Regresión lineal en química analítica

Transcripción

1 Regresón lneal en uímca analítca Alejandro C. Olver Departamento de Químca Analítca, Facultad de Cencas Bouímcas y Farmacéutcas, Unversdad Naconal de Rosaro, Supacha 5, Rosaro (S00LRK), Argentna. E-mal: aolver@fboyf.unr.edu.ar

2 Tabla de Contendos CLASE REGRESIÓN LINEAL Materal sumnstrado con la clase Parte : calbracón unvarada Determnacón del extremo superor del rango lneal 4 Preparacón de patrones 4 Medcón de la respuesta de los patrones 5 Estmacón de los parámetros de la regresón 5 Predccón en muestras ncógnta 6 Cfras de mérto del método 7 Sensbldad de calbracón 7 Sensbldad analítca 7 Límte de deteccón 8 Límte de cuantfcacón 9 Rango dnámco 9 Rango lneal 9 Programas de computacón EJERCICIO RESUELTO RESPUESTA DETALLADA 4 EJERCICIOS PROPUESTOS 8 CLASE 0 REGRESIÓN LINEAL 0 Materal sumnstrado con la clase 0 Parte : exacttud y comparacón de métodos analítcos 0 Exacttud de un método analítco Regón de confanza en el caso homoscedástco Regresón ponderada 4 Regón de confanza en el caso heteroscedástco 5 Comparacón de métodos analítcos 6 Programas de computacón 7 EJERCICIO RESUELTO 7 RESPUESTA DETALLADA 7 EJERCICIOS PROPUESTOS RESOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 4 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN LA CLASE 4 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN LA CLASE 5 REFERENCIAS 8

3 La estadístca es un método sstemátco para llegar a la conclusón ncorrecta con un 95% de confanza. Clase Regresón lneal "Camno recto", fotografía, tomada de www4.brnkster.com. Materal sumnstrado con la clase Para esta clase se proveen los sguentes archvos: Archvos de texto (*.TXT) contenendo datos típcos. Rutnas (*.M) para el entorno de programacón MATLAB. COMO OPERAR CON MATLAB.PDF, documento de Adobe ue explca el empleo del entorno MATLAB. Programas ejecutables en QB (*.EXE). COMO OPERAR CON QB.PDF, documento de Adobe ue explca el uso de los programas en QB. Parte : calbracón unvarada En este capítulo estudaremos una de las más populares aplcacones de la regresón lneal en uímca analítca: la recta de calbracón unvarada. La teoría se expone en este

4 documento, pero se recomenda consultar paralelamente el ejemplo concreto ue se analza en la seccón Ejercco Resuelto. El análss medante recta de calbracón puede hacerse cuando sólo el analto de nterés presenta señal analítca o respuesta (absorbanca, fluorescenca, potencal eléctrco, corrente, etc.), o cuando la señal del blanco es constante. Las etapas ue deben segurse en un análss medante recta de calbracón son: Determnacón del extremo superor del rango lneal Preparacón de patrones Medcón de la respuesta de los patrones Estmacón de los parámetros de la regresón Cálculo de las cfras de mérto del método Predccón en muestras ncógnta Las expresones matemátcas ue se presentarán a contnuacón y su empleo en el análss unvarado están tomadas, en general, del trabajo de referenca clásco de Danzer y Curre, preparado para la Unón Internaconal de Químca Pura y Aplcada (IUPAC). De la ampla lteratura ue exste en este campo, recomendamos tambén los lbros de Gardner y Mller y Mller. Determnacón del extremo superor del rango lneal Esta etapa es fundamental, ya ue la regresón lneal está basada en la suposcón de ue los datos de respuesta analítca están lnealmente relaconados con la concentracón del analto. S se sospecha ue exsten desvíos de la lnealdad, se recomenda realzar un análss exploratoro prevo cuyo objeto es extender el rango de aplcabldad de la técnca analítca a la máxma concentracón posble. En dcho análss, se ncluyen patrones de concentracón conocda del analto desde cero hasta valores ue se desvíen vsblemente de la lnealdad. Una prueba estadístca apropada permtrá luego decdr hasta ué concentracón se cumple la relacón lneal respuesta-concentracón. Sn embargo, dado ue los parámetros a emplear en esta prueba se obtenen del análss matemátco-estadístco de la regresón, dferremos el cálculo detallado para más adelante. Preparacón de patrones Una vez estmado el extremo superor del rango lneal de la técnca, deben prepararse patrones de concentracón conocda dentro de dcho rango, e ncluyendo el valor cero de concentracón del analto (blanco). Usualmente, se preparan varos patrones (como mínmo cnco) con concentracones gualmente espacadas entre cero y el extremo superor del rango lneal, y cada patrón se analza por trplcado. Debe ponerse especal cudado en la preparacón de los patrones del analto para la calbracón, de manera ue las concentracones de calbrado se conozcan con la máxma precsón posble. Este reusto se relacona con el hecho de ue la recta de regresón se ajusta medante ecuacones ue suponen ue los valores del eje x (concentracones) tenen una ncertdumbre consderablemente menor ue los del eje y (respuestas). Sólo a modo de ejemplo, s se realzan medcones de absorbanca como respuesta, podemos suponer ue el nvel de ncertdumbre en la respuesta puede ser de alrededor de 0,005 undades de absorbanca. S los valores de las respuestas son, en promedo, de undad de absorbanca, esto mplca un nvel relatvo de ncertdumbre de aproxmadamente 0,5% en la respuesta. Por lo tanto, se deben preparar patrones de calbrado cuyas concentracones se conozcan con un error menor al 0,5%. Preparar solucones de calbrado, por ejemplo, con ncertdumbres del orden del 0,% en promedo, reuere pesar más de 00 mg de reactvo, preparar solucones en matraces calbrados de al menos 00 ml, tomar alícuotas con ppetas aforadas calbradas, etc. 4

