COMPRENSIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE DIEGO ANTONIO ARDILA URRUTIA KAREN PAOLA VILLADIEGO CARRASCAL

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1 Comprensión de las razones trigonométricas 1 COMPRENSIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE DIEGO ANTONIO ARDILA URRUTIA KAREN PAOLA VILLADIEGO CARRASCAL UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES INSTITUTO DE MATEMÁTICAS MEDELLÍN 2016

2 Comprensión de las razones trigonométricas 2 COMPRENSIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL MARCO DEL MODELO EDUCATIVO DE VAN HIELE DIEGO ANTONIO ARDILA URRUTIA KAREN PAOLA VILLADIEGO CARRASCAL Trabajo de grado para optar al título de Magíster en Enseñanza de las Matemáticas Asesor EDISON SUCERQUIA VEGA Magíster en educación UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES INSTITUTO DE MATEMÁTICAS MEDELLÍN 2016

3 Comprensión de las razones trigonométricas 3 AGRADECIMIENTOS A Dios por darnos la oportunidad de seguir formándonos como profesionales, a nuestro asesor Edison Sucerquia Vega, por su acompañamiento y apoyo oportuno en este proceso de aprendizaje. A los docentes y compañeros de la Maestría en Enseñanza de las Matemáticas, por sus invaluables aportes para el mejoramiento continuo de nuestro trabajo de investigación. A los tres estudiantes del grado 10 de la Institución Educativa Cardenal Aníbal Muñoz Duque, que participaron de manera voluntaria en el presente estudio, sin ellos no hubiera sido posible cumplir con el objetivo general y dar respuesta a la pregunta de investigación. A nuestras familias por su apoyo incondicional y la paciencia que tuvieron para con nosotros en estos dos años, por el tiempo que no le pudimos dedicar. Sin su amparo, no habríamos podido alcanzar este logro. Al programa de Maestría en Enseñanza de las Matemáticas, al coordinador de dicha maestría Benjamín Buriticá por su apoyo incondicional en todo este proceso y a la Universidad de Antioquia en convenio con la Secretaría de Educación de Antioquia que nos brindó la oportunidad de continuar nuestro proceso formativo y profesional.

4 Comprensión de las razones trigonométricas 4 Tabla de contenido Introducción Justificación Capítulo 1. Planteamiento del problema Contexto y antecedentes Pregunta orientadora Objetivos Objetivo general Objetivos específicos Capítulo 2. Marco teórico Descripción del marco legal Referentes teóricos Diseño de una entrevista socrática para construcción del concepto de suma de una serie vía áreas de figuras planas Comprensión de las razones trigonométricas: niveles de comprensión, indicadores y tareas para su análisis Módulo de aprendizaje para la comprensión del concepto de serie de términos positivos

5 Comprensión de las razones trigonométricas La elipse como un lugar geométrico a través de la geometría del doblado de papel en el contexto de van Hiele Aproximación a la enseñanza de las razones trigonométricas a través del trabajo experimental en matemáticas en el grado décimo Caracterización de los niveles de razonamiento de van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas Razonar geométricamente sobre la hipérbola en el marco del modelo de van Hiele en el uso de GeoGebra Teorías de aprendizajes El constructivismo Epistemológico Psicológico Pedagógico El constructivismo: Piaget y Vygotsky Modelo educativo de van Hiele Componente descriptivo: niveles de razonamiento Nivel I (Visualización o reconocimiento) Nivel II (Análisis) Nivel III (Ordenación o clasificación)

6 Comprensión de las razones trigonométricas Nivel IV (Deducción Formal) Descriptores de los niveles Descriptores Nivel I: Visualización o reconocimiento Descriptores Nivel II: Análisis Descriptores Nivel III: Ordenación o clasificación Descriptores Nivel IV: Deducción formal Caracterización de los niveles Propiedad 1: (Secuencialidad fija) Propiedad 2: (Adyacencia) Propiedad 3: (Distinción) Propiedad 4: (Separación) Propiedad 5: (Cada nivel tiene su lenguaje) Propiedad 6: (Consecución) Componente prescriptivo: fases del aprendizaje Fase 1: Información Fase 2: Orientación dirigida Fase 3: Explicitación Fase 4: Orientación libre Fase 5: Integración

7 Comprensión de las razones trigonométricas Componente: el Insight Relación entre las características del modelo educativo de van Hiele y el conocimiento matemático razones trigonométricas Marco conceptual Aspectos históricos de las razones trigonométricas Estructura conceptual del objeto matemático Triángulos Algunas propiedades de los triángulos Clasificación de triángulos Construcción de triángulos Reglas para construir triángulos Semejanza de triángulos Casos de semejanza Triángulo rectángulo Propiedades de un triángulo rectángulo Tipos de triángulos rectángulos Razones trigonométricas Capítulo 3. Diseño de la entrevista de carácter socrático Generalidades de la entrevista... 77

8 Comprensión de las razones trigonométricas Intencionalidad de la entrevista El lenguaje Los conceptos básicos Las experiencias previas del entrevistado Diálogo inquisitivo La movilización del pensamiento El aporte de información La problematización con las ideas El paso por los tres momentos La red de relaciones Entrevista de carácter socrático en el marco del modelo educativo de van Hiele Entrevista de carácter socrático para la noción de las razones trigonométricas en el marco del modelo educativo de van Hiele Consolidación de los descriptores de nivel Nivel I. Visualización o reconocimiento Nivel II. Análisis Nivel III. Ordenación o clasificación Intencionalidad de las preguntas

9 Comprensión de las razones trigonométricas 9 4. Capítulo 4. Metodología de investigación Paradigma Método de investigación: estudio de casos Participantes Técnicas de recolección de información Entrevista individual Observación Revisión del material (análisis documental) El Trabajo de campo Capítulo 5. Análisis Categorías de análisis Categoría 1: representación de triángulos, características y relaciones Descriptor 1.1. Reconoce y diferencia los triángulos de otras figuras geométricas Descriptor 1.2. Identifica similitudes y diferencias entre triángulos Descriptor 1.3. Reconoce las condiciones en las que se puede formar un triángulo

10 Comprensión de las razones trigonométricas Descriptor 1.4. Realiza mediciones de ángulos interiores de un triángulo y establece relaciones entre lados y ángulos Descriptor 1.5. Distingue y establece diferencias entre los tipos de triángulos a partir de sus elementos Descriptor 1.6. Reconoce características en triángulos rectángulos Categoría 2: Comparación de elementos en triángulos rectángulos Descriptor 2.1. Establece y analiza las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo Descriptor 2.2. Explora la relación métrica de los lados que puede tener un triángulo rectángulo y descriptor 2.3. Determina razones entre los lados de un triángulo Descriptor 2.4. Reconoce propiedades y características en la congruencia y/o semejanza entre triángulos y descriptor 2.5. Establece relaciones métricas entre los elementos de triángulos rectángulos semejantes Descriptor 2.6. Reconoce las razones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo y su relación con un ángulo determinado Categoría 3: Establecimiento de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Descriptores 3.1. Relaciona las razones de los lados proporcionales correspondientes en triángulos rectángulos con respecto a un ángulo definido en

11 Comprensión de las razones trigonométricas 11 estos Establece las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo a partir de la relación de las razones de los lados proporcionales correspondientes y las expresiones trigonométricas desde un ángulo referido Descriptor 3.3. Define las razones trigonométricas y Descriptor 3.4. Ejercita en las diferentes razones trigonométricas a partir de situaciones reales contextualizadas Capítulo 6. Conclusiones Conclusiones relacionadas con los objetivos Aportes al campo de la educación matemática Futuros trabajos de investigación derivados del presente estudio Referencias Bibliográficas

12 Comprensión de las razones trigonométricas 12 Tabla de figuras Figura 1: Imagen de la Institución Educativa Cardenal Aníbal Muñoz Duque. Tomada por Diego Ardila Urrutia Figura 2: Etapas del desarrollo de Piaget (citado por Rosas y Sebastián, 2004, p.27) Figura 3: Estructura recursiva de los niveles de van Hiele Figura 4: Esquema de los niveles y Fases. Tomado de Jaime y Gutiérrez (1990) Figura 5: triángulo, Construido en GeoGebra Figura 6: Triángulos semejantes. Construcción en GeoGebra Figura 7: Semejanza de triángulos Caso 1. Construcción en GeoGebra Figura 8: Semejanza de triángulos Caso 2. Construcción en GeoGebra Figura 9: Triángulos semejantes Caso 3. Construido en GeoGebra Figura 10: Triángulo rectángulo. Construido en GeoGebra Figura 11: Triángulo rectángulo isósceles. Construido en GeoGebra Figura 12: Triángulo rectángulo escaleno. Construido en GeoGebra Figura 13: Nombre de lados en un triángulo Rectángulo. Construido en GeoGebra Figura 14: Formas geométricas Figura 15: Respuestas pregunta Figura 16: Respuestas pregunta Figura 17: Respuestas de Teresa

13 Comprensión de las razones trigonométricas 13 Figura 18: Respuestas pregunta Figura 19: Argumentos de Teresa Figura 20: Respuestas 11 a Figura 21: Construcciones Figura 22: Argumentos a pregunta Figura 23: Respuestas pregunta Figura 24: Respuesta pregunta Figura 25: argumentos Teresa Vs Pablo Figura 26: Triángulos Figura 27: Triángulos Figura 28: Respuestas a la pregunta Figura 29: Respuesta pregunta Figura 30: Situación problema Figura 31: Razonamientos de Teresa Figura 32: Razonamientos de Sergio Figura 33: Razonamientos de Pablo

14 Comprensión de las razones trigonométricas 14 Índice de Tablas Tabla 1: Contrapunto de Piaget y Vygotsky (p.80) Tabla 2: Niveles de razonamiento teoría de van Hiele Tabla 3: Fases del aprendizaje teoría de van Hiele Tabla 4: Clasificación de triángulos según sus lados Tabla 5: Clasificación de triángulos Rectángulos según sus ángulos Tabla 6: Relaciones métricas Tabla 7: Comparación de razones

15 Comprensión de las razones trigonométricas 15 Introducción Una característica importante de los conocimientos matemáticos es que son abstractos, por tal motivo, dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los mismos, es necesario tener en cuenta características, propiedades o representaciones de dichos conocimientos para poder comprender su significado y permitir la construcción del mismo, sin embargo, en el contexto escolar, para poder desarrollar procesos de construcción del conocimiento matemático, es necesario también, diseñar actividades que permitan identificar cómo los estudiantes comprenden estos conocimientos o razonan sobre ellos. En el ámbito de la trigonometría, los conocimientos matemáticos están asociados con el triángulo y las características del mismo, estableciendo relaciones entre sus componentes y permitiendo el establecimiento de sus medidas. En este sentido, la representación del triángulo es fundamental para la comprensión de conceptos asociados a la trigonometría, específicamente, las razones trigonométricas, sin embargo, en la educación básica secundaria, en la cual se aborda este conocimiento matemático, al parecer no es clara la manera cómo los estudiantes comprenden dichos conocimientos, aspectos que pretenden ser abordados en este estudio. Esta propuesta pretende identificar y analizar razonamientos que muestran algunos estudiantes del grado 10 de la Institución Educativa Cardenal Aníbal Muñoz Duque del municipio de Santa Rosa de Osos (Antioquia), en relación con la

16 Comprensión de las razones trigonométricas 16 comprensión que estos presentan cuando abordan situaciones que involucran el concepto de razones trigonométricas, aspectos que pretender ser analizados de acuerdo con los planteamientos del modelo educativo de van Hiele, quien es el que parece describir con bastante exactitud la manera cómo un estudiante razona cuando aborda conocimientos matemáticos que tienen un componente visual geométrico. Para analizar el razonamiento del estudiante, se diseña una entrevista de carácter socrático en el marco del modelo educativo de van Hiele, que permita observar el proceso de razonamiento realizado por los estudiantes desde planteamientos intuitivos iniciales hasta formas deductivas finales, intentando establecer de manera implícita un progreso en los niveles de razonamiento, de igual forma se crean descriptores que permiten la circulación de un determinado nivel de razonamiento y que en muchas ocasiones está indicado por el tipo de lenguaje utilizado. Finalmente, se describe de forma detallada la comprensión que presentaron algunos estudiantes del grado décimo al resolver la entrevista. El análisis de dichos resultados permitió establecer conclusiones relacionadas con el nivel de razonamiento en que se encuentran los estudiantes, lo que posibilitará a otros investigadores establecer propuestas metodológicas de enseñanza asociadas a conceptos trigonométricos.

