osilaiones de las partíulas son perpendiulares a la direión de propagaión de la onda, tenemos una onda transversal. Por el ontrario, si las partíulas osilan en la direión en que se propaga la onda, tenemos una onda longitudinal. Por ejemplo, imaginemos que a uno de los extremos de una uerda tensa le apliamos una saudida transversal; la perturbaión que experimenta diho extremo no queda loalizada en él, sino que avanza a lo largo de la uerda, omo se ilustra en las instantáneas suesivas que se muestran en la Figura La perturbaión se

3 Tipos de ondas propaga a lo largo de la uerda, pero los distintos elementos o poriones de la uerda tan sólo se desplazan en direión perpendiular a la uerda, i.e., en direión perpendiular a la de propagaión de la perturbaión, uando la perturbaión llega hasta ellos. Esta onda es transversal. Figura 35.1 Figura 35.2 Para omprender la meánia de una onda longitudinal imaginaremos un tubo largo, lleno de un fluido y provisto de un émbolo (Figura 35.2). Supongamos que, súbitamente, desplazamos ligeramente el émbolo haia la dereha. Durante el avane del émbolo, las partíulas fluidas justamente en ontato on él son obligadas a desplazarse haia adelante, originándose junto al émbolo una región uya presión es superior a la de equilibrio (ompresión o ondensaión). Esta perturbaión progresa a lo largo del tubo on una veloidad onstante, omo se ilustra en las instantáneas suesivas que se muestran en la Figura El movimiento de ada una de las partíulas o poriones del fluido es haia adelante, paralelo a la direión en que se propaga la perturbaión. Esta onda es longitudinal (las ondas sonoras son de este tipo). Las ondas luminosas no son ondas meánias; la perturbaión que se propaga no es un movimiento de materia, sino un ampo eletromagnétio. Pero omo los ampos elétrio y magnétio son perpendiulares a la direión de propagaión, las ondas luminosas tienen aráter transversal. Algunas ondas no son ni puramente transversales ni puramente longitudinales. Este es el aso de las ondas superfiiales en el agua, ya que las partíulas fluidas desriben trayetorias elíptias o irulares en planos vertiales paralelos a la direión de propagaión (Figura 35.26). Estas ondas pueden onsiderarse omo la superposiión de una onda transversal y otra longitudinal de la misma freuenia, desfasadas 90. También podemos estableer una lasifiaión de las ondas atendiendo al número de dimensiones espaiales en que se propaga la energía; así hablaremos de ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Las ondas que avanzan a lo largo de una uerda tensa o en el interior de un tubo sonoro, omo en los ejemplos anteriores, son unidimensionales; las ondas superfiiales en el agua son bidimensio-

4 1082 Le Ondas progresivas. nales; las ondas sonoras o luminosas que emanan de una fuente de pequeñas dimensiones son tridimensionales. Además, una onda puede onsistir en la propagaión de un sólo pulso (pulso de onda), de manera que ada partíula del medio tan sólo se mueve durante el intervalo de tiempo que emplea el pulso en pasar por ella. Los ejemplos anteriores (Figura 35.1 y Figura 35.2) orresponden a pulsos de onda transversal y longitudinal, respetivamente. Una araterístia importante de un pulso de onda es que tiene un prinipio y un fin. Esto es, la perturbaión tiene una extensión limitada, de modo que en un instante dado sólo será perturbada una región limitada del medio reorrido por el pulso. Normalmente, el pulso de onda varía de forma onforme se desplaza, ensanhándose gradualmente. Este efeto, denominado dispersión, se produe en todas las ondas (exepto en las ondas eletromagnétias en el vaío), pero en muhos asos de interés prátio es despreiable, de modo que el pulso onserva aproximadamente su forma. Una onda también puede onsistir en una suesión de pulsos (tren de ondas), idéntios o no. Si las perturbaiones son periódias, tendremos un tren de ondas periódio, y ada partíula del medio adquirirá un movimiento periódio. El aso más simple e interesante es el de una onda armónia simple u onda sinusoidal, que omunia a ada partíula del medio un movimiento armónio simple. Idealmente, una onda periódia no tiene prinipio ni fin, de modo que la perturbaión tiene una extensión ilimitada en el espaio. A diferenia de un pulso de onda, estas ondas no se dispersan uando se propagan Frente de onda. Ondas planas y esférias.- La perturbaión que reorre un medio avanza on una ierta veloidad que depende de las propiedades del medio. Si el medio es isótropo, la veloidad de propagaión de la perturbaión es la misma en todas las direiones del espaio. Imaginemos un pulso tridimensional que se origina en un punto O de un medio isótropo indefinido (Figura 35.3). Si es la veloidad on que avanza este pulso, al abo de un ierto tiempo, t, la perturbaión habrá afetado a todos los puntos de una superfiie esféria de radio r=t y entro en O. Todas las partíulas del medio que se enuentren sobre una superfiie esféria entrada en el punto O (origen de la perturbaión) serán alanzadas simultáneamente por la perturbaión y experimentarán una perturbaión similar a la original en el punto O, pero on un ierto retraso. Conforme transurre el tiempo, esta superfiie se desplaza, mostrando omo se propaga la perturbaión en el medio. Si la perturbaión es periódia, podemos generalizar la idea anterior trazando superfiies similares para pulsos subsiguientes. Estas superfiies reiben el nombre de superfiies o frentes de onda. En un instante dado, todos los puntos situados sobre una Figura 35.3 ualquiera de tales superfiies (esférias, en nuestro ejemplo) se enuentran en el mismo estado o fase de movimiento (i.e., están en fase).

