En este tipo de ecuaciones la incógnita se encuentra formando parte del EXPONENTE DE UNA POTENCIA. Su método de resolución se basa en que si

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1 CAPÍTULO XI ECUACIONES EXPONENCIALES E IRRACIONALES.. ECUACIONES EXPONENCIALES En este tipo de ecuaciones la incógnita se encuentra formando parte del EXPONENTE DE UNA POTENCIA. Su método de resolución se asa en que si y a = a = y por ello para resolver las ecuaciones eponenciales se dee igualar las ases, aplicando las propiedades correspondientes, si ello no es posile la solución se usca por logaritmos. : + + = = (+ ) = + + = + = + = = = : + + :(,) = (,), se convierten las ases en fracciones para hacerlas más manejales + + : =, se igualan las ases + + : = ( ) + ( + ) : = + : = ( + ) = = = = = = =.. ECUACIONES IRRACIONALES Para entender las ecuaciones irracionales, es necesario aclarar ciertos elementos. Función Raiz cuadrada La eistencia de dos o más dominios para una misma imagen en la función cuadrática, o en otras funciones de eponente par, generan que, la inversa de estas deen definirse con mayor precisión, y descartar algunos posiles valores, ajustándolas de manera tal, que cumplan con los requisitos de una función (todos los elementos del dominio tienen un único elemento asociado en el recorrido)

2 En otras palaras, si por ejemplo, graficamos la inversa de la función cuadrática (la función raíz cuadrada), el gráfico sin ajustes seria asi: Aspectos importantes de esta función, es que su dominio son los reales positivos y el cero (NO PUEDEN HABER NÚMEROS NEGATIVOS DENTRO DE UNA RAIZ PAR!!!), y su recorrido son el conjunto de los reales. Con estas definiciones de sus conjuntos, si se cumplen los requisitos para que sea una función. Función valor asoluto Dentro de tanta complicación por los signos, definiremos una función que ayudará a traajar estas raices. Para hacerlo en palaras sencillas, la función valor asoluto es simplemente el número, sin considerar el signo. Se anota de esta forma: f( ) =. Como harás aprendido de capítulos anteriores (esperamos...), este no puede ser el gráfico de una función, pues para un mismo elemento del dominio, tiene elementos del recorrido. Deido a esta situación, se realizo un consenso de lo siguiente: ***LOS RESULTADOS DE UNA RAÍZ PAR SON SIEMPRE POSITIVOS*** Importante, recuerda, raíces PARES!!!. En ase a esto, la modificación del gráfico (y de la función), lo dejaría así: f = = f = = etc... El gráfico de esta función es así: Esta función le daremos solo una utilidad práctica, cuando se tengan funciones inversas (raíces con potencias PARES), de manera tal que se anulen los eponentes, el resultado, será la función valor asoluto. En otras palaras: k k =

3 En la definición anterior, el eponente sería, y por lo tanto, el resultado de la operación sería el mismo número inicial, lo cual generaría contradicciones al evaluar en números negativos. Por eso, al resolver cualquier operación con raíces pares, consideraremos el resultado de esta función como el resultado final. = = = = ( ), =, =,, =, =, En este tipo de ecuaciones la incógnita forma parte de una o más cantidades SUBRADICALES (o sea, estan dentro de una raíz). Por ejemplo: + = es una ecuación irracional, en tanto que + = no lo es, a pesar de que su solución es un número irracional. Al resolver estas ecuaciones, dees siempre considerar lo descrito anteriormente TODA RAÍZ PAR DEBE TENER UN ARGUMENTO (suradical) POSITIVO Y RESULTADO UN NÚMERO POSITIVO. Resolver una ecuación irracional significa encontrar el conjunto solución que la satisface, por eso, al determinar las soluciones de este tipo de ecuaciones, éstas DEBEN SER COMPROBADAS EN LA ECUACIÓN ORIGINAL. + + = + = / + = = Sin emargo ésta NO ES SOLUCIÓN de la ecuación primitiva, pues ( + ), por lo tanto la ecuación tiene como conjunto solución (vacío). Si analizas con atención, verás que, el primer paso de la resolucón de la ecuación muestra la contradicción, pues el resultado de la raíz es un número negativo ( + = ) + + = / + + = + = + = / + = = = Esta solución SI SATISFACE la ecuación primitiva (compruéalo), por lo tanto el conjunto solución de esta ecuación es: S= { }. Nunca hay raíces negativas en la resolución, y todos los argumentos de las raíces tamién son positivos. EJERCICIOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES E IRRACIONALES y 8. Si 8 = +, entonces cuando y = - 8, es igual a: A) 8

4 . La ecuación eponencial 8 =, =? A) Si en la ecuación eponencial + = se hace el camio de variale y = (incógnita auiliar), entonces la ecuación se transforma en: A) y y + = y y + = y + y = y + y + = y y =. Dado que A). =, entonces 8 =. Saiendo que p p y si p + a = p, entonces a =. Si A) a = a : a, entonces el valor de es: +. Dada la ecuación A) 8. Si, =, entonces el valor de es: A) + =,, entonces = A) 9. Si A) 9 = ; entonces 8 = Multiplicación igual ase, se suman los eponentes (división, se restan). 8

5 . El valor de para el cuál se verifica la igualdad A) = es:. Si =, entonces = A). La solución de la ecuación + = es: A). Una cartulina cuadrada de 8 cm. de lado, se corta por la mitad, luego uno de los pedazos se vuelve a cortar por la mitad, y así sucesivamente, cuántos cortes deen hacerse para que el trozo final de la cartulina tenga cm de área? A) 8 8. Si + =, entonces el conjunto solución es: A) {- } {} [-, } {9}. El conjunto solución de la ecuación = es: A) {} {- } {-, } {-, }. Al eliminar los radicales, con el ojeto de resolver la ecuación irracional siguiente + + =, se otiene la ecuación: A) + = ( ) ( + ) = ( ) + = ( ) =. El conjunto solución de la ecuación = es: A) {} {8} {, 8} {} 8. El conjunto solución de la ecuación + + = 8 es: A) {} {8} [, 8] {- } {- 8} 9. Si =, entonces = A) Una raíz es un eponente con fracción. n m n m a = a = a m n 9

6 . La(s) raíz(ces) de la ecuación + = es(son): A) Dos raíces enteras: una positiva y la otra negativa Dos raíces enteras negativas Una raíz entera positiva Una raíz entera negativa Ninguna raíz entera. La(s) solución(es) de la ecuación I. II. III. IV. A) Sólo I Sólo I y II Sólo II y III Sólo II y IV Sólo IV = + es(son):. La ecuación + = tiene eactamente: A) Dos raíces reales Una raíz real y la otra imaginaria Dos raíces imaginarias Ninguna raíz real Una raíz real. En la ecuación A) o o =, el valor de es:. Si + =, entonces el conjunto solución de la ecuación es: A) PAUTA DE EJERCICIOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES E IRRACIONALES. _. _. _. _. _. _ 9. _ 8. _ 9. _. _. _. _ SODOKU. _. _. _. _. _ 8. _ 8 9. _. _. _. _. _. _ Raíces pares deen tener argumentos y resultado positivos. k k =. Con k es un entero