UAQ 2012 CONTENIDO PROGRAMÁTICO POR UNIDAD. Unidad I. Historia de la matemática. Unidad II. El campo ordenado de los números reales

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1 0 DATOS GENERALES Semestre: Asignatura: Tipo: Primero Matemáticas I: Álgebra Curso Taller Horas por semestre: Horas por semana: Créditos: 80 horas horas 8 (ocho) Horas teoría/sem: Horas práctica/sem: Horas de lab/sem: PROPÓSITO GENERAL El Álgebra en el bachillerato debe proporcionar el lenguaje necesario para que el estudiante pueda interpretar y utilizar conceptos y modelos matemáticos, de hecho, el álgebra es una poderosa herramienta que es indispensable en el estudiante para continuar con cursos posteriores de matemáticas a lo largo de su vida para desarrollarse en su entorno social, recordando que nuestro bachillerato es único y propedéutico. CONTENIDO PROGRAMÁTICO POR UNIDAD Unidad I. Historia de la matemática o Historia de la matemática. Unidad II. El campo ordenado de los números reales o o o o o Conjuntos y subconjuntos (unión, intersección y complementos). Conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R). Operaciones con números (suma, resta, producto y cociente). Postulados de campo de los números reales. Orden y distancia. Unidad III. Introducción al álgebra o Terminología y nomenclatura Algebraica. o Valor numérico de epresiones algebraicas. o Eponentes enteros positivos y sus leyes. o Suma, resta, multiplicación y división de polinomios. o Productos notables. o Factorización. o Reducción de fracciones algebraicas simples y complejas. Unidad IV. Ecuaciones de primer grado con una incógnita o Propiedades de la igualdad. o Resolución de ecuaciones de primer grado. o Problemas que involucren ecuaciones de primer grado. o Despejes de fórmulas

2 0 Historia de la matemática ( horas) En el primer día de clases se presentará el docente, el curso y las formas de trabajo y de evaluación durante el mismo, se intercambiarán ideas sobre lo que se espera de este semestre. En un segundo momento se solicitará al estudiante que para el día de mañana consiga información sobre la evolución que ha tenido la matemática a lo largo de los años, en particular sobre ela aritmética y el álgebra, se tiene que hablar al menos de tres culturas distintas que hayan trabajado en estas áreas de la matemática, la información debe ser obtenida por medio de libros, principalmente y de medios electrónicos. Uno de los productos finales será la elaboración de un teto llamado La historia de el álgebra y la aritmética para esto se sugerirá al alumno:. reúna información histórica de diversos medios, libros, revistas, internet, etc.. hagan equipos de a lo más cinco personas para trabajar en equipos cooperativos.. ordenen la información de acuerdo a los bloques históricos y de las palabras clave,. ubiquen a los personajes principales dentro de cada bloque además de tener información de su vida.. después de seleccionar la información utilicen señalizaciones en el teto, hagan resúmenes, mapas, etc. 6. Ordenar la información para elaborar su teto y además para la creación del árbol genealógico o línea de tiempo de estos temas. Después los equipos presentaran al grupo su árbol genealógico o su línea de tiempo con una duración de a lo más cinco minutos en esta presentación deben incluir una nota curiosa sobre los matemáticos de la época y al final de las presentaciones se hará una cosmovisión general del tema. Se recomienda que el trabajo de organización de información se haga en una hora de clase y las dos restantes sean para presentar el tema. Unidad II. El campo de los números ordenados (0 horas) Conjuntos ( horas). Relaciones las columnas correctamente si se tiene que: U = es un digito A = U 0 < < 6 B = U 0 < < 9 y es par C = U 7 9 ( ) A B a) 6, 8 ( ) A C b) 8 ( ) A B c) ( ) B C d) 7, 9 ( ) A C e) 7, 8, 9 ( ) B C f),,,,, 6, 8 ( ) A B g),, ( ) B C h),,,, ( ) C C i),, 6, 8 ( ) A C j) 0, 6, 7, 8, 9 ( ) B A k),,, 7, 9 ( ) C B l) 0,,,, 7, 9 ( ) C A m) 0,,,,,, 6 ( ) ( A B) C n), ( ) ( A c) B o),, 6, 7, 8, 9 ( ) ( A B) C p),, 6 ( ) A C q),,, 7 ( ) B C r),,,,, 6, 7,8, 9 s),,,,, 7,8, 9