17 Comprensión de las razones trigonométricas 17 Justificación La trigonometría es un campo de las matemáticas que ha permitido el estudio de diferentes situaciones, resaltando entre estas: la astronomía; los campos de navegación; el cálculo de distancias inaccesibles como es la distancia entre la tierra y el sol o el radio de la tierra; el estudio de fenómenos periódicos como el flujo de corriente; movimientos circulares o el sonido, entre otros. De esta manera, se considera un campo importante que permitió el desarrollo de las matemáticas y otras áreas, estableciendo relaciones entre los conocimientos geométricos, algebraicos y del cálculo. En este sentido, se puede interpretar que la trigonometría es un área de las matemáticas relevante para su estudio en el contexto escolar, sin embargo, por esencial y aplicativa que parezca, su inclusión en el aula de clase para ser enseñada, debe tener en cuenta también estrategias que permitan identificar la comprensión de estos conocimientos trigonométricos por parte del estudiante, centrando la atención en los razonamientos relacionados, especialmente, con las razones trigonométricas. Es importante resaltar que la trigonometría tiene como objeto de estudio las relaciones entre los ángulos y lados de un triángulo cualquiera, reconociendo como concepto central para este campo las diferentes regularidades de las relaciones que se establecen entre los lados y sus ángulos, denominadas razones trigonométricas. De acuerdo con lo planteado en los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, en las instituciones educativas se deben abordar estos conocimientos

18 Comprensión de las razones trigonométricas 18 matemáticos en el grado décimo, aunque los conocimientos previos relacionados con el triángulo se desarrollen desde los grados iniciales, los razonamientos que se encuentran inmersos en la comprensión de una razón trigonométrica requieren un manejo de conocimientos asociados al álgebra, semejanzas de triángulos, proporcionalidad y sistemas de ecuaciones que permitan identificar y relacionar las razones trigonométricas. Para el contexto particular, en el cual se desarrolla este estudio, la Institución Educativa Cardenal Aníbal Muñoz Duque (I.E.C.A.M.D), en su plan de estudio de matemáticas está en correspondencia con las orientaciones establecidas en los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, sin embargo, no es claro en el contexto de dicha institución, la manera cómo los estudiantes comprenden las razones trigonométricas. Dado lo anterior, es necesario buscar mecanismos que permitan indagar la forma cómo comprenden este conocimiento matemático, para lo cual este estudio pretende realizar aportes de tipo teórico y metodológico, los cuales deben de estar articulados a un proceso de razonamiento en el que los estudiantes puedan elaborar redes de relaciones entre los conocimientos matemáticos, especialmente en este trabajo, los asociados con las razones trigonométricas. Para observar la comprensión de las razones trigonométricas se requiere retomar situaciones que involucran un contexto geométrico, ya que dichas razones establecen relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo. Además, se considera que al retomar la naturaleza de este conocimiento matemático, se orienta al estudiante

19 Comprensión de las razones trigonométricas 19 a reconocer el significado y su aplicación en la solución de problemas que implican triángulos, especialmente situaciones que involucran triángulos rectángulos. Teniendo en cuenta que las razones trigonométricas es un concepto que está directamente relacionado con las características de un triángulo, se hace necesario abordar un enfoque teórico que describa de la mejor manera, el proceso de razonamiento que realiza un estudiante cuando aborda conocimientos que involucran contextos geométricos. En este sentido, de acuerdo con los Lineamientos Curriculares en Matemáticas MEN (1998), el modelo educativo de van Hiele, es el que parece describir con bastante exactitud esta evolución, además, se reconoce que este modelo está adquiriendo cada vez mayor aceptación a nivel internacional, permitiendo el estudio de conceptos de análisis matemático, entre ellos se encuentran: Zapata y Sucerquia (2009); Santa (2011); Salazar (2011), entre otros estudios que retoman el modelo para analizar la comprensión de conceptos matemáticos que involucran componentes geométricos. De acuerdo con lo anterior, el proceso metodológico que se desarrolla en esta propuesta está en correspondencia con lo planteado en el modelo educativo de van Hiele, retomando situaciones desde sus formas intuitivas iniciales hasta las formas deductivas finales relacionadas con las razones trigonométricas, partiendo del razonamiento que un estudiante realiza en relación con triángulos rectángulos y la relación entre sus componentes.

20 Comprensión de las razones trigonométricas Capítulo 1. Planteamiento del problema 1.1. Contexto y antecedentes La presente propuesta se enmarca en el contexto del municipio de Santa Rosa de Osos, el cual se encuentra localizado en la subregión Norte del departamento de Antioquia en Colombia; en este municipio, la actividad económica más importante es la explotación ganadera, dadas las ventajas asociadas a la red vial y su localización cerca al área Metropolitana del Valle de Aburrá. Además, en relación con las actividades de tipo industrial, comercial y de servicios, predominan las industrias de procesamiento de productos lácteos, al igual que un amplio potencial forestal y turístico. En este sentido, el contexto educativo no puede desconocer estas dinámicas sociales ya que de alguna manera los estudiantes en futuro se verán permeados por estas actividades y, los procesos de enseñanza, entre ellos de las matemáticas, deben dirigir su atención para fortalecer conocimientos que permitan a los estudiantes razonar acorde con las necesidades de su entorno. Por ello, en el presente estudio se pretende vincular el conocimiento matemático razones trigonométricas al contexto en que se desenvuelve diariamente el estudiante. En Santa Rosa de Osos, la Institución Educativa Cardenal Aníbal Muñoz Duque, es una entidad de carácter pública que presta sus servicios de formación a estudiantes del género femenino y masculino, en los niveles de preescolar, básica y media académica; además, presta servicios de educación media técnica en convenio

21 Comprensión de las razones trigonométricas 21 con El Servicio de Aprendizaje (SENA) en las modalidades: Agropecuaria y Sistemas. La Institución Educativa está conformada por tres sedes de primaria (Arenales, María Auxiliadora, Instituto Nuestra Señora del Carmen) y una de bachillerato que incluye jornada diurna y nocturna. Dicha institución está ubicada en el barrio San Francisco del municipio de Santa Rosa de Osos, en la calle 26 # Figura 1: Imagen de la Institución Educativa Cardenal Aníbal Muñoz Duque. Tomada por Diego Ardila Urrutia El estudio se aplica a estudiantes del grado décimo de dicha institución, los cuales tienen edades entre 15 y 16 años, pertenecientes en su gran mayoría a los estratos 1 y 2, reconociendo que la población predominante proviene de un contexto rural, en el cual la institución es una de las pocas alternativas que tienen para acceder al servicio de educación formal.

22 Comprensión de las razones trigonométricas 22 El Proyecto Educativo Institucional (PEI), y en particular el plan de estudio del área de matemáticas, están sustentado desde las disposiciones y normatividades vigentes que exige el Ministerio de Educación Nacional (MEN). Por lo tanto, la construcción de las mallas y micro currículos, desde preescolar hasta el grado undécimo, están basados principalmente en los planteamientos de los Lineamientos Curriculares en Matemáticas y los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, además de los decretos y leyes que rigen la educación en Colombia. Desde esta perspectiva, este proyecto centra la atención en los aspectos que orientan la enseñanza de las matemáticas según el MEN (2006), teniendo en cuenta como una de las competencias más importantes, el razonamiento, ya que permite en los estudiantes, percibir desde los grados iniciales el establecimiento de relaciones significativas entre los diferentes componentes de los conocimientos matemáticos. La experiencia docente de los autores en este contexto educativo, considera que los estudiantes presentan dificultades para razonar situaciones que involucran algunos conocimientos matemáticos. De manera específica, para ellos, en el grado décimo no es claro la manera cómo razonan sobre situaciones que involucran las razones trigonométricas y conceptos previos relacionados con el triángulo rectángulo tales como: elementos, características y propiedades, en algunos casos desconociendo propiedades inherentes a conocimientos abordados en niveles anteriores, lo que dificulta entender, el conocimiento previo que alcanzan, el lenguaje propio de las matemáticas que reconocen y la manera en cómo comprenden los estudiantes este tipo de conocimientos.

23 Comprensión de las razones trigonométricas 23 Lo anterior, se encuentra en correspondencia con lo que se establece dentro del plan de estudio de la institución, los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas y los Lineamientos Curriculares en Matemáticas, ya que se deben abordar durante el proceso educativo en este nivel, procedimientos que permitan el desarrollo del razonamiento de los estudiantes para abordar situaciones relacionadas con conocimientos que requieren otros, que de manera previa el estudiante debe haber alcanzado, sin embargo, en el contexto educativo planteado, no es clara la manera en cómo los estudiantes razonan cuando abordan situaciones relacionadas con las razones trigonométricas, aspectos que pretenden ser abordados en este estudio Pregunta orientadora De acuerdo con lo anterior, se reconoce la importancia de la enseñanza de las razones trigonométricas en la educación media de las instituciones educativas públicas, teniendo en cuenta lo planteado en los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998) y Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, además, que el razonamiento es uno de los principales procesos matemáticos que deben ser abordados en estos grados de escolaridad y que, en el contexto educativo donde se desarrolla este estudio, presenta dificultades para el desarrollo de estrategias que permitan observar la comprensión que los estudiantes van desarrollando cuando resuelven situaciones que involucran este conocimiento matemático; por lo tanto, se pretende dentro del estudio abordar la siguiente pregunta de investigación:

24 Comprensión de las razones trigonométricas 24 De qué manera comprenden las razones trigonométricas estudiantes del grado décimo de la Institución Educativa Cardenal Aníbal Muñoz Duque? 1.3. Objetivos Objetivo general Analizar la comprensión de las razones trigonométricas que evidencian estudiantes del grado décimo de la Institución Educativa Cardenal Aníbal Muñoz Duque Objetivos específicos Establecer una relación entre las características de las razones trigonométricas y los descriptores asociados a los niveles de razonamiento del modelo educativo de van Hiele. Construir una entrevista de carácter socrático en el marco del modelo educativo de van Hiele con sus respectivos descriptores para cada uno de los niveles de razonamiento. Describir los razonamientos que exhiben los estudiantes en la entrevista de carácter socrático, teniendo en cuenta los descriptores y su correspondencia con el nivel de razonamiento.

25 Comprensión de las razones trigonométricas Capítulo 2. Marco teórico 2.1. Descripción del marco legal En el campo de la enseñanza de las matemáticas, teniendo en cuenta el contexto colombiano, el razonamiento es una competencia que se pretende desarrollar durante todo el proceso escolar, generando un interés en el ámbito educativo por parte de los docentes que buscan fortalecer dicho proceso desde la formación y en consecuencia se conciben estrategias y propuestas que permiten una interacción dentro del aula de clase, haciendo que, tanto estudiante como docente, sean activos en la construcción del conocimiento. El docente como actor principal debe propender por la puesta en marcha de metodologías que evidencien sus prácticas pedagógicas y posturas en beneficio del proceso de enseñanza-aprendizaje, y desde este punto de partida proponemos un trabajo reflexivo desde la enseñanza de la trigonometría, específicamente en las razones trigonométricas. Mostrando una postura legal en Colombia, a partir del año de 1994 entró en vigencia la Ley 115 (Ley General de la Educación) y en consecuencia se generaron una serie de cambios que dieron un vuelco a la educación colombiana, en el que principalmente se les permitió autonomía a los establecimientos educativos en su organización, en cuanto a la construcción de sus proyectos educativos y creación de los currículos académicos. Sin embargo, debían tener en cuenta indicadores de logro y lineamientos curriculares propuestos por el Ministerio de Educación Nacional para

26 Comprensión de las razones trigonométricas 26 regular estos entes educativos. La publicación de los Lineamientos Curriculares en Matemáticas fue realizada en el año de 1998, es a partir de ese momento que el Ministerio de Educación Nacional MEN (1998), propone un desarrollo de la matemática escolar de manera general en los siguientes tipos de pensamiento: el Numérico y los Sistemas Numéricos, el Espacial y los Sistemas Geométricos, el Métrico y los Sistemas de Medida, el Aleatorio y los Sistemas de Datos, y el Variacional con los Sistemas Algebraicos y Analíticos. Atendiendo a lo anterior, esta propuesta está fundamentada en los pensamientos: Espacial y los Sistemas Geométricos y el Variacional con los Sistemas Algebraicos y Analíticos; por lo que en este contenido se pretende determinar el nivel de comprensión de los estudiantes cuando se enfrentan a situaciones problemáticas contextualizadas. No obstante, el MEN en sus Lineamientos Curriculares para el área de matemáticas, plantea cinco procesos para que un estudiante pueda aprender matemáticas: el planteamiento y resolución de problemas; el razonamiento; la comunicación; la modelación; y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos y algoritmos, destacando en esta propuesta, el razonamiento como competencia objeto de estudio. Por otro lado, los Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas fueron publicados por primera vez en el año 2003 y luego experimentaron una reforma en el año 2006, en la que se presentan organizaciones curriculares con el ánimo de lograr que las matemáticas sean vistas y experimentadas como una herramienta útil,

27 Comprensión de las razones trigonométricas 27 accesible, necesaria e interesante para todos los estudiantes. Para ello, se definieron tres prioridades: La necesidad de una educación matemática básica de calidad para todos. La importancia de considerar la formación matemática como un valor social. El papel de la formación matemática en la consolidación de los valores democráticos. Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, resumen estas tres prioridades en el objetivo de formar ciudadanos matemáticamente competentes. (MEN, 2006, p. 51). Para ser matemáticamente competente un estudiante debe poder: Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, del mundo de las ciencias y del mundo de las matemáticas mismas. Dominar el lenguaje matemático y su relación con el lenguaje cotidiano; así como usar diferentes representaciones. Razonar y usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y por qué usarlos de manera flexible y eficaz.

