Operadores Elípticos en el Espacio de Energía

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1 Operadores Elípticos en el Espacio de Energía Marisa Toschi IMAL- Sante Fe Seminario del IMAL Carlos Segovia Fernandez 15 de Abril 2011

2 Esquema general 1 Introducción 2 Una alternativa de buen planteo 3 Extensión de la awpp a otro tipo de dominios 4 Aplicación en espacios de Sobolev con pesos

3 Esquema general 1 Introducción 2 Una alternativa de buen planteo 3 Extensión de la awpp a otro tipo de dominios 4 Aplicación en espacios de Sobolev con pesos

4 Presentación del problema Dadas f y g sobre Ω, consideramos el problema de Cauchy tt u + Au = 0 en Ω (0, ) u(, 0) = f en Ω t u(, 0) = g en Ω, donde A es un operador elíptico de segundo orden, simétrico, definido en C 0 (Ω). El problema estará bien planteado si podemos elegir una extensión autoadjunta de A en el espacio de Hilbert asociado H. A esencialmente autoadjunto Dando condiciones de borde extras

5 Presentación del problema Eligiendo la extensión de Friedrich la solución tiene energía finita. Si la solución tiene energía finita, no es suficiente para que el problema esté bien planteado. Gamboa, Sanmartino y Tchamitchian (2010) caracterizan cuándo existe una única extensión autoadjunta de A con dominio incluído en el espacio de energía.

6 Esquema general 1 Introducción 2 Una alternativa de buen planteo 3 Extensión de la awpp a otro tipo de dominios 4 Aplicación en espacios de Sobolev con pesos

7 Presentación del problema Sea Ω = R n (0, ), y A = 1 m div M (H1) Para todo (x, z) Ω, m(x, z) > 0 y M(x, z) = M(x, z) t > 0 (H2) m Lloc 1 (Ω) y supongamos que para todo compacto K Ω, existen constantes positivas a K y b K tales que a K m(x, z) b K para casi todo x K (H3) m ij L 1 loc (Ω), continuas y 1 m ij L 1 loc(ω).

8 Presentación del problema Definimos: El espacio de Hilbert H := {ϕ Lloc(Ω) 1 : ϕ 2 H := ϕ(x, z) 2 m(x, z)dµ < }, El espacio energía E := {ϕ H : D α ϕ Lloc 1 y b(ϕ, ϕ) < }, b(ϕ, ϕ) := M(x, z) ϕ(x, z) ϕ(x, z) dµ Ω Ω ϕ 2 E := b(ϕ, ϕ) + ϕ 2 H.

9 Presentación del problema Entonces: A está bien definido con D(A) = C0 simétrico en H (por (H1) y (H2)) (Ω) denso en H, y A Sea C c (Ω) := {f : existe g C 0 (R n+1 ) tal que f = g Ω }. Luego E es Banach y C c (Ω) E (por (H2) y (H3)) Pedimos además: (H4) Cc (Ω) denso en E

10 Una alternativa:awpp Cuándo existe una única extensión autoadjunta de A con dominio contenido en el espacio energía E? ( awpp ).

11 Una alternativa:awpp Cuándo existe una única extensión autoadjunta de A con dominio contenido en el espacio energía E? ( awpp ). Teorema 1) A tiene la propiedad awpp para todo Γ R n con µ(γ) 0 se tiene 1 1 dx dz =. m n+1,n+1 (x, z) 0 Γ 2) Si para todo x R n existe una bola abierta B x tal que dz =, ω B (z) donde ω B (z) = B m n+1,n+1(y, z)dy, entonces A tiene la propiedad awpp.

12 Una alternativa:awpp Dem: Recordemos que E = C c (Ω) E y sea E 0 := C 0 (Ω)E A tiene la propiedad awpp si y sólo si E 0 = E. 1) Supongamos que existe un conjunto Γ en R n tal que 1 0 Γ 1 dx dz <. m n+1,n+1 (x, z)

13 Una alternativa:awpp Dem: Recordemos que E = C c (Ω) E y sea E 0 := C 0 (Ω)E A tiene la propiedad awpp si y sólo si E 0 = E. 1) Supongamos que existe un conjunto Γ en R n tal que 1 0 Γ 1 dx dz <. m n+1,n+1 (x, z) Sea η C c (0, 1/2) y η = 1 en un entorno de 0. Para ϕ E, λ(ϕ) := 1 0 Γ z (ϕ(x, z) η(z)) dx dz

14 Una alternativa:awpp Dem: Recordemos que E = C c (Ω) E y sea E 0 := C 0 (Ω)E A tiene la propiedad awpp si y sólo si E 0 = E. 1) Supongamos que existe un conjunto Γ en R n tal que 1 0 Γ 1 dx dz <. m n+1,n+1 (x, z) Sea η C c (0, 1/2) y η = 1 en un entorno de 0. Para ϕ E, λ(ϕ) := 1 0 Entonces λ(ϕ) = 0 en E 0 pero λ 0. Γ z (ϕ(x, z) η(z)) dx dz = ϕ(x, 0) dx. Γ

15 Una alternativa:awpp 2) Supongamos que E E 0, entonces λ E tal que λ = 0 en E 0 y una función ϕ C c (Ω) con λ(ϕ) 0. Primer paso: Probar que 1 para toda bola B sopϕ(, 0) Segundo paso: Encontrar x tal que para toda bola B x ω B (z) dz < 1 ω B (z) dz <

16 Esquema general 1 Introducción 2 Una alternativa de buen planteo 3 Extensión de la awpp a otro tipo de dominios 4 Aplicación en espacios de Sobolev con pesos

17 Extensión a otro tipo de dominios Pudimos dar resultados análogos en dos clases de dominios 1 Ω γ := {(x, z) : x R n, z > γ(x)} con γ C. 2 Ω R n+1 un dominio acotado con Ω C 1.

