Impulso, Trabajo y Energía

Transcripción

1 Taller de Enseñanza de Física 2011 en su XXVII aniversario Impulso, Trabajo y Energía 1- Estados y Procesos En este punto del curso ya conocemos la descripción del movimiento de un objeto (cinemática) y la relación entre ese movimiento y las acciones del entorno sobre ese objeto (dinámica). Conocemos las tres leyes de Newton y las aplicamos a objetos modelizables como partículas con masa. El presente tema (Impulso, Trabajo y Energía) se inscribe en el mismo marco teórico. O sea: no hay nada nuevo en lo básico, los principios siguen siendo las leyes de Newton. Pero vamos a definir nuevos conceptos que nos van a permitir entender mejor la dinámica y usarla más eficientemente para resolver ciertos problemas. De paso, esas nuevas ideas resultan muy útiles para lo que resta del curso, en especial en Termodinámica. Las leyes de Newton hablan de lo que ocurre en cada instante de tiempo. Recordemos que un instante significa un momento determinado, sin transcurso de tiempo. Es, si se quiere, una foto. Los distintos conceptos que hemos manejado se refieren a cada instante: la aceleración en un instante es la tasa de cambio de la velocidad en ese instante, la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de un objeto en un instante es igual a la fuerza total del entorno en ese instante, etc. Ahora, en cambio, nos vamos a concentrar en colecciones de instantes sucesivos. O sea, ahora vamos a concentrarnos en la película. La idea de foto, o instante, es importante para entender el concepto de estado. El estado de un sistema físico en cierto instante es el valor de las cantidades que nos dicen cómo está el sistema en ese instante. Qué cantidades caracterizan al estado de un objeto depende del modelo usado: para problemas de mecánica una persona puede ser una partícula con masa, y las cantidades relevantes son la masa, la posición, la velocidad o la cantidad de movimiento. En cambio, si lo que nos interesa es hacer un análisis clínico, seguramente nos interesarán cantidades como la temperatura corporal, las presiones máxima y mínima o la cantidad de glóbulos rojos por centímetro cúbico de sangre. Dado el modelo, las cantidades que definen el estado en un dado instante se denominan variables de estado. Algunas de ellas pueden ponerse en función de otras; en ese caso hablamos de funciones de estado. La idea de película, o sucesión de instantes, o intervalo, es importante para entender el concepto de proceso. Un proceso es el resultado neto de una acción del entorno a lo largo de todo el intervalo entre dos estados. Pensemos en un changuito de supermercado. Sobre él actúan el cliente, la Tierra y el piso del supermercado. En cada instante, la acción de cada uno de esos objetos se modeliza como una fuerza, al menos en problemas de dinámica (en termodinámica veremos otras acciones). Pero supongamos que nos interesa estudiar lo que le ocurre al changuito desde el principio hasta el final de una góndola. Al principio (un instante) el changuito estará en cierto estado: tendrá cierta cantidad de movimiento y cierta posición. Al final su estado será distinto. Ese cambio se debe a que entre esos instantes actuaron tres fuerzas. La idea es definir cantidades que representen de algún modo qué hicieron esas fuerzas a lo largo del intervalo (a esas cantidades les llamaremos procesos) y vincular esas cantidades con el cambio del estado del objeto de estudio. 2- Segunda Ley de Newton en un intervalo de tiempo Recordemos la segunda ley:

