Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Cómputo. Teoría a de Colas. M. En C. Eduardo Bustos Farías

Transcripción

1 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Cómputo Teoría a de Colas M. En C. Eduardo Bustos Farías as

2 Objetivos del Capítulo La distribución Poisson y exponencial. Cumplimiento de las medidas de seguridad para los modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m. Análisis económico de los sistemas de colas Balance de líneas l de ensamble

3 Introducción Se estudian las filas de espera o colas. El objetivo del análisis de colas es diseñar un sistema que permita la organización óptima de acuerdo a alguno criterios. Criterios Posibles: - Ganancia máximam - Nivel de atención n de deseado

4 El análisis de los sistemas de colas requiere de una comprensión n de la medida del servicio apropiada. Posibles medidas del servicio - Tiempo promedio de atención n de clientes - Largo promedio de la cola - La probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en la cola para ser atendido.

5 Elementos del proceso de colas Un sistema de colas consta de tres componentes básicas: - Quien llega: El cliente que llega a la cola para ser atendido de d acuerdo a un patrón n de llegada. -El que espera en la cola: El cliente que llega debe esperar en una o más m s colas por el servicio. -Servicio: El cliente recibe el servicio y abandona el sistema.

6 Proceso de llegada a la cola. - Existen 2 tipos de procesos de llegada: * Proceso de llegada deterministico. * Proceso de llegada aleatoria. - El proceso aleatorio es más m s común n en la empresa. - Bajo tres condiciones, una distribución Poisson puede describir el proceso aleatorio.

7 Las tres condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada Poisson : * Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempo. * Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud. * Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro. - Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas en muchas situaciones.

8 Distribución n de llegada Poisson t) k t e P X = k = λ λ ( ( ) k! Donde: λ = esperanza de llegada de un cliente por unidad de tiempo t = intervalo de tiempo. e = (base del logaritmo natural). k! = k (k -1) (k -2) (k -3) (3) (2) (1).

9 HARDWARE HANK S Un problema que ilustra la distribución Poisson. - Los clientes llegan a Hank s de acuerdo a una distribución Poisson. - Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al local comercial. - Cuál l es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre las 8:00 y las 8:30 de la mañana? ana?

10 0 0 0 SOLUCION Valores de entrada para la Dist. Poisson λ= = 6 clientes por hora. 0 t = 0.5 horas. λ t = (6)(0.5) = PX ( = 21 k) = 3 ( λ t) k λ t e 0 = 3! 2! 1! k0!!

11 La fila de espera. - Factores que influyen en el modelo de colas: * Configuración n de la fila * Tramposos * Contrariedades * Prioridades * Colas Tendem * Homogeneidad.

12 - Configuración n de la fila * Una sola cola de servicio * Múltiples M colas de servicio con una sola fila de espera * Múltiples M colas de servicio con múltiples m filas de espera. * Colas Tendem (sistema de servicios múltiples) m - Tramposos * Corresponden a clientes que se mueven a través s de la cola sin seguir los criterios de avance. - Contrariedades * Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque perciben que esta es demasiada larga.

13 - Reglas de prioridad * Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila. * Estas reglas seleccionan el próximo cliente en ser atendido * Criterios de selección n comúnmente usados: - Primero en entrar primero en salir (FCFS). - Ultimo en entrar primero en salir (LCFS). - Tiempo estimado de atención - Atención n de clientes aleatoria. - Homogeneidad * Una población n homogénea de clientes es aquella en la cual los clientes requieren esencialmente el mismo servicio. * Una población n no homogénea es aquella en la cual los clientes pueden ser ordenados de acuerdo : + A los patrones de llegada + Al tipo de servicio requerido.

14 El proceso de servicio - Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de atención n fijo. - Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención n varía a de acuerdo a la cantidad de clientes. - Cuando el tiempo de atención n varía, a, este se trata como una variable aleatoria. - La distribución n exponencial es usada, en algunos casos, para modelar el tiempo de atención n del cliente.