5 Frente de onda. Ondas planas y esférias Se denomina superfiie o frente de ondas al lugar geométrio determinado por los puntos del medio que son alanzados simultáneamente por la perturbaión y que, en onseuenia, en ualquier instante dado están en el mismo estado o fase de la perturbaión. La direión de propagaión de la perturbaión (i.e., de la energía) es perpendiular al frente de onda. Una línea normal a los frentes de onda, que india la direión y sentido de propagaión de la perturbaión, se denomina rayo. Los frentes de onda pueden tener formas muy diversas. Si las ondas se propagan en sólo una direión, los frentes de onda estarán onstituidos por planos paralelos (ondas planas). En un instante dado, las ondiiones son idéntias en todos los puntos de un plano ualquiera perpendiular a la direión de propagaión. Los frentes de onda son planos y los rayos son Figura 35.4 retas paralelas (Figura 35.4a). Tenemos un ejemplo de este tipo de ondas en las proximidades de una membrana vibrante. En la naturaleza enontramos ondas que se propagan en varias dimensiones del espaio, de las uales las más interesantes son las ondas esférias, las ilíndrias y las irulares. En el aso de las ondas esférias, la perturbaión se propaga on la misma veloidad en todas las direiones del espaio, alejándose radialmente del punto que onstituye el foo de las ondas. Como ejemplo, podemos imaginar una esfera de pequeñas dimensiones uyo radio flutúa periódiamente (esfera pulsante). En estas ondiiones, los frentes de ondas están onstituidos por superfiies esférias entradas en el foo y los rayos oiniden on las direiones radiales (Figura 35.3) 1. Estas ondas son tridimensionales, y se generan, por ejemplo, uando se produe repentinamente un ambio de presión en un punto de un fluido extenso. Si imaginamos un onjunto infinito de fuentes puntuales uniformemente distribuidas sobre una línea reta o eje, todas ellas osilando en fase, el resultado será una onda ilíndria (Figura 35.4b). Los frentes de onda serán superfiies ilíndrias onéntrias en diho eje y la onda se propagará en todas la direiones perpendiulares al mismo eje. La onda ilíndria es bidimensional. Una buena aproximaión de esta situaión la tenemos en las proximidades de una antena radiante. Las ondas irulares son ondas bidimensionales que se propagan sobre una superfiie, tal omo la superfiie libre de un fluido o una membrana tensa. Si se produe una perturbaión en un punto de la superfiie, la perturbaión se propagará 1 En los medios anisótropos, la veloidad de propagaión depende de la direión onsiderada y los frentes de onda no serán esférios, sino elipsoidales.

6 1084 Le Ondas progresivas. Figura 35.5 por la superfiie on la misma veloidad en todas las direiones, resultando un onjunto de frentes de onda irulares. Obsérvese que, en este aso, los frentes de onda no son superfiies, sino líneas. En la Figura 35.5 mostramos una fotografía de ondas plana irulares en la superfiie del agua, en una ubeta de ondas, propagándose desde un punto en el que una varilla en osilaión hae ontato on la superfiie del agua Perturbaión progresiva. Funión de onda plana. Veloidad de fase.- Supongamos que produimos una perturbaión de ualquier tipo en un punto O de un medio indefinido. Si representamos por Ψ el valor de la magnitud físia perturbada, entones el valor de diha magnitud en el punto O (que tomaremos omo origen de oordenadas), en un instante dado t, vendrá expresado por la funión (Figura 35.6) Ψ Ψ (t) en x 0 [35.1] Esta perturbaión se propaga por el medio y, si el frente de onda es plano y la absorión es despreiable, se reprodue en todos los puntos del medio que sean alanzados por la perturbaión. Nuestro objetivo es enontrar una funión similar a la [35.1] que nos desriba la perturbaión en un punto P, de absisa x. Naturalmente, la perturbaión empleará un ierto tiem- Figura 35.6 po t =x/ en reorrer la distania x=op on una veloidad. Si midiésemos el tiempo a partir del instante t, la funión [35.1] nos desribiría la perturbaión en el punto P; pero si medimos el tiempo a partir del instante iniial onsiderado anteriormente, la funión que nos desribirá la perturbaión en P será Ψ (x,t) Ψ (t t ) Ψ (t x ) [35.2] Esta funión nos da el mismo valor de Ψ en el instante t=t en el punto P (de absisa x), que el que teníamos para t=0 en el origen de la perturbaión (de absisa x=0) (Figura 35.7). La funión [35.2] es la funión general que representa una perturbaión de ualquier lase que se propaga en la direión positiva del eje x, i.e., la funión de onda plana.

7 Perturbaión progresiva. Funión de onda plana. Veloidad de fase Consideremos más uidadosamente la funión [35.2] (vide Figura 35.7). Si deseamos seguir una ierta fase de la perturbaión onforme transurre el tiempo y ésta avanza en el medio, entones debemos busar en la funión [35.2] un ierto valor onstante de Ψ (v.g., la parte más alta de los pulsos). Desde el punto de vista matemátio, esto signifia que busamos omo ambia x on Figura 35.7 respeto a t uando (t-x/) se onserva onstante. Inmediatamente vemos que uando t aumenta x también debe aumentar a fin de que se onserve onstante el valor de (t-x/). Por onsiguiente, la funión [35.2] representa una perturbaión que se propaga en la direión positiva del eje x (Figura 35.8a). Obviamente, para una perturbaión que se propague en la direión negativa del eje x deberemos esribir 2 x Ψ (x,t) Ψ (t [35.3] ) La veloidad on que avanza ierta fase de la perturbaión se obtiene fáilmente. Para ierta fase de una perturbaión que se propaga en la direión del eje x esribiremos x t te. de modo que derivando respeto a t nos queda [35.4] 1 1 dx dt 0 dx dt [35.5] de manera que es realmente la veloidad de fase de la perturbaión. La euaión de una perturbaión progresiva (o funión de onda) puede interpretarse de otra manera. Obsérvese que para ualquier valor fijo de t (i.e., para un instante dado) la funión Ψ(x,t) nos presenta Ψ omo funión exlusivamente de x; esto es, Ψ(x). Esta funión define una urva que representa, por ejemplo, la forma que tiene en un instante dado una uerda tensa por la que se propaga una perturbaión transversal. Así pues, la funión Ψ(x) representa la forma de la perturbaión 2 En lo que sigue, utilizaremos la expr. [35.2] para representar tanto una perturbaión que se propaga en el sentido positivo omo en el negativo del eje x; para ello será sufiiente onsiderar el signo de la veloidad de propagaión, que será positivo o negativo según sea el aso. Además, el alumno omprobará fáilmente que las funiones Ψ(t-x), Ψ(x-t),... también representan ondas planas que se propagan en la direión positiva o negativa, según sea el aso, del eje x.