2 d P Σ F (1) dt Esa igualdad se da en cada instante de tiempo. O sea, la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de un objeto en un instante es igual a la fuerza total actuando sobre el objeto en ese instante. Cuánto cambia la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo (muy corto) dt? Bueno, ese cambio será d P= d P dt (2) dt Usando la segunda ley de Newton, tendremos entonces: d P= Σ F dt (3) Si ahora miramos el cambio de P entre un instante inicial y otro final, este será la suma de los cambios en cada intervalo: d P 1 +d { P 2... d P N = P f P i (4) donde N es muy grande (de manera que el intervalo de tiempo está dividido en intervalos muy cortos). Usando (3): Σ F 1 dt 1 Σ F 2 dt 2... Σ F N dt N P f P i (5) Veamos qué tenemos en la expresión 5. Usamos el igual físico porque, al igual que en la segunda ley de Newton, el lado derecho corresponde al estado del objeto y el lado izquierdo a las acciones del entorno. Pero a diferencia de aquella, en la expresión (5) se considera todo un intervalo de tiempo. Del lado derecho tenemos el cambio de estado entre los instantes final e inicial, A la izquierda, en cambio, se considera la acción de la fuerza total a lo largo de todo el intervalo. Por lo tanto, se trata de un proceso. Acá aparece entonces por primera vez la vinculación entre procesos y cambios de estado. Como cosa formal todo esto está muy bien, pero uno puede preguntarse, llegado el caso, cómo calcula en la práctica algo como el lado izquierdo de (5). La forma de hacerlo es puramente matemática, y la repasamos en la próxima sección. 3- La Regla de Barrow Supongamos que tenemos una función de x, y que nos piden calcular, entre x i y x f la siguiente cantidad: f x 1 dx 1 +f x 2 dx f x N dx N (6) en el límite en que N es arbitrariamente grande (o sea, los intervalos dxi son arbitrariamente pequeños). Para poder calcularla, empecemos por interpretarla. A la izquierda ponemos como ejemplo una función cualquiera y dos valores de N: 4 (Caso A) y 18 (Caso B). El valor de f(x i ) es la altura del rectángulo correspondiente, y dx i es el ancho. Por lo tanto, cada término en (6) es el área del rectángulo, y la suma (6) es el área total de todos los rectángulos. En el límite en que se usan infinitos rectángulos infinitamente pequeños, la suma (6) termina dando el área bajo la curva, como se muestra en el Caso C. Esta operación recibe el nombre de integral definida,

3 cuya definición formal es la siguiente: f x dx= lim N [ f x 1 dx 1 +f x 2 dx 2...+f x N dx N ] (7) Es decir que cada vez que hablemos de la integral definida de una función vamos a estar hablando del límite de la parte derecha de (7) o, lo que es lo mismo, del área bajo la curva. Si bien ahora entendemos mejor el significado de la operación involucrada en el lado izquierdo de (5), no estamos más cerca que antes de ser capaces de calcularlo en la práctica. Para hacer cálculos de verdad, lo que falta es conectar las integrales con las derivadas. Supongamos que G(x) es tal que f x = dg (8) dx O sea, la función f(x) que queremos integrar es la derivada de G(x). A una función tal se le llama primitiva o integral indefinida. Reemplacemos entonces (8) en (7): f x dx=dg 1 +dg 2...+dG N (9) Pero el lado derecho de (9) es el cambio total de G, por lo que (9) puede expresarse: f x dx=g x f G x i (REGLA DE BARROW) Esta es la manera de calcular el área bajo la curva: se halla una primitiva (o sea, la integral indefinida) y se la evalúa en los extremos de integración. Es importante recordar que, si bien en la práctica uno se limita a hacer un cálculo que involucra los extremos del intervalo, la integral definida es una operación que tiene en cuenta lo que le pasa a la función en todo el intervalo. Por eso es una herramienta matemática apropiada para definir procesos. 4- Impulso y Cantidad de Movimiento Vean que, a esta altura, podemos reescribir (5) como: Σ F dt Δ P (10) (es un buen ejercicio verificar eso). Como mencionamos, el lado izquierdo es un proceso: representa la acción de la fuerza total a lo largo de todo el intervalo de tiempo. Esto motiva la siguiente definición: Dada una fuerza F, un instante inicial t i y un instante final t f, se define el impulso asociado a esa fuerza y a ese intervalo como: I F = F dt (DEFINICIÓN DE IMPULSO) El impulso es, entonces, un proceso. Se ve también que se trata de un vector. Es muy importante notar que puede calcularse, en principio, el impulso de fuerzas individuales. Volviendo al ejemplo del changuito en el supermercado, si conocemos la fuerza que el cliente hace sobre el changuito en cada instante de tiempo, podemos calcular el impulso de esa fuerza en el intervalo considerado. Lo mismo vale para cualquiera de las otras dos.