3 0 Elabore un mapa conceptual de los números reales y sus subconjuntos. Clasificación de los números ( hora) En la siguiente tabla marque con una palomita a que conjunto pertenece cada uno de los números, en los últimos renglones escriba cinco números cualesquiera y clasifíquelos. Número N Z Q I R C -/ 0 + i 0/ 7.. / 7 Orden (0 minutos). Enuncia la propiedad de tricotomía de los números reales. Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros. a) -; -0; 0; ; -0; 0 b) 6; ; ; -9; 0; 8; -0 c),07 ;,068 ;,9 ;,098 ;,009 ;,99 ;,97 ;,0 d) /, /, 0/0, /, /,

4 Conversión de decimales a fracciones y viceversa ( hora). Cambia los números racionales a decimales mediante una división. 0 ) 7/8 ) 9/ ) 7/0 ) -/ ) / 6) 8/9 7) -0/ 8) /. Escribe en forma de fracción las epresiones siguientes, utiliza los espacios en blanco para justificar tus respuestas: ).0 ) 8, ), ) 0,7 ) 0, 6) 0,00 7),6 8), 9),0 0),6 ) 0. ) Números Reales y la Recta Real (0 minutos) Aproima en la recta numérica los siguientes elementos de Q: a) 0., b)., c) /, d) 6., e) -0/, f) -0/0. Identifique los números marcados en la recta numérica

5 Propiedades de campo ( horas) 0 ) Relaciona las siguientes columnas. a) (6)=6() b) (+8) =( )+(8) c) 7+0=7 d) 9+ = +9 e) 6=6 f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Aioma de distributividad Aioma de asociatividad Aioma de conmutatividad Aioma de eistencia del inverso o recíproco Aioma de elemento neutro aditivo Aioma de identidad para el producto ) Frente a cada epresión escribe la propiedad de los números reales por la cual la proporción indicada es verdadera: a) = b) = 9 c) 6 + ( + ) = ( 6 + ) + d) 6 (0) = 0 e) 8 8 ) Escribe el recíproco de -96, -9, 0 ) Escribe el inverso aditivo de -96, -9, 0 ) Siendo a, b y c números reales, con b 0 c, señala como falso o verdadero, las siguientes proposiciones. En caso de ser falso menciona porqué con un ejemplo..- a( b + c ) = ab + c.- a b c a c b c a.- c a b b c.- bc b c 6) Diga si los enteros forma un campo ordenado, justifique. 7) Mencione tres subconjuntos de los reales que no forman un campo ordenado. Justifique.

6 0 Operaciones básicas Jerarquía de las operaciones ( horas) I. Sin utilizar calculadora resuelva las siguientes operaciones con números enteros: ) ( ) ) 8 ( ) ) 6 ) 8 ( ) ) ( 6) 6) 6 ( 8) 7) ( ) 8) ( ) (6 ) 9) ( ) 8 ( ) 0) 6 ( 8) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) :( ) 6) ( ) ( ) 0) ( ) ( ) (7 ) ) ( 6) (8 ) ) (8 6) ( ) ) (8 ) ( 6) ) (7 8) ( ) ) ( ) ( ) ( 6) (7 8) 6) (8 ) (6 ) ( ) 7) ( ) (7 ) 8) 6: 7) ( 6) :( ) 8) ( ) : 6 9) 7 (8 ) ( ) 9) 8 ( ) 0) : 7 6

7 0 II. Los ejercicios de esta sección corresponde al cuadernillo de aritmética 0. Está en la página del curso de verano. III. Resuelve los siguientes ejercicios sin utilizar calculadora.. De una pieza de tela de 60 metros. un comerciante vende / de ella y después ¾ del resto. Cuántos metros de tela le quedan?. Un padre deja al mayor de sus hijos ¼ de su fortuna, al segundo / y al tercero $0, que restan. Calcula el monto total de la herencia.. José Luís gana $, mensuales. Si el monto de sus gastos mensuales es de / de su salario. cuánto ahorra en un año?. El costo unitario de una cerradura es de $ Si se desea que la ganancia sea de / de su precio de compra. Cuál debe ser su precio de venta?. En una finca de 00 hectáreas se cultivan /0, se alquilan /0 y el resto se piensa vender a $ la hectárea. Determina el resultado de la venta. 6. Un vestido cuesta $ 0 más el % de IVA. Determina el costo del vestido. 7

8 0 7. En un grupo de 00 alumnos, reprobó el %, determina el número de alumnos que aprobaron. 8. Calcula el sueldo de un empleado si después de descontarle el % de su sueldo por impuestos recibe $ Un alumno tiene 80 en el primer parcial, 9 en el segundo parcial, 7 en el tercer parcial, en el eamen final. Para determinar la calificación definitiva se considera el promedio de los parciales como un 60% y el eamen final como un 0%, cuál es la calificación del alumno? 0. Un cliente en un banco retira el % de sus ahorros, recibe $,00.00, determina su saldo anterior.. Un estacionamiento cobra $6.00 por la primera hora y $.00 por cada minutos o fracción adicionales. Cuánto tiempo estuve en el estacionamiento si me cobraron $.00? 8