8 1086 Le Ondas progresivas. Figura 35.8 (forma de onda) en un instante dado (Figura 35.8a). Pero también podemos entrar nuestra atenión en un punto ualquiera del medio (v.g., de la uerda), esto es, para un valor fijo de x. Entones, la funión Ψ(t) nos desribe omo ambia el valor de la magnitud físia Ψ en diho punto en funión del tiempo (Figura 35.8b) Euaión diferenial de la onda plana.- Como las variaiones de las magnitudes físias impliadas en los proesos físios están gobernadas por leyes dinámias que pueden expresarse mediante euaiones difereniales, resultará interesante y onveniente explorar la posibilidad de enontrar una euaión diferenial que sea apliable a todo tipo de movimiento ondulatorio. Si ello es posible, entones, ada vez que enontremos que las variaiones de una ierta magnitud físia, impliada en un determinado proeso, satisfagan tal euaión diferenial, podremos asegurar que tales variaiones se propagan omo una onda no amortiguada on una veloidad bien definida. Esta forma de atuar es similar a la que ya hemos utilizado en leiones anteriores on el m.a.s., que está gobernado por una euaión diferenial de la forma d 2 x/dt 2 +ω 2 x=0, que es la euaión diferenial del m.a.s. no amortiguado. Entones, hemos podido servirnos de esta euaión para identifiar diversos tipos de m.a.s. (vide: 13.7 sistema masa-muelle, 13.8 péndulo simple, 21.3 péndulo físio, 28.2 osilaiones de torsión,...), una vez estableidas las leyes del movimiento orrespondientes a ada una de las diversas situaiones físias. Para enontrar la euaión diferenial del movimiento ondulatorio unidimensional no amortiguado, partiremos de la funión de onda que lo desribe, esto es x Ψ (x,t) Ψ (t [35.6] ) y designaremos por ϑ=t-x/ la fase del movimiento ondulatorio, de modo que será Ψ=Ψ(ϑ). Como tenemos dos variables independientes, x y t, deberemos usar derivadas pariales y serán ϑ x 1 ϑ t 1 [35.7] Calulando las derivadas primeras de la funión Ψ(x,t) respeto de x y de t tenemos Ψ x dψ dϑ ϑ x 1 dψ dϑ Ψ t dψ dϑ ϑ t dψ dϑ [35.8] y alulando ahora las derivadas segundas

9 Euaión diferenial de la onda plana Ψ x 2 2 Ψ t 2 d dϑ d dϑ 1 dψ dϑ dψ dϑ ϑ x ϑ t 1 2 d 2 Ψ dϑ 2 d 2 Ψ dϑ 2 [35.9] y ombinando ambos resultados eliminaremos d 2 Ψ/dϑ 2, de modo que tenemos finalmente 2 Ψ 1 x Ψ t 2 [35.10] que es la euaión diferenial del movimiento ondulatorio unidimensional (onda plana) no amortiguado. A vees, se le llama simplemente euaión de onda plana. En virtud de omo hemos llegado a estableer la euaión de onda [35.10], resulta obvio afirmar que ualquier funión de la forma Ψ(t-x/) o equivalente [v.g., Ψ(x-t), Ψ(t-x), Ψ(ωt-kx),...] será soluión de la euaión diferenial [35.10]. En un proeso físio definido, la forma onreta de la funión de onda Ψ(t-x/) que satisfaga a la euaión de onda deberá determinarse a partir de ondiiones adiionales asoiadas on el proeso físio en uestión Ondas armónias. Longitud de onda.- Supongamos que la perturbaión en el punto O, que tomaremos omo origen de absisas, sea una perturbaión armónia, de modo que los ambios que experimenta la magnitud físia Ψ venga desrita en diho punto (x=0) por Ψ (0,t) A sen ω t [35.11] Al propagarse la perturbaión a otros puntos del medio, la variaión de la magnitud físia Ψ en funión del tiempo en un punto de absisa x vendrá dada por Ψ (x,t) A sen x [35.12] ω (t ) que es la expresión matemátia de una perturbaión armónia propagándose en la direión del eje x; i.e., lafunión de onda armónia plana. En las expresiones [35.11] y [35.12] A y ω representan respetivamente la amplitud y la freuenia angular de la perturbaión armónia y es la veloidad de propagaión de la onda. Si denominamos por T y ν el periodo ylafreuenia, respetivamente, de diha perturbaión armónia, será 2π ω 2π ν T de modo que [35.12] también se puede esribir omo Ψ (x,t) A sen 2π T (t x ) [35.13] [35.14]