4 Con esta definición, vemos que el lado izquierdo de (10) es el impulso de la fuerza total sobre el objeto de estudio. Por lo tanto, podemos escribir (10) en la forma I Σ F Δ P (Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento) O también Σ I Δ P (Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento) En la expresión de abajo la suma es sobre los impulsos de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto de estudio. Es buena idea constatar por qué las dos expresiones son equivalentes. Observemos que el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento usa el igual físico. Eso se debe a que lo que hay de fondo sigue siendo la segunda ley de Newton, solo que ahora en vez de referirse a un instante de tiempo se refiere a todo un intervalo. Tambien se ve clarísimamente cómo se relaciona un proceso (el impulso de la fuerza total) con un cambio de estado (el cambio de la cantidad de movimiento). 5- Trabajo y Energía Cinética Así como integrando una fuerza respecto del tiempo se obtiene el proceso impulso, puede definirse otro proceso interesante si la fuerza es integrada respecto de la distancia recorrida. En la figura de la izquierda representamos una trayectoria seguida por un objeto (modelizado como partícula con masa). Le llamamos s a la distancia recorrida. El movimiento parte, entonces, de s=0, y termina en s=l, donde L es el largo de la trayectoria. En la misma figura mostramos la fuerza F en algún punto de la trayectoria (para algún valor de s) y graficamos para el mismo punto un eje correspondiente a la dirección del movimiento. Consideremos, entonces, la función que, para cada valor de s, da la componente de la fuerza en la dirección del movimiento, que llamaremos F s (para el punto marcado en la figura F s es negativo). Podemos escribir esa función como: F s s que es una función como cualquier otra, una función en la que la variable es s. Definimos entonces el trabajo de F como: L F = F s s ds (DEFINICIÓN DE TRABAJO)

5 El trabajo es, claramente, un proceso. Pero, a diferencia del impulso, es un escalar y no un vector. Si usando la definición de impulso y la segunda ley de Newton se llegaba a la conclusión de que el impulso de la fuerza total es igual al cambio de la variable de estado cantidad de movimiento, uno se pregunta si el trabajo de la fuerza total no causará un cambio de alguna otra variable de estado. La respuesta es un enfático sí, como se demuestra a continuación. Calculemos el trabajo de la fuerza total sobre un objeto de estudio. L ΣF = ΣF s s ds (por definición de trabajo) d P dt s ds (por la segunda ley de Newton) = d m v dt s ds (por definición de P) (11) = mv s dv s (reagrupando y haciendo cambio de variable, suponiendo m constante) = m 2 v 2 sf m 2 v 2 si (por regla de Barrow) Teniendo en cuenta que la velocidad está en la dirección de movimiento, la componente de la velocidad en esa dirección es la rapidez. Por lo tanto, si definimos E c = m v 2 (DEFINICIÓN 2 DE ENERGÍA CINÉTICA) Podemos escribir (11) como: L ΣF ΔE c (Teorema del Trabajo y la Energía Cinética) Los paralelos entre los dos teoremas (impulso y cantidad de movimiento por un lado, trabajo y energía cinética por otro) son muy claros: un proceso ligado a la fuerza total del entorno en el intervalo termina siendo igual al cambio de una función de estado. Definiciones alternativas de trabajo En los textos con frecuencia el trabajo se define de otras maneras equivalentes, una vez que se hacen las salvedades del caso. La primer diferencia es el empleo del símbolo W (en lugar de nuestra L). Se usa W por Work ( trabajo en inglés) y no es por chauvinismo que no nos plegamos a su uso, sino porque más adelante vamos a usar la W para otro tipo de trabajo (sobre sistemas que no son partículas). L viene de lavoro, o si quieren, de laburo, y la usamos para representar el trabajo mecánico, sobre partículas con masa. Otra notación que aparece en los textos es:

6 W= F. d r (Definición Alternativa 1) donde F.d r es el producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento infinitesimal. El producto escalar entre dos vectores se define como: A. B =A x B x +A y B y +A z B z (Definición del Producto Escalar) Puede demostrarse que esto es equivalente a: A. B= A B cos α (Propiedad del producto escalar) donde α es el ángulo entre los vectores. Esta propiedad motiva esta otra definición de trabajo, también frecuente en los libros de texto: W= F d r cos α (Definición Alternativa 2) En ambas definiciones alternativas la variable de integración está implícita. En la alternativa 1 suele usarse alguna de las coordenadas, poniendo las demás en función de esa. En la alternativa 2 es claro que el módulo del desplazamiento infinitesimal es una distancia recorrida infinitesimal. Observando que el módulo de F por el coseno del ángulo entre F y la dirección del desplazamiento es la componente de F en la dirección de movimiento, se recupera la definición que dimos en este apunte. 6- Procesos y Cambios de Estado Los dos teoremas que hemos visto emplean un esquema general que va a volver a aparecer cuando tratemos la termodinámica. Ese esquema, más allá de las fórmulas, tiene una interpretación física que es central en esta materia. La idea es que tenemos un objeto de estudio (no necesariamente modelizado como partícula) sobre el que actúa el entorno. El objeto de estudio tiene una frontera, que permitirá algunas interacciones e impedirá otras. Suponiendo que las distintas partes del objeto de estudio estén en equilibrio entre sí, el objeto de estudio no podrá cambiar de estado a menos que el entorno accione netamente sobre él. Es decir, un sistema en equilibrio interno 1 y aislado no cambia de estado. Por otro lado, el cambio de variables (funciones) de estado va a estar dado por la suma de todos los procesos de cierto tipo que el entorno produce entre estado y estado. Así, por ejemplo, una partícula aislada no cambia de estado; para cambiar de estado deberá haber un impulso total no nulo del entorno. 7- Fuerzas Conservativas En esencia, el Teorema del Trabajo y la Energía es todo lo que hay para decir sobre el tema. Sin embargo, hay ciertas fuerzas especiales para las que ese teorema se puede reescribir de manera que las cosas resulten aún más interesantes. Veamos que, en general, el trabajo que hace una fuerza al mover el objeto de estudio de una posición a otra depende de los detalles de cómo nos movamos, e incluso de cosas más variables. Por ejemplo, el trabajo de la fuerza que hace un changarín sobre la bolsa que transporta depende de las ganas que tenga de apurarse, de lo cansado que está o de cuánto odie a sus patrones. Para casi todas las fuerzas el trabajo es algo bastante complejo y dependiente de muchos detalles de cómo ocurren las cosas, y esa es 1 El concepto de equilibrio interno (entre partes del objeto de estudio) no tiene sentido en dinámica de partículas, donde por definición los objetos de estudio no tienen partes. Pero será de gran importancia en termodinámica.

7 la razón por la que el concepto de proceso resulta tan relevante. Si el trabajo dependiese solo de las posiciones inicial y final, uno podría hacer las cosas como si se tratase de un cambio de estado. Ocurre que para un selecto club de fuerzas (las que llamaremos conservativas) este es precisamente el caso: el trabajo sólo depende de las posiciones inicial y final y, por lo tanto, puede calcularse como el cambio de cierta función. El ejemplo más clásico es la fuerza que hace la Tierra sobre los objetos (el popular peso ). Supongamos que bajamos por una rampa como la mostrada: la componente del peso en la dirección del movimiento es F TS = F T cos a Como el peso es constante a lo largo de todo el movimiento, el trabajo del peso será L= F T cos a D Pero D cos a es el cateto sobre el eje y, que escrito en términos de la coordenada y es simplemente Δy. En este caso Δy es positivo, así que el trabajo del peso es positivo. Si ahora suponemos que subimos, la componente del peso en la dirección del movimiento es: F TS = F T cos a por lo que el trabajo puede expresarse como: L= F T cos a D y, nuevamente, D cos a es Δy. Δy, en este caso, es negativo, por lo que el trabajo del peso es negativo. O sea que en ambos casos el trabajo tiene signos opuestos, pero puede escribirse de la misma manera: L= mgδy (12) Vean que (12) sólo depende de los valores inicial y final de la coordenada y, y no de la pendiente de la rampa. En particular, es facil ver que (12) es el trabajo del peso al subir o bajar verticalmente esa misma altura. Como cualquier camino puede pensarse como formado por infinidad de estas rampitas (a la derecha mostramos un camino aproximado por trece rampitas), la expresión (12) es el trabajo del peso por caminos de cualquier forma. O sea, y como prometimos, el trabajo depende sólo de las posiciones inicial y final. Tomando otra vez el ejemplo de la figura de la derecha, al ir de A a C el trabajo del peso es la suma de los trabajos en las infinitas rampitas, lo que da (12). Pero también es igual al trabajo del peso por el camino ABC; en el camino AB el peso es perpendicular al desplazamiento, así que el trabajo es cero, y al ir de B a C es claramente (12). Esto que ocurre con el peso ocurre con muy pocas fuerzas (comparen con el trabajo de una superficie con roce) y es la propiedad que confirma al peso como fuerza conservativa. Definamos entonces una función tal que su cambio permita calcular el trabajo del peso. Tal función recibe el nombre de Energía Potencial Gravitatoria, y puede escribirse como:

8 E pg =mgy, y positivo hacia arriba (DEFINICIÓN DE ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA) Con esta definición, y usando (12), podemos ver que: L FC = ΔE p (SIGNIFICADO DE LA ENERGÍA POTENCIAL) Esa es la relación que le da sentido a la energía potencial: las fuerzas conservativas son aquellas para las que se puede definir una función (que llamamos energía potencial de esa fuerza) tal que el trabajo de esa fuerza es menos el cambio de la función. 8- La Energía Mecánica Hay dos tipos de fuerza: las que son conservativas y las que no. Esta observación aparentemente trivial permite reescribir el teorema de la conservación de la energía de un modo muy sugerente. Por empezar, observemos que el trabajo total puede escribirse como la suma del trabajo de las conservativas y el de las no conservativas, por lo que el teorema del trabajo y la energía puede ponerse como: L FC +L FNC =ΔE c Pero el trabajo de las fuerzas conservativas puede expresarse en términos de la energía potencial: lo que puede reescribirse como: ΔE p +L FNC =ΔE c ΔE c +ΔE P =L FNC (13) Si definimos una nueva funcion de estado, la energía mecánica, como la suma de las energías potencial y cinética: E M =E P +E C (DEFINICIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA) Entonces (13) puede reescribirse como: ΔE M =L FNC ([posible] CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA) Fíjense que esto significa que, si las fuerzas no conservativas hacen trabajo nulo, la energía mecánica se conserva (al final del proceso vale lo mismo que al principio). Esta es la razón por la que las fuerzas conservativas se llaman así. En ausencia de fuerzas no conservativas, la energía cinética y cada una de las potenciales irán cambiando de valor, pero la suma permanece constante. En no pocos textos eso se interpreta como que unas energías se transforman en otras, afirmación que puede llevar a equívocos. En todo caso, acuérdense que lo que hay detrás de ese tipo de afirmaciones es el teorema del trabajo y la energía cinética. 9- Más sobre la energía potencial