9 0 Unidad III: Introducción al álgebra (7 horas) Lenguaje algebraico I. Transformar en enunciados verbales las siguientes epresiones algebraicas:... a b a b ab a. ; b 0 b. n 6. n n 7. n 0 8. n 9. n 8 0. n n 6. n. n., n n. 9. 9

10 a ba b n n. 8. a b a.. a b 6. abc 7. a b c 8. a ba b 9. a b II. Transformar en epresiones algebraicas los siguientes enunciados verbales: a) El doble de un número más su cubo b) El cuadrado de un número entre el triple de otro c) El cubo de la mitad de la diferencia de dos números d) El triple del cuadrado de un número más el doble del mismo e) La raíz cuadrada del producto de dos números f) El producto de dos números consecutivos 0

11 g) La suma de dos números h) La semisuma de dos números i) La tercera parte de un número j) La suma de dos números por su diferencia 0 III. Relaciona las columnas El doble de un número, menos el cubo de otro La suma de dos números cualesquiera El triple de la diferencia de dos números cualesquiera El cuadrado de un número, menos el cubo del mismo El triple del cuadrado de un número cualquiera El doble de un número aumentado en seis unidades, es igual a veinte El triple del producto de dos números cualesquiera El cociente de dos números cualesquiera, disminuido en dos unidades El cubo de la suma de dos números Dos números consecutivos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) a a b) a c) + y d) a b e) a+6=0 d) (m - n) g) y a h) b i) a b j), + k) a-b =0 IV. Epresa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico:. Un número.. El doble de un número.. El cuadrado de un número.. La mitad de un número.. Dos tercios de un número. 6. El cubo de un número. 7. El doble de la suma de dos números. 8. El cuadrado de la resta de dos números. 9. El cubo de la resta de dos números. 0. El triple de la suma de dos números.. La mitad del producto de dos números.. La suma de 8 y un número. n. La suma de y el doble de es. n. El producto de un número y 0 es disminuido por.. Seis menos que el número es. n 6. Un número es 8 unidades menor que otro. 7. Un tercio del producto de dos números. 8. Seis menos que cuatro veces el número. n 9. La razón de a. 0. Siete quintos del número. n. El número es cuadriplicado y el producto es aumentado por 0. La división de un número entre seis.. La suma de 0 y un cuarto del cubo de es veces la razón de a.

12 0 Evaluación de epresiones algebraicas EL PESO IDEAL En algunos países se tiene la siguiente formula para calcular el peso ideal: Se mide la altura de la persona, la altura se escribe en centímetros, a esa cantidad se le resta 00. Este resultado es el peso ideal de la persona a) Cuál sería tu peso según esta formula? b) Cuál es la diferencia entre tu peso ideal y tu peso real? c) Si tu sabes que la mamá de una amiga pesa 7 Kg. y mide. metros Qué piensas de su peso? Coméntalo. d) Averigua cómo se calcula el peso ideal en Méico. Actividad grupal (en clase) Indicaciones generales: Dividir al grupo en equipo de cinco personas. Cada equipo debe contar con tres dados de distintos colores (se les debe de pedir en la clase anterior) a) Cada uno de los dos dados, recibirá un nombre, uno se llamara signo, otro X, y el otro Y, b) el primer dado al lanzarse dará el signo de cada uno de los valores de o de y, si es par será positivo, si es impar será negativo c) dependiendo de los valores que se vayan obteniendo al lanzar los dados, iras reemplazando en cada una de las epresiones o términos algebraicos. d) Cada alumno del equipo lanzara los tres dados por lo menos una vez, después cada alumno realizará sus operaciones en su cuaderno y al terminar compararán con sus compañeros sus resultados. e) El equipo ganador obtendrá un punto en el parcial. (hay que entregar las operaciones en su cuaderno) Epresión o término Cara del dado X (incluyendo signo) Cara del dado Y (incluyendo signo) Termino o epresión evaluada y y y 6 y y y 6 y y y y y y y

13 0 Eponentes enteros positivos y sus leyes I. Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado: Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado,9ª b c menos,9 a b c ++=6 h abc k y 8ª c d a abr h k -8b c d y II. Determina el grado y clasifica según el número de términos. Recuerda que todos son polinomios Epresión algebraica Grado de la epresión Número de términos y ; = : binomio y a b + c d M + mn + n + y + z y z 7 y + y a b c b c h ½