10 1088 Le Ondas progresivas. o bien Ψ (x,t) A sen [35.15] 2π t x T T El produto T (que tiene dimensiones de una longitud) representa la distania a la que se propaga la perturbaión en el transurso de un periodo. A diha distania la llamamos longitud de onda y la representamos por λ; esto es, λ T [35.16] Es fáil omprender que la longitud de onda representa, también, la distania mínima que existe entre dos puntos del medio que osilan en fase. Sustituyendo [35.16] en [35.15], la funión de onda armónia plana queda en la forma Ψ (x,t) A sen [35.17] 2π t x T λ en la que se pone de manifiesto que el periodo T ylalongitud de onda λ desempeñan papeles análogos en lo que respeta a la periodiidad de la funión sinusoidal. En efeto, el movimiento ondulatorio desrito por la funión de onda [35.17] presenta una doble periodiidad: en el tiempo y en el espaio. Si estamos interesados en analizar la situaión general en todo el medio en un instante t=te., observaremos que el valor de la magnitud físia Ψ se repite, en idéntias ondiiones, en puntos separados entre sí por distanias iguales a la longitud de onda λ, omo se muestra en la Figura 35.9a, que representa una instantánea de la forma de onda. Pero, por el ontrario, si entramos nuestra atenión en lo que ourre en un punto determinado del medio reorrido por la onda, digamos el punto de oordenada x=te., observaremos las osilaiones de la magnitud físia Ψ on un periodo T (Figura 35.9b). Podemos esribir la funión de onda [35.17] en una forma más ompata y onveniente si definimos el número de onda angular 3, que designaremos por k, omo Figura 35.9 y reordamos que ω =2π/T, de modo que k 2π λ [35.18] Ψ (x,t) A sen (ω t kx) [35.19] 3 También llamado vetor de onda o vetor de propagaión, por las razones que veremos más adelante, aunque de momento lo onsideraremos omo un esalar.

11 Ondas armónias. Longitud de onda Ahora, dividiendo miembro a miembro las expresiones [35.13] y [35.18] y teniendo en uenta la expresión [35.16] vemos que la veloidad de fase se puede expresar omo ω k λ T [35.20] En la onda progresiva representada por la funión [35.19] hemos supuesto que la elongaión Ψ es ero en el punto x=0 en el instante t=0. Evidentemente, no es neesario que sea así, de modo que la expresión general de un tren de ondas armónias unidimensionales que avanzan en el sentido positivo del eje x será Ψ (x,t) A sen (ω t kx ϕ ) [35.21] en donde ϕ representa la onstante de fase o fase iniial. Una onstante de fase positiva representa un adelanto o desplazamiento de la forma de onda en el sentido en que avanza la onda. La magnitud de diho desplazamiento será s ϕ k ϕ 2π λ [35.22] omo se verá fáilmente al esribir la funión de onda [35.21] en la forma Ψ (x,t) A sen [ω t k (x s)] [35.23] Figura En la Figura hemos dibujado las formas de onda orrespondientes al instante t=0 para ϕ=0 y ϕ=π/2; obsérvese que la segunda forma está adelantada λ/4 respeto de la primera. Es importante que distingamos on preisión entre la veloidad de fase,, o veloidad de avane de la forma de onda, y la veloidad v de las partíulas del medio material que está siendo reorrido por la onda. Así, en el aso de una onda transversal armónia propagándose a lo largo de una uerda tensa, la elongaión transversal de las partíulas de la uerda vendrá desrita por la funión y(x,t) Ψ (x,t) A sen(ω t kx) [35.24] y la veloidad de una partíula dada, de absisa x, será v(x,t) y t Ψ t Aω os (ω t kx) [35.25] donde la notaión de derivada parial nos reuerda que Ψ(x,t), pero que aquí estamos suponiendo que x permanee onstante, de modo que t queda omo únia variable. Análogamente, la aeleraión de esa partíula será a(x,t) v t 2 Ψ Aω 2 sen(ω t kx) t 2 [35.26]

12 1090 Le Ondas progresivas. o sea [35.27] a(x,t) ω 2 y(x,t) ω 2 Ψ (x,t) lo que nos onfirma que ada partíula de la uerda osila on un movimiento armónio simple. También podemos onsiderar las derivadas pariales on respeto a la oordenada x de la funión de onda Ψ(x,t), i.e., Ψ/ x y 2 Ψ/ x 2, que nos indian omo varía Ψ al desplazarnos en la direión del eje x manteniendo onstante el tiempo, esto es, en un instante determinado. Efetuando las derivadas pariales respeto de x en la funión [35.24], enontraremos y x Ψ x Akos (ωt kx) 2 y x 2 2 Ψ Ak 2 sen (ω t kx) x 2 [35.28] de modo que, ombinando las expresiones [35.26] y [35.28b], y reordando que =ω/k, tendremos 2 Ψ 1 x Ψ t 2 [35.29] que es la euaión diferenial del movimiento ondulatorio unidimensional no amortiguado (o simplemente, la euaión de onda plana), que, omo ya sabemos, será satisfeha no solamente por la funión de onda armónia [35.24] sino también por ualquier funión de onda plana [i.e., de la forma Ψ=Ψ(t-x/) o equivalente] Propagaión de ondas planas en una direión arbitraria.- La funión de onda Ψ=Ψ(t-x/) desribe un movimiento ondulatorio que se propaga en la direión del eje x; i.e., una onda unidimensional. La palabra "unidimensional" no debe prestarse a interpretaiones erróneas; hae referenia exlusivamente a que la onda se propaga en una únia dimensión o direión del espaio que, por onvenienia, hemos heho oinidir on la del eje x, aunque no esté neesariamente "onentrada" sobre diho eje. Si la perturbaión de la magnitud físia Ψ se extiende a todo el espaio, la funión de onda Ψ(t-x/) tomará el mismo valor, en un instante dado, en todos los puntos del plano x=te., que es un plano perpendiular al eje x. Diho plano onstituirá un frente de onda; por eso, las denominaiones de onda unidimensional y onda plana son equivalentes. Así pues, la funión Ψ=Ψ(t-x/) desribe en tres dimensiones una onda plana que se propaga paralelamente al eje x. Si la magnitud físia Ψ es un desplazamiento (o un ampo vetorial), la onda plana será longitudinal (L) o transversal (T) según que Ψ sea paralela o perpendiular a la direión del eje x (Figura 35.11). Una araterístia importante de la onda plana es la direión en la que se propaga, que indiaremos mediante el Figura versor u, siendo ompletamente arbitraria la orientaión de los