28 Comprensión de las razones trigonométricas Referentes teóricos El razonamiento matemático ha sido estudiado por investigadores en el campo de las matemáticas, sin embargo, para conceptos relacionados con la trigonometría y en particular razones trigonométricas no se han identificado estudios que aborden estos conocimientos desde un contexto geométrico y que busquen analizar la comprensión de dicho conocimiento. No obstante, durante el rastreo bibliográfico realizado, se encontraron propuestas fundamentadas en el modelo educativo de van Hiele, en el cual se aborda el razonamiento de conocimientos matemáticos que tienen un componente geométrico, lo cual han permitido extender dicho modelo y tomarlo como referencia para abordar los objetivos planteados en el presente estudio. A continuación se presenta una breve descripción de algunos trabajos relacionados con el modelo educativo de van Hiele propuestas que dan cuentan de los antecedentes y la pertinencia del modelo para abordar el razonamiento relacionado con conocimientos matemáticos Diseño de una entrevista socrática para construcción del concepto de suma de una serie vía áreas de figuras planas. El propósito de este estudio es describir una experiencia educativa referida a la noción de límite mediante la suma de áreas de rectángulos en forma de escaleras, que sirve para determinar los distintos descriptores correspondientes a los niveles de

29 Comprensión de las razones trigonométricas 29 razonamiento del modelo educativo de van Hiele. Dicho estudio, fue diseñado por Jurado y Londoño (2005), para optar al título de Magíster en Docencia de las Matemáticas con la Universidad de Antioquia. El trabajo de investigación plantea los siguientes objetivos: Señalar las características de una entrevista de carácter socrático para el razonamiento y comprensión de un concepto matemático en particular, basadas en lo que se infiere del diálogo entre Sócrates y el esclavo en El Menón y enmarcada en el modelo educativo de van- Hiele. Diseñar una entrevista semi-estructurada de carácter socrático para el concepto de suma de una serie de términos positivos, a través de áreas de escaleras. Aplicar la entrevista para: - Mejorar el contenido y estructura del guión-entrevista - Determinar los descriptores de los niveles de razonamiento sobre el concepto de suma de una serie de términos positivos, vía áreas de figuras planas. - Clasificar al entrevistado en uno de los niveles de razonamiento. Esta propuesta en sus conclusiones señala que se pudo extender el modelo de van Hiele al estudio del concepto de aproximación, permitiendo que se entendieran otros conceptos más avanzados como lo es la noción de suma de una serie de términos positivos.

30 Comprensión de las razones trigonométricas Comprensión de las razones trigonométricas: niveles de comprensión, indicadores y tareas para su análisis. Esta investigación aborda el tema de la comprensión en el área de la trigonometría, valiéndose del análisis de tareas aplicadas a estudiantes de la carrera de bachillerato en Enseñanza de la Matemática. Dicha investigación fue diseñada por Araya, Monge y Morales (2007), y publicada en la revista electrónica del Instituto de Investigación en Educación de la Universidad de Costa Rica. El estudio presenta los siguientes objetivos: Estudiar la comprensión de las razones trigonométricas que evidencian estudiantes de la carrera de Enseñanza de las Matemáticas de la UCR. Desarrollar un conjunto de tareas, criterios e indicadores que resulten apropiadas para valorar la comprensión del tema razones trigonométricas. Este estudio explora la variable comprensión y su incidencia en la resolución de problemas que involucran las razones trigonométricas. Además, presenta aportes teóricos sobre la comprensión, analizados desde un panorama que busca hacer frente a las necesidades actuales en educación y también establece tres niveles de comprensión: instrumental, relacional y formal.

31 Comprensión de las razones trigonométricas Módulo de aprendizaje para la comprensión del concepto de serie de términos positivos. Este estudio propone el diseño de módulos de instrucción (módulos de aprendizaje) en el marco de las fases de aprendizaje del modelo educativo de van Hiele, los cuales son en sí mismos una herramienta metodológica, que le permite a los estudiantes progresar en sus niveles de razonamiento. Dicho estudio fue realizado por Zapata y Sucerquia (2009), para optar al título de Magíster en Educación, con énfasis en Docencia de las Matemáticas, con la Universidad de Antioquia. A Continuación se muestran algunos objetivos específicos desarrollados en la propuesta: Diseñar un módulo de instrucción de acuerdo al guión entrevista establecido por Jurado y Londoño (2005), que contempla actividades para cada una de las fases de aprendizaje del modelo educativo de van Hiele. Caracterizar, mediante la aplicación del módulo de instrucción, cada uno de los descriptores de las fases, que el estudiante debe abordar para la construcción del concepto de convergencia vía la suma de áreas de figuras planas. Construir un test basado en el módulo de instrucción, para aplicarlo a una población amplia de estudiantes y a su vez permita la validación del mismo, para confirmar que un estudiante alcanza un avanzado nivel de razonamiento. Emplear los mapas conceptuales como herramienta metodológica, que evidencie la red de relaciones que un estudiante posee y su progreso en su nivel de razonamiento.

32 Comprensión de las razones trigonométricas 32 Es importante resaltar que dicho estudio plantea la necesidad de pensar en cómo conseguir que los estudiantes logren un nivel de razonamiento avanzado, en el conocimiento matemático convergencia de una serie infinita, además, considera que el paso de un nivel a otro no es posible mediante las fases de aprendizaje que propone el modelo La elipse como un lugar geométrico a través de la geometría del doblado de papel en el contexto de van Hiele. El presente estudio considera que una de las grandes dificultades que se presenta en el aprendizaje de las matemáticas y en particular de la geometría, es la desarticulación entre conceptos y procedimientos. Dicha investigación, mediante un estudio de casos cualitativo, se ocupó de responder a la pregunta de investigación cómo comprenden los estudiantes el concepto de elipse como lugar geométrico mediante la geometría del doblado de papel, en el contexto del modelo educativo de Van Hiele? Santa (2011), para optar al título de Magíster en Educación Matemática, con la Universidad de Antioquia. A continuación se muestran algunos objetivos específicos desarrollados en la propuesta: Diseñar y evaluar un guión de entrevista de carácter socrático, basado en la visualización de construcciones elaboradas mediante el doblado de papel, que permita detectar el nivel de razonamiento en que se encuentra un estudiante en la

33 Comprensión de las razones trigonométricas 33 comprensión del concepto de elipse como lugar geométrico y que, igualmente, se convierta en una experiencia de aprendizaje para avanzar en su nivel de razonamiento. Determinar los descriptores para ubicar a un estudiante en uno de los niveles de razonamiento de van Hiele, en relación al concepto de elipse, utilizando la geometría del doblado de papel. Esta propuesta analizó el proceso de comprensión del concepto de elipse como lugar geométrico. Además, estableció descriptores de los niveles de razonamiento del modelo educativo van Hiele Aproximación a la enseñanza de las razones trigonométricas a través del trabajo experimental en matemáticas en el grado décimo. Rueda (2012), para optar al título de Licenciado en Matemáticas y Física con la Universidad del Valle de Santiago de Cali. Algunos de los objetivos planteados fueron: Identificar algunos aspectos didácticos en relación con la enseñanza y aprendizaje de la trigonometría, en particular de las razones trigonométricas. Elaborar una serie de tareas, relativa a las razones trigonométricas dirigidas a docentes de matemáticas en formación al igual que a estudiantes del grado décimo. Analizar el rol de manipulativos en algunos aspectos de la resolución de problemas y la comprensión de las razones trigonométricas.

34 Comprensión de las razones trigonométricas 34 Dicha propuesta plantea la necesidad de problematizar desde la didáctica de las matemáticas la naturaleza, alcance e implicaciones de las llamadas matemáticas experimentales y su conexión con los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el ámbito escolar, en el caso de las razones trigonométricas Caracterización de los niveles de razonamiento de van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas. Esta investigación fue presentada en la Revista Científica de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas en el año 2013, por Algarín y Fiallo. El objetivo principal de dicha investigación es caracterizar los niveles de razonamiento de van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración, entendidos como actividades cognitivas relacionadas con la comprensión y uso de los conocimientos matemáticos con el tema de las razones trigonométricas. Se presenta la caracterización a-priori de los procesos mencionados para cada uno de los niveles y se diseña una unidad de enseñanza de las razones trigonométricas en un entorno de geometría dinámica.

35 Comprensión de las razones trigonométricas Razonar geométricamente sobre la hipérbola en el marco del modelo de van Hiele en el uso de GeoGebra Escobar y Guerra (2015), para optar al título de Magíster en Enseñanza de las Matemáticas con la Universidad de Antioquia. Algunos de los objetivos planteados fueron: Articular las propiedades geométricas de la hipérbola con un grupo de descriptores en correspondencia a los niveles del van Hiele, que permitan analizar el razonamiento de los estudiantes. Favorecer experiencias de aprendizaje a partir del diseño e implementación de un módulo que involucre elementos geométricos de la hipérbola en un ambiente virtual. Establecer la correspondencia entre los razonamientos de los estudiantes y las características de los descriptores de nivel a la luz del modelo de van Hiele. Este estudio en sus consideraciones finales expresa que la secuencia de actividades elaborada en el ambiente virtual (GeoGebra) de la mano del modelo educativo van Hiele posibilitó que el módulo de aprendizaje haya sido desarrollado de forma autónoma por los estudiantes permitiendo el proceso de razonamiento.