14 III. Calcula el valor de cada potencia, utiliza las leyes de los eponentes y no uses calculadora. a) b) c) 0 d) e) f) 7 ( ) ( ) g) 7 ( ) ( ) i) ( ) h) (7 ) 6 j) 8 IV. Simplifica los siguientes ejercicios utilizando las leyes de los eponentes. a. a 6 a b. a a y y c. a a d. b b e. f. p 6 a a h. 6 g. i. j. p k. mn l. a a m m m. a n. a o. p n p n

15 0. 6 k k. n n. 6c m : m c6. a : 6a. n n : 6. m b m a 7. k k 8. ( a ) ( b ) p p : 8. y y : 9 y. k k t t 0. a 0a b 6 b c c. 8 y y. a b ( ab ) a b b 7 a 6. p q r ( pq ) ( aq ) ( pr ) pq 7. n m a : a mn a 8. p q q p q p p q 9. ( a ( ab b ) ) ( a ( a b b ) ) 0. ( y ) ( y ) ( y ) ( y ). q p b ab p b q b p ( pq ) a ab

16 Polinomios 0 Términos semejantes (Suma y/o resta de polinomios) I. Simplifica los términos semejantes, diga el grado del polinomio y ordene alfabéticamente. ) 8 -+7= ) +9y 6y= ) a + a + 9a ) m m 7m 6) 6 y y + y 7) yz + y z y z yz 8) 6y y y 9) a + a + a + a a a + a a 0) 7a b + b + 9a b = ) a+ c + 9c 7b 7a- c = ) 0,0 b c 0, c b - 0,8 c b + 0,99 b c= ) + + y + y + y ) m m m m ) a a a 6) p q 7 p q a b ab ab 6a b 7) 8) m mn 0 m mn mn m 9) s t s s s t t 0) m n mn m 8 n m n mn 0 ) y y y y y y 6 8 6

17 Uso de paréntesis I. Elimine los paréntesis y simplifique los términos semejantes. ) (0b +) +(6 9b) (b-7)= ) 0 + (-7 +) (--7)= 0 ) y y y y y ) y z z y y ) - ( - y ) - { - ( y - z )} - { - ( y - z ) } = 6) 9 + y - 9z { -y + z - ( - 9y + z) - z } = 7) 6a - 7ab + b - ac + bc - c - {(8a + 9ab - b) - (-ac + bc - c)} = 7

18 0 8) 9 + y - 9z - 7 y z 9 y z z 9) + y - ( y) 0) m n - -m + n (m n) ) -( y ) + y ( y ) ) --(a b) (a + b) (-a b) ) + y - - (y ) - y 8

19 ) - (6a + ) (a b) + 9b 0 ) 6a + -7 (a ) - -(a + ) + (-a + 9) 6a 6) - --(- 6) (- ) ( + ) + (- ) - 7) - --( y + ) - ( + y) + ( + y) 8) --(a + ) + (a ) (-a + ) + (a 6) 9) 7a - -a - -(-(a + b) (-a + b) - (-b + a) 9

20 Suma y resta de polinomios 0 I. Dados los polinomios, encuentre lo que se pide A: b c b + 6c B: b - c b + b c C: c Ejecute las siguientes operaciones: a) A + B = b) A C = c) B A = d) A + B C e) C ( A + B ) 0

21 II. Suma los siguientes polinomios 0. ( +) + (- +) =. ( + 6 +) + (-7 +)=. (- +6 ) + (-7 + )=. ( + -) + (- + +)=. (m + 9m -0) + (8m + m +)= 6. ( + 6 +) +( 6 + )= 7. (8a 6a +6a+) + (7a + a + a -7)= 8. (-cd +6d +cd ) + (-d +cd +)= 9. m mn m mn mn m 0 0. b ab a 7ab b a ab 7 y c y.. 7a b 8 a b 0 a b 8

22 III. Efectuar las siguientes restas de polinomios. 0. ( +) - (- +) =. ( + 6 +) - (-7 +)=. (- +6 ) - (-7 + )=. ( + -) - (- + +)=. (m + 9m -0) - (8m + m +)= 6. ( + 6 +) - ( 6 + )= 7. (8a 6a +6a+) - (7a + a + a -7)= 8. (-cd +6d +cd ) - (-d +cd +)= 9. m mn m mn mn m 0 0. b ab a 7ab b 7 a 9 8 ab 7 Aplicaciones Calcular el perímetro de la siguiente figura: El perímetro de un rectángulo es 8 6 y un lado es +7 Cuánto mide el otro lado?

