Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla CURSO ACADÉMICO

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1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (2o Ing. de Telecomunicación y Aeronáutica) Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla CURSO ACADÉMICO Práctica VI: Funciones de una variable compleja. Las herramientas que desarrollaremos en esta práctica relativas a la transformación de una curva o un recinto mediante una función compleja w = f(z) serán fácilmente adaptables a la transformación de una curva o un recinto mediante una función vectorial f : Ω R 2 R 2 definida sobre un recinto plano. Números complejos En MATLAB la unidad imaginaria se denota, por defecto, mediante i ó j siempre y cuando dicha letra no sea utilizada para denotar una variable/índice/función/..., es decir, si tenemos que trabajar con expresiones complejas, no podemos utilizar la letra i o la letra j (la que usemos para denotar la unidad imaginaria) como un índice, un contador de un bucle, un vector, etc., puesto que al ser usada como variable pierde su valor como unidad imaginaria. Cuando i ó j son usadas como tal (unidad imaginaria), no es necesario indicar la operación mutiplicación para obtener un múltiplo, las dos órdenes >> 2-3i >> 2-3*i dan lugar al mismo resultado. En la ayuda de Matlab, puedes consultar la sintaxis de las siguientes órdenes relacionadas con los números complejos: real imag complex abs conj angle sign isreal parte real de un dato complejo parte imaginaria de un dato complejo dato complejo construido a partir de sus partes real e imaginaria módulo de un dato complejo, valor absoluto de un dato real complejo conjugado de un dato complejo Argumento principal de un dato complejo z Función signo. Para un dato complejo z, no-nulo,. z determina si un dato es real o complejo

2 De las órdenes anteriores, merece especial atención angle que, aplicada a un número complejo z, proporciona su argumento principal Arg(z) ( π, π] (medido en radianes). Si separamos las partes real x e imaginaria y de z, la orden atan2 aplicada a (y,x) proporciona el mismo valor. Por ejemplo, >> t=angle(-3), t2=atan2(0,-3) t = 3.46 t2 = 3.46 >> s=angle(-+2i), s2=atan2(2,-) s = s2 = Aunque desde cierto punto de vista trabajar con números/vectores/matrices complejos, en MATLAB, es similar a trabajar con números/vectores/matrices reales, hay que tener siempre presente que mientras que con un número real representamos un punto de una recta, con un número complejo representamos un punto de un plano. Por ejemplo, esta situación queda patente cuando se hace uso del comando plot. Ejercicio. (Resuelto).- Obtener una partición del intervalo [0, ] y los valores de la función y = f(x) = x 2 en los puntos de dicha partición. Almacenando los puntos y valores obtenidos en dos vectores-fila x e y respectivamente, aplicar la orden plot a x,y como: (a) pareja de vectores-fila, (b) un único vector-fila, (c) una matriz con dos filas y (d) vector complejo con parte real x y parte imaginaria y. Generamos los vectores reales >> x=[-:0.05:]; >> y=x.^2; y el vector complejo >> z=complex(x,y) cuya parte real es x y cuya parte imaginaria es y. Observa las diferencias y las analogías de las gráficas que se obtienen al ejecutar las siguientes órdenes: >> subplot(2,2,), plot(x,y) % dos vectores-fila, dibuja abscisas-ordenadas >> subplot(2,2,2), plot([x,y]) % un unico vector-fila, dibuja indice-entradas del vector >> subplot(2,2,3), plot([x;y]) % una matriz con dos filas, dibuja cada columna >> subplot(2,2,4), plot(z) % un vector-fila complejo, dibuja parte real-parte imaginaria 2