5 Medcón de la respuesta de los patrones Una vez preparados los patrones de concentracón conocda, se mden sus respuestas analítcas, ncluyendo réplcas de cada medcón. Usualmente cada patrón se mde por trplcado. Es mportante establecer la sguente nomenclatura: s se emplean 6 patrones, cada uno por trplcado, entonces el número de nveles dferentes de concentracón (p) es 6, y el número total de puntos de la recta de calbrado (m) es 8. Estmacón de los parámetros de la regresón El análss de los datos de calbrado medante regresón lneal mplca el cálculo de la pendente (A) y ordenada al orgen (B) de la recta ajustada a la ecuacón y = A x + B. Los valores estmados de A y B se calculan medante las sguentes ecuacones: A = Q Q m xy = = m xx ( x x)( y = ( x x) y) B = y Ax () donde x es la concentracón de cada uno de los m patrones de calbrado, x es el promedo de las concentracones de calbrado, y es la respuesta en cada punto e y es el promedo de las respuestas de los patrones de calbrado. Además de los valores ndvduales de A y B, es mportante tener una dea de su ncertdumbre asocada, ya ue los datos nstrumentales llevan asocados un error ue depende del rudo nstrumental, y el ajuste por cuadrados mínmos sólo provee estmacones de la pendente y ordenada al orgen. Los desvíos estándar en los parámetros A y B se calculan con las sguentes ecuacones: s A = s B = s y / x () s Q y / x xx x + (4) m Q xx En las ecuacones precedentes, el parámetro s y/x es el desvío estándar de los resduos de la regresón y está dado por: m ( y ˆ ) y = s y/x = (5) m donde y es la respuesta expermental de cada patrón de calbrado e ŷ representa la respuesta estmada en cada punto, esto es, ŷ = A x + B. En la ecuacón (5) se emplean m grados de lbertad, ya ue hay m datos dsponbles, y parámetros estmados en la regresón (A y B). Estos parámetros estadístcos dan tambén una dea de la bondad de la regresón. Es deseable ue s y/x sea lo más peueña posble; no obstante su valor está lmtado por el rudo nstrumental. La dstrbucón de los resduos, es decr, el modo en ue los valores de (y ŷ ) varían con la respuesta, cumple tambén un papel mportante en el análss de la adecuacón de los datos al modelo lneal, como veremos más adelante. () 5

6 Predccón en muestras ncógnta Los valores de A y B se reueren para realzar predccones en muestras ncógntas, a través de la ecuacón y nc = A x nc + B, de donde puede obtenerse la concentracón estmada del analto en la muestra: x nc = (y nc B) / A (6) donde y nc es, en general, un promedo de las respuestas obtendas para un determnado número de réplcas de la ncógnta (habtualmente tres). Un resultado no es tal, sn embargo, s no está acompañado por su correspondente nvel de ncertdumbre. Para nformar x nc con su ncertdumbre asocada, y establecer su número correcto de cfras sgnfcatvas, es necesaro calcular el error estándar en la concentracón predcha s(x nc ), lo cual se lleva a cabo medante la sguente expresón: s y x y y / ( nc ) s y x x x / ( nc ) s(x nc ) = + + = + + (7) A n m AQxx A n m Qxx donde s y/x es el desvío estándar de los resduos de la regresón dado por la ecuacón (5), A es la pendente de la recta de regresón, n es el número de réplcas de la muestra ncógnta, m es el número total de patrones de calbrado, y nc es el promedo de las respuestas de las réplcas de la ncógnta, y es el promedo de las respuestas de los patrones de calbrado, y Q xx fue defndo en la ecuacón (). La ecuacón (7) es responsable de ue la ncertdumbre en la predccón dependa de cada muestra y no de la calbracón en forma global, ya ue para cada muestra ncógnta hay un valor predcho de la concentracón (x nc ) y por lo tanto un valor asocado del desvío estándar s(x nc ). La forma de la ecuacón (7) provene de un análss de la propagacón de las dstntas fuentes de error a la concentracón predcha. Puede demostrarse ue hay dos fuentes prncpales de ncertdumbre: ) la señal medda para la muestra ncógnta y ) las señales meddas para las muestras de calbrado. La prmera contrbuye con el térmno (/n) dentro de ( xnc x) la raíz cuadrada de la ecuacón (7), y la segunda con los térmnos +, ue m Q xx colectvamente recben el nombre de leva (del nglés leverage). La leva mde, de algún modo, la "dstanca" de la muestra ncógnta al centro de la calbracón. Dado ue la leva es mínma cuando la concentracón de la ncógnta es gual al promedo de las concentracones de calbrado (esto es, cuando x nc = x ), se concluye ue el método posee su máxma precsón en este últmo caso. De ahí ue se recomende analzar muestras cuya concentracón de analto sea cercana al centro de las concentracones de calbrado. La extrapolacón a concentracones mucho mayores o menores ue el promedo de la calbracón aumenta la leva y con ello el error en la predccón. Otra conclusón ue puede extraerse de la ecuacón (7) es ue el efecto de la calbracón sobre el error de predccón será tambén menor s m > n, es decr, cuando el número de patrones de calbrado es superor al de réplcas empleadas para predecr. En todo caso, el análss de la ecuacón (7) muestra ue, para muestras no demasado alejadas del centro de la calbracón, y dado ue en general se cumple ue m > n, el error estándar en la concentracón se puede aproxmar por s(x nc ) = s y/x / (A n / ). Debe notarse fnalmente ue el ntervalo de confanza para la concentracón predcha puede calcularse multplcando el valor del desvío estándar dado por la ecuacón (7) por el correspondente coefcente de student para un dado nvel de confanza (usualmente 95%) y un número de grados de lbertad gual a (m ). 6

7 Cfras de mérto del método Las cfras de mérto de un método analítco se utlzan regularmente con el propósto de calfcar un determnado método y comparar sus propedades analítcas con las provstas por otras técncas. Incluyen, entre otras, las sguentes: Sensbldad de calbracón Sensbldad analítca Límte de deteccón Límte de cuantfcacón Rango dnámco Rango lneal Debe notarse ue la expresón "cfras de mérto" es la traduccón correcta del nglés fgures of mert. Esta últma no debe traducrse como "fguras de mérto". Sensbldad de calbracón La sensbldad de calbracón es gual a la pendente de la recta de calbrado: SEN = A (8) Indca la varacón de respuesta producda por una undad de varacón de concentracón del analto, y sus undades son de señal concentracón. Sensbldad analítca La sensbldad de calbracón no es adecuada para comparar dos métodos analítcos cuando estos están basados en respuestas de dferente naturaleza (por ejemplo, absorbanca y fluorescenca, o absorbanca y meddas electrouímcas, etc.). Para ello es preferble utlzar la llamada sensbldad analítca γ, defnda por la relacón entre la sensbldad y el rudo nstrumental: γ = SEN / s y (9) donde s y es una medda convenente del nvel de rudo en la respuesta. Para estmar el nvel de rudo pueden usarse dos procedmentos, ue en teoría deberían concdr. En el prmero, se estma el rudo nstrumental (s y ) a través de los desvíos de las réplcas de las medcones de calbrado respecto de sus promedos: p r = j= ( y j y ) s y = (0) m p donde p es el número de nveles de concentracón estudados en la recta, r es el número de réplcas de cada punto, y j es el valor de la respuesta correspondente a cada nvel y réplca, e y es el promedo de las respuestas de las réplcas para cada nvel de concentracón. En la ecuacón (0), el número de grados de lbertad es m p, ya ue de los m datos dsponbles, p grados de lbertad se reservan para el cálculo de las p medas y. Este cálculo se lustra en forma detallada en el ejercco resuelto ue acompaña al presente documento. En el segundo método de estmacón del nvel de rudo, se lo estma como el desvío estándar de los resduos de la regresón lneal, el parámetro ya defndo s y/x [véase la ecuacón (5)]. S los datos estudados cumplen la relacón lneal entre respuesta y concentracón, los dos métodos anterormente descrtos deben proveer resultados smlares en cuanto a la estmacón del rudo nstrumental. 7