13 Propagaión de ondas planas en una direión arbitraria ejes del sistema de referenia. En onseuenia, deberemos expresar la funión de onda en una forma tal que sea independiente de la orientaión del sistema de referenia elegido. Si designamos por r el vetor de posiión de un punto genério P del medio reorrido por la onda, i.e., r x i y j z k [35.30] el produto ur será la distania de diho punto al origen O medida en la direión de propagaión, de modo que la funión de onda Ψ Ψ u r t [35.31] desribe una onda plana que se propaga en la direión u. En el aso de una onda plana sinusoidal que se propague en una direión arbitraria del espaio indiada por el versor u (Figura 35.12), en lugar de haerlo en la direión del eje x, omo hemos venido suponiendo hasta ahora, la funión de onda deberá esribirse en la forma Ψ A sen (ω t k u r) [35.32] Resulta onveniente definir el vetor k=ku, llamado vetor de onda o vetor de propagaión, uya direión es, obviamente, la de propagaión de la onda y uyo módulo es k=ω/. Con esta definiión, esribiremos la funión de onda plana sinusoidal en la forma Ψ A sen(ω t k r) [35.33] o bien, en oordenadas artesianas, Ψ A sen(ω t k x x k y y k z z) [35.34] donde k x, k y, k z elegido; i.e., son las omponentes del vetor de onda k en el sistema de referenia que hayamos k k x i k y j k z k on k k 2 x k 2 y k 2 z ω 2π λ [35.35] Reordemos que una superfiie o frente de onda es el lugar geométrio de los puntos del espaio que son alanzados simultáneamente por el movimiento ondulatorio. Por onsiguiente, la perturbaión estará en fase en todos los puntos perteneientes a un mismo frente de onda. Así, para una onda plana, los frentes de onda estarán formados por todos los puntos en los que la fase (ωt-k r) tiene un mismo valor en un instante dado, por lo que quedarán definidos por la euaión ω t k r te. k x x k y y k z z ω t te. [35.36] la ual, para un instante dado, representa un plano perpendiular al vetor de onda k. Cuando la propagaión tiene lugar en el espaio tridimensional, al letor le resultará fáil demostrar que la euaión de onda plana [35.10] deberá reesribirse omo 2 Ψ x 2 2 Ψ y 2 2 Ψ 1 2 Ψ z 2 2 t 2 [35.37] o bien, en forma más ompata e independiente del sistema de oordenadas elegido (artesianas, ilíndrias, esférias,...), esribiremos

14 1092 Le Ondas progresivas. 2 Ψ Ψ t 2 [35.38] donde 2 es el operador laplaiano; esto es, 2 Ψ ( Ψ). Como ya hemos indiado anteriormente, la resoluión de esta euaión entre derivadas pariales de segundo orden implia tener en uenta iertas ondiiones adiionales. Aunque hemos llegado a estableer las euaiones de onda [35.37] y [35.38] bajo el supuesto de ondas planas o unidimensionales, estas euaiones de onda son válidas en general, Figura ualquiera que sea la "geometría de los frentes de onda". Así, si se trata de una onda esféria, se expresará el operador 2 en oordenadas polares esférias (r,θ,ϕ) 2 Ψ 1 r 2 r (rψ ) 1 2 r 2 sen θ θ sen θ Ψ θ 1 r 2 sen 2 θ 2 Ψ ϕ 2 y, si la propagaión es isotrópia, será Ψ(r,t), i.e., independiente de θ ydeϕ, de modo que [35.39] 2 Ψ 1 r 2 r (rψ ) Ψ t 2 2 r (rψ ) t (rψ ) 2 [35.40] euaión diferenial que se satisfae, por ejemplo, por la funión de onda armónia esféria Ψ (r,t) A sen (ω t r kr) [35.41] omo el alumno podrá omprobar fáilmente por sustituión direta. Obsérvese que, a diferenia de lo que ourre on las ondas planas no amortiguadas, en las ondas esférias la amplitud disminuye proporionalmente a 1/r, onforme los frentes de onda se van expandiendo Ondas transversales. Polarizaión.- Sabemos que se genera una onda transversal siempre que las partíulas materiales onstituyentes del medio osilan en planos perpendiulares a la direión de propagaión del movimiento ondulatorio. Estas osilaiones pueden ser retilíneas (armónias o no) o no serlas. Ilustraremos la generaión de este tipo de ondas on un ejemplo senillo. Imaginemos que uno de los extremos de una uerda tensa es obligado a osilar periódiamente en direión transversal, adquiriendo un movimiento armónio simple de freuenia ν, periodo T y amplitud A. Por ahora, supondremos que la uerda es sufiientemente larga para que no sea neesario que nos preoupemos de lo que ourrirá uando la perturbaión llegue al otro extremo. En estas ondiiones, a lo largo de la uerda avanzará un tren ontinuo de ondas sinusoidales transversales, omo se muestra en la Figura 35.13, donde hemos representado el aspeto que exhibirá la uerda (i.e., la forma de onda) a intervalos de ¼T. Las distintas poriones de la uerda no avanzan, sino que se limitan a realizar osilaiones armónias en direión perpendiular a la uerda.

15 Ondas transversales. Polarizaión En la onda transversal que aabamos de desribir, las partíulas materiales efetúan osilaiones ontenidas en un plano (el del papel, en la Figura 35.13). Las osilaiones se realizan según retas de direión fija, perpendiular a la direión de propagaión del movimiento ondulatorio. Así pues, deimos que esta onda transversal está polarizada retilíneamente. El plano en el que están ontenidas las osilaiones de todas las partíulas reibe el nombre de plano de osilaión y también deimos que la onda transversal está polarizada en un plano. Entre las infinitas direiones perpendiulares a la direión de propagaión de la onda, esogeremos dos de ellas perpendiulares entre sí para definir unos ejes y y z, de modo que podamos expresar el vetor de elongaión transversal Ψ en funión de sus omponentes Ψ y y Ψ z. Si la direión del vetor Ψ no es onstante, la forma de onda no estará ontenida en un plano, i.e., la onda no estará polarizada retilíneamente (Figura 35.14). Obviamente, ualquier onda transversal siempre puede ser onsiderada omo la superposiión de dos ondas polarizadas retilíneamente en direiones perpendiulares, on amplitudes, freuenias y desfase adeuados. Figura Ejemplo I.- Onda plana polarizada.- Una onda Figura sinusoidal plana se propaga en la direión positiva del eje x y está polarizada en un plano que forma un ángulo de 30 on el plano xy. Esribir la funión de onda orrespondiente. El m.a.s. de amplitud A se puede desomponer en dos m.a.s. en fase en las direiones de los ejes y y z, uyas respetivas amplitudes serán A y = A os 30 = 3/2 A A z = A sen 30 = ½ A En onseuenia, la funión de onda (vetorial) que desribe la onda definida en el enuniado de este ejemplo será y = 3/2 A sen(ωt-kx) z =½A sen(ωt-kx) que puede interpretarse omo la superposiión de dos ondas transversales en fase que se propagan on la misma veloidad (=ω/k) en la direión positiva del eje x.