9 Ya vimos que si conocemos una fuerza, y esta resultara ser conservativa, podemos hallar una función energía potencial vinculada a ella y que permite calcular el trabajo de esa fuerza. Una pregunta que uno podría hacerse es: dada una función de energía potencial Puede uno calcular la fuerza asociada? Dado que la energía potencial es, en cierto modo, una integral de la fuerza, uno esperaría que la fuerza sea alguna clase de derivada del potencial. Y así es. Este aspecto (hallar cantidades importantes a partir de calcular ciertas derivadas de un potencial ) lo vamos a volver a encontrar en termodinámica. Supongamos que tenemos una fuerza conservativa en un punto Q, y queremos saber cómo va a ser la energía potencial en una región muy pequeña alrededor de ese punto (lo bastante pequeña como para suponer que la fuerza es constante en ella). En la figura de la derecha se ilustra un ejemplo. Como la fuerza es conservativa, el potencial existe y su cambio entre dos puntos será menos el trabajo de la fuerza para ir de un punto al otro. Supongamos que nos desplazamos en un vecror muy pequeño dr, muy pequeño. El cambio de E p será entonces de p = F d r cos α donde α es el ángulo entre los dos vectores (porque el módulo de la fuerza por el coseno de α es la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento). Si el ángulo es de 90 grados, entonces, la fuerza no hace trabajo, y por lo tanto la energía potencial no cambia. Por otra parte, si se va en contra de la fuerza el aumento del potencial es el máximo posible. Vemos así que la fuerza es, precisamente, la opuesta del gradiente de la energía potencial. Qué tiene que ver el gradiente con las derivadas? Muchísimo. Para verlo, escribamos explícitamente cómo es la energía potencial alrededor de Q. Supongamos que Q está en la posición (x 0, y 0 ). Como el trabajo para ir de ese punto al punto (x, y) es independiente del camino, podemos calcular primero el trabajo de la fuerza si nos movemos en el eje x manteniendo y fijo, y después hacer lo opuesto. El trabajo de la fuerza a lo largo de x será (recuerden que es un desplazamiento tan chico que la fuerza no cambia) la componente x de la fuerza por el cambio de x, y el trabajo en y será la componente y por el cambio en y. Por lo tanto: E p x,y ~ E p x 0, y 0 F x x x 0 F y y y 0 Si la expresión de arriba la derivamos respecto de x dejando y fijo (esa operación se llama derivada parcial respecto de x) nos queda Haciendo lo propio para y, obtenemos: E p x = F x E p y = F y De esta manera, si conocemos un potencial podemos calcular la fuerza asociada. Como hasta el momento conocemos un único potencial (la energía potencial gravitatoria) sólo tenemos

10 un ejemplo a mano. Usémoslo. A partir de la energía potencial gravitatoriacalculemos las componentes de la fuerza que la Tierra hace sobre un objeto de masa m: P x = mgy =0 x P y = mgy = mg y que son efectivamente las componentes del peso en el sistema de coordenadas en el que se definió la función energía potencial (eje y vertical, positivo hacia arriba). Esto nos permite una nueva forma de averiguar si una dada fuerza es o no conservativa: si podemos hallar una función cuyo gradiente sea menos la fuerza existe tal potencial y por lo tanto el trabajo es independiente del camino. Pongamos como ejemplo la fuerza elástica: F e = k x x 0, y y 0 (LEY DE HOOK) donde (x0, y0) es la posición de equilibrio del sistema elástico. Si definimos la función energía potencial elástica de la siguiente manera: E pg = k 2 x x 0 2 y y 0 2 (DEFINICIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA) Puede verificarse (háganlo!) que derivando respecto de cada variable se obtienen las correspondientes componentes de la fuerza elástica según la ley de Hooke. 10- El Concepto de Energía La palabra energía, como varias de las que aparecen en el curso, aparece en diversos contextos con varios significados, incluyendo disquisiciones sobre petróleo, psicología y religión. En muchas ocasiones el uso no tiene nada que ver con la energía de la física, lo cual es legítimo a menos que se la invoque en vano como la fuente de tales conceptos. De esa manera, no podemos acá exponer sobre el significado que se le da a la palabra energía en contextos tan diversos, pero sí podemos clarificar qué se entiende por energía en física. Y de hecho, no se entiende una única cosa. En este apunte aparecen tres (cinética, potencial y mecánica), vinculadas entre sí pero conceptualmente diferentes. En termodinámica tendremos ocasión de toparnos con una cuarta. Y el sentido es siempre el mismo: se trata de ciertas funciones de estado para un dado objeto de estudio, que cobran sentido sólo una vez que ese objeto haya sido modelizado. En este apunte se expone el concepto de energía en el contexto de la mecánica newtoniana: dado un objeto modelizado como partícula con masa, un marco de referencia inercial y un sistema de coordenadas, podremos definir para ese objeto una energía cinética (función de la rapidez), una energía potencial por cada fuerza conservativa que actúe sobre él (función de la posición) y una energía mecánica (función de ambas). A medida que procesos de trabajo actúen sobre el objeto, esas energías irán cambiando de acuerdo con la segunda ley de Newton. Y el resto es silencio.