8 Límte de deteccón Es la mínma concentracón detectable de manera confable por la técnca. En la defncón moderna, el límte de deteccón (LOD) se calcula en funcón del desvío estándar de la concentracón predcha para una muestra blanco (s 0 ). 4 Para estmar s 0 se recurre a la ecuacón (7), escrta del modo sguente: s y x x x / ( nc ) s(x nc ) = + + () A n m Qxx S suponemos ue se analza una muestra por trplcado (lo más usual es n = ) en la ue el analto no está presente (x nc = 0), la ecuacón () se reduce a: s y / x x s 0 = + + () A m Qxx aunue s 0 será dferente s se emplea un número dferente de réplcas. En todo caso, es mportante nformar ué valor de n se consdera en el cálculo de s 0 y por lo tanto del LOD. Como se muestra en la Fgura, el LOD se calcula medante una prueba de hpótess estadístca. En prmer lugar se fja una concentracón llamada nvel crítco (L C en la Fgura ), a partr de la cual se toman decsones respecto de la deteccón del analto. Para concentracones superores a L C, exste una probabldad α de cometer el llamado error de tpo I o falso postvo. Este últmo consste en aceptar erróneamente la hpótess alternatva, admtendo ue el analto está presente cuando en realdad está ausente. Como se apreca en la Fgura, la probabldad de cometer este error de tpo I está dada por la zona sombreada de azul (área α), sendo la "dstanca" de L C al cero de la escala gual al producto de s 0 por el coefcente t α,ν. S α se toma gual a 0,05, entonces una concentracón superor a L C tendrá sólo un 5% de probabldad de consttur un falso postvo. Del msmo modo, exste una probabldad β de cometer un error de tpo II o falso negatvo, en el ue se acepta erróneamente la hpótess nula, admtendo ue el analto está ausente cuando en realdad está presente (zona sombreada de rojo en la Fgura, con probabldad gual a β). S β se toma tambén como 0,05, la probabldad de obtener un falso negatvo será del 5%. En este caso la dstanca de L C a la concentracón correspondente a dcho valor de β es el producto del coefcente t β,ν por s 0, consderando ue este últmo parámetro es muy cercano al desvío estándar en la concentracón de una muestra blanco. Puede notarse entonces ue el valor de LOD depende de α y β, y de los desvíos estándar de las dos curvas gaussanas de la Fgura. En general, ambas probabldades se toman como guales 0,05, mentras ue los desvíos estándar se suponen ambos guales a s 0. De este modo, el LOD está dado por: 5 LOD = t 0,05,m s 0 () defncón ue ha sdo adoptada tambén por IUPAC 6 e ISO. 7 En la práctca, dado ue m es un número relatvamente grande, el valor de ( t 0,05,m ) tende a,, por lo ue una ecuacón aproxmada para el límte de deteccón es LOD =, s 0. Nótese ue antguamente se defnía el LOD contemplando úncamente errores de tpo I, como la concentracón correspondente a una relacón señal/rudo gual a, lo ue euvale a fjar el límte de deteccón como LOD = s bl / A, donde s bl es el desvío estándar en la señal del blanco. En esta aproxmacón, la probabldad de cometer errores de tpo I era de 0,%, ue corresponde a t 0,00,ν = (para un número muy grande de grados de lbertad). Esta defncón, ya abandonada por la IUPAC, no contempla los errores de tpo II. 8

9 (t α,ν + t β,ν ) s 0 Hpótess nula: analto ausente Hpótess alternatva: analto presente a este nvel β α 0 L C LOD Predccón Fgura. Prueba de sgnfcacón empleada para estmar el límte de deteccón. L C es el nvel crítco, LOD el límte de deteccón, α y β las probabldades correspondentes a errores de tpo I y II respectvamente, s 0 el desvío estándar del blanco (en undades de concentracón) y t α,ν y t β,ν los coefcentes de student para ν grados de lbertad. Límte de cuantfcacón Es la mínma concentracón cuantfcable en forma confable. Este parámetro (LOQ) se toma como la concentracón correspondente a 0 veces el desvío estándar (en undades de concentracón) del blanco, con lo cual: LOQ = 0 s 0 (4) De este modo, el desvío estándar relatvo (DSR) para una concentracón gual al LOQ es del 0%, nvel ue se toma convenconalmente como el máxmo DSR aceptable para cuantfcar el analto en una muestra. Rango dnámco Se consdera ue va desde la menor concentracón detectable (el LOD) hasta la pérdda de relacón entre respuesta y concentracón; véase la Fgura, adaptada de la excelente obra de Valcárcel. 8 El rango dnámco es tambén el rango de aplcabldad de la técnca. En la zona de pérdda de la lnealdad, podría aplcarse, en prncpo, un método de regresón polnómca para la calbracón (o algún otro de naturaleza no lneal), de modo ue nada mpde ue dcha zona sea utlzada con propóstos predctvos. Rango lneal Se consdera ue el rango lneal comprende desde la menor concentracón ue puede medrse (el LOQ) hasta la pérdda de la lnealdad (Fgura ). Una manera convenente de medr el cumplmento de la lnealdad es a través de la relacón ue exste entre la varanca de la regresón, medda por (s y/x ) [ecuacón (5)], y la del rudo nstrumental, medda por (s y ) [ecuacón (0)]. S la prmera es sgnfcatvamente mayor ue la segunda, se supone ue hay causas de desvío de la ley lneal ue son estadístcamente superores al rudo en la respuesta. Para emplear esta prueba es esencal ue se cumpla el supuesto bajo el cual se realza el ajuste lneal, esto es, ue los errores en concentracón de calbrado sean menores ue en respuesta. De lo contraro, se acumularían en (s y/x ) ncertdumbres dervadas de la mprecsón en las concentracones de los patrones, ue nada tenen ue ver con el rudo nstrumental o las pérddas de la lnealdad. La prueba estadístca ue se utlza para determnar s los datos se ajustan a la ley lneal es la F: en prmer lugar se calcula un valor "expermental" de F, dado por: 9

10 ( s ) y / x F exp = ( s ) y Luego se compara este valor con el crítco ue se encuentra en tablas de F (de una cola) para m y m p grados de lbertad, y un determnado nvel de confanza, por ejemplo 95%. S F exp < F, se acepta ue los datos se comportan lnealmente. Alternatvamente, se calcula la probabldad p F asocada a este valor de F exp, y se consdera ue la prueba de lnealdad es aceptada s p F > 0,05. Esta prueba se descrbe en detalle en el trabajo de Danzer y Curre. (5) Rango dnámco Respuesta Rango lneal Extremo superor del rango lneal Pérdda de la relacón respuesta-concentracón LOD LOQ Concentracón Fgura. Rangos dnámco y lneal de un método analítco. 0