36 Comprensión de las razones trigonométricas Teorías de aprendizajes Se le denomina teoría de aprendizaje a aquellos conocimientos que proporcionan una explicación general, tanto de las observaciones que se hacen de los procesos, como los cambios de conducta de los sujetos (Zapata y Sucerquia, 2009, p. 26). El objetivo principal de una teoría de aprendizaje es describir de manera concreta los procesos mediante los cuales el ser humano adquiere el conocimiento. Existen diversas teorías de aprendizaje que permiten revelar el comportamiento humano y traen consigo múltiples estrategias para esclarecer como los individuos pueden adquirir el conocimiento. La presente propuesta se enmarca en un enfoque constructivista, inspirado y representado por grandes investigadores tales como Piaget y Vygotsky El constructivismo. Esta corriente surge bajo el influjo de enfoques epistemológicos renovados, ante la pregunta: Cómo aprende el hombre? Se constituye el constructivismo como una línea que ha venido conformándose y creciendo en el campo educativo y pedagógico, en relación directa con el desarrollo del conocimiento y del aprendizaje, lo que origina una perspectiva distinta de la enseñanza (Suárez, 2000, p. 47). Atendiendo a lo expuesto anteriormente, es válido decir, que el modelo

37 Comprensión de las razones trigonométricas 37 constructivista se concentra particularmente en cómo se origina y se modifica el conocimiento y crea una figura de ser humano, que construye en comunidad su propio conocimiento sobre el mundo, siendo estos transformados constantemente. Desde la teoría constructivista, se destacan las investigaciones de Gallego (1996), quien resume los diferentes planos de desarrollo que se derivan de dicha teoría: Epistemológico. Se da respuesta a la pregunta Cómo conoce el sujeto humano? Concepción del conocimiento en permanente desarrollo, como actividad humana constructivista, cuyos resultados sufren transformaciones. Aquí encontramos a sus máximos exponentes Descartes, Kant y Popper Psicológico. Se da respuesta a la pregunta Cómo aprende el sujeto humano? Existencia de múltiples enfoques de interpretación. Concepción del aprendizaje como proceso activo y dinámico, individual e intersubjetivo de construcción del conocimiento, sustentada por los procesos mentales cognitivos del sujeto humano. El individuo aprende a transformar sus ideas previas al interpretar y comprender información nueva que integra a sus esquemas. Aquí ubicamos a sus principales exponentes

38 Piaget, Vygotsky, Bruner, Ausubel y Novak. Comprensión de las razones trigonométricas Pedagógico. Se da respuesta a la pregunta Cómo enseñar ante la complejidad del aprendizaje? Existencia de múltiples enfoques de interpretación. Se pretende abordar de manera creativa el proceso de aprendizaje de los estudiantes, para los cuales el docente debe construir, de manera flexible, estrategias de intervención pedagógica para darle significado y relevancia al proceso formativo que orienta. Aquí encontramos Flórez, Onrubia, Coll, Gallego Badillo, Vasco, Pérez Gómez, Sacristán, Carretero, Pozo y Manterola El constructivismo: Piaget y Vygotsky. El trabajo de Jean Piaget se constituye como una de las formulaciones más firmes del constructivismo, se basa en la convicción de que todas las estructuras que conforman la cognición humana tienen una génesis a partir de alguna estructura anterior: por medio de procesos de transformación constructivista, las estructuras más simples van siendo incorporadas en otras de orden superior (Rosas y Sebastián, 2004, p.12). Para Piaget, el conocimiento es una invención, el sujeto tiene que crearlo, construirlo, ya que no se genera a partir del sujeto o el objeto solo, es indispensable

39 Comprensión de las razones trigonométricas 39 insertar la acción, puesto que es a partir de ella de donde germinan los objetivos y contenidos del conocimiento. El trabajo de Piaget considera cuatro etapas del desarrollo. Según Vuyk (citado por Rosas y Sebastián, 2004), el paso de una etapa del desarrollo a la siguiente se caracteriza por un cambio de nivel entre estructura y contenido, además, la estructura equilibrada de la etapa anterior se ve superada e integrada en la etapa posterior, pasando a convertirse en contenido de la etapa de nivel superior). Teniendo en cuenta lo anterior, a continuación se mencionan las cuatro etapas planteadas por Piaget: Etapa sensoriomotriz ( 0-2 años): el logro maximo del niño se fundamenta en la adquisición de la función simbólica. Etapa preoperacional ( 2-7 años): el maximo logro del niño se basa en la preparación, a partir del ejercicio activo del uso de simbolos, para la adquisición de las operaciones mentales Etapa de las operaciones formales (a patir de los 12 años): el sujeto tiene la posibilidad de actuar en su ambiente de manera hipoteticodeductiva, aún en ausencia de la experimentación practica. Etapa de las operaciones concretas (7-12 años): el niño utiliza la logica en su acción o interacción con los objetos de su entorno. Figura 2: Etapas del desarrollo de Piaget (citado por Rosas y Sebastián, 2004, p.27)

40 Comprensión de las razones trigonométricas 40 De acuerdo a lo expuesto anteriormente, en el marco de la teoría desarrollada por Piaget, el estudiante edifica su propio conocimiento. Cabe destacar que el modelo educativo de van Hiele, y en general todas las ideas importantes que se señalan en este capítulo, participan en mayor medida de ese planteamiento, el estudiante es el principal protagonista de su propio conocimiento. Por otro lado, Vygotsky asume un enfoque materialista del estudio de la psicología humana en todas sus etapas. Según Van der Veer y Valsiner (citado por Rosas y Sebastián, 2004), para Vygotsky la situación de progreso del ser humano actual sería el producto de una línea de desarrollo que no es biológica, sino cultural, creada a partir de instrumentos sociales que están ligados a las estructuras del trabajo humano (p.31). En este sentido, las líneas de desarrollo que establece Vygotsky son las siguientes: Línea natural, la cual corresponde a procesos psicológicos que son compartidos y adquiridos de otros animales. Línea artificial, la cual compromete acciones y procesos de tipo instrumental y se caracteriza por la incorporación de signos desarrollados históricoculturalmente, los cuales cambian por completo la naturaleza y expresión de los procesos psicológicos elementales antes desarrollados, dando pie a la aparición de procesos psicológicos superiores (Rosas y Sebastián, 2004, p.31-32). En el siguiente cuadro se resume las diferencias y semejanzas entre las teorías

41 Piaget y Vygotsky, (Rosas y Sebastián, 2004, p.80). Tabla 1: Contrapunto de Piaget y Vygotsky (p.80) Comprensión de las razones trigonométricas 41 Características Piaget Vygotsky Quién construye? Cuatro sujetos diferentes, Un sujeto mediado dependiendo del nivel de desarrollo semióticamente. cognitivo. Qué se construye? Estructuras generales del Sentido y funciones psicológicas conocimiento científico. Cómo se construye? Por abstracción reflexiva autorregulada (equilibración). Modelo de hombre Guiado por el imperativo categórico: deducción de principios morales a partir de principios trascendentes. Fin último de la educación Cuál es su concepción de aprendizaje? Dominio de interacciones para el aprendizaje Qué rol juega el educador en el aprendizaje? Desarrollo de las operaciones formales: pensamiento científico y juicio moral. Aprendizaje por descubrimiento: a partir de modificación de estructuras determinada por principios dialécticos del aprendizaje. Principalmente mundo de objetos físicos. Planificador de instancias de aprendizaje por descubrimiento. superiores. Por internalización de la actividad social (procesos interpsíquicos convertidos en intrapsíquicos). Guiado por la noción de progreso: principios morales racionales, pero históricamente situados Internalización de herramientas semióticas, compartir comunidad de sentido. Aprendizaje mediado: apropiación de herramientas culturales que culminen en la internalización del mediador. Principalmente mundo social. Diagnosticador dinámico de ZDP y mediador en la disminución de errores Modelo educativo de van Hiele El modelo educativo de van Hiele ha sido desarrollado por los esposos Pierre María van Hiele y Dina van Hiele, en sus trabajos de doctorado en la universidad Utrecht en Holanda en el año de 1957 basados en las investigaciones que realizaron para observar la comprensión de los estudiantes en relación a conocimientos

42 Comprensión de las razones trigonométricas 42 geométricos; las observaciones que realizaron los esposos van Hiele conllevaron a revelar que en algunos estudiantes se presentaban anomalías en su comunicación frente a la geometría y que los estudiantes no solucionaban de forma adecuada actividades específicas de esta, se les dificultaba entenderlas en otros contextos parecidos, debido con lo anterior los estudiantes a la hora de solucionar un problema utilizaban la memoria, desconociendo la importancia de los razonamientos, y con este la importancia de utilizar las matemáticas. Según Hoffer (1983), Pierre van Hiele diseñó un sistema de nivel de pensamiento en geometría y su esposa Dina van Hiele, enfocó sus estudios en el aumento de nivel de razonamiento en los estudiantes. Básicamente el trabajo de Dina consistía en el desarrollo de nuevos métodos de enseñanza, y Pierre van Hiele incorporó a la teoría, las interacciones que ocurren en un salón de clases (p. 207). De acuerdo con lo anterior y según Jaime y Gutiérrez (1990), se puede afirmar que las ideas centrales del modelo, son las siguientes: Se pueden encontrar varios niveles diferentes de perfección en el razonamiento de los estudiantes. Un estudiante solo podrá comprender realmente aquellas partes de las matemáticas que el profesor le presente de manera adecuada a su nivel de razonamiento. Si una relación matemática no puede ser expresada en el nivel actual de razonamiento de los estudiantes, será necesario esperar a que estos alcancen un nivel de razonamiento superior para presentársela.

43 Comprensión de las razones trigonométricas 43 No se puede enseñar a una persona a razonar de una determinada forma. Pero si se le puede ayudar, mediante una enseñanza adecuada de las matemáticas, a que llegue lo antes posible a razonar de esa forma. (p. 305). Para mostrar una perspectiva del modelo educativo de van Hiele, es necesario dar a conocer los tres componentes que lo conforman: el primer componente denominado como descriptivo, el cual establece jerárquicamente los llamados niveles de razonamiento a través de los cuales el individuo progresa en su capacidad de razonamiento matemático desde que inicia su aprendizaje hasta que llega a un grado determinado de desarrollo intelectual; el segundo componente llamado prescriptivo que son las fases de aprendizaje, estas establecen directrices o pautas que permiten al profesor ayudar a sus estudiantes en el progreso del razonamiento y a la construcción de sus conocimientos matemáticos permitiendo así el alcance de un nivel de razonamiento superior. Por último, tenemos el tercer componente llamado Insight o percepción, el cual existe cuando una persona actúa en nueva situación de forma adecuada e intencionalmente Componente descriptivo: niveles de razonamiento. Los van Hiele enunciaron originalmente su modelo distinguiendo cinco niveles (Básico o nivel 0, y niveles I, II; III y IV). A través de la bibliografía sobre el tema, ellos y otros autores han ido cambiando la forma de numerar o de referirse a estos niveles. El mismo Pierre van Hiele, en la más notable revisión de su teoría,

44 Comprensión de las razones trigonométricas 44 enfatiza la importancia de los tres primeros niveles, a los que se refiere como primer nivel o nivel visual, segundo nivel o nivel descriptivo, tercer nivel o nivel teórico. En el mismo trabajo, señala que los niveles superiores a estos presentan dificultades para su discernimiento y sólo tienen un interés teórico. Sin embargo, la forma más habitual de referirse a los niveles es distinguiendo cuatro niveles. Por ejemplo, en Jaime y Gutiérrez se denomina nivel I (de reconocimiento), nivel II (de análisis), nivel III (de clasificación), nivel IV (de deducción formal). Así pues, los van Hiele enfatizan en la existencia de diferentes formas de razonamiento y señalan la necesidad de que los profesores tengan en consideración la capacidad de razonamiento de sus estudiantes al decidir la forma y el rigor de sus clases. Tabla 2: Niveles de razonamiento teoría de van Hiele NIVELES DESCRIPCIÓN NIVEL I Visualización o Percepción global, individual o física de las figuras. reconocimiento NIVEL II Análisis Percepción de componentes y propiedades de las figuras y se experimentan generalizaciones. NIVEL III Ordenación o Inicio de un razonamiento matemático, identificando razones clasificación entre las propiedades de las figuras. NIVEL IV Deducción formal Se completa un razonamiento matemático formal comprendiendo estructuras axiomáticas y se presenta deducción formal de teoremas.