23 0 Producto de polinomios. Realiza las siguientes operaciones, utiliza las leyes de los eponentes: a) 7 g) o) ( ) ( 6 ) b) c) d) e) z 7 6 y y y a a h) 6 i) 7 j) 6 k) 7 7 l) ( ) 6 m) 9 7 p) ( ) q) ( 6 ) 7 7 r) s) t) ( ) ( ) 6 f) 7 n) 6 II- Resuelve los siguientes productos algebraicos de un monomio por un polinomio: ) 7 ( ) ) z6( ) 9) ( y) ) ( b c) 7b 6) ( ) y 0) a( b a) ) mn ( ) 7) y( y y ) ) ( a ab) b ) a( c 6 bc) 8) a(a b ) ) ( y )

24 III- Resuelve los siguientes productos algebraicos de un polinomio por un polinomio: 0 ) 8a(a - y z) 6y(a - 6y + z) = ) (a + 8b) (a - b) + a(a 7b) = ) (a + b)(a b) + (a + b)(a + b) = ) ( - )( ) = ) (a + )(a ) = 6) 6y (9 8y)( + y) (y )( + y) = 7) ( + y + z)( + y + z) = 8)

25 9) ( + )( + )( + ) = 0 0) (7a b) [(a - c) (b - c)] = ) [7 {9 ( + 6)}] = ) (a b)[b (a + b) + (a - b)] = ) + y{8y (6z + y ) + z} y{ 8y + z( + y)} = ) 9 a b ab a b 8 ) ab ab a b b a 8

26 Productos Notables Binomio al cuadrado. Resuelve los siguientes binomios (utiliza la forma corta): 0 a. ( ) y b. (a ) c. ( b ) = d. ( + c) = y = f. a = e. g. y h. a b i. j. y y k. m l. yz Binomios conjugados. (a b) (a + b). (m 6) ( m + 6). ( + 7) ( 7). () ( ). ( ) ( ) 6. ( a b) ( a b) 7. (a ) (a ) 8. 9m n 9m n 6

27 p q 7 p q 0. y y. 7 q 7 q. y z y z Binomios con término común Resuelve los siguientes productos: ) ( + )( + ) = 8) ( )( + ) = ) ( + 7)( 6) = ) ( + )( + ) = 9) (a )(a + 0) = 6) (a + 8)(a ) = ) ( + )( ) = 0) (n 9)(n + 0) = 7) (a )(a + 7) = ) (m 6)(m ) = ) (a + )(a 9) = 8) (a 6 + 7)(a 6 9) = ) ( + 7)( ) = ) ( )( 7) = 9) (ab + )(ab 6) = 6) ( + )( ) = ) (n )(n + 0) = 0) (y 9)(y + ) 7) ( )( ) = ) (n + )(n 6) = 7

28 0 Binomios al cubo ) t t ) u v ) m n 0 ) y Reduce las siguientes epresiones, aplica productos notables: a) ( + ) ( ) = b) ( + ) ( + ) ( ) = c) ( ) ( + 8) + ( ) ( 8) = d) ( ) ( + ) = e) ( + y + ) ( y ) = 8

29 0 EXAMEN DE PRODUCTOS NOTABLES Tiempo de realización: Aciertos: Resuelve los siguientes productos: ) (y 6) (y + ) = a) y -0y - b) y -y + c) y -y - d) y + y- ) ( + ) ( + ) = a) + + b) c) d) ) y y = 6 ) (a + 6) (a + 8) = a) a + 8 a +8 b) a a c) a + 8 a + d) a + a + 8 ) (y + n) = a) y + n b) y + yn + n c) y + yn + n d) (y) + yn + n ) (w + 8) (8 + w) = a) (6w + 6) b) (w + 8) c) (w + ) d) (w + ) 6) (y y ) = a) y 0 y + y b) y y + y c) y 0 y + y d) y y a) y b) y y c) y y d) y y ) (t r ) Nota: Para esta parte hay unas copias que deben de entregarse al alumno y seleccionar que ejercicios debe hacer etra para reafirmar su conocimiento, esto si el docente lo considera necesario. 9

30 0 División de polinomios I. Efectué las siguientes divisiones de un polinomio entre un monomio. 8 0 y. y 6a b 9a b ab. ab u v u. u v v u v yz yz 6a b a b a b... yz a b y y 7 6. y y y a a 9. a II. Efectué las siguientes divisiones de un polinomio entre un polinomio