11 A Resduos 0 B Resduos 0 C Resduos 0 Concentracón Fgura. Resduos de la regresón. A) Comportamento lneal. B) Comportamento no lneal. C) Comportamento lneal con alta ncertdumbre en la concentracón de los patrones. Tambén es útl, como en todo ajuste por cuadrados mínmos, examnar vsualmente la dstrbucón de los resduos de la regresón. Un gráfco de resduos (y A x + B) en funcón de x puede ser muy nformatvo respecto de la presenca de no lnealdades, ya ue el valor de F exp puede resultar sgnfcatvo no solamente porue la relacón entre las varables no sea lneal, sno por ncertdumbres en la preparacón de los patrones. La Fgura lustra casos representatvos al respecto. En el caso A), el comportamento es lneal: se espera ue la

12 dstrbucón de los resduos sea al azar, y ue la varabldad nterna de las réplcas a cada nvel de concentracón sea comparable a la varabldad global (precsamente este es el sentdo de la prueba estadístca F antes comentada). En el caso B) se apreca vsualmente ue los resduos poseen un comportamento parabólco, caso típco de desvíos de la ley lneal. Fnalmente, en el caso C), los resduos muestran una varabldad global sgnfcatvamente mayor ue la ue presentan las réplcas a cada nvel. Esta stuacón es típca de la presenca de mayor ncertdumbre en las concentracones nomnales de los patrones de calbrado ue en la señal nstrumental, aunue el sstema se comporte lnealmente. De ahí ue se haya puesto hncapé en la necesdad de contar con patrones cuya concentracón se conozca con mayor precsón ue el rudo nstrumental. En general, sn embargo, la dstrbucón de los resduos no es tan clara como los casos presentados en la Fgura, por lo ue es mportante aplcar el crtero estadístco F. Debe notarse ue no hemos empleado, en todo este documento, al parámetro r, el coefcente de correlacón, aún cuando popularmente se recurre a él como prueba de lnealdad o de bondad del ajuste. En este sentdo, vale la pena repetr textualmente el sguente pasaje del trabajo de Danzer y Curre: "el coefcente de correlacón, ue es una medda de la relacón de dos varables azarosas, no tene nngún sgnfcado en la calbracón analítca, debdo a ue los valores de x no están dstrbudos al azar". El coefcente de correlacón se emplea para responder preguntas tales como: está correlaconada la concentracón de antmono con la de plomo en muestras de agua de una zona productora de metales?. En este caso se trata de analzar s exste correlacón entre varables sobre las ue el operador tene muy poco control. Programas de computacón Los métodos descrtos en esta clase pueden aplcarse con cualuer programa comercal ue sea capaz de efectuar una regresón por cuadrados mínmos. Los parámetros faltantes pueden calcularse luego "a mano" con las ecuacones provstas en este documento. En este sentdo, la obra de Gardner hace una excelente descrpcón del uso de la planlla de cálculo EXCEL para propóstos analítcos en general, y para estudos medante regresón unvarada en partcular. Para uenes deseen ntroducrse al mundo del entorno matrcal MATLAB, esencal para cálculos avanzados en umometía, se proveen dos rutnas ue calculan todos los parámetros auí descrtos, y permten calbrar y predecr a partr de datos unvarados. Confamos ue la dscusón del ejercco resuelto ue se acompaña, el contendo del documento 'COMO OPERAR CON MATLAB.PDF', así como las rutnas 'LR_CAL.M' y 'LR_PRED.M', proveerán la nformacón reuerda para organzar los datos e mplementar las rutnas. Tambén se proveen programas ndependentes ejecutables en QB, como alternatva para uenes no puedan acceder a MATLAB: 'LR_CAL.EXE' y 'LR_PRED.EXE'. Para operarlos puede consultarse el documento 'COMO OPERAR CON QB.PDF'. Ejercco resuelto ) La Tabla proporcona un ejemplo de datos de respuesta-concentracón para su análss, ncluyendo respuestas meddas por trplcado. Grafue los datos de respuesta en funcón de la concentracón y compruebe en forma vsual ue se desvían de la lnealdad. Establezca un límte superor del rango lneal en forma cualtatva, para luego compararlo con el calculado medante una prueba estadístca apropada.

13 Tabla. Concentracones y respuestas para un rango en el ue se sospecha ue exsten desvíos de la lnealdad. Concentracón Respuesta Respuesta Respuesta del patrón 0,00,00,00,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 0,00 0,06,44,8 4,5 5,9 6,6 7,79 8,89 0,0 0,84,87 0,08,56,76 4,0 5,46 6,54 7,70 8,97 9,88 0,9,8 0,06,4,90 4,08 5,5 6,69 7,69 8,8 9,77 0,65,90 Note ue los valores de concentracón están dados con una precsón de ±0,0, lo cual mplca un error relatvo porcentual promedo de 0,0 00/5 = 0,% (Tomamos 5 como el valor promedo de las concentracones de calbrado). Los valores de respuesta tambén están nformados con una ncertdumbre de ±0,0 undades, s ben un análss cualtatvo de la varabldad de los replcados ndca ue la ncertdumbre en esta medcón es mayor ue lo nformado en la Tabla. Posterormente haremos un análss más detallado, pero en prncpo es mportante verfcar ue la ncertdumbre relatva es mayor en la respuesta ue en la concentracón. Usuaros de MATLAB: los datos de la Tabla están contendos, en el formato apropado para ser estudados por la rutna 'LR_CAL.M' de Matlab, en el archvo de texto 'DATOS_EJ_RES_COMPLETOS.TXT'. Usuaros de QB: los datos están en el archvo de texto 'D_E_R_C.TXT', para ser estudados por el programa 'LR_CAL.EXE'. ) La Tabla muestra los msmos datos ue la Tabla, restrngdos hasta un límte superor de concentracón para el cual se cumple la lnealdad (más adelante se muestra cómo se llegó a esta conclusón). Tabla. Concentracones y respuestas para un rango en el ue exste lnealdad. Concentracón Respuesta Respuesta Respuesta del patrón 0,00,00,00,00 4,00 5,00 0,06,44,8 4,5 5,9 6,6 0,08,56,76 4,0 5,46 6,54 0,06,4,90 4,08 5,5 6,69 Usuaros de MATLAB: los datos de la Tabla están contendos, en el formato apropado para ser estudados por la rutna 'LR_CAL.M' de Matlab, en el archvo de texto 'DATOS_EJ_RES_LINEAL.TXT'. Usuaros de QB: los datos están dsponbles para ser estudados por el programa 'LR_CAL.EXE' en el archvo de texto 'D_E_R_L.TXT'.