45 Comprensión de las razones trigonométricas 45 Los niveles son una estratificación del razonamiento matemático y ubica al estudiante según la manera y la forma cómo comprenda los conceptos matemáticos, dichos niveles de razonamiento son secuenciales, ordenados de tal forma que no se puede excluir alguno. A continuación, definiremos los niveles: Nivel I (Visualización o reconocimiento). En este nivel elemental se destaca la búsqueda visual, el estudiante percibe los objetos en su totalidad, describe los objetos por su aspecto físico, reconoce las figuras geométricas por su forma, por su apariencia física y no por sus partes y propiedades. Por ejemplo, un estudiante reconocerá el dibujo de un rombo, pero quizás no sea consciente de muchas de sus propiedades Nivel II (Análisis). En este nivel el estudiante comienza a analizar los conceptos geométricos, percibe, describe, y reconoce algunas propiedades que le permiten conceptualizar sobre algunas figuras. Aquí en este nivel los estudiantes descubren propiedades que desconocen y reconocen que las figuras tienen partes o elementos, pero no hacen clasificaciones lógicas de ellas, es decir, no identifican las relaciones entre ellas. Por ejemplo, los estudiantes identifican un triángulo como un polígono de tres lados, con

46 Comprensión de las razones trigonométricas 46 tres ángulos, tres vértices, etc. Pero no se dan cuenta de que algunas de estas propiedades están relacionadas con otras Nivel III (Ordenación o clasificación). En este nivel los estudiantes realizan procesos como: descubrir, describir, comprender y clasificar lógicamente los objetos geométricos, inician procesos de razonamiento formal y además infieren nuevas propiedades con base en otras ya conocidas a través de un razonamiento informal, sin embargo, no es capaz de entender el significado de las deducciones de las demostraciones y el papel que juegan los axiomas. Por ejemplo, los estudiantes son capaces de identificar entre un triángulo equilátero y uno isósceles, y las propiedades que los diferencian Nivel IV (Deducción Formal). Este es un nivel de rigor matemático, en él los estudiantes comprenden los razonamientos lógicos formales, y en consecuencia la estructura axiomática de una demostración o construcción. Muchos estudios revelan que este nivel pocas veces se alcanza, sin embargo, es posible hacerlo a través de acciones intencionadas en el marco de las fases del modelo educativo de van Hiele. En este último nivel, el estudiante está en condiciones de realizar razonamientos lógicos formales, construir, sin tener que memorizar las

47 Comprensión de las razones trigonométricas 47 demostraciones, incluso de diferentes maneras, entendiendo la interacción de las condiciones necesarias y suficientes. Asimismo puede comprender la existencia de diferentes definiciones de una figura, analizarlas y relacionarlas. Por ejemplo, un estudiante puede estar en la capacidad de realizar una demostración formal sobre algunas de las propiedades de los triángulos Descriptores de los niveles. Para analizar los niveles de razonamiento es preciso construir descriptores que estén articulados con las características del conocimiento matemático y, así mismo, lograr identificar cómo razona el estudiante en cada uno de los niveles a partir de la actividad propuesta. Algunos de los descriptores que se presentan a continuación relacionan aspectos geométricos y se encuentran tanto en el trabajo de los van Hiele como en el trabajo de Jaime y Gutiérrez (1990) Descriptores Nivel I: Visualización o reconocimiento. Los estudiantes reconocen las figuras geométricas por su apariencia global. Perciben las figuras como objetos individuales, sin abstraer sus propiedades para relacionarlas con otras figuras del mismo tipo.

48 Comprensión de las razones trigonométricas 48 Pueden aprender cierto vocabulario que identifican en las figuras geométricas (tal como cuadrado, rectángulo y otras). Describen las figuras geométricas por semejanza con otros objetos que no necesariamente son figuras geométricas, ni del tipo de las que están describiendo. Identifican la forma de la figura o la propia figura como un todo, sin distinguir partes que la formen, ni las propiedades matemáticas que las caracterizan. Un ejemplo de una situación categorizada en el nivel I puede ser la siguiente: si se le pregunta a un estudiante si una figura es un rombo, será capaz de identificarla correctamente. Sin embargo, es muy posible que la diferencie de un cuadrado, sin ver que este último es un tipo de rombo y menos aún, el estudiante no será capaz de inferir propiedades Descriptores Nivel II: Análisis. Los estudiantes analizan las partes o elementos que componen una figura geométrica y sus propiedades. Por la observación de esas partes, puede deducir otras propiedades de las figuras, generalizando a las figuras de una determinada clase. No relaciona las distintas propiedades de las figura geométricas, por lo que no pueden hacer clasificaciones de esas figuras basándose en sus propiedades. Las deducciones y extensión de propiedades tienen un carácter informal.

49 Comprensión de las razones trigonométricas 49 En este nivel, el estudiante puede comprender algunas propiedades de figuras, por ejemplo un rombo es visto ahora como una figura que tiene sus lados iguales y ángulos internos opuestos iguales, entonces, él puede percibir que un cuadrado también es un rombo. Un estudiante cuando razona bajo este nivel, describe un rombo considerando las propiedades que comprenden, manifestando así, un razonamiento matemático a partir de la observación indistintamente del tamaño o color que tenga la figura, pero aún no tiene la suficiente capacidad de explicar o justificar por qué las diagonales de un rombo se cortan formando ángulos rectos, es decir, aún no se relacionan propiedades unas con otras y las percibe como un listado de propiedades Descriptores Nivel III: Ordenación o clasificación. Los estudiantes relacionan las figuras y sus propiedades, reconocen que unas propiedades se deducen de otras y son capaces de desarrollar secuencias de proposiciones para conjeturar que una propiedad se deriva de otra. No reconocen la necesidad del rigor, ni la relación entre lo que han aprendido con otros sistemas deductivos que pueden ser semejantes. Los estudiantes pueden seguir una demostración formal, pero generalmente no son capaces de reproducirla. El tipo de argumentación es válido pero informal y, frecuentemente, recurre a argumentos basados en la experiencia.

50 Comprensión de las razones trigonométricas 50 Los estudiantes pueden clasificar lógicamente y aprender relaciones entre distintas clases de figuras. Pero no comprenden la necesidad de la formalización (demostraciones generales) ni las estructuras axiomáticas. Dando continuidad al ejemplo anterior, el estudiante, además de comprender las características de un rombo, también puede deducir nuevas propiedades a partir de las que ya conoce y relacionarlas entre sí, lo que induce por ejemplo a explicar por qué las diagonales de un rombo al cortarse forman ángulos rectos y reconocer que esta figura puede ser un cuadrado Descriptores Nivel IV: Deducción formal Los estudiantes pueden analizar varios sistemas deductivos y relacionarlos. Conocen propiedades de un sistema deductivo tales como: la consistencia, la independencia y la completitud de sus postulados. Los estudiantes conocen y valoran la importancia de la precisión al tratar con los fundamentos y con las interrelaciones de estructuras axiomáticas formales. Las implicaciones empíricas que se deducen de este último nivel, se relacionan con la capacidad de plantear demostraciones, realizar deducciones formales o de percibir definiciones equivalentes de un mismo concepto, de forma paralela el estudiante, relaciona distintos conceptos y propiedades dentro de un área de conocimiento.

51 Caracterización de los niveles. Comprensión de las razones trigonométricas 51 A partir de la descripción dada para los niveles de razonamiento y que estos puedan considerarse dentro del modelo educativo de van Hiele, es importante que los descriptores de dicho modelo correspondan con las propiedades y características específicas que se presentan a continuación. Es importante mencionar que la nomenclatura presentada en esta caracterización, es la utilizada por Usiskin Propiedad 1: (Secuencialidad fija). Cada estudiante debe progresar a través de los niveles en una secuencialidad fija, esto es, un estudiante no puede estar en un nivel n de van Hiele sin haber superado el nivel n Propiedad 2: (Adyacencia). El objeto de percepción del nivel n-1 se convierte en el objeto de pensamiento del nivel n. Los niveles de van Hiele tienen una estructura recursiva, puesto que en el nivel n hay determinadas cualidades del pensamiento que se utilizan implícitamente y cuyo uso explícito se manifiesta en el nivel n+1. El siguiente esquema representa la estructura recursiva de los niveles.

52 Comprensión de las razones trigonométricas 52 Figura 3: Estructura recursiva de los niveles de van Hiele Propiedad 3: (Distinción). El nivel n requiere una reorganización o reinterpretación del conocimiento adquirido en el nivel n-1, esto es la percepción de una nueva estructura Propiedad 4: (Separación). Dos personas que razonen en diferentes niveles no podrán entenderse, en lo que se refiere con el objeto de su razonamiento matemático.

53 Propiedad 5: (Cada nivel tiene su lenguaje). Comprensión de las razones trigonométricas 53 El lenguaje y los niveles tienen una estrecha relación, cada nivel tiene su propio lenguaje específico, y manifiesta las capacidades de razonamiento asociadas a cada uno de los niveles, mediante la forma de expresarse y en el significado que se da o se puede dar al vocabulario específico Propiedad 6: (Consecución). El progreso de un nivel al siguiente se produce de manera gradual, la adquisición de nuevas habilidades de razonamiento por parte de los estudiantes es fruto de su propia experiencia Componente prescriptivo: fases del aprendizaje El modelo educativo de van Hiele contempla cinco fases de aprendizaje, éstas constituyen pautas para que los docentes diseñen una serie de actividades con la intención de permitir orientar el progreso hacia un nuevo nivel de razonamiento en que los estudiantes transforman y amplían su manera de razonar y construir sus conocimientos matemáticos. La siguiente tabla presenta una descripción de estas fases:

54 Tabla 3: Fases del aprendizaje teoría de van Hiele Comprensión de las razones trigonométricas 54 FASES Información Orientación dirigida Explicitación Orientación libre Integración DESCRIPCIÓN Se determinan los conocimientos previos del tema a tratar y el camino a seguir de las actividades siguientes. Se exploran los conceptos a través de material secuencializado, permitiendo revelar las estructuras características de cada nivel. Los estudiantes intercambian opiniones acerca de las estructuras observadas, el papel del docente se limita a cuidar que el lenguaje del estudiante sea apropiado a su nivel. El estudiante se enfrenta a tareas complejas que manejan distintos procedimientos, consolidando los conocimientos adquiridos y su aplicación a situaciones inéditas El estudiante revisa y unifica los objetos, y sus razones en el conocimiento construido. Las fases de aprendizaje son unas etapas de graduación y organización de las actividades que debe realizar un estudiante para adquirir las experiencias que le lleven al nivel superior de razonamiento. El docente debe procurar que los estudiantes adquieran de manera comprensiva los conocimientos básicos necesarios (nuevos conceptos, propiedades, vocabulario, etc.) con los que tendrán que trabajar, para después centrar su actividad en aprender a utilizarlos y combinarlos en diversos contextos.

55 Comprensión de las razones trigonométricas Fase 1: Información. Se trata de una fase de toma de contacto, donde el docente informa sobre: El campo de estudio en el cual se va a trabajar. El tipo de problemas que se van a plantear. Los materiales que se van a utilizar. Esta fase de aprendizaje le permite al docente indagar sobre los conocimientos previos que poseen los estudiantes sobre el tema que se va a abordar, permitiéndole aprovechar la experiencia extraescolar que estos han vivido como una fuente de motivación. Por otro lado, el estudiante aprende a manejar el material y adquiere una serie de conocimientos básicos para poder emprender el trabajo matemático propiamente dicho Fase 2: Orientación dirigida. El objetivo principal de esta fase es conseguir que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan cuales son los conceptos, propiedades, figuras, etc. principales en el área de la geometría que están estudiando. Lo anterior, será posible lograrlo a través de la exploración minuciosa del campo de estudio y la investigación del material proporcionado por el docente. En esta fase se construirán los elementos básicos de la red de relaciones del nuevo nivel, por lo que es necesario que las actividades que se propongan estén

56 Comprensión de las razones trigonométricas 56 convenientemente dirigidas hacia los conceptos, propiedades, en otras, que deben estudiar. Además, el trabajo que vayan a hacer debe estar seleccionado de tal manera que los conceptos y estructuras se les presente a los estudiante de forma progresiva Fase 3: Explicitación. Esta fase permite a los estudiantes la revisión del trabajo hecho antes, de puesta a punto de conclusiones, de práctica y perfeccionamiento en la forma de expresarse. Una de las finalidades de esta fase es que los estudiantes: Intercambien experiencias. Comenten regularidades que han observado. Expliquen cómo han resuelto las actividades. Expresen sus puntos de vista y justifiquen sus opiniones. Analicen con cuidado las ideas de sus compañeros. Terminen de aprender un nuevo vocabulario, correspondiente al nivel de razonamiento que están empezando a alcanzar Fase 4: Orientación libre. En esta fase los estudiantes aplican los conocimientos y el lenguaje adquirido a otras investigaciones diferentes de las anteriores; el docente debe plantear

57 Comprensión de las razones trigonométricas 57 problemas, que puedan desarrollarse de diversas formas o que puedan llevar a diversas soluciones. En estos problemas se colocarán indicios que muestren el camino a seguir, pero de forma que el estudiante tenga que combinarlo adecuadamente, aplicando los conocimientos y la forma de razonar que ha adquirido en las fases anteriores. Es importante resaltar, que los problemas de esta fase deben reflejar situaciones nuevas y abiertas, dando lugar a que se establezcan razones más complejas y más significativas Fase 5: Integración. Esta fase pretende que el estudiante adquiera una visión general de los contenidos y métodos que tiene a su disposición, relacionándolos con los nuevos conocimientos y con otros campos que haya estudiado anteriormente. El docente puede fomentar este trabajo proporcionando comprensiones globales, pero es importante que estas comprensiones no le aporten al estudiante un nuevo concepto o nueva propiedad. Solamente debe ser una acumulación, comparación y combinación de situaciones que ya conoce Componente: el Insight Un tercer componente que integra al modelo educativo de van Hiele es el Insight o percepción, según van Hiele (como citó Jurado y Londoño, 2005), el Insight