16 1094 Le Ondas progresivas. Figura Figura Continuando on el ejemplo anterior, una rendija (a) paralela a la direión de polarizaión (d) no influirá en la propagaión del movimiento ondulatorio a lo largo de la uerda (Figura 35.15). En ambio, si disponemos de una rendija () perpendiular a la direión de las osilaiones, éstas no podrán propagarse a través de ella. En el aso de una rendija (b) que forme un ángulo α on la direión de las osilaiones, el movimiento ondulatorio se transmitirá tan sólo parialmente a través de la rendija, de modo que la presenia de ésta afetará la amplitud del movimiento ondulatorio, reduiéndola proporionalmente al os α, de auerdo on la ley de Malus A y A os α [35.42] En efeto, el m.a.s. en la direión (d) se puede desomponer en dos m.a.s. en direiones perpendiulares entre sí, omo se muestra en la Figura 35.16: uno paralelo a la rendija y otro perpendiular a la misma, en fase. El primero de ellos pasa libremente a través de la rendija, en tanto que el segundo queda bloqueado. La polarizaión retilínea representa un aso partiularmente senillo de polarizaión. Vimos en 15.6 que uando se superponen dos m.a.s. perpendiulares entre sí y de la misma freuenia el movimiento resultante tiene lugar sobre una trayetoria retilínea, irular o elíptia, on la misma freuenia, de auerdo on el desfase relativo existente entre los m.a.s. que se superponen. Por onsiguiente, uando en un medio se propagan simultáneamente, en la misma direión y on las mismas veloidades, dos ondas transversales polarizadas retilíneamente en direiones perpendiulares entre sí, de freuenias idéntias y on un desfase adeuado, el resultado será una onda transversal en la que las partíulas del medio material se mueven en trayetorias irulares o elíptias ontenidas en planos perpendiulares a la direión de propagaión de las ondas, omo se ilustra en la Figura Deimos entones que a través del medio se está propagando una onda transversal polarizada irular o elíptiamente, según sea Figura el aso. 4 4 Estas onsideraiones tienen omo objetivo prinipal failitar el estudio de la polarizaión de la luz, asunto del que nos ouparemos en las Leiones dediadas a la Óptia Físia.

17 Veloidad de propagaión de las ondas transversales Veloidad de propagaión de las ondas transversales.- Dadas las propiedades del medio en el que se propaga una perturbaión transversal, es posible alular la veloidad de propagaión de diha perturbaión a partir de los prinipios fundamentales de la meánia newtoniana. Veamos algunos ejemplos a. Ondas transversales en una uerda tensa.- Sigamos entrando nuestra atenión en la propagaión de una perturbaión transversal a lo largo de una uerda tensa. Consideremos una uerda larga y homogénea, de densidad lineal µ, estirada bajo una tensión F. Iniialmente la uerda está en reposo; en un instante dado, apliamos al extremo izquierdo de la uerda una pequeña saudida transversal. Graias a la aión reuperadora que proporiona la tensión de la uerda, a lo largo de ésta se propagará una pequeña perturbaión transversal on una ierta veloidad, desrita por la funión de onda y=y(t-x/). En la Figura se muestra la forma que tendrá la uerda al abo de un ierto tiempo. Centremos nuestra atenión en un elemento de uerda, de longitud dx y masa dm=µdx, que presenta una elongaión y en un instante dado. En ada uno de los extremos de diho elemento atúa una fuerza tangenial F, omo se muestra en la Figura Como onseuenia de la urvatura de la uerda, estas dos fuerzas, Figura aunque del mismo módulo, no son diretamente opuestas. La omponente transversal de la fuerza total que atúa sobre el elemento de uerda es df y F (senθ x dx senθ x ) [35.43] y omo tan sólo estamos onsiderando desplazamientos transversales muy pequeños, de modo que la deformaión de la uerda no altere signifiativamente su tensión original, el ángulo θ será pequeño, de forma que podemos reemplazar el sen θ por la tg θ; esto es, df y F (tgθ x dx tgθ x ) [35.44] y omo tg θ es simplemente la pendiente de la uerda, que es igual a y/ x, la expresión anterior se puede esribir omo df y F y y F y x x dx x x x x dx F 2 y x 2 dx [35.45] Esta fuerza debe ser igual al produto de la masa del elemento de uerda (dm=µdx) por la aeleraión transversal del mismo (a y = 2 y/ t 2 ), de modo que