15 Distribución n exponencial del tiempo de atención f(x) = µe -µx donde µ = es el número de clientes promedio que pueden ser atendidos por período de tiempo. Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que t. P(X t) = 1 - e -µt

16 f(x) Ilustración esquemática de la distribución exponencial Probabilidad de que la atención sea completada dentro de t unidades de tiempo X = t

17 Medida del desempeño o de los sistemas de colas El desempeño o puede ser medido concentrandose en: - Los clientes en la cola - Los clientes en el sistema Los períodos transitorios y estáticos ticos complican el análisis del tiempo de atención. n.

18 Un período transitorio ocurre al inicio de la operación. - Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período de ejecución. Un período estacionario sigue al período transitorio. - En un período estacionario, la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo. - De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las tasas de atención n efectiva. λ< µ λ< µ 1 +µ 2 + +µ +µ κ λ< kµ Para un servidor Para k servidores Para k servidores con tasa se serv. µ cada uno

19 Medida del desempeño o en períodos estacionarios. P 0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist. P n = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema. L = número n de clientes promedio en el sistema. L q = número n de clientes promedio en la cola. W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema. W q = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola. P w = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido. ρ = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).

20 Formulas - Las fórmulas f representan las relaciones entre L, L q, W, y W q. - Estas fórmulas f se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones: * Sistemas de colas simples * Los clientes llegan según n una tasa finita de llegada * El sistema opera bajo las condiciones de períodos estacionarios. L = λ W L q = λ W q L = L q + λ / µ Para el caso de una población n infinita.

21 Clasificación n de las colas. - Los sistemas de colas pueden ser clasificados por: + Proceso de llegada de clientes + Proceso de atención + Número N de servidores + Tamaño o (lineas( de espera finitas/infinitas) + Tamaño o de la población Ejempo: M // M // 6 // 10 // 20 - Notación + M (Markovian( Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de atención n exponencial. +D (Determin( Determinístico) ) = Tasa constante de llegada o de atención +G (General) = Probabilidad general de llegada o de atención

22 Sistema de colas M/M/1 Características - Proceso de llegada Poisson. - El tiempo de atención n se distribuye exponencialmente - Existe un solo servidor - Cola de capacidad infinita - Población n infinita.

23 Medidas del Performance para la cola M / M /1 P 0 = 1-1 (λ / µ) P n = [1 - (λ / µ)] (λ/( µ) n L = λ / (µ - λ) L q = λ 2 / [µ(µ - λ)] W = 1 / (µ - λ) W q = λ / [µ(µ - λ)] P w = λ / µ ρ = λ / µ La probabilidad de que un cliente espere en el sistema más de t es P(X>t)= e-(µ - λ)t

24 Zapatería Mary s Los clientes que llegan a la zapatería Mary s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson. El tiempo de atención n se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente. La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.

25 SOLUCION Datos de entrada λ = 1/ 1 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora. µ = 1/ 1 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora. P 0 = 1- Calculo 1- (λ (λ// µ) µ) = del 1 - performance -(5 (5// 7.5) = P n = [1 [1--(λ (λ// µ)] (λ/ µ) µ) = (0.3333)(0.6667) n L = λ //(µ (µ--λ) = 2 P w = λ / µ = L q = λ 2 //[µ(µ --λ)] = ρ = λ / µ = W = 1 //(µ (µ--λ) = 0.4 horas = 24 minutos W q = λ //[µ(µ --λ)] = horas = 16 minutos

26 µ Datos de entrada para WINQSB λ

27 Medidas de performance Medidas de performance Medidas de performance Medidas de performance Medidas de performance

28

29 Sistema de cola M/M/k Características - Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una esperanza λ. - El tiempo de atención n se distribuye exponencialmente. - Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de µ clientes. - Existe una población n infinita y la posibilidad de infinitas filas.