14 Calcule los valores de la pendente y ordenada al orgen para la recta ajustada con los datos de la Tabla. ) Estme los desvíos estándar en la pendente y ordenada al orgen, e nforme los valores de A y B con el número correcto de cfras sgnfcatvas. 4) La Tabla muestra los valores de la respuesta para cuatro muestras ncógnta, todos por trplcado. Tabla. Respuestas para cuatro muestras ncógnta. Muestra Respuesta Respuesta Respuesta 4 0,69,0,55 4,8 0,65,,4 4,7 0,75,05,5 4,70 Los datos de la Tabla están contendos, en el formato apropado para ser estudados por la rutna 'LR_PRED.M' de Matlab, en el archvo de texto 'DATOS_EJ_RES_TEST.TXT'. Estme la concentracón del analto en las cuatro muestras de la Tabla, calcule sus desvíos estándar e nforme el resultado con el número apropado de cfras sgnfcatvas. 5) Calcule las cfras de mérto del método. Respuesta detallada ) El análss de estos datos medante los programas LR_CAL.M (Matlab) o LR_CAL.EXE (QB) ndca ue los datos no se comportan en forma lneal. En partcular, se obtene un valor de F exp de 8,88, con una probabldad asocada p F de 0,00. La gráfca de los resduos es nformatva al respecto: 4

15 ) Los valores estmados, dados por las ecuacones () y () son, para el ejemplo de la Tabla, A =,74 y B = 0,7. Estos últmos números tenen, probablemente, más cfras sgnfcatvas ue lo permtdo por sus desvíos estándar. Para acotarlos al número correcto de cfras es necesaro estmar sus ncertdumbres. ) Los desvíos estándar calculados son s y/x = 0,, s A = 0,0 y s B = 0,04. Lo correcto es nformar la pendente y ordenada al orgen de la recta ajustada del modo ue sgue: A =,() B = 0,(4) En la Tabla encontrará un resumen de todos los cálculos ntermedos necesaros para estmar A, B y sus errores estándar. Tabla. Parámetros necesaros para el cálculo de A, B, s A y s B. x x x y y y (x x ) (x x ) (y y ) ,00,00,00,00 4,00 5,00 0,00,00,00,00 4,00 5,00 0,00,00,00,00 4,00 5,00,50,50 0,50 0,50,50,50,50,50 0,50 0,50,50,50,50,50 0,50 0,50,50,50 0,06,44,8 4,5 5,9 6,6 0,08,56,76 4,0 5,46 6,54 0,06,4,90 4,08 5,5 6,69,6,98 0,60 0,7,87,9,4,86 0,66 0,78,04,,48,0 0,5 0,66,0,7 6,5,5 0,5 0,5,5 6,5 6,5,5 0,5 0,5,5 6,5 6,5,5 0,5 0,5,5 6,5 8,9,97 0,0 0,7,8 7,98 8,4,79 0, 0,9,06 7,8 8,69,0 0,6 0,,5 8,8 Total Q xx = 5,5 Q xy = 69,7 Promedo x =,50 y =,4 4) Los valores de predccón se muestran en la Tabla 4. Tabla 4. Predccones en muestras ncógnta. Muestra Respuesta promedo (y nc ) Concentracón predcha (x nc ) Desvío estándar a s(x nc ) DSR = 00 s(x nc ) / x nc (%) 4 0,70,,49 4,74 0,44,5,56,5 0,05 0,05 0,05 0,05,,9,4 a A partr de la ecuacón (6), nsertando s y/x = 0,; A =,; n = ; m = 8; y nc de la columna de la Tabla 4, y =,4 y Q xx = 5,5. Note ue los valores pueden aproxmarse por s(x nc ) = s y/x / (A n / ), tal como se djo en la parte teórca. 5

16 Puede notarse ue la concentracón predcha se acotó a dos cfras decmales sgnfcatvas, tenendo en cuenta ue los desvíos estándar son todos aproxmadamente de 0,05 undades. Nótese ue los valores de s(x nc ) son guales en la Tabla 4 porue se nforman con una sola cfra sgnfcatva, aunue su cálculo detallado demuestra ue dferen entre sí, de la manera prevsta por el efecto de la leva. Es mportante destacar tambén ue el desvío estándar relatvo (DSR) dado en la Tabla 4 es alto para la prmera muestra, y razonablemente bajo para las otras. En el prmer caso, la concentracón predcha es tambén baja. Estas consderacones se relaconan con la mínma concentracón detectable por la técnca, ue se consderará a contnuacón. Tambén pueden fjarse los ntervalos de confanza alrededor de una predccón, empleando los coefcentes de student de dos colas para un 95% de confanza y (m ) grados de lbertad. Por ejemplo, para la muestra No. 4 en la Tabla 4: x nc =,5 ± t(p = 0,05; 6 GL) s(x nc ) =,5 ±, 0,05 =,5 ± 0, 5) Es mportante analzar la gráfca de los resduos para este caso. Como puede verse en la fgura anteror, la dstrbucón de los resduos conserva aún rastros de la falta de lnealdad de los datos, pero la prueba F dce ue esta mpresón no es estadístcamente relevante: F exp =,58, p F = 0,. La Tabla 5 lustra el cálculo detallado de s y para esta prueba. En el presente ejemplo, la sensbldad está dada por SEN =, (Undades de respuesta) (Undades de concentracón) Para el cálculo de la sensbldad analítca se reuere una estmacón del nvel de rudo nstrumental. Para los datos de la Tabla, p = 6, r =, s y = 0,08 (véase la Tabla 5 para el detalle del cálculo). 6

17 Tabla 5. Parámetros reuerdos para el cálculo de s y. j y j y ,06 0,08 0,06,44,56,4,8,76,90 4,5 4,0 4,08 5,9 5,46 5,5 6,6 6,54 6,69 0,0,47,8 4,4 5,4 6,6 (y j y ) 0,0009 0,005 0,008 0,0009 0,008 0,006 0,000 0,0049 0,0049 0,000 0,006 0,006 0,069 0,006 0,000 0,0000 0,0049 0,0064 Total ( y j y ) = 0,08 p r = j= A partr de los resultados de la tabla anteror, se puede calcular un nvel de rudo nstrumental de (0,08/) / = 0,08. Dado ue, para los msmos datos, s y/x = 0,, puede notarse ue ambos procedmentos para estmar el rudo producen resultados smlares. Empleando 0, undades de respuesta como nvel de rudo, podemos calcular la sensbldad analítca para el ejemplo en estudo a partr de la ecuacón (0), como γ = SEN / s y/x = (Undades de concentracón). El parámetro γ se nterpreta mejor en térmnos de su nversa. El valor de γ (0,08 undades de concentracón en nuestro caso) ndca la menor dferenca de concentracón ue puede aprecarse a lo largo del ntervalo de aplcacón de la técnca analítca. Con respecto al límte de deteccón, puede estmarse como LOD = t 0,05, = 0,. Se nterpreta este últmo resultado dcendo ue la técnca es capaz de detectar al analto cuando está en concentracones superores a 0,. Para el ejemplo de la Tabla el LOQ se calcula como 0,6 undades de concentracón. Se nterpreta como la menor concentracón ue se puede cuantfcar, esto es, en el ntervalo de concentracón entre 0, y 0,6 la técnca puede detectar pero no cuantfcar al analto. Con esto se comprueba ue la concentracón predcha para la muestra ncógnta No. de la Tabla 4 está por debajo del LOQ, lo cual explca el alto valor de DSR. Con respecto al rango dnámco, la máxma concentracón probada fue de 0,00 undades (Tabla ). Hasta esa concentracón exste un cambo de respuesta al cambar la concentracón, por lo ue, a falta de mayor nformacón, supondremos ue el rango dnámco está entre 0, y 0 undades de concentracón. Para estmar el rango lneal, se recurre a los datos de la Tabla, y se comprueba ue para este caso, s se ncluyen todos los datos, F exp = 8,88, p F = 0,00, con lo cual dchos datos se declaran no lneales. S vamos utando datos, comenzando con los de mayor concentracón, y recalculamos los valores de F exp y sus p F asocadas, se obtenen los resultados nformados en la Tabla 6. 7