18 1096 Le Ondas progresivas. F 2 y x 2 dx µ dx 2 y t 2 2 y µ x 2 F 2 y t 2 [35.46] que es la euaión de onda que desribe la propagaión de las perturbaiones transversales en una uerda tensa y que, al ompararla on la euaión general de onda unidimensional [35.10], nos india que F µ [35.47] de modo que la veloidad de propagaión no depende de la forma de la perturbaión (on tal que ésta sea sufiientemente pequeña), sino tan sólo de F (propiedad elástia del medio) y de µ (propiedad inerial del medio). Podría objetarse que en el análisis anterior hemos omitido ualquier referenia a las omponentes longitudinales de las fuerzas que atúan en los extremos del elemento onsiderado, sin prestar atenión a un posible movimiento longitudinal del mismo. Puesto que la omponente longitudinal de la fuerza resultante sobre diho elemento es df x F (osθ x dx osθ x ) [35.48] y omo, al tratarse de ángulos muy pequeños, es os θ 1, on muha aproximaión, de modo que, hasta aproximaiones de primer orden, serán os θ x+dx osθ x ydf x =0. En onseuenia, no existe movimiento longitudinal b. Ondas transversales en una varilla.- En los materiales sólidos pueden propagarse ondas transversales de naturaleza elástia, en virtud de la elastiidad de forma (rigidez) que tiende a evitar deslizamientos relativos entre los diversos elementos onstituyentes del sólido. Para determinar la veloidad de propagaión de las ondas transversales en un material sólido, onsideraremos una barra que está representada en la Figura en su estado sin distorsión. Si originamos una perturbaión transversal en un punto de la barra (por ejemplo, golpeándola transversalmente on un martillo), ésta se propagará a lo largo de la Figura misma, on una veloidad. Sea y el desplazamiento transversal de un elemento de barra de espesor dx y masa dm=ρs x dx, siendo ρ la densidad y S x la seión de la barra, omo se muestra en la Figura Este desplazamiento debe ser funión de x [i.e., y=y(x)], ya que si fuese onstante se tendría un desplazamiento paralelo de la barra en su onjunto, sin deformaión. La antidad γ= y/ x reibe el nombre de deformaión de izalladura (vide 27.10) y está relaionada on el módulo de rigidez, G, y on el esfuerzo de orte, σ xy =F y /S x, por σ xy γ G F y S x G y x [35.49] siendo F y la fuerza de orte que atúa sobre las aras seionales del elemento onsiderado, omo se ilustra en la Figura La fuerza resultante sobre diho elemento será

19 Veloidad de propagaión de las ondas transversales df y S x G y y x x dx x x S x G y x x dx S x G 2 y x 2 dx [35.50] Esta fuerza debe ser igual al produto de la masa del elemento (dm=ρs x dx) por la aeleraión del mismo (a y = 2 y/ t 2 ), de modo que S x G 2 y x 2 dx ρ S x dx 2 y x 2 2 y x 2 ρ G 2 y t 2 [35.51] que es la euaión de onda que desribe la propagaión de una perturbaión transversal en un sólido y que, al ompararla on la euaión de onda unidimensional [35.10] nos ondue a la expresión de la veloidad. G ρ [35.52] Así pues, la veloidad de propagaión de las ondas transversales en los sólidos viene dada por [35.52], donde G es el módulo de rigidez y ρ la densidad del sólido Ondas de torsión.- Las ondas de torsión son un tipo partiular de ondas transversales que se produen uando una varilla o un alambre tenso es sometido a osilaiones de torsión (vide 28.2). La veloidad de propagaión de estas ondas a lo largo de un alambre tenso o de una varilla viene dada por la expresión [35.52], on independenia de la forma de su seión transversal (vide Problema 35.21). No debe sorprendernos que las ondas transversales y las de torsión se propaguen on la misma veloidad, ya que ambos proesos tienen un mismo fundamento físio (esfuerzos de orte). En los fluidos no es posible la propagaión de ondas transversales de naturaleza elástia, pues, al areer éstos de elastiidad de forma, no reaionan ante los esfuerzos ortantes, de modo que si un estrato fluido experimenta un deslizamiento, éste no se transmite a los estratos fluidos veinos. En los fluidos sólo pueden propagarse ondas longitudinales, graias a la elastiidad de volumen (ompresibilidad). Úniamente en la superfiie libre de los fluidos pueden propagarse ondas transversales, pero éstas no son de naturaleza elástia, ya que intervienen la gravedad y la tensión superfiial (ondas apilares) Ondas longitudinales.- Deimos que en un medio material se propaga una onda longitudinal uando las partíulas materiales que onstituyen el medio osilan en la misma direión en que se propaga el movimiento ondulatorio. Las osilaiones de las partíulas pueden ser o no ser periódias. Resulta obvio que las ondas longitudinales no pueden estar polarizadas; la polarizaión es una propiedad exlusiva de las ondas transversales. Ilustraremos la produión de las ondas longitudinales on un ejemplo senillo. En la Figura se muestra un tubo largo, que ontiene un fluido (v.g., aire), al que se ha ajustado un émbolo en su extremo de la izquierda. Las líneas vertiales dividen al fluido en tajadas delgadas, ada una de las uales ontiene la misma masa de fluido. En las regiones donde las líneas están relativamente próximas, la presión y la densidad del fluido son mayores que en aquéllas donde están más separadas. Consideraremos el fluido omo un medio ontinuo y, de momento, no tendremos en uenta que está onstituido por partíulas (moléulas) que se enuentran en ontinuo movimiento; i.e., analizaremos la situaión desde un punto de vista marosópio.