31 0 a a a a a

32 Más divisiones, (puede utilizar división sintética para comprobar, donde sea posible) a a a a a 8. n entre n 8n 9. y 6 y y y 0. entre h entre 0 7h h

33 0 Factorización Factor común Encuentra el factor común de las siguientes epresiones. 6 - =. - 8y =. a - ab =. 0 - =. m n + 7mn = 6. 8a - 6a = 7. b u u = 9. = 0. b b =. 6 y + 8=. + 0y 0. c d 0=. yz yz =. a 0ab + ab = 6. a + b + c = y + z = 8. ab + 6ac - 9ad = 9. m n p + m n p - m 6 n p + m n p = 0. 8pq + 0p q p q + pq=. 0ab + ab 0aby 6ab y =. 0abc 0abd 60b c + 90b d =. m n + m n - 6m n =. 0p q + p q - 8p q - 6p q =. 8 6 a b a b a b a b 6. a b ab a b a b 8 6

34 0 7. a ( + ) + b ( + ) = 8. ( p + q ) + y ( p + q ) = 9. ( - ) + c ( - ) = 0. ( + y )(n + ) - (n + ) =. a ( a + b ) - b ( a + b ) =. m (a + b ) + p ( a + b ) =. ( a + ) - b (a + ) =. a ( + ) - ( + ) =. (a + )(a - ) - ( a - ) = 6. ( + )( - r ) - ( - )( - r ) = 7. a b b a b a 8. m a n a 9. a b c a b c 0. yn n

35 0 Factorización por agrupamiento Factoriza las siguientes epresiones. a + ab + a + b =. ab + a + b + 6 =. ab - a - b + 0 =. ab + a - b =. am - bm + an - bn = a - + a = 7. - b + y - by = 8. 6ab + a - b - 0 = 9. a - b + b - 6a = 0. a + a + a + =. ac - a - bc + b + c - c =. 6ac - ad - 9bc + 6bd + c - 0cd =. a - ay - b + by - c + cy =

36 . am - 8bp - bm + ap = y + y + z - 0z = 6. 0 z y yz 7 z am am bm bn Factorización de trinomios cuadrados Epresar como un producto de dos binomios con término común:. + + =. a + 7a + 0 =. b + 8b + =. - - =. r - r + 7 = 6. s - s + = 7. h - 7h + 0 = 8. y - y - = 9. + y + y = 0. m + 9m + 8 =. + + =. - + = = = 6. 8 = 6

37 0 7. y 7y 0= = 9. 8= =. t 6 t. w w. f 7 f 0. 0 a a. m m 6. k 6k 0 7. p p 6 8. w w 9. z 7z a 7a 60. y 0y 00.. a a. h 0h 67. y 6 6y 7 6. y 8 y y y 8. w w z 0. a a 9. z 0. a ab b. 0. mn 6n m. m n m n. a b a b c cd 8d c 8. y y 8 7. d 8c d 6 7

38 0 Factorización de trinomios cuadrados perfectos. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio: a) b) y 8y +... c) m n d) p p e) f)... 90y + g) 89z + 0 z +... h) 6 80y Epresar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado de binomio:. b - b + 6 =. + 70y + 9y =. m - m + = =. 6m - 0mn + n = = y + 9y = 8. a + a + = ª + 9a = 0. m - 70 mn + 9n =. a c + 0acd + d =. 89a + 68abc + b c =. 6 6 y 8-8 y z 7 + z =. g + gh + h =. 6n + 8pn + 9p 6. 9 y + y 7. 0b + b 8. p pq + q 9. p 6pq + q 0. p pq +9 q. 8p 6pq +8 q. 8p 8pq + q 8

39 0 Factorización de trinomios cuadrados con a distinto de uno. + + =. a + 0ab + 7b = =. h + h + =. + 7b + b = = 7. c + cd + d = = = 0. 6a + ab - b =. m - 7m - 0 = = 9

40 0. + y - y =. 7p + p - =. 6a - a - = y + y = 7. a - a + = a a. 8a a m 6m 0

41 0 Factorización de la diferencia de dos cuadrados Factoriza las siguientes epresiones.. 9a - b = =. - =. 9p - 0q =. 6m n - = t = 7. 69m - 96 n = 8. - k = a b 0. 9 y =. - 80f =. 8y - 8 =. - 7y =. m n - 0mn = 6. a - 6 a = 7. 69b a 8. t w m 9. z k l 69y 8. m n 6 0 a. 9a b c d y z d 89b m 8 6 m a a 9. a b c d 8 a 0. 6