18 Tabla 6. Rangos de concentracón y estudo de la lnealdad medante la prueba F. Rango de concentracón F exp p F ,88 6,69 4,6,50,7,58 0,00 0,00 0,00 0,007 0,0 0,4 Estos resultados ndcan ue a partr de una concentracón de analto gual a 6 undades se perde la lnealdad. En realdad, la no-lnealdad se mantene. Debería decrse ue a partr de 6 undades de concentracón no es posble dstngur la ncertdumbre por falta la lnealdad de la ncertdumbre ntrínseca de la respuesta analítca. La Tabla 7 resume las cfras de mérto calculadas. Tabla 6. Cfras de mérto. Cfra de mérto Sensbldad Sensbldad analítca Límte de deteccón Límte de cuantfcacón Rango dnámco Rango lneal Valor (undades) SEN =, (Undades de respuesta) (Undades de concentracón) γ = SEN / s y/x = (Undades de concentracón) LOD = 0, (Undades de concentracón) LOQ = 0,6 (Undades de concentracón) 0,-0,0 (Undades de concentracón) 0,6-6,0 (Undades de concentracón) Ejerccos propuestos ) Se analza una sere de muestras patrones medante dos métodos analítcos, uno basado en meddas de absorbanca y otro basado en meddas de fluorescenca. Los resultados se muestran en la sguente tabla: Concentracones de patrones y respuestas obtendas medante dos métodos analítcos. Concentracón del patrón Método A Método B Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta 0,000 0,00 0,00 0,00 0,400 0,500 0,0 0,7 0, 0,48 0,64 0,79 0,0 0,7 0, 0,48 0,64 0,79 0,0 0,7 0, 0,48 0,64 0,79,0 7,4,5 47,8 6, 78,4,9 7,4,6 47,8 6, 78,5,9 7,,6 48,0 6, 78,4 Calcule las cfras de mérto para cada método. Cuál de estos métodos puede consderarse más sensble? Qué parámetro(s) emplea para justfcar la mayor sensbldad de un método sobre el otro?. ) Se mde por trplcado una muestra ncógnta, usando ambos métodos descrptos en el problema anteror. Los resultados se presentan en la sguente tabla: 8

19 Método A Método B Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta 0,5 0,6 0,5 5, 5, 5, Calcular la concentracón del analto por ambos métodos, y estmar su desvío estándar. Qué comentaros pueden hacerse respecto de estos resultados? Se recomenda emplear las rutnas de MATLAB 'LR_CAL.M' y 'LR_PRED.M' (o sus versones respectvas en QB) organzando los datos de los ejerccos propuestos de la manera ue se presenta en los archvos de texto correspondentes al ejercco resuelto. ) En el análss fluormétrco de un compuesto, se realzan dos curvas de calbrado, empleando dos longtudes de onda dferentes para la exctacón. En el caso A, la emsón del compuesto está superpuesta con la dspersón Ramana del solvente, y el analsta observa por lo tanto la presenca de un blanco constante de ntensdad sgnfcatva. Decde modfcar la longtud de onda de exctacón, en este caso generando los datos del caso B, donde el blanco parece ser menor. En la tabla sguente se nforman los datos de calbracón para cada caso, en sus respectvos rangos lneales. Qué conclusones pueden extraerse respecto de las cfras de mérto de estos dos casos? Caso A Muestra Concentracón Respuesta Respuesta Respuesta ,000 0,98 0,9 0,58 0,769 0,950 0,78,8 5,75 8,5 0,97,40 0,80,44 6,6 8,5,04,08 0,8,5 6,0 8,68 0,89,7 Caso B Muestra Concentracón Respuesta Respuesta Respuesta ,000 0,98 0,9 0,58 0,769 0,950,0,0 0,0,96,75 5,59 7,0 9,07 0,8,08 0,0,88,75 5,5 7,5 8,95 0,7, 0,04,90,80 5,56 7,7 9,0 0,46, 9

20 El 4,57 % de toda la estadístca está euvocado. Clase Regresón lneal "Ellptcal vewpont", escultura, tomada de Materal sumnstrado con la clase Para esta clase se proveen los sguentes archvos: LECTURA ADICIONAL CLASE.PDF, documento de Adobe con un trabajo educatvo para lectura adconal. Archvos de texto (*.TXT) contenendo datos típcos para estudos de exacttud y comparacón de métodos. Archvos (*.M) con rutnas para el entorno de programacón MATLAB. Archvos (*.EXE) con programas ejecutables en QB. Parte : exacttud y comparacón de métodos analítcos En este segundo capítulo sobre regresón lneal exploraremos su uso para el análss de la exacttud de un método analítco y para la comparacón de dos métodos analítcos dferentes. La teoría se expone en este documento, pero se recomenda consultar paralelamente el ejemplo concreto ue se analza en la seccón Ejercco Resuelto. La dscusón ue sgue está basada en trabajos recentes acerca del empleo de ensayos de recuperacón para la valdacón y comparacón de métodos, 9 así como en la obra clásca de Massart y colaboradores. 0 Para el estudo de la exacttud de un método analítco, es usual preparar una sere de patrones con concentracones conocdas del analto de nterés, dferentes a las utlzadas en la etapa de calbracón. Luego se determna la concentracón del analto en cada uno de ellos por nterpolacón en la recta de calbrado, y se analza la exacttud de la determnacón a través de la recuperacón de las concentracones nomnales del analto. 0