30 Medidas de Medidas de performance performance P n k k k n k n k = + =!! λ µ λ µ µ µ λ P n P kk P n n n n k = = λ µ λ µ!! 0 0 for n k. P for n > k. n Para n<= k Para n > k

31 ( ) ( ) W k k P k = + λ µ µ µ λ µ ! Las medidas del performance L, L q, W q,, pueden ser obtenidas por las formulas. P k k k P w k = 1 0! λ µ µ µ λ ρ λ = kµ

32 OFICINA POSTAL TOWN La La gerencia oficina desea postal conocer Town las atiende las medidas público p relevantes los Sábados Sal servicio en en orden entre a: a: las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m. La La evaluación del del nivel nivel de de servicio prestado. Datos - En El El promedio, efecto de de reducir 100 el clientes el personal por en en un hora un dependiente. visitan la oficina postal durante este período. La oficina tiene tres dependientes. - Cada atención n dura 1.5 minutos en promedio. - La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de los clientes y el proceso de atención n de estos respectivamente.

33 SOLUCION Se trata de un sistema de colas M / M / 3. Datos de entrada λ = 100 clientes por hora. µ = 40 clientes por hora (60 / 1.5). Existe un período estacionario (λ( < kµ )? λ = 100 < kµ = 3(40) 3 = 120.

34

35

36 Sistemas de colas M/G/1 Supuestos - Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con esperanza λ. El tiempo de atención n tiene una distribución n general con esperanza µ. Existe un solo servidor. - Se cuenta con una población n infinita y la posibilidad de infinitas filas.

37 Formula para L de Pollaczek - Khintchine. L = ( ) 2 λσ + λ µ 2 1 λ µ 2 + λ µ - Nota : No es necesario conocer la distribución n particular del tiempo de atención. n. Solo la esperanza y la desviación n estándar son necesarias.

38 TALLER DE REPARACIONES TED Ted repara televisores y videograbadores. Datos - El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de 2.25 horas. - La desviación n estándar del tiempo de reparación n es de 45 minutos. - Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribución Poisson. - Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes. - El compra todos los repuestos necesarios. + En promedio, el tiempo de reparación n esperado debería ser de 2 horas. + La desviación n estándar esperada debería a ser de 40 minutos.

39 Ted desea conocer los efectos de usar nuevos equipos para: Mejorar el el tiempo promedio de reparación de los artefactos; Mejorar el el tiempo promedio que debe esperar un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

40 SOLUCION Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atención no es exponencial pues σ 1/µ). Datos Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos) λ = 1/ = 0.4 clientes por hora. µ = 1/ = clientes por hora. σ = 45/ 60 = 0.75 horas. Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos) µ = 1/21 2 = 0.5 clientes por hora. σ = 40/ 60 = horas.

41 Sistemas de colas M/M/k/F Se deben asignar muchas colas, cada una de un cierto tamaño o límite. l Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de cola infinito entrega un resultado exacto, aunquede todas formas la cola debe ser limitada. Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe estimar un límite l para la fila en el modelo.

42 Características del sistema M/M/k/F - La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson con una esperanza λ. - Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención n se distribuye exponencialmente, con esperanza µ. El número n máximo m de clientes que puede estar presente en el sistema en un tiempo dado es F. - Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra completo.

43 Tasa de llegada efectiva. - Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo. - La probabilidad de que el sistema se complete es P F. - La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes en el sistema (λ e ). λ e = λ(1 - P F )

44 COMPAÑÍ ÑÍA A DE TECHADOS RYAN Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman ordenan su servicio. Datos - Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas l telefónicas. - Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio - En promedio, diez clientes llaman a la compañí ñía a cada hora.

45 Cuando una línea l telefónica esta disponible, pero la secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,el cliente debe esperar en línea l hasta que la secretaria este disponible. Cuando todas las líneas l están n ocupadas los clientes optan por llamar a la competencia. El proceso de llegada de clientes tiene una distribución Poisson,, y el proceso de atención n se distribuye exponencialmente.

46 La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con: - La menor cantidad de líneas l necesarias. - A lo más m s el 2% de las llamadas encuentren las líneas l ocupadas. La gerencia esta interesada en la siguiente información: n: El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada. EL número n promedio de clientes que están n es espera. El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea l esperando ser atendidos. El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas l ocupadas.