42 0 Factorización de la suma o resta de dos cubos Factoriza las siguientes epresiones.. 6 = 6. r. 7m + 6n 6 = 8. = m a 7b. 8a b + 7 = 9. v 6 b. 6 y 6 = 6. = 6 7. a 8. y m a 7. 7m n n 7m m n y 6. t 9 u 7. 8 y 8. r u 6 9. z m y z

43 0 Epresiones racionales simples Simplificar las siguientes epresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda: 8a a b 96m n a) b) = c) d) 7ab 7ab m n ( a b) ( a b) a b 6y y e) f) = g) h) a b 0y y y 8 7y 6 9y 8y i) j) = k) l) y y y 6 8 m) n) = ñ) o) u 6 u u 0 6 ( a b) c 6c 7 0 p) q) r) s) a ( b c) c a 9 m n y y t) v) w) ) ( a ) n m y y 6 8

44 Efectúa las siguientes operaciones algebraicas 0 ) a b 7 y 8 y a b 6 ) 6a b 9 y 7y a b ) ( ) ( 9y ) ( y ) ( ) ) ( y ) ( 9 ) ( 8 y ) ( y ) ) 6a b a b 8 y 6 y 6 6) ) a + 7a + 0. a 9 = a a 6 a + a 8) a 8. a +. 8ab = a + 0 a 6 ab + 9b

45 9) a 8. a +. a. a + a a + 0a a 6 a + 8 a + 0 0) ) ) ) ) a + a a + a a +

46 Efectúa las siguientes sumas y restas con las fracciones algebraicas 0 ) a a + = a + a + a + 6) a a + = a + a + a + 7) a + a = a a 8) a + a = a + a 9) + = ( + )( + ) ( + )( ) ( + )( ) 0) + = ( + a) 0( a ) ( a) ) + = a a + a a + 6

47 0 ) + = ) a + a + a = 0a + 0 0a a + 0 ) + =

48 0 Efectúa las siguientes sumas y restas con las fracciones algebraicas complejas ) 6) y y y 7) b a a ab a( b a) ab +. 8) =. +. 9) =. 8

49 a b. a b a + b 0) = a + b + a. a b b 0 a a ) = +. a a a ) = +. a ) =

50 b + b. + b b ) = + b b. b + b 0 z + z z + 8 ) = 9 + z 6. z 6 z 0

51 Ecuaciones de primer grado con una incógnita Determinar la solución de las siguientes ecuaciones: =. b + = -8. 8c - = 0. - d = 9. - f + = g = h = 8. j - 9 = j + 9. k + 7 = - k = 7-6. m -, = m +,8. n - n + = - n. ñ - + ñ - = ñ. 8p - + p = 7p - - p. q - + 6q q - = q 6. 6r + r - 9-8r r = 0 8. s + ( - s) = 9 - (s - 6) 9. (t - ) + 7 = 8t - ( - t) 0. - (8v-) + (6-7v) - = 7 - (v-) + (v+). (w - 8) - ( - 9w) + = 7w - - (w ). -(-6+) + (9-+-) = 7 - ( - 6) y = (y - )

52 0. 7-6(c - ) + ( - c) = 7 + (7c - ). (d + 7)-(d + )=d+(d-9+d)-(d - ). 8(6f - )-7( - f)+(f + )-(f + 6) = [g - (g - )] - g = g 7. 0h - [ - (6h + 8) - ( - h )] = -(8h - ) 8. - {m + [m - ( - m)]} = 9. - (n - ) + = + 0(n - ) 0. - (ñ + )-(ñ - 6 )-(7ñ - 8)-(9ñ - 0) =. (t - )² - (t - )² =. (v - )² + 6v - = v² - (v - ). (w + )² + = (w - )² + w. ( - )² - ( - 7) = ( - )( + ). - (y + )² = - [y - (y + 9)] - y² 6. ( - 7)² - ( + )² = ( - )

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54 Problemas verbales que involucran ecuaciones lineales Plantear una ecuación consiste en interpretar, comprender y epresar en una ecuación matemática el enunciado verbal de cualquier problema. Es decir: Lenguaje verbal (un problema) traducción Lenguaje matemático (ecuaciòn) Recomendaciones para plantear una ecuación No eisten reglas sencillas que garanticen el éito en la resolución de problemas. Sin embargo es posible establecer algunas pautas generales y algunos principios que pueden ser útiles en la solución de problemas:. Leer y comprender el problema.. Ubicar la incógnita y relacionarlo con los datos del problema.. Plantear la ecuación y resolverla.. Comprobar el resultado. Ver si la respuesta es razonable. Para plantear correctamente una ecuación es necesario simbolizar correctamente el enunciado de un problema. Veamos a continuación algunos ejemplos de enunciados y su respectiva representación matemática.