58 Comprensión de las razones trigonométricas 58 existe cuando una persona actúa adecuadamente en una situación y con intención. El modelo educativo de van Hiele se interesa por potenciar y desplegar en los estudiantes este aspecto que repercute en la comprensión de determinado conocimiento matemático. Del mismo modo, van Hiele afirma, que una persona presenta Insight si: - Es capaz de actuar en una situación no conocida. - Actuar competentemente en los hechos requeridos en una situación. - Aplica premeditadamente un método que resuelve la situación. Un estudiante presenta Insight, cuando entiende qué está haciendo, cómo lo está haciendo y porqué lo está haciendo. Además, es capaz de aplicar y adaptar su conocimiento para resolver situaciones problema. Por otro lado, el modelo van Hiele considera que la forma de poner en evidencia la estructura mental que percibe un estudiante es a través de la constitución de una red de relaciones, las cuales permiten el paso de un nivel al siguiente. En el caso del presente estudio, la red de relaciones se evidencia en el lenguaje (verbal o escrito) que emplea el estudiante, la relación que establece entre los conceptos de: triángulos, lados, ángulos, semejanzas, razones, entre otros, que le permiten llegar al conocimiento matemático razones trigonométricas. A continuación se muestra un esquema cíclico en forma de espiral donde se relacionan las fases del aprendizaje con cada uno de los niveles de razonamiento:

59 Comprensión de las razones trigonométricas 59 Figura 4: Esquema de los niveles y Fases. Tomado de Jaime y Gutiérrez (1990) 2.5. Relación entre las características del modelo educativo de van Hiele y el conocimiento matemático razones trigonométricas. En correspondencia con los objetivos propuestos en este estudio, el modelo educativo de van Hiele, presenta una descripción de aspectos que permiten identificar cuando un estudiante alcanza un nivel de razonamiento, sin embargo, es necesario realizar una adaptación de estos descriptores con el conocimiento matemático. En primera instancia, la entrevista, centra su atención en el reconocimiento visual (nivel I) de triángulos desde una percepción global e individual, por lo tanto, los estudiantes deben reconocer y diferenciar los triángulos de otras figuras geométricas, además, el estudiante debe identificar características de los triángulos,

60 Comprensión de las razones trigonométricas 60 similitudes o diferencias, de igual forma, reconocer las condiciones en las que se puede formar estos, realizar mediciones de ángulos interiores del triángulo y establecer diferencias entre los mismos, durante este proceso se da un especial cuidado al lenguaje utilizado por los estudiantes y por lo tanto se deben diseñar preguntas que permitan expresar la opinión acerca de propiedades o estructuras que diferencian los triángulos de otras figuras o evidenciar las características de los mismos. De igual manera, en este nivel es necesario que el estudiante se enfrente a tareas complejas que manejan distintos procedimientos tales como: distinguir los tipos de triángulo reconociendo sus diferencias a partir de los elementos, del mismo modo, analizar situaciones en las cuales se pueden formar o no estos. Teniendo en cuenta que el objeto de estudio son las razones trigonométricas la entrevista centra su atención principalmente en el reconocimiento de características de un triángulo rectángulo. Luego, el estudiante entrevistado confronta situaciones que le permitan percibir componentes, características y propiedades (Nivel II) del triángulo rectángulo, se propone que desde el triángulo rectángulo definan relaciones entre lados y ángulos, al igual que reconocer las características que deben cumplir los ángulos interiores de todo triángulo. Así mismo, se pretende que el estudiante explore con el material adecuado la relación espacial de lados que puede tener un triángulo rectángulo, establecer propiedades y características de semejanza de triángulos, determinar características y analizar la relación entre los lados y ángulos de un triángulo. En el desarrollo de la entrevista, se recomiendan actividades para definir y

61 Comprensión de las razones trigonométricas 61 establecer relaciones entre triángulos rectángulos semejantes, reconociendo la razón que se establece entre los lados de un triángulo rectángulo y su relación con un ángulo. Es fundamental identificar si los estudiantes identifican las características de estas razones y su estrecha relación con los ángulos del triángulo rectángulo. El conjunto de preguntas que se desarrollan en la entrevista en un nivel de ordenación o clasificación (nivel III), centra su atención en que el estudiante logre identificar las diferentes razones trigonométricas y sus propiedades, de tal manera que pueda comprender a partir de la semejanza de triángulos, las relaciones proporcionalidades entre lados de un triángulo rectángulo. De otro lado, se plantean interrogantes para identificar las razones trigonométricas en correspondencia con triángulos construidos en una circunferencia unitaria, haciendo énfasis en un mismo ángulo con la intención de definir las razones trigonométricas, para que más adelante se enfrente a tareas complejas tales como, establecer razones de un triángulo rectángulo que finalmente, evidencien los conocimientos adquiridos Marco conceptual Aspectos históricos de las razones trigonométricas La trigonometría es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para ello, generalmente se abordan las llamadas razones trigonométricas. La palabra

62 Comprensión de las razones trigonométricas 62 trigonometría tiene su origen o proviene del griego trígonos (triángulo) y metros (metría). En la antigüedad fueron muchas las prácticas cotidianas que requerían el uso de lo que hoy conocemos como la trigonometría. Investigaciones revelan que la primera civilización de la cual se tiene conocimiento fue la babilónica (hace más de 3000 años), estos fueron los primeros en incursionar en la trigonometría cuando calculaban distancias cuya medición no resultaba posible en sus prácticas de agrimensura, navegación y astronomía. Al mismo tiempo, los egipcios con el Papiro de Rhind (1650 a. C.) revelan prácticas trigonométricas básicas tales como la medición de ángulos y triángulos en la construcción de las pirámides. Los egipcios también se destacaron en el estudio de la astronomía con la predicción de las rutas de los cuerpos celestes, la exactitud en la navegación, cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde se destaca el matemático y astrónomo griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes fundadores de la trigonometría: Hiparco, quien vivió en Rodas y Alejandría, y murió hacia el año 125 a. C. se sabe poco sobre él. La mayor parte de lo que conocemos de su vida se debe a Ptolomeo, quien le da crédito por ciertas ideas de trigonometría y astronomía. A él se deben muchas observaciones y descubrimientos astronómicos, la teoría astronómica más influyente de los tiempos antiguos, así como obras de geografía (Kline, 1990, p.86)

63 Comprensión de las razones trigonométricas 63 Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71 y aproximándose hasta 180, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. Trescientos años más tarde, el astrónomo griego Ptolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios. Durante varios siglos, la trigonometría de Ptolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Ptolomeo. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la astronomía, el primer uso de la razón seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrolló entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la razón seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta nueva razón, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa definida. A finales del siglo X, ya se había completado la razón seno y las otras cinco razones trigonométricas, también descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría. Luego la cultura árabe tomó los conocimientos trigonométricos de Grecia clásica y de la India para desarrollar importantes estudios tanto en astronomía como en trigonometría. Estas dos ciencias estaban íntimamente

64 Comprensión de las razones trigonométricas 64 ligadas. Desde Arabia se difundió a Europa y allí se separó de la astronomía y se le considero parte de la matemática. Posteriormente en el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller comúnmente llamado Regiomontano; se le considera fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De Triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Ptolomeo. De igual forma el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las razones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. En este sentido, se puede concluir que la trigonometría más que una rama de las matemáticas se desarrolló como un intercambio constante y prolífero de la oferta de teorías, hipótesis y técnicas matemáticas disponibles en cualquier momento dado y la demanda de una única ciencia aplicada, la astronomía Estructura conceptual del objeto matemático. Es relevante destacar cuales son los elementos conceptuales que, además de mediar el objeto matemático, han sido pertinentes para este estudio. En este sentido, se han tomado algunas definiciones construidas en otras investigaciones, que sirven

65 Comprensión de las razones trigonométricas 65 como precedente y referencia para el diseño de la entrevista de carácter socrático y, a la vez como elementos que orientaron el tratamiento conceptual del conocimiento matemático razones trigonométricas. A continuación se presentan elementos esenciales y conceptuales que fueron objeto de estudio para el diseño de la entrevista de carácter socrático: Triángulos. Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices. En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro) (Godino, 2002, p.465). Figura 5: triángulo, Construido en GeoGebra Algunas propiedades de los triángulos. En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

66 Comprensión de las razones trigonométricas 66 En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes. Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos. Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia Clasificación de triángulos. Los ángulos se clasifican atendiendo a sus lados y sus ángulos. De acuerdo con la medida de los lados del triángulo, se clasifican de la siguiente forma:

67 Tabla 4: Clasificación de triángulos según sus lados Comprensión de las razones trigonométricas 67 Equiláteros Isósceles Escalenos Un triángulo es equilátero si tiene sus tres lados iguales. Un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales. Un triángulo es escaleno si sus tres lados son desiguales. De acuerdo con la medida de los ángulos interiores del triángulo, se clasifican de la siguiente forma: Tabla 5: Clasificación de triángulos Rectángulos según sus ángulos Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Un triángulo es acutángulo si tiene todos los ángulos interiores agudos (menores de 90 ) Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo interior recto (de 90 ). Un triángulo es obtusángulo si tiene un ángulo interior obtuso (mayor de 90 ) Construcción de triángulos. Para poder dibujar o construir un polígono basta con conocer algunos de sus elementos. Los diferentes casos que pueden plantearse para el triángulo son:

68 Comprensión de las razones trigonométricas 68 I. Conocidos los tres lados. II. III. Conocidos los tres ángulos (se pueden construir infinitos triángulos). Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (el tercer lado viene automáticamente determinado por situarse en los extremos de los otros dos). IV. Conocido un lado y los ángulos contiguos Reglas para construir triángulos. No todas las medidas de lados y ángulos son buenas para construir triángulos. Existen unas reglas que se deben cumplir para ello. A continuación se muestran dichas reglas: Tabla 6: Relaciones métricas 1. En todo triangulo se cumple: a + b > c b + c > a a + c > b 2. En cualquier triangulo acutángulo se cumple c 2 < a 2 + b 2 3. Todo triángulo rectángulo se cumple: c 2 = a 2 + b 2 4. En todo triángulo obtusángulo se cumple: c 2 > a 2 + b 2 5. En cualquier triángulo es cierto que, a < b, si y solo si ángulo A < ángulo B.

69 Comprensión de las razones trigonométricas Los tres lados de un triángulo son iguales si y solo si los tres ángulos lo son Semejanza de triángulos. Para el estudio de la semejanza de triángulos es necesario clarificar previamente qué significa la proporcionalidad en el ámbito geométrico. La razón de dos segmentos es la relación entre sus longitudes, medidas respecto a un segmento de unidad, expresada en forma de cociente: a b = antecedente consecuente Una proporción es una igualdad de razones a b = c d Las longitudes a y d se llaman extremos y las longitudes b y c se llaman medios. Dos segmentos son proporcionales a otros dos si sus longitudes forman una proporción. Ahora, aunque se consideran diferentes criterios para establecer si los triángulos semejantes, es necesario comprender que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales (la misma forma aunque tengan distinto tamaño). La razón de semejanza es el valor común de los cocientes entre las longitudes de lados proporcionales. Los siguientes triángulos ABC y DEF, los lados AB y ED ; BC y EF ; AC y DF son semejantes.

70 Comprensión de las razones trigonométricas 70 Figura 6: Triángulos semejantes. Construcción en GeoGebra Casos de semejanza. Caso 1. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos pares de lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. Los triángulos ABC y MNO son semejantes: A M y AB MN = AC MO Figura 7: Semejanza de triángulos Caso 1. Construcción en GeoGebra Caso 2. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos congruentes Los triángulos STU y RVW son semejantes porque S R y T V.

71 Comprensión de las razones trigonométricas 71 Figura 8: Semejanza de triángulos Caso 2. Construcción en GeoGebra Caso 3. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados, homólogos proporcionales. Los triángulos ABC y DEF son semejantes porque: AB DE = BC = AC EF DF Figura 9: Triángulos semejantes Caso 3. Construido en GeoGebra Triángulo rectángulo Cuando un triángulo dispone de un ángulo recto (que mide 90 ), se lo clasifica como triángulo rectángulo. Los otros dos ángulos del triángulo rectángulo siempre son agudos (miden menos de 90 ). El ángulo recto en el triángulo rectángulo está formado por los dos lados de menor longitud, conocidos como catetos ambos se oponen a un ángulo agudo,

72 Comprensión de las razones trigonométricas 72 mientras que el tercer lado (el de mayor extensión) recibe el nombre de hipotenusa y es el lado opuesto al ángulo recto. A continuación se muestra un triángulo rectángulo. Figura 10: Triángulo rectángulo. Construido en GeoGebra Propiedades de un triángulo rectángulo. En todo triángulo rectángulo se cumplen las siguientes propiedades Todo triángulo rectángulo tiene dos ángulos agudos. La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La suma de la hipotenusa y el diámetro de un círculo inscrito en el triángulo es igual a la suma de los catetos. Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura. La mediana de la hipotenusa descompone un triángulo rectángulo escaleno en dos triángulos: uno obtusángulo y otro acutángulo, no congruentes pero equivalentes.