47 SOLUCION Se sistema trata de M un M / M / sistema M / 1 / 1 / 5 / 4 M / M / 1 / 3 Datos de entrada λ = 10 por hora. µ = 20 por hora (1/ 3 por minuto). WINQSB entrega: P , , = 0.533, , P 1 = 0.133, 0.065, P = 0.508, P 1 = 0.254, P 2 = 0.127, P = 0.063, P 3 4 = P 5 = % 1.6% 3.2% de de los clientes cltes. clntes. encuentran encuentran las las linea líneas las ocupadas líneas l ocupadas La ocupadas. meta Aún del se puede 2% puede alcanzar ser alcanzada. la meta del 2% Esto es alrededor de la meta del 2%.

48 Otros resultados de WINQSB Con 5 líneas telefónicas 4 clientes pueden esperar en línea Datos de entrada para WINQSB

49

50 Sistemas de colas M/M/1//m En este sistema el número n de clientes potenciales es finito y relativamente pequeño. Como resultado, el número n de clientes que se encuentran en el sistema corresponde a la tasa de llegada de clientes. Características - Un solo servidor - Tiempo de atención n exponencial y proceso de llegada Poisson. - El tamaño o de la población n es de m clientes (m finito).

51 CASAS PACESETTER Casas Pacesetter se encuentra desarrollando cuatro proyectos. Datos - Una obstrucción n en las obras ocurre en promedio cada 20 días de trabajo en cada sitio. - Esto toma 2 días d en promedio para resolver el problema. - Cada problema es resuelto por le V.P.. para construcción Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra operativo? -Con 2 días d para resolver el problema (situación n actual) -Con días d para resolver el problema (situación n nueva).

52 SOLUCION Se trata de un sistema M/M/1//4 Los cuatro sitios son los cuatro clientes El V.P.. para construcción n puede ser considerado como el servidor. Datos de entrada λ = 0.05 (1/ 20) µ = 0.5 (1/ 2 usiando el actual V.P). µ = (1/ usando el nuevo V.P).

53 Resultados obtenidos por WINQSB Medidas del del V.P V.P V.P V.P Performance Actual Actual Nuevo Nuevo Tasa efectiva del del factor de de utilización del del sistema ρ 0,353 0,334 Número promedio de de clientes en en el el sistema L 0,467 0,435 Número promedio de de clientes en en la la cola cola Lq Lq 0,113 0,100 Número promedio de de dias dias que que un un cliente esta esta en en el el sistema W 2,641 2,437 Número promedio de de días días que que un un cliente esta esta en en la la cola cola Wq Wq 0,641 0,562 Probabilidad que que todos los los servidores se se encuentren ociosos Po Po 0,647 0,666 Probabilidad que que un un cliente que que llega llega deba esperar en en el el sist. sist. Pw Pw 0,353 0,334

54 Análisis económico de los sistemas de colas Las medidas de performance anteriores son usadas para determinar los costos mínimos m del sistema de colas. El procedimiento requiere estimar los costos tales como: - Costo de horas de trabajo por servidor - Costo del grado de satisfacción n del cliente que espera en la cola. -Costo del grado de satisfacción n de un cliente que es atendido.

55 SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS Wilson Foods tiene un línea l 800 para responder las consultas de sus clientes Datos - En promedio se reciben 225 llamadas por hora. Que - Una llamada cantidad toma de aproximadamente representantes 1.5 minutos. - Un cliente para debe la la esperar atención línea l de a los más mclientes s 3 minutos. -A A un representante deben que atiende a un cliente se le paga $16 ser usados para minimizar por hora. -Wilson paga el el costo a la compañí de las ñía a telefónica horas de $0.18 operación? por minuto cuando el cliente espera en línea l o esta siendo atendido. - El costo del grado de satisfacción n de un cliente que espera en línea es de $20 por minuto. -El costo del grado de satisfacción n de un cliente que es atendido es de $0.05.