18 Extensión a Ω γ Sea A = 1 m div M definido en C 0 (Ω γ) con γ C. Sea Luego, φ : Ω Ω γ dada por φ(y, w) = (y, w + γ(y)) = (x, z) ψ = φ 1 : Ω γ Ω dada por ψ(x, z) = (x, z γ(x)) = (y, w), [Dψ] = 0. I. 0 γ x 1.. γ x n 1 donde I es la matriz identidad de n n.,

19 Extensión a Ω γ Definimos en Ω = R n (0, ) donde: Ã := 1 m div M, m(y, w) := (m φ)(y, w) = m(x, z) M(y, w) := [Dψ](x, z)m(x, z)[dψ] T (x, z). ψ define una isometría entre H y H γ y entre Ẽ y E γ. Existe una biyeccion entre los espacios C 0 (Ω γ) y C 0 (Ω).

20 Extensión a Ω γ Teorema 1) A tiene la propiedad awpp para todo D R n con µ(d) 0 se tiene γ(x)+1 1 dz dx =. m n+1,n+1 (x, z) D γ(x) 2) Si para todo x R n existe una bola abierta B x tal que dz =, ω B (z) donde ω B (z) = B (ΓMΓT )(s, z + γ(s))ds con Γ = ( γ x 1,.., γ x n, 1), entonces A tiene la propiedad awpp.

21 Extensión a Ω un dominio C 1 Teorema A tiene la propiedad awpp para cualquier conjunto U δ de la forma U δ := {x R n+1 : x = (x 1,.., x i 1, x i+1,.., x n+1 ) D R n y γ(x) < x i < γ(x) + δ}, donde δ > 0 tal que U δ Ω, 1 i n + 1 fijo y γ : D R es la función que parametriza localmente el borde de Ω, se tiene 1 dµ =. U δ m i,i (x)

22 Extensión a Ω un dominio C 1 Teorema Supongamos que para todo x R n tal que (x, γ k (x)) Ω existe una bola B D k que contiene a x tal que donde ɛ 0 B 1 dt =, ω B (t) ω B (t) = (ΓMΓ T )(x, t + γ k (x)) dx, con Γ = ( γ x 1,..., γ x i 1, 1, γ x i+1,..., γ x n+1 ) y 0 < t < ɛ, donde γ k, D k y x i corresponden al elemento V k del cubrimiento de Ω. Bajo estas hipótesis A tiene la propiedad awpp.

23 Condición más fuerte sobre la matriz M Existen condiciones sobre la matriz M que aseguran que A cumple la awpp: Tomando ω B (t) = m max (x, t + γ k (x)) dx, donde m max (x) := max 1 i,j n+1 m i,j (x). B

24 Esquema general 1 Introducción 2 Una alternativa de buen planteo 3 Extensión de la awpp a otro tipo de dominios 4 Aplicación en espacios de Sobolev con pesos

25 Aplicación en espacios de Sobolev con pesos Consideremos el espacio de Sobolev y sea W 1,2 ω (Ω) := {f L 1 loc(ω) : D α f L 2 ω(ω) α con α 1} A = 1 m div M M diagonal con m i,i = ω m = ω.

26 Aplicación en espacios de Sobolev con pesos Consideremos el espacio de Sobolev y sea W 1,2 ω (Ω) := {f L 1 loc(ω) : D α f L 2 ω(ω) α con α 1} A = 1 m div M M diagonal con m i,i = ω m = ω. Entonces E = W 1,2 ω (Ω) y E 0 = W 1,2 ω,0 (Ω).

27 Aplicación con ω A 2(R n+1 ) Teorema Sea Ω R n+1 con Ω C 1. Si ω A 2 (R n+1 ) y continua en Ω, entonces C 0 (Ω) W1,2 ω (Ω).

28 Aplicación con ω A 2(R n+1 ) Teorema Sea Ω R n+1 con Ω C 1. Si ω A 2 (R n+1 ) y continua en Ω, entonces C 0 (Ω) W1,2 ω (Ω). Idea de Dem: C c (Ω) es denso en W 1,2 ω (Ω) [Chua (1992)] ω A 2 (R n+1 ) ω L 1 loc (Ω) Pero 1 ω L1 loc(ω).

29 Aplicación con ω = d(x) a Teorema Sea Ω R n+1 con Ω C 1. Entonces 1) C 0 2) C 0 (Ω) W1,2 da (Ω), para 1 < a < 1. (Ω)= W1,2 da (Ω), para a 1.

30 Aplicación con ω = d(x) a Teorema Sea Ω R n+1 con Ω C 1. Entonces 1) C 0 2) C 0 (Ω) W1,2 da (Ω), para 1 < a < 1. (Ω)= W1,2 da (Ω), para a 1. Dem: 1) Si 1 < a < 1 = d a A 2 (R n+1 ).

31 Aplicación con ω = d(x) a Teorema Sea Ω R n+1 con Ω C 1. Entonces 1) C 0 2) C 0 (Ω) W1,2 da (Ω), para 1 < a < 1. (Ω)= W1,2 da (Ω), para a 1. Dem: 2) Analizemos ɛ 0 1 ω B (t) dt, donde ω B (t) = B m max(x, t + γ k (x)) dx y m max (x) = d(x) a. Si X 0 = (x, γ k (x)), d a (x, t + γ k (x)) (x, t + γ k (x)) X 0 a = t a. Entonces, ω B (t) t a dx = C t a. B

32 Aplicación con ω = d(x) a Por lo tanto, ɛ para a 1, es decir C ɛ ω B (t) dt 1 0 t a dt = (Ω)= W1,2 d (Ω). a

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