20 1098 Le Ondas progresivas. Supongamos que obligamos al émbolo a desplazarse periódiamente haia adelante-atrás en la direión del tubo. Cuando el émbolo avanza, la tajada de fluido que está en ontato on el émbolo se omprime, aumentando la presión y la densidad del fluido en ella por enima de sus valores normales. Este exeso de presión se transmite a lo largo de la olumna fluida (pulso de ompresión), avanzando on una ierta veloidad (veloidad de propagaión de la perturbaión). Cuando el émbolo retroede, la Figura presión y la densidad en la tajada de fluido en ontato on el émbolo disminuyen por debajo de sus valores normales. Este defeto de presión se transmitirá a lo largo del tubo (pulso de enrareimiento), avanzando on una veloidad. Al desplazarse periódiamente el émbolo, haia adelante y atrás, a lo largo de la olumna fluida se propagarán un tren ontinuo de pulsos de ompresión-enrareimiento; esto es, se produirá una onda de presión. Si el movimiento del émbolo es un m.a.s., la onda longitudinal que se propaga a lo largo de tubo será sinusoidal (i.e., armónia simple). Las ondas sonoras son de esta naturaleza. Las osilaiones de una partíula determinada de fluido serán haia adelante-atrás, en la misma direión en que se propagan las perturbaiones de presión y on la misma amplitud que tengan las osilaiones del émbolo. Si el movimiento del émbolo es un m.a.s., también lo serán los de todas y ada una de las partíulas del fluido. El desplazamiento de Figura ada partíula será haia adelante-atrás, a lo largo del tubo, i.e., en la direión de propagaión de la onda, que haremos oinidir on la direión del eje x. Por onvenienia, representaremos el desplazamiento de ualquiera de estas partíulas on respeto a su posiión de equilibrio en el eje x (i.e., la elongaión) por la letra ξ; i.e., ξ Ψ. Entones, la funión de onda longitudinal armónia de desplazamiento la esribiremos en la forma ξ A sen(ω t kx) [35.53] teniendo las distintas magnitudes que apareen en esta expresión el mismo signifiado que en la funión de onda armónia transversal. Como la forma de un medio material no ambia uando es reorrido por una onda longitudinal, no resulta tan fáil visualizar la relaión existente entre el movimiento de las partíulas materiales

21 Ondas longitudinales y la propagaión de una onda longitudinal omo uando las ondas transversales se propagan a lo largo de una uerda. En la Figura mostramos una instantánea de las posiiones de algunas partíulas del medio situadas sobre una misma línea reta en la direión de propagaión de la onda longitudinal; pero sería deseable disponer de una "imagen dinámia" que nos muestre de una forma ontinua el movimiento de las partíulas materiales. Para ello, sometemos a la onsideraión del letor la Figura Para utilizar este diagrama, deberemos disponer de una tarjeta de unos 10 m 5 m, en la que haremos una rendija de unos 6 m de largo por 1 mm de anho, aproximadamente. Coloquemos la tarjeta sobre el diagrama, on la rendija en posiión horizontal, y desplaémosla lentamente, de arriba haia abajo, on veloidad onstante. Los elementos de las urvas que apareen en la rendija representan las osilaiones de las Figura Diagrama de ondas longitudinales. partíulas de un medio que sea reorrido por una onda longitudinal sinusoidal de izquierda a dereha. Obsérvese que ada partíula ejeuta un m.a.s. en torno a su posiión de equilibrio y que las ondensaiones y enrareimientos se mueven de izquierda a dereha on veloidad onstante. Obviamente, el movimiento asendente de la tarjeta simulará una onda longitudinal que se propaga de dereha a izquierda Veloidad de propagaión de las ondas longitudinales.- En forma análoga a omo hemos visto para las ondas transversales, la apliaión de los prinipios fundamentales de la meánia newtoniana nos permitirá alular la veloidad de propagaión de las ondas longitudinales en un medio material a partir del onoimiento de las araterístias elástias e ineriales de éste a. Ondas longitudinales en los sólidos.- En los sólidos, puesto que las ondas longitudinales dan lugar a alargamientos y aortamientos de los elementos onstituyentes del mismo, la veloidad de propagaión de dihas ondas será funión del módulo de Young. La veloidad de propagaión de las ondas longitudinales en los sólidos varía según se trate de una varilla o de un medio indefinidamente extenso. En una varilla la situaión es relativamente simple, ya que la ontraión transversal que aompaña a la propagaión de la onda longitudinal puede produirse sin onseuenias notables on tal que la longitud de onda sea grande en omparaión on las dimensiones transversales de la varilla (i.e., λ»r). Para determinar la veloidad de propagaión de las ondas longitudinales en una varilla, supongamos que provoamos una perturbaión longitudinal en uno de sus extremos (v.g., golpeándolo on un martillo). Esta perturbaión se propagará a lo largo de la varilla, on una veloidad.

22 1100 Le Ondas progresivas. σ l =F/S, por Figura La región sombreada en la Figura 35.23a representa un elemento de varilla, de longitud dx y masa dm=ρsdx, siendo ρ la densidad y S la seión de la varilla. En la Figura 35.23b se representa ese mismo elemento una vez que ha sido alanzado por la perturbaión. Sea ξ el desplazamiento longitudinal que experimenta una seión de la varilla de absisa x. Este desplazamiento debe ser funión de x (i.e., ξ=ξ(x)), ya que si fuese onstante se tendría un desplazamiento rígido de la varilla en su onjunto. La antidad = ξ/ x reibe el nombre de deformaión longitudinal unitaria (vide 27.3) y está relaionada on el módulo de Young, E, y on el esfuerzo longitudinal, σ l E F SE ξ x [35.54] siendo F la fuerza que atúa sobre las aras seionales del elemento onsiderado, omo se muestra en la Figura 35.23b. La fuerza resultante sobre diho elemento será df SE ξ ξ x x dx x x SE ξ x x dx SE 2 ξ x dx 2 [35.55] Esta fuerza deberá ser igual al produto de la masa del elemento (dm=ρsdx) por la aeleraión del mismo (a= 2 ξ/ t 2 ), de modo que SE 2 ξ x 2 dx ρ S dx 2 ξ t 2 2 ξ x 2 ρ E 2 ξ t 2 [35.56] que es la euaión de onda que desribe la propagaión de una perturbaión longitudinal en una varilla y que, al ompararla on la euaión de onda unidimensional [35.10], nos permite esribir 2 =E/ρ. Así, en una varilla, de densidad ρ y módulo de Young E, el álulo demuestra, y la experienia onfirma, que la veloidad de propagaión de las ondas longitudinales viene dada por E ρ [35.57] Podemos omparar las veloidades de propagaión de las ondas transversales y longitudinales en los materiales sólidos; omo t G ρ l E ρ [35.58]