56 Costo total por horas de trabajo de k representantes para la atención de clientes SOLUCION Costo total del modelo Total horas para sueldo Costo total del grado de satisfacción de los clientes que permanecen en línea CT(K) = C w k + C t L+ g w L q + g s (L - L q ) Costo total de las llamadas telefónicas Costo total del grado de satisfacción de los clientes que son atendidos CT(K) = C w k + (C t + g s )L + (g w -g s )L q

57 Datos de entrada C w = $16 C t = $10.80 por hora [0.18(60)] g w = $12 por hora [0.20(60)] g s = $0.05 por hora [0.05(60)] Costo total del promedio de horas TC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 ) = 16K + (10.8+3)L + (12-3)L q = 16K L + 9L = 16K L + 9L q

58 Asumiendo una distribución n de llegada de los clientes Poisson y una distribución n exponencial del tiempo de atención, n, se tiene un sistema M/M/K λ = 225 llamadas por hora. µ = 40 por hora (60/ 1.5). El valor mínimo m posible para k es 6 de forma de asegurar que exista un período estacionario (λ<k( <Kµ). WINQSB puede ser usado para generar los resultados de L, L q, y W q.

59 En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10. K L Lq Wq CT(K) 6 18, ,5 0, ,62 7 7,6437 2,0187 0, ,62 8 6,2777 0,6527 0, ,50 9 5,8661 0,2411 0, , ,7166 0,916 0, ,70 Conclusión: se deben emplear 8 rep para la la atención de clientes

60 Sistemas de colas Tandem En un sistema de colas Tandem un cliente debe visitar diversos servidores antes de completar el servicio requerido Se utiliza para casos en los cueles el cliente llega de acuerdo al proceso Poisson y el tiempo de atención se distribuye exponencialmente en cada estación. Tiempo promedio total en el el sistema = suma de todos los tiempo promedios en las estaciones individuales

61 COMPAÑÍ ÑÍA A DE SONIDO BIG BOYS Big Boys vende productos de audio. El proceso de venta es el siguiente: - Un cliente realiza su orden con el vendedor. - El cliente se dirige a la caja para v cancelar su pedido. - Después s de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para obtener su producto.

62 Datos de la venta de un Sábado S normal - Personal + 8 vendedores contando el jefe + 3 cajeras + 2 trabajadores de empaque. - Tiempo promedio de atención Cuál l es la la cantidad promedio de tiempo,, que un cliente que viene a comprar + El tiempo promedio que un vendedor esta con un cliente es demora 10 minutos. en el el local? + El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de 3 minutos. + El tiempo promedio en el área de empaque es de 2 minutos. -Distribución + El tiempo de atención en cada estaci exponencialmente. Solomante 75% de los clientes que llegan hacen una compra n en cada estación n se distribuye + La tasa de llegada tiene una distribución Poisson de 40 clientes por hora.

63 SOLUCION Estas son las tres estaciones del sistema de colas Tandem M / M / 2 M / M / 8 M / M / 3 λ = 30 λ = 40 W 1 = 14 minutos λ = 30 W 2 = 3.47 minutos 2.67 minutos Total = minutos.

64 Balance de líneas l de ensamble Una línea l de ensamble puede ser vista como una cola Tande,, porque los productos deben visitar diversas estaciones de trabajo de una secuencia dada. En una línea l de ensamble balanceada el tiempo ocupado en cada una de las diferentes estaciones de trabajo es el mismo. El objetivo es maximizar la producción

65 COMPAÑÍ ÑÍA A DE MAQUINAS Mc MURRAY Mc Murray fabrica cortadoras de césped c y barredoras de nieve. La operación n de ensamble de una cortadora consta de 4 estaciones de trabajo. El tiempo máximo m en cada estación n de trabajo es de 4 minutos. De este modo, el número n máximo m de cortadoras que pueden ser producidas es de 15 por hora. La gerencia desea incrementar la productividad mejorando el balance de las líneas l de ensamble.

66 Datos Tiempo Estacion Operaciones Prom. (min) 1 Montar cuerpo y y mango de de la la cort; cort; Colocar barra de de ctrol ctrol en en el el mango 2 2 Ensamblar motor en en el el cuerpo;colocar interruptor;cuchillas;etc; Fijar Fijar mango, barra de de control, cables, lubricar 3 4 Conectar barra de de control; montar luz;inspección de de calidad; embalar 3 La operación n completa toma 12 minutos La estación n 2 es una

67 SOLUCION Existen diversas opciones de balance para las líneas l de ensamble. - Probar con un esquema de operaciones que ocupe el total de los 3 minutos asignados a cada estación n de trabajo. - Asignar trabajadores ala estación n de trabajo de manera tal de balancear la salidas de la estación - Asignar múltiples m estaciones de trabajo para ejecutar cada una de las operaciones.