3 mediante las cuales se obtiene una ventana gráfica en la que aparecen cuatro gráficas (no superpuestas). Consulta la ayuda sobre la orden subplot para conocer sus características. Notemos que si tenemos datos reales (números, vectores, matrices, funciones,...) dichos datos pueden ser tratados como complejos con parte imaginaria nula y al aplicarles algunas órdenes pueden obtenerse resultados distintos según sean tratados como reales o como complejos. Si, por ejemplo, tenemos un vector real x, mediante la instrucción > z=complex(x) queda almacenado en z como vector complejo con parte imaginaria nula. Ejercicio 2. Genera, mediante rand, un vector x aleatorio de 20 coordenadas. Almacena dicho vector en z como vector complejo. Ejecuta las órdenes >> figure(), plot(x) >> figure(2), plot(z) y explica el significado de cada gráfica. Para pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas podemos usar la orden de Matlab, pol2cart. Para pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas polares podemos usar la orden de Matlab, cart2pol, teniendo en cuenta que el argumento que se obtiene es el argumento principal, es decir, el que pertenece al intervalo ( π, π]. 3

4 Definición de funciones complejas La definición, con MATLAB, de funciones complejas w = f(z) de una variable compleja z y la obtención de los valores de una función en las entradas de un vector o una matriz complejos, no es distinta a lo que ya conocemos del caso real: definición simbólica mediante el comando inline, definición mediante un archivo.m de función, obtención de los valores mediante feval,... Obviamente, lo que no puede ser similar es la representación gráfica. Para tener una imagen gráfica de la acción de una función de variable compleja, en las siguientes secciones recurrimos a transformar curvas y recintos. Las funciones elementales: Polinomios, racionales,... se manipulan de forma análoga al caso real. Funciones exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas (directas): exp(z), cos(z), sin(z), tan(z), cosh(z),... se manipulan como en el caso real ya que están predefinidas para valores complejos. Funciones que tienen varias ramas: logaritmo, potencias fraccionarias, funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas,... Hay que tener en cuenta que MATLAB trabaja, de forma predeterminada con la rama principal de dichas funciones. En lo que respecta a la función logaritmo (neperiano), la función log predefinida en MATLAB es la función compleja de variable compleja: Logaritmo principal, 0 z C w = log(z) = log z + iarg(z), π < Arg(z) π, es decir, siendo z = re iθ, r > 0, π < θ π su logaritmo definido en Matlab es log(z) = log(r) + iθ. Así, en terminología Matlab: z=abs(z)*exp(i*angle(z)) log(z) = log(abs(z))+i*angle(z). En lo que respecta a las potencias fraccionarias cabe decir algo similar, el cálculo de, por ejemplo, la raíz cúbica de un número complejo (no nulo) z no es el cálculo de sus tres raíces cúbicas sino el de una de ellas, en concreto la que se obtiene a partir del argumento principal θ = Arg(z) (π, π] de z mediante Así, en terminología Matlab: z = z e iθ 3 z = 3 z e i θ 3. z=abs(z)*exp(i*angle(z))} ----> ----> z^(/3) = (abs(z))(/3)*exp(i*angle(z)/3). 4

5 Por ejemplo, para calcular 3 tenemos que ejecutar >> (-)^(/3) y aunque una de las tres raíces cúbicas de sea real, el resultado que se obtiene es i que es la raíz cúbica de que tiene argumento π 3. Si quisiéramos/necesitáramos trabajar con otra rama distinta de la principal de las funciones anteriores, antes o después de aplicar la función de Matlab necesitaríamos hacer un giro, es decir multiplicar por una determinada exponencial e iφ. Transformación de curvas en el plano complejo En esta sección vamos a considerar curvas Γ que podamos describir de forma paramétrica con lo cual tendremos también descrita en forma paramétrica la curva transformada f(γ) = {w = f(z) : z Γ}. Es decir, conocida Γ z = z(t), t [a, b] obtenemos su imagen mediante f(γ) w = f(z(t)), t [a, b]. Ejercicio 3. (Resuelto).- Transforma, mediante w = f(z) = e z los siguientes segmentos de recta: (a) Γ el segmento de recta que une los puntos (, 0) y (, 3) + 3i. (b) Γ 2 el segmento de recta que une los puntos (, 2) + 2i y (2, 2) 2 + 2i. (a) Siguiendo los pasos descritos: Parametrizamos Γ, Obtenemos la curva transformada, z = z(t) = + ti, t [0, 3]. f(γ ) w = f(z(t)) = e +ti, t [0, 3]. Código Matlab para representar en una misma figura, con dos ventanas gráficas, las curvas Γ y f(γ ) >> t=[0:0.:3]; % particion del intervalo del parametro >> z=+t*i; % puntos de la curva original >> w=exp(z); % puntos de la curva transformada >> subplot(,2,), plot(z), axis([-,2,-,4], equal ) >> subplot(,2,2), plot(w), axis([-3,3,-3,3], square ) (b) Siguiendo los pasos descritos: Parametrizamos Γ 2, Obtenemos la curva transformada, z = z(t) = t + 2i, t [0, 3]. f(γ 2 ) w = f(z(t)) = e t+2i, t [, 2]. 5