21 Por otro lado, cuando se desean comparar dos métodos analítcos, se determna, por ambos métodos, el contendo de un analto en una sere de muestras en las ue su concentracón es varable (dentro del rango lneal de cada uno de ellos). En ambos casos se trata de comparar parejas de valores ue dealmente serían guales, y estudar el posble desvío de esta stuacón deal, en un contexto estadístco y con un certo nvel de confanza. Es por esta razón ue ambos procedmentos se ncluyen en la presente clase. Exacttud de un método analítco S se dspone de una sere de patrones de concentracón conocda para la valdacón de un método analítco, se procede del modo sguente. En prmer lugar se mden sus respuestas, ncluyendo réplcas de cada medcón (usualmente cada patrón se mde por trplcado). Se estma la concentracón a partr de cada respuesta analítca, se promedan los valores para cada nvel y se calcula el desvío estándar asocado. Luego se realza una regresón lneal de los promedos en funcón de las concentracones nomnales a cada nvel. El análss dfere en certas sutlezas respecto del realzado en el caso de la Clase. La nomenclatura empleada auí se descrbe a contnuacón: x ndca la varable concentracón nomnal de cada nvel, y la varable concentracón promedo predcha para las réplcas de cada nvel, n el número de réplcas, el número de nveles de valdacón estudados, y s(y ) el desvío estándar en la señal para cada nvel de concentracón (x ). Hay desvíos estándar, dados por: n ( y ) j y j= s(y ) = () n En la ecuacón (), y j ndca la concentracón para el patrón en la réplca j, e y es el promedo de las n réplcas para el nvel. Debemos notar ue una de las premsas para realzar un estudo por regresón lneal smple es ue la varanca de la varable y sea aproxmadamente constante, u homoscedástca. La Fgura muestra las dferencas entre una varanca homoscedástca y otra heteroscedástca. En la calbracón de datos analítcos se supone ue la dstrbucón del rudo nstrumental es constante a lo largo del rango de calbracón, o en otras palabras, ue la respuesta analítca es homoscedástca. Esto no es necesaramente así, sn embargo, s la varable y es la concentracón predcha para patrones de valdacón, y no la respuesta analítca. Como se estudó en la Clase, el desvío estándar en la concentracón predcha medante una recta de calbrado no es constante para dferentes muestras, sno ue varía con la concentracón del analto. Es decr ue, en prncpo, la varable y ue estamos consderando en esta clase no es homoscedástca. En estos casos, se recomenda realzar una regresón lneal medante cuadrados mínmos ponderados (WLS, por weghted least-suares) y no una regresón ordnara (OLS, por ordnary least-suares) como la empleada en la Clase. Dado ue el método WLS es más complcado ue el OLS, lo recomendable es prevamente verfcar s efectvamente la varanca no es constante, para utlzar el prmero en los casos en los ue es estrctamente necesaro. Una prueba de constanca de la varanca (o prueba de la homoscedastcdad) puede realzarse medante el uso del parámetro estadístco F, calculando el valor "expermental" F exp defndo por el cocente entre el máxmo y el mínmo valor de las varancas en las réplcas de los patrones [se toma como medda de cada varanca el valor de s(y ) ]:

22 [ s( y ) ] [ s( y ) ] max F exp = () mn Este valor se compara luego con el valor crítco de tablas para n y n grados de lbertad (usualmente con el 95% de confanza). S F exp > F crt entonces se recomenda calcular los parámetros A y B de la regresón con el método WLS ue se descrbe más adelante. Fgura. Arrba, varanca homoscedástca; abajo, varanca heteroscedástca. Regón de confanza en el caso homoscedástco S se ha poddo aplcar el método OLS descrto en la Clase, debdo a ue las varancas son aproxmadamente constantes, se dspone de los valores ajustados de A y B y de sus desvíos estándar. Estos parámetros han sdo utlzados tradconalmente para determnar s las concentracones estmadas de los patrones de valdacón se dferencan estadístcamente (o no), de las nomnales. El procedmento consstía en verfcar s los valores deales de A y B ( y 0 respectvamente) estaban contendos dentro de los correspondentes ntervalos de confanza para la pendente y ordenada al orgen ajustadas. Sn embargo, actualmente se consdera ue este procedmento es ncorrecto, puesto ue no tene en cuenta ue A y B no

23 son varables estadístcamente ndependentes, y ue sempre exste un certo grado de correlacón entre ellas. El procedmento correcto debe consderar el ntervalo de confanza conjunto entre la pendente y la ordenada al orgen. Este ntervalo es una regón en el plano de las dos varables (pendente y ordenada al orgen) ue tene forma elíptca. Por este motvo, la prueba estadístca correcta consste en nvestgar s el punto (,0) está contendo en la regón elíptca de confanza conjunta de la pendente y la ordenada al orgen. La prueba se conoce como EJCR (por ellptcal jont confdence regon). Específcamente, la regón elíptca está descrpta por la sguente ecuacón: 9 ( β B) + ( α A)( β B) + ( α ) = x A x s y / x F, = = () En la ecuacón precedente, α y β son las varables ue corresponden a las dos dmensones del plano en ue se representa la regón elíptca, y F, es el valor del parámetro estadístco F con y grados de lbertad para un dado nvel de confanza (usualmente 95%). Por lo tanto, debe dbujarse en un gráfco bdmensonal la regón anteror y verfcar s contene al punto (,0). Detalles de cómo se dbuja esta elpse en un caso partcular se dan en el ejercco resuelto del documento ue se acompaña. La Fgura lustra este tpo de regón para un caso típco: s el punto (,0) no está contendo dentro de la elpse, esto mplca ue el método no es exacto. Es mportante remarcar ue el tamaño de la elpse, ue está controlado, entre otros parámetros, por el desvío estándar de la regresón s y/x, da una dea de la precsón del método analítco ue se está probando. En este sentdo, es mportante utlzar un número sgnfcatvo de nveles de concentracón para la prueba de exacttud, de manera ue s y/x sea representatvo de la regresón. De lo contraro, s se emplean sólo unos pocos nveles de concentracón, se corre el resgo de ue la elpse abarue un área consderable, e ncluya al punto deal (,0) sólo por azar. Véase la Fgura para aclarar este punto. Nótese ue el valor de s y/x en este caso es smlar al parámetro usualmente empleado en la comparacón de concentracones predchas y nomnales, llamado RMSE (por root mean suare error): ( y y predcho nomnal) RMSE = (4) Se dvde el numerador por (y no por ) debdo a ue RMSE no es un desvío estándar, sno la raíz cuadrada de una meda de desvíos.

24 0. 0. Ordenada al orgen 0.0 Ordenada al orgen Pendente Pendente Fgura. Dos regones elíptcas de confanza conjunta. Izuerda, método exacto. Derecha, método no exacto. El cuadrado marca el punto deal (,0). Ordenada al orgen Pendente Fgura. Dstntos tpos de elpses, de acuerdo con la exacttud y precsón: verde, exacta y precsa; celeste, exacta e mprecsa; amarlla, nexacta e mprecsa; naranja, nexacta y precsa. El cuadrado negro marca el punto deal (,0). Regresón ponderada S los datos no cumplen con la prueba de homoscedastcdad, el análss de los datos de valdacón debe hacerse medante regresón lneal ponderada. En este caso se calculan la pendente (A) y ordenada al orgen (B) de la recta ajustada a la ecuacón y = A x + B, mnmzando la sguente suma ponderada de cuadrados (SC): SC = w ( y yˆ ) (5) = 4