73 Comprensión de las razones trigonométricas 73 La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles lo descompone en dos triángulos rectángulos isósceles congruentes y equivalentes Dos triángulos rectángulos, con hipotenusa común, y los ángulos rectos en semiplanos opuestos determinados por la recta que contiene a la hipotenusa, forman un cuadrilátero birrectángulo La mediana que parte del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa. La altura que parte del vértice del ángulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como una base Tipos de triángulos rectángulos. Existen dos tipos de triángulo rectángulo: Figura 11: Triángulo rectángulo isósceles. Construido en GeoGebra Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45, 45 y 90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide 2 veces la longitud del cateto. Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30,

74 Comprensión de las razones trigonométricas y 90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor 3 veces la longitud del cateto menor Figura 12: Triángulo rectángulo escaleno. Construido en GeoGebra Razones trigonométricas. La noción de razón trigonométrica se refiere a los vínculos que pueden establecerse entre los lados de un triángulo rectángulo. Figura 13: Nombre de lados en un triángulo Rectángulo. Construido en GeoGebra

75 Comprensión de las razones trigonométricas 75 Para definir las razones trigonométricas del ángulo α (vértice A), se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será: La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar. El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar. Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes o 180. En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las razones trigonométricas para ángulos de este rango. El seno de un ángulo es la razón existente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: sen α = Cateto opuesto Hipotenusa = a h El coseno de un ángulo es la razón existente entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: cos α = Cateto adyacente Hipotenusa = b h

76 Comprensión de las razones trigonométricas 76 La tangente de un ángulo es la razón existente entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: tan α = Cateto opuesto Cateto adyacente = a b La cotangente de un ángulo es la razón existente entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: cot α = Cateto adyacente Cateto opuesto = b a La secante de un ángulo es la razón existente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: sec α = Hipotenusa Cateto adyacente = h b La cosecante de un ángulo es la razón existente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: csc α = Hipotenusa Cateto opuesto = h a

77 Comprensión de las razones trigonométricas Capítulo 3. Diseño de la entrevista de carácter socrático Este capítulo presenta dos aspectos, el primero, aborda las características generales que se tienen en cuenta para diseñar la entrevista de carácter socrático, el segundo, muestra el instrumento utilizado con los estudiantes en el presente estudio Generalidades de la entrevista El presente estudio utiliza como instrumento de investigación la entrevista de carácter socrático en el contexto del modelo educativo de van Hiele. Dicha entrevista permite identificar y analizar el nivel de razonamiento de un estudiante frente a un conocimiento específico, como también, hacer la descripción de su razonamiento de una forma cercana o aproximada cuando se presenta su construcción en la mente del estudiante (Jaramillo y Campillo, 2001, p. 66). En otras palabras, el propósito que se persigue con la entrevista socrática es que el estudiante reflexione no sólo acerca de las preguntas que se le formulan sino, también, acerca de sus propias respuestas y que llegue a hacer conciencia de las relaciones y propiedades que utiliza en sus razonamientos (De la Torre, 2003, p. 116). Teniendo en cuenta lo anterior, es importante resaltar que una entrevista de carácter socrático no es solo una herramienta para que el docente observe los progresos en el razonamiento de los estudiantes, sino que también, se convierte en

78 Comprensión de las razones trigonométricas 78 una experiencia de aprendizaje, ya que le permite a estos avanzar en su nivel de razonamiento (Jaramillo y Campillo, 2001, p.68). Según, Jurado y Londoño (2005), todo diálogo de carácter socrático debe cumplir con las siguientes características: Intencionalidad de la entrevista. Conocer con claridad los objetivos que se desea que logre el estudiante en la ejecución de dicha entrevista. El docente debe identificar las ideas que se localizan en torno al conocimiento matemático objeto de estudio, ya que muchas de estas poseen alto contenido matemático que puede entorpecer el desarrollo de la entrevista, evitando así que el estudiante suscite un razonamiento reflexivo (p. 86) El lenguaje. Es indispensable que el docente utilice un lenguaje acorde con el vocabulario habitual del estudiante entrevistado. De igual forma, propiciar que el diálogo fluya con naturalidad y genere seguridad en los estudiantes para expresar sus respuestas (p. 87).

79 Comprensión de las razones trigonométricas Los conceptos básicos. Las preguntas iniciales que formule el docente deben de tener como intención determinar si los estudiantes reconocen adecuadamente los conceptos y los elementos básicos relacionados con el conocimiento matemático en estudio (p. 87) Las experiencias previas del entrevistado. La utilización de preguntas inquisitivas o indagadoras relacionadas con situaciones de la vida cotidiana o imágenes, entre otras, permite que el estudiante reflexione y extraiga de sí mismo todas las ideas o conocimientos previos que tenga alrededor del concepto (p. 88) Diálogo inquisitivo. El diálogo inquisitivo origina la interrelación entre el docente y el estudiante, facilitando que este último, mediante un pensamiento discursivo, razone, reflexione, comprenda y exprese soluciones acerca del conocimiento objeto de estudio, ampliando de cierta forma su red de relaciones (p. 88).

80 La movilización del pensamiento. Comprensión de las razones trigonométricas 80 Durante la entrevista, es indispensable en diversas ocasiones realizar una misma pregunta con el fin de, en un primer momento conocer lo que sabe el estudiante con respecto al conocimiento matemático, y posteriormente para obtener del estudiante respuestas más elaboradas. El diálogo inquisitivo-discursivo le permite al estudiante identificar características comunes y modificar conocimientos erróneos que poseía del conocimiento en cuestión (p. 89) El aporte de información. Algunas de las preguntas que se formulen durante la entrevista deben brindar información necesaria (nuevos conceptos e ideas afines con el conocimiento en cuestión), que le permitan al estudiante ampliar su vocabulario, razonar y comprender. No obstante, estos aportes de información no deben insinuar enseñanza, ni explicación alguna (p. 90) La problematización con las ideas. La reflexión que hace el estudiante en torno al concepto, propician el enriquecimiento de su propio saber y en muchas ocasiones pone en evidencia sus dificultades, estas últimas generan un conflicto interno de ideas en él, y es aquí

81 Comprensión de las razones trigonométricas 81 donde el docente desempeña un papel importante para que el estudiante elabore, modifique y amplíe nuevas estructuras de pensamiento (p. 91) El paso por los tres momentos. En el transcurrir de la entrevista el estudiante pasa por tres momentos: - Creer saber la respuesta a la pregunta. - A través de las mismas preguntas darse cuenta que no sabe (problematizando). - El estudiante está en contradicción consigo mismo, generando en él la necesidad de buscar la verdad (comprensión del concepto) (p. 91) La red de relaciones. Las preguntas que conforman la entrevista, deben estar formuladas de manera que el estudiante edifique una red de relaciones alrededor del conocimiento matemático, de la mano de elementos sobre los cuales va a razonar. Es de gran importancia resaltar que la red de relaciones se facilita a través de mecanismos concretos, tales como: visuales- geométricos, verbales o escritos (p. 92).

82 Comprensión de las razones trigonométricas Entrevista de carácter socrático en el marco del modelo educativo de van Hiele. La relación que guarda la entrevista de carácter socrático con el modelo educativo de van Hiele es significativa, ya que en dicho modelo predomina la utilización de las denominadas entrevistas clínicas, donde el docente plantea diversas actividades y dialoga con el estudiante, permitiendo que éste vaya mostrando durante el desarrollo de la entrevista ciertos niveles de razonamiento. Según Jaramillo y Campillo (2001), el proceso de investigación del modelo educativo van Hiele posee una metodología en espiral: se utiliza la entrevista socrática para formular los descriptores de los niveles y para mejorar a su vez, la herramienta de trabajo que representa esta clase de entrevista (p.67). En el presente estudio, se plantea un conjunto de descriptores que están en correspondencia con los descriptores generales propuestos por el modelo educativo de van Hiele. Con base en estos descriptores, se diseña una entrevista de carácter socrático, que permite analizar la compresión que presentan algunos estudiantes del grado décimo en relación con el conocimiento matemático razones trigonométricas. Del mismo modo, la entrevista de carácter socrático tiene un doble propósito, el primero es que el estudiante comprenda el conocimiento matemático razones trigonométricas y avance en los niveles de razonamiento, y el segundo se refiere a que el docente identifique como razonan estos y con ello reflexione sobre los obstáculos en la enseñanza y aprendizaje de dicho conocimiento matemático.

83 Comprensión de las razones trigonométricas 83 Es de gran importancia resaltar que la entrevista debe permitir una enseñanza gradual del conocimiento en estudio, que les facilite a los estudiantes el tránsito de situaciones concretas a abstractas e inversamente, posibilitando de igual forma la comprensión del concepto. Por otro lado, dicha entrevista es concebida como una red de relaciones, donde cada pregunta formulada esconde su intencionalidad que solo el docente debe conocer y que a medida que el estudiante avanza en su aplicación, entrelaza, vincula, reflexiona e infiere alrededor del conocimiento matemático. La entrevista que se ha diseñado en el presente estudio posibilita detectar los niveles de razonamiento y se convierte en una experiencia pedagógica para la enseñanza de las razones trigonométricas.

84 Comprensión de las razones trigonométricas Entrevista de carácter socrático para la noción de las razones trigonométricas en el marco del modelo educativo de van Hiele Orientaciones para el estudiante: Responde las preguntas de forma sincera, teniendo en cuenta tus conocimientos previos. Para aquellas preguntas que no conozcas las respuestas, no dudes en intentarlo y dar una respuesta. No sigas a la pregunta siguiente sin antes terminar la presente. 1. Considera las siguientes imágenes Cuál o cuáles crees que son una representación de triángulos?

85 Comprensión de las razones trigonométricas Describe Por qué crees que tiene forma de triángulo la o las imágenes que escogiste? 3. Colorea con un mismo color los triángulos que tengan alguna característica en común. Aporte de información 1 Los triángulos anteriores se nombran así: ABC y LMN. Observa que se denotan con letras mayúsculas. En el triángulo ABC los segmentos AB, BC y AC son los lados del triángulo y los ángulos se nombran así: A, B y C.

86 Comprensión de las razones trigonométricas 86 Une los tres puntos dados 4. La figura trazada anteriormente es un triángulo?, Por qué? Define con tus propias palabras. 5. Nombra la figura anterior y señala sus lados y ángulos Lados: Ángulos: 6. Nombra todos los triángulos que encuentres en la siguiente figura que es un trapecio rectangular.

87 Comprensión de las razones trigonométricas Toma como referencia dos de los triángulos que nombraste, mide con regla sus lados, y deduce los ángulos faltantes a partir de los conocidos y la utilización del transportador, luego establece características comunes y no comunes entre ellos. TRIÁNGULOS SELECCIONADOS: Y Características comunes Características no comunes En esos mismos triángulos escogidos, explora más acerca de sus elementos (lados y ángulos) Aporte de información 2 Para tener en cuenta a > b, significa a mayor que b a < b, significa a menor que b 8. Qué puedes concluir? si recuerdas las medidas de los lados de uno de los triángulos escogidos y haces el siguiente procedimiento. Primero suma las medidas de dos de los lados del triángulo escogido

88 Comprensión de las razones trigonométricas 88 Luego compara la suma de las medidas de los dos lados con la medida del tercer lado, Qué se evidencia? Si aún no es clara tu respuesta anterior, entonces en el siguiente espacio repite los pasos anteriores para los otros dos lados del triángulo escogido y si ya la sabes compruébalo. 9. Que se evidencia con respecto a la suma de las medidas de dos lados del triángulo en comparación al tercer lado? Ahora trata de construir un triángulo con las siguientes medidas en sus lados: Primer lado: 7 cm, Segundo lado 2cm y Tercer lado 3 cm

89 Comprensión de las razones trigonométricas Qué sucede, se puede o no se puede hacer el triángulo con dichas medidas en sus lados? Justifica tu respuesta teniendo en cuenta la información obtenida en los procedimientos y respuestas anteriores. En los triángulos escogidos, verifica con un transportador las medidas de los ángulos internos de cada triángulo. 11. Qué se puede concluir a cerca de los ángulos internos de cada triángulo? 12. Cuánto suman los ángulos internos en cada triángulo? 13. Qué pasa con el lado que está al frente del ángulo mayor del triángulo, si dicho ángulo se hace más grande? 14. Qué pasa con el lado que está al frente del ángulo menor del triángulo, si dicho ángulo se hace más pequeño?