6 Código Matlab para representar en una misma figura, con dos ventanas gráficas, las curvas Γ y f(γ ) >> t=[-:0.:2]; % particion del intervalo del parametro >> z=t+2*i; % puntos de la curva original >> w=exp(z); % puntos de la curva transformada >> subplot(,2,), plot(z) >> subplot(,2,2), plot(w) Ejercicio 4. Transforma, mediante w = f(z) =, las curvas siguientes: z (a) Γ : El segmento de recta cuyos extremos son el origen de coordenadas y el punto (, ) (excluyendo el origen de coordenadas). (b) Γ 2 : El segmento de recta cuyos extremos son el punto (, ) y el punto (3, 3). 2 2 (c) Γ 3 : La circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2. (d) Γ 4 : La circunferencia de centro (, 0) y radio (excluyendo el origen de coordenadas). Para cada curva, tienes que obtener, en una misma figura con dos ventanas gráficas, la curva original y la curva transformada. Ejercicio 5. (El perfil de Joukowski).- Transforma, mediante w = f(z) = z + z, las curvas siguientes: (a) Γ : La circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio. A pesar del resultado gráfico que obtengas, fruto de cálculos numéricos, es fácil comprobar que f(γ ) es el segmento que une los puntos (, 0) y (, 0). (b) Γ 2 : Una circunferencia que pase por los puntos (, 0) y (, 0) y con centro distinto del origen, por ejemplo con centro en (0, ) i. (c) Γ 3 : Una circunferencia que pase por (, 0) y tenga al punto (, 0) en su interior, por ejemplo la que tiene centro en el punto (, ) + i. Para cada curva, tienes que obtener, en una misma figura con dos ventanas gráficas, la curva original y la curva transformada. Transformación de recintos en el plano complejo Una forma de estudiar cómo se transforma un recinto plano, mediante una determinada función, es recorrer el recinto mediante dos haces de curvas de forma que cada punto del recinto sea la intersección de una (única) curva de uno de los haces con una (única) curva del otro. Los casos más simples, relacionados con las coordenadas cartesianas y polares respectivamente son: 6