25 donde w es el "peso" o "ponderacón" aplcado a cada punto de la regresón, el número de puntos, y el valor de la varable y en cada punto (los promedos y de las réplcas) e y es el promedo de los valores de la varable y. En el método OLS utlzado en calbracón, la suma de cuadrados no ncluye peso o ponderacón alguna. Cuando los datos son heteroscedástcos, el peso w se defne como nversamente proporconal a la varanca de la varable en el punto : w = (6) s( y ) El efecto concreto del pesado de los datos en forma nversamente proporconal a su varanca es dar mayor contrbucón, en la regresón, a los datos más precsos, y comparatvamente menor peso a los menos precsos. Los valores estmados de A y B de una regresón lneal ponderada se calculan medante las sguentes ecuacones: A = = w ( x = x w ( x w )( y x w y ) w ) B = y w A x w (8) donde x es la concentracón de cada uno de los patrones de valdacón, y los parámetros x w e y w son las coordenadas del centro de gravedad pesado por donde pasa la recta ajustada, ue están dadas por: x w = y w = = = = = w x w w w y En el método WLS el parámetro s y/x (el desvío estándar de los resduos de la regresón) está dado por: = w ( y yˆ ) s y/x = () donde y es la respuesta expermental, e ŷ representa la respuesta estmada en cada punto, esto es, ŷ = A x + B. El lector podrá comprobar ue s todos los w son déntcos entre sí (homoscedastcdad perfecta), las ecuacones anterores se reducen al caso OLS tratado en la Clase. Regón de confanza en el caso heteroscedástco Cuando se aplca el método WLS para determnar A y B, la prueba de exacttud del método analítco es déntca a la descrta en el caso OLS, excepto ue la ecuacón ue descrbe la elpse de confanza conjunta es: (7) (9) (0) 5

26 ( β ) ( )( ) ( ) w + α A β B w x + α A w x = s y / xf, = = = B () Comparacón de métodos analítcos La comparacón de dos métodos se lleva a cabo dsponendo de una sere de muestras para las ue se ha determnado el contendo de un analto por dos métodos alternatvos. Usualmente se mde cada muestra por trplcado por ambos métodos, y se aplca un modelo de regresón lneal para verfcar s los resultados provstos por ambos métodos son comparables. Cada muestra estudada proporcona entonces una concentracón predcha por cada uno de los dos métodos, acompañadas por sus respectvas varancas. Supongamos ue los resultados determnados por el método se consderan la varable x y los provstos por el método la varable y (en la comparacón de un método dado frente a otro consderado como referenca, este últmo se toma como método ). Ambas varables, por lo tanto, tenen asocada una ncertdumbre fnta. La regresón lneal de y vs. x en este caso dfere tanto del método OLS como del WLS, ya ue en estos dos últmos la suposcón básca es ue no hay error en la varable x, aunue en realdad debería decrse ue en OLS y WLS la ncertdumbre asocada a la varable x (concentracón nomnal de patrones) es sgnfcatvamente menor ue la asocada a la varable y (respuesta analítca de los patrones, o concentracón predcha por un dado método). Este supuesto no se cumple en la comparacón de métodos analítcos, y es necesaro recurrr a un método de regresón ue tenga en cuenta los errores en ambos ejes. Un método popular para estos casos es el de cuadrados mínmos bvarados o BLS (por bvarate leastsuares). En la técnca BLS la pendente y la ordenada al orgen de la recta ajustada se obtenen mnmzando una funcón déntca a la mostrada en la ecuacón (5), excepto ue los pesos son una funcón de las varancas en ambas varables: [ s( y ) + A s( x ) ] w () = En otras palabras, los pesos de la regresón "doblemente ponderada" BLS se elgen como nversamente proporconales a una combnacón de las varancas en x y en y. Lamentablemente no exsten fórmulas explíctas para estmar la pendente y la ordenada al orgen cuando los pesos tenen la forma dada por la ecuacón (), y debe recurrrse a un algortmo matemátco teratvo ue no está dsponble en los programas comercales de ajuste por cuadrados mínmos. Esto es así porue en la ecuacón () ntervene la pendente estmada A, ue a su vez depende de los pesos. Sn embargo, hay ocasones en ue no es mprescndble aplcar el método BLS: cuando la varanca en la varable x es sgnfcatvamente menor ue en la varable y, la comparacón puede realzarse con éxto empleando el método WLS, consderando ue no hay error en la varable x. De hecho, s s(x ) << s(y ), la ecuacón () se reduce al caso WLS en ue w = s(y ). Por este motvo se aconseja asgnar, para la regresón lneal, la varable x a los valores hallados por el método más precso, y la varable y al método menos precso. S puede hacerse esta últma aproxmacón, la comparacón de métodos consste en el cálculo de la pendente y ordenada al orgen medante WLS, y consderacón de la regón elíptca de confanza conjunta, tal como se descrbó para el estudo de exacttud. S el punto deal (,0) está contendo dentro de la elpse, los métodos son comparables estadístcamente en cuanto a la predccón de la concentracón del analto en las muestras de valdacón. Se recomenda consultar el trabajo ue se adjunta (LECTURA ADICIONAL CLASE.PDF), en el ue se lustran los pelgros de no emplear el método correcto de regresón para la comparacón de métodos analítcos. Tambén se dscute el hecho de ue en certos casos los métodos WLS y BLS pueden producr resultados smlares, pero muy dferentes a los provstos por OLS. 6

27 Programas de computacón Usuaros de MATLAB: se provee acceso a la rutna EJCR.M ue puede usarse para aplcar los métodos OLS, WLS y BLS, y generar la elpse correspondente. Usuaros de QB: se provee acceso al programa EJCR.EXE, ue realza las operacones necesaras pero no grafca la elpse. Esta últma puede obtenerse mportando los datos generados por el programa en un entorno gráfco apropado. Véase tambén el ejercco resuelto detalladamente ue se acompaña. Ejercco resuelto ) La Tabla muestra datos para analzar la exacttud de un método analítco. Determne s el método es exacto medante regresón lneal y estudo de la regón elíptca de confanza conjunta para A y B. Tabla. Concentracones nomnales de patrones, y valores hallados por un método analítco (con sus desvíos estándar). Muestra Nomnal Hallada Desvío estándar (promedo de cnco réplcas) ,05 5,6 9,9 4,90 9,80 4,90 0,00 0,06 5,0 0,00 5,0 9,90 5,00 0,00 0,06 0,05 0,04 0,0 0,0 0,04 0,06 ) La Tabla muestra datos para la comparacón de dos métodos analítcos (promedos de tres réplcas en cada caso), ncluyendo los desvíos estándar de cada uno. Compare los resultados medante regresón WLS y análss de la regón elíptca conjunta. Tabla. Concentracones halladas por dos métodos analítcos con sus desvíos estándar. Muestra Método Desvío estándar Método Desvío estándar ,05 5,6 9,9 4,90 9,80 4,90 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,06 5,0 0,00 5,0 9,90 5,00 0,00 0,06 0,05 0,04 0,0 0,0 0,04 0,06 Respuesta detallada ) En prmer lugar debemos determnar s los datos de la Tabla son homoscedástcos. Para ello calculamos el cocente: max[ s( y ) ] (0,06) F exp = = mn s( y ) (0,0) [ ] = 9 7