90 Comprensión de las razones trigonométricas De acuerdo a lo anterior Qué relación hay entre cada ángulo con respecto al lado que tiene al frente en cada triángulo? (Escribe como es el tamaño del ángulo en cuanto al tamaño del lado que tiene al frente) para qué te sirve conocer esta información? 16. Teniendo en cuenta el contenido de la siguiente tabla y con ayuda de regla, compás y transportador. Construye en una hoja anexa los triángulos que cumplan las condiciones dadas con respecto a sus elementos (lados y ángulos), y marca en dicha tabla un si es posible construirlo o una X si no es posible. Ángulos Lados Todos iguales Solo dos iguales Todos desiguales Todos agudos Uno recto Uno obtuso

91 Comprensión de las razones trigonométricas 91 A continuación se establece una forma de construir uno de los triángulos a partir de las relaciones de lados y ángulos. De forma similar se construyen los demás. Aporte de información 3 Para construir un triángulo con lados iguales se debe hacer lo siguiente: Traza un segmento cualquiera Toma la medida del segmento trazado con tu compás y luego haz centro con el compás en un extremo del segmento (A) y traza un semiarco que pase por el otro extremo (B) Une el punto obtenido con los extremos del segmento inicial Repite el procedimiento anterior pero haciendo centro con tu compás en el otro extremo del segmento (B) Felicitaciones has construido un triángulo equilátero. Fíjate que los dos semiarcos se corten en un punto (C) 17. De cada construcción describe como es el triángulo, observa sus elementos (lados y ángulos) Qué diferencias, similitudes, relaciones y características hay con respecto a los elementos de cada triángulo construido en sí mismo y con respecto a los otros?

92 Comprensión de las razones trigonométricas En el triángulo que tiene lados iguales, Es posible determinar ángulos mayores o menores? Cómo son sus ángulos entre sí y de acuerdo a las medidas, a que clasificación pertenecen? 19. Has construido siete triángulos diferentes, siete tipos de triángulos de nueve posibles. Explica Porque crees que no se pueden construir los dos faltantes? 20. Relaciona la definición de la columna izquierda con el nombre del triángulo, y escribe la letra en el espacio en blanco. a. Triángulo con lados iguales Triángulo acutángulo b. Triángulo con un ángulo obtuso Triángulo escaleno c. Triángulo con sus lados desiguales Triángulo rectángulo d. Triángulo con dos lados iguales Triángulo isósceles e. Triángulo con ángulos agudos Triángulo obtusángulo f. Triángulo con un ángulo recto Triángulo equilátero

93 Comprensión de las razones trigonométricas 93 Ahora centrarás tu atención solo en las características y propiedades de un triángulo rectángulo. 21. Si en un triángulo rectángulo hay un ángulo interno de 90. Cómo se clasifican los otros dos ángulos?, Cuánto suman esos dos ángulos internos? Explica tus respuestas. 22. En un triángulo rectángulo, Pueden ser todos sus lados iguales? Describe las características de sus lados, si se puede o no se puede. Cuántos tipos de triángulos rectángulos existen?, Cuáles?

94 Comprensión de las razones trigonométricas 94 Aportes de información 4 En un triángulo sus lados se pueden nombrar con letras minúsculas, y cada lado le corresponde la letra minúscula del ángulo que tenga enfrente. Ver el siguiente gráfico. Se puede observar que AB = c, BC = a y CA = b El lado más largo se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Observa que también el triángulo ABC, cumple que: a mayor ángulo, mayor será el lado de enfrente y a menor ángulo menor será el lado de enfrente, es decir: lado b es mayor al lado a y lado c es el menor de todos. 23. En el siguiente triángulo rectángulo, nombra sus lados en el mismo triángulo, con las letras adecuadas.

95 Comprensión de las razones trigonométricas Según el anterior triángulo rectángulo, une con una línea según corresponda y contesta: 90 Lado las largo M Ángulo de menor medida N Mayor ángulo L Lado corto N M a) Qué medida tiene el ángulo de mayor medida? b) Selecciona cómo es el lado que está enfrente del ángulo mayor, con respecto a los otros dos lados. Menor Igual Mayor c) Cuál es el lado de menor medida? Cómo es el ángulo que está enfrente? d) Has escuchado como se pueden llamar los lados de un triángulo rectángulo? Anótalos 25. En el triángulo anterior ( MNL): a) Cómo es el tamaño del lado m con respecto al lado l?

96 Comprensión de las razones trigonométricas 96 b) Cuántas veces se debe utilizar el lado m para formar un lado l? Aporte de información 5 Una razón nos indica el número de veces que una cantidad contiene a otra. En el triángulo rectángulo anterior el lado l es tres veces más grande que el lado m, es decir la razón entre l y m es 3 y se expresa como l =3 o l:m m 26. Observa los siguientes triángulos rectángulos y contesta:

97 Comprensión de las razones trigonométricas 97 a) Qué relación guardan los lados a, d y k? b) Observa en los triángulos rectángulos Que lados cambian de tamaño? Escribe Cómo se llaman? c) Establece las razones entre los lados conocidos en cada uno de los triángulos, el de menor medida con respecto al de mayor medida, y encuentra el resultado de su división (redondea a dos décimas). d) Establece una relación de orden de mayor a menor en las razones anteriores e) Qué observas con respecto al ángulo formado por los lados conocidos en cada uno de los triángulos?

98 Comprensión de las razones trigonométricas 98 f) Qué puedes concluir entre las razones de los lados conocidos y el ángulo formado por dichos lados en los triángulos? 27. Ahora observa estos otros triángulos y responde:

99 Comprensión de las razones trigonométricas 99 a) Qué relación guardan los lados c, f y i? b) Observa en los triángulos rectángulos Que lados cambian de tamaño? Escribe Cómo se llaman? c) Establece las razones entre los lados conocidos en cada uno de los triángulos, el de menor medida con respecto al de mayor medida, y encuentra el resultado de su división (redondea a dos décimas).

100 Comprensión de las razones trigonométricas 100 d) Establece una relación de orden de mayor a menor en las razones anteriores e) Qué observas con respecto al ángulo que está enfrente de uno de los lados conocidos en cada uno de los triángulos? f) Qué puedes concluir entre las razones de los lados conocidos y el ángulo que está enfrente de uno de los lados conocidos en los triángulos? 28. Observa nuevamente estos tres triángulos y responde:

101 Comprensión de las razones trigonométricas 101 a) Qué relación guardan los lados b, f y i? b) En los triángulos rectángulos Que lados cambian de tamaño? Escribe Cómo se llaman? c) Establece las razones entre los lados conocidos en cada uno de los triángulos, el de menor medida con respecto al de mayor medida, y encuentra el resultado de su división (redondea a dos décimas). d) Establece una relación de orden de mayor a menor en las razones anteriores e) Qué observas con respecto al ángulo que está enfrente de uno de los lados conocidos en cada uno de los triángulos? f) Qué puedes concluir entre las razones de los lados conocidos y el ángulo que está enfrente de uno de los lados conocidos en los triángulos?

102 Comprensión de las razones trigonométricas 102 Aportes de información 6 En un triángulo también sus ángulos se pueden nombrar con letras griegas En el anterior triángulo, los lados se pueden llamar respecto a un ángulo α referente, de la siguiente forma: El lado a o BC que está enfrente del ángulo α se llama Cateto Opuesto. El lado c o BA que está a un lado del ángulo α se llama Cateto Adyacente El lado b o AC que es el más largo, está enfrente del ángulo de 90 y a un lado del ángulo α se llama Hipotenusa 29. Ahora analiza el triángulo ABC en cada uno de los tres triángulos observados de cada caso anteriormente (puntos 26, 27 y 28), los cuales son los siguientes y responde:

103 Comprensión de las razones trigonométricas 103 a) Es el mismo triangulo en los tres casos observados?, porque crees que sí o no son los mismos triángulos? b) Con respecto al ángulo A que mide 36.87, determina la medida de cada lado Cateto Opuesto: Cateto Adyacente: Hipotenusa: c) Establece la razón entre la longitud de los lados conocidos en cada uno de los anteriores triángulos, en el que relaciones la longitud del lado menor con respecto a la longitud del lado mayor. Qué lados se involucran en cada una de las razones halladas? Indica cómo se llaman dichos lados en la razón

104 Comprensión de las razones trigonométricas Con tu calculadora, en el anterior triángulo ABC. Calcula: (Redondea a dos décimas). a) Seno de A: Sen (36,87 ) = b) Coseno de A: Cos (36,87 ) = c) Tangente de A: Tan (36,87 ) = 31. Qué relación tienen los resultados anteriormente obtenidos con las razones establecidas en el literal c del punto 29? Aportes de información 7 Dos o más triángulos son semejantes cuando estos cumplen las siguientes condiciones: Los ángulos correspondientes son congruentes, es decir, igual amplitud o medida Los lados correspondientes son proporcionales, es decir, guardan la misma razón En las siguientes figuras: Los triángulos ABC y DEF son semejantes porque cumple que: Los ángulos correspondientes son congruentes β ε, α σ, θ γ Los lados correspondientes son proporcionales a d = c f = b e

105 32. Observa los siguientes triángulos rectángulos y contesta: Comprensión de las razones trigonométricas 105 a) Si estos triángulos son semejantes, Cómo lo justificarías? b) Determina la medida del cateto desconocido en el triángulo HGI. Describe el proceso que realizas para determinar esta medida. c) Calcula las siguientes razones con respecto a las medidas de los lados en cada uno de los triángulos, tomando como referencia el ángulo agudo conocido. (redondea a dos décimas)

106 Comprensión de las razones trigonométricas 106 Razón ABC DEF HGI cateto opuesto hipotenusa cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente d) Calcula las relaciones trigonométricas en cada triángulo, tomando como referencia el ángulo agudo conocido. (Redondea a dos décimas) Relación Respuesta sen30 cos30 tan30 e) Qué relación se pueden establecer entre las dos tablas anteriores

107 Comprensión de las razones trigonométricas De acuerdo con las tablas anteriores, establece una relación de equivalencia entre la razón y la expresión trigonométrica cateto adyacente hipotenusa hipotenusa cateto opuesto senα cateto adyacente cateto opuesto cosα hipotenusa cateto adyacente tanα cateto opuesto cateto adyacente cateto opuesto hipotenusa

108 Comprensión de las razones trigonométricas 108 Aporte de información 8 En la siguiente figura se muestran dos triángulos rectángulos, OPQ y OMN, que son semejantes porque son rectángulos y tienen un mismo ángulo común. Por tanto: senθ = y 1 r 1 = y 2 r 2 cosθ = x 1 r 1 = x 2 r 2 tanθ = y 1 x 1 = y 2 x 2 Lo que significa: senθ = cateto opuesto hipotenusa cosθ = cateto adyacente hipotenusa tanθ = cateto opuesto cateto adyacente Luego los valores de las razones trigonométricas del ángulo θ dependen de la medida del ángulo y no de la longitud de los lados del triángulo. 34. De acuerdo con la información de la figura, determinar el valor de las razones trigonométricas senθ, cosθ y tanθ.

109 Comprensión de las razones trigonométricas Analiza la aplicabilidad de estas razones trigonométricas con la siguiente situación basado en un contexto real. El extremo superior de una escalera está apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 2 metros. Si forma un ángulo 50º con el suelo, Cuál es el largo de la escalera? Antes de dar respuesta a la pregunta, observa algunas relaciones entre lados y ángulos en la figura anterior. a) Qué lados se involucran en la situación con respecto al ángulo conocido? Qué lado se conoce y por cual están indagando? b) Cuál de las tres razones trigonométricas es la adecuada a utilizar? c) Establece la razón trigonométrica, sustituye por los valores respectivos y soluciona para dar respuesta al interrogante