7 Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados: Un círculo ya que cada punto es la intersección de una semirrecta que parte del centro con una circunferencia con centro el del círculo. Utilizando coordenadas polares, el segundo caso se reduce al primero puesto que para recorrer el círculo en cuestión las coordenadas polares respectivas recorren un rectángulo. La herramienta básica que vamos a utilizar, además de considerar recintos que puedan describirse en forma paramétrica, es la orden meshgrid que permite obtener un mallado de un rectángulo. Esto permitirá obtener cada haz de curvas sin necesidad de parametrizarlas una a una y recorrerlas todas mediante un bucle. Si tenemos particiones de los lados de un rectángulo (con lados paralelos a los ejes) almacenadas en los vectores x, el lado paralelo al eje de abscisas, con N + coordenadas [x 0, x,, x n ], e y, el lado paralelo al eje de ordenadas, con M + coordenadas [y 0, y,, y m ], al ejecutar >> [X,Y]=meshgrid(x,y); se obtienen dos matrices X e Y de dimensiones m n siendo X la matriz cuyas M + filas son todas iguales al vector x e Y la matriz cuyas N + columnas son todas iguales al vector y. De esta forma, las coordenadas (x h, y k ) de cada punto del mallado, asociado a las particiones, se obtienen como entradas (h +, k + ) de X (la primera coordenada) e Y (la segunda coordenada). Notemos que, siendo las matrices X e Y reales, esto mismo se podría conseguir con las transpuestas de X e Y. Por ejemplo, consideremos >> x=[, 2]; >> y=[3,4,5]; >> [X,Y]=meshgrid(x,y) X = Y = >> Z=X, T=Y Z = T =

8 Los puntos del mallado asociado a x=[,2], y=[3,4,5], (, 3), (, 4), (, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) se pueden obtener mediante las entradas de las matrices X, Y o mediante las entradas de las matrices Z, T. El hecho de que Matlab almacene las matrices por columnas queda patente cuando aplicamos la orden plot a un mallado. Ejercicio 6. (Resuelto).- Consideremos un mallado del rectángulo [, 3] [, 2], partiendo cada lado en subintervalos de longitud 0. (por ejemplo) y apliquemos la orden plot a [X,Y] y a [X,Y ] [transpose(x),transpose(y)] >> x=[:0.:3]; >> y=[:0.:2]; >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> subplot(,2,), plot(x,y) >> subplot(,2,2), plot(x,y ) Siendo >> Z=complex(X,Y); Zt=complex(X,Y ); las órdenes plot ejecutadas son equivalentes, respectivamente, a >> plot(z); >> plot(zt); Notemos que, dada una matriz compleja Z, la matriz Z es la transpuesta-conjugada de Z, la matriz transpuesta de Z se obtiene mediante transpose(z). Ejercicio 7. (Resuelto).- Transforma mediante la función w = f(z) = z 2 el rectángulo Ω = {z C : 0 real(z), 0 imag(z) 2} = [0, ] [0, 2] describiendo cómo se transforman los segmentos paralelos a los lados del rectángulo. >> x=[0:0.:]; % particion del lado horizontal >> y=[0:0.:2]; % particion del lado vertical >> [X,Y]=meshgrid(x,y); % puntos del mallado >> Z=complex(X,Y); >> subplot(,2,), plot(z, b ) % lineas horizontales determinadas por el mallado >> hold on >> subplot(,2,), plot(transpose(z), r ) % lineas verticales determinadas por el mallado >> W=Z.^2; % transformacion de los puntos del mallado >> subplot(,2,2), plot(w, b ), hold on % transformadas de las lineas horizontales >> subplot(,2,2), plot(transpose(w), r ) % transformadas de las lineas verticales 8

9 Ejercicio 8. (Resuelto) De forma análoga a lo hecho en el Ejercicio 7, transforma los siguientes recintos mediante la función exponencial w = f(z) = e z : (a) El cuadrado unidad. (b) El círculo unidad, recorriendo dicho círculo mediante segmentos que parten del origen de coordenadas. (a) Se deja como ejercicio. (b) Utilizando coordenadas polares, un segmento que esté sobre una recta que parta del origen de coordenadas está formado por puntos para los cuales el ángulo polar es constante y el radio varía en un cierto intervalo. Por tanto, para recorrer el círculo unidad, el argumento (ángulo) debe variar en un intervalo de longitud 2π y el módulo (radio) debe variar en [0, ]. De esta forma, en términos complejos, el círculo unidad está formado por los puntos z = re it, 0 t 2π, 0 r. >> t=[0:2*pi/00:2*pi]; % particion del intervalo de t >> r=[0:0.:]; % particion del intervalo de r >> [T,R]=meshgrid(t,r); % mallado del rectangulo de variacion de los parametros >> Z=R.*exp(i*T); % mallado correspondiente en el recinto de variacion de z >> W=exp(Z); % mallado del recinto transformado w >> subplot(,2,), plot(z), axis square % dibujo z >> subplot(,2,2), plot(w), axis square % dibujo w z.5 w=exp(z)