68 -Usar técnicas t de optimización, para minimizar la cantidad de tiempo ocioso de las estaciones de trabajo. - Usar heurísticas tales como Técnica de clasificación n de posiciones según n el peso para encontrar el menor número n de estaciones de trabajo necesarias para satisfacer las especificaciones del ciclo de tiempo.

69 Técnica de clasificación n de posiciones según n el peso. 1. Para cada tarea encuentre le tiempo total para todas las tareas de las cuales esta es un predecesor. 2. Clasifique las tareas en orden descendiente según n el tiempo total. 3. Considere la estación n de trabajo 1 como la estación n actual. 4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares inferiores de la clasificación n si cumplen con las siguientes condiciones: + La tarea no ha sido asignada anteriormente. + El tiempo de la estación n actual no excede el tiempo deseado para el ciclo. 5. Si la segunda condición n del paso 4 no se cumple, designe una nueva estación n como la estación n actual, y asigne tareas a esta. 6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas hayan sido asignadas a alguna estación n de trabajo.

70 Mc Murray - Continuación La demanda por las cortadoras de césped c ha subido, y como consecuencia el ciclo de tiempo programado debe ser menor que los 3 minutos programados. Mc Murray desea balancear la línea l usando la menor cantidad de estaciones de trabajo.

71 Datos Tareas que se requieren para fabricar una cortadora de céspedc Tareas Siguente tarea tarea Tiempo estim A--Colocar el el cuerpo de de la la cortadora ***** ***** B--Colocar el el mango de de la la cortadora ***** ***** C--Ensamblar el el motor al al cuerpo de de la la cortad A D--Colocar el el interruptor A E--Colocar rueda izquierda y y asgurarla C F--Colocar rueda derecha y y asegurarla C G--Lubricar cortadora E H--Colocar cuchillas C I--Colocar cables conectores del del motor F, F, G J--Colocar cable cable que que une une barra barra de de control con con II K--Montar luces luces H L--Colocar barra barra de de control en en el el mango B M--Colocar mango L N--Colocar cales cales conectores del del mango M Colocar cables conectores de de la la barra barra de de c c ****** ****** P--Probar cortadora D, D, J, J, K, K, O Q--Embalar cortadora P 60 60

72 SOLUCION Tareas Tiempo Tareas predecesoras TiempoTotal Clasific A C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q B L,M,N,O,P,Q C E,F,G,H,I,J,KP,Q D P,Q P,Q E G,I,J,P,Q F I,J,P,Q G I,J,P,Q ,5 6,5 H K,P,Q ,5 12,5 II J,P,Q JJ P,Q P,Q K P,Q P,Q L M,N,P,O,Q ,5 6,5 M N,O,P,Q N O,P,Q O P,Q P,Q ,5 12,5 P Q Q *********

73 Pasos 1 y 2 Tareas seleccionadas según n clasificación Tareas Tiempo Tareas predecesoras Tiempo Total Total Clasific. A C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q B L,M,N,O,P,Q C E,F,G,H,I,J,KP,Q D P,Q P,Q E G,I,J,P,Q F I,J,P,Q ,5 6,5 G I,J,P,Q ,5 6,5 H K,P,Q II J,P,Q JJ P,Q P,Q K P,Q P,Q L M,N,P,O,Q ,5 12,5 M N,O,P,Q ,5 12,5 N O,P,Q O P,Q P,Q P Q Q **** ****

74 Paso 3 y 4 Estación Clasific Tarea Tiempo Tiempo Total TotalTiempo Ocios 1 1 A Ciclo Cde tiempo actual = Este Bse debe reducir a 160, E Negativo 2 4 moviendo E K de 65 la estac a la estación 5. Asignción de de Estaciones de de trabajo para para la la producción de de Cortadoras Estación Tareas Tiempo TotalTiempo Ocios. 1 A,B,C E,F,G I,L,M,N D,H,J,K P,Q P,Q Diseñado por Rubén n Soto T. Diciembre de 1998.