55 0 Enunciado Un numero El doble de un numero El doble de un numero, aumentado en El doble, de un numero aumentado en El triple de un numero, disminuido en 7 El triple, de un numero disminuido en 7 Lo que tiene Omar es igual a lo que tiene Silvana Omar tiene el doble que Silvana Carlos tiene dos veces lo que tiene Diana Carlos tiene dos veces mas de lo que tiene Diana es tres veces y es tres veces mas que y a es a b como es a m y n están en la misma razón que y 7 La suma de tres números La suma de tres números consecutivos La suma de tres números pares consecutivos La suma de los cuadrados de tres números El cuadrado de la suma de tres números El cubo del doble de un numero El doble del cubo de un numero A ecede a B en m es ecedido en por n Tres menos dos veces un numero cualquiera. Un número par Tres pares consecutivos Un número impar Tres impares consecutivos Un número múltiplo de cinco Un número múltiplo de tres Representación matemática

56 Plantear y resolver los siguientes problemas 0. Un número multiplicado por sumado con el mismo número multiplicado por 6 da. Cuál es el número?. Qué número se debe restar de p+ para obtener?. El doble de un número aumentado en es igual a su triple disminuido en. Cuál es el número?. Tres números impares consecutivos suman 8. Cuáles son los números?. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 7. Hallar el número. 6. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 0. Cuáles son los números? 7. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 0. R/ y. 8. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 7. R/8, 9 y Tres números enteros consecutivos suman 0. Hallar estos tres números. R/67, 68 y Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 7. R/7, 8, 9 y 0.. Hallar tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 9. R/6, 6 y 66.. Hallar tres números enteros consecutivos pares cuya suma sea 86. R/60, 6 y 6. 6

57 0. La suma de tres números enteros pares consecutivos es 0. Cuáles son los números? R/, y 6.. La suma de tres números es 00. El mayor ecede al del medio en y al menor en 6. Hallar los números.. Si a un número le restas, se reduce a su tercera parte. Cuál es ese número? Sol: 8 6. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruplo del menor. De qué número se trata? 7. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. Cuál es ese número? Sol: el 0 y el El producto de un numero natural por su siguiente es igual a 0. De qué número se trata? Sol: 9. Halla un número tal que su doble aumentado en una unidad sea igual que su triple disminuido en tres unidades. Sol: 0. La suma de tres números consecutivos es. Cuáles son esos números? Sol: 6, 7, 8.. Calcula tres números naturales consecutivos, sabiendo que su suma es igual al cuádruplo del menor.. En el triángulo ABC, los lados AB BC y BC AC. Si su perímetro es 8 m. Cuánto mide cada lado?. El numerador de una fracción ecede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma, la fracción queda equivalente a. Hallar la fracción.. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 0. 7

58 0. Tres números enteros consecutivos suman 0. Hallar los números. 6. La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números. 7. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 0 años más que la menor y la del medio 8 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas. 8. Dividir 8 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor. 9. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa kg. 600 gramos. Cuánto pesa el pez?. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. Puedes calcularlo tú? 8

59 Despejes de variables 0 Despeja en las siguientes epresiones la incógnita indicada. Lo ideal es que se despeje cada una de las variables. La velocidad de un objeto bajo ciertas condiciones está dada por la fórmula; V = v 0 + ad donde v 0 es la velocidad inicial, a es la aceleración y d es el desplazamiento. Despeje la aceleración Despeje el desplazamiento. La epresión aparece en el estudio de las progresiones geométricas. Despeja r y L. Despeje la r Despeje L Despeje a. La relación entre la temperatura en C y la temperatura en F es C = /9 C (F - ). Despeje la variable F.. El área de un cilindro está dada por A = πr(r + h). Despeja para h.. El nivel de energía de un objeto es E = mgh + /mv. Despeje la m Despeje h Despeje v 9

60 0 6. De la formula Despeje la a at d vit que representa la distancia que recorre un móvil: Despeje v i 7. De la formula a A que sirve para calcular el área de de triángulo equilátero. Despeja el lado a- r 8. De la formula r R r r que sirve para calcular la resistencia eléctrica total en paralelo. Despeje la r Despeje r q 9. De la formula q F K que en física sirve para calcular la fuerza atracción entre dos cargas, r Despeje la r Despeje q Despeje q 0. La fórmula que relaciona la capacitancia equivalente (Cs) para capacitadores en serie está dada por: Despejar cada una de las cuatro variables. 60