10 Ejercicio 9. De forma análoga a lo hecho en el Ejercicio 7, transforma los siguientes recintos mediante la función w = f(z) = z 2 : (a) Un rectángulo [0, ] [0, b]. (b) El primer cuadrante del círculo unidad, recorriendo dicho círculo mediante segmentos que parten del origen de coordenadas. Ejercicio 0. De forma análoga a lo hecho en el Ejercicio 7, transforma los siguientes recintos mediante la función w = f(z) = z : (a) Un rectángulo [, a] [ b, b]. (b) El círculo unidad (excepto el origen de coordenadas), recorriendo dicho recinto mediante circunferencias con centro el origen de coordenadas. Transformaciones de Möbius Una función compleja w = f(z) definida por w = az + b cz + d siendo a, b, c y d cuatro constantes complejas se denomina transformación de Möbius (o transformación bilineal o transformación lineal fraccional). La utilidad de esta transformación proviene de las siguientes propiedades: Si consideramos esta transformación también definida sobre z = y pudiendo tomar el valor, se tiene una transformación uno-a-uno C { } C { }, es decir, dado w 0 C { } arbitrario, la ecuación az + b cz + d = w 0 tiene una única solución z 0 C { }. Por otra parte, la transformación inversa de una transformación de Möbius es otra transformación de Möbius, w = az + b cz + d z = dw + b cw a. Una transformación de Möbius queda determinada conociendo los transformados w, w 2, w 3 C { } (distintos entre sí) de tres puntos z, z 2, z 3 C { } (distintos entre sí). Notemos que aunque la transformación de Möbius sea única, no lo son los coeficientes a, b, c, d. Dichos coeficientes son únicos salvo constantes. Por ejemplo, 2z + (3 i) ( + i)z 4 2iz + (3i + ) =, z C { }. (i )z 4i 0

11 Una transformación de Möbius, transforma una circunferencia generalizada (recta o circunferencia, curva que puede expresarse mediante una ecuación del tipo z z 0 z z = ρ > 0) en otra circunferencia generalizada. Conserva la simetría respecto de una circunferencia generalizada. Para más detalles sobre estas propiedades, y en particular sobre el concepto de simetría respecto de una circunferencia, consultar casi cualquier texto sobre un primer curso de variable compleja. Ejercicio. (Resuelto) Vamos a construir una función Matlab que calcule los coeficientes a, b, c, d C de la función w = f(z) = az + b cz + d sabiendo que transforma, respectivamente, tres puntos distintos z, z 2, z 3 C dados en otros tres puntos distintos dados w, w 2, w 3 C. Cada una de las ecuaciones az + b cz + d = w, az 2 + b cz 2 + d = w 2, az 3 + b cz 3 + d = w 3, se puede expresar como una ecuación lineal homogénea con incógnitas a, b, c, d C. Esto nos lleva a un sistema lineal homogéneo de tres ecuaciones con cuatro incógnitas z a + b z w c w d = 0 z z w w z 2 a + b z 2 w 2 c w 2 d = 0 cuya matriz A = z 2 z 2 w 2 w 2 z 3 a + b z 3 w 3 c w 3 d = 0 z 3 z 3 w 3 w 3 tiene rango 3. Para resolver este sistema homogéneo vamos a usar la orden null que, aplicada a una matriz, proporciona una base del conjunto solución del sistema homogéneo asociado. En un archivo.m de función, que llamaremos mobius.m grabamos las siguientes órdenes: function [a,b,c,d]=mobius(z,z2,z3,w,w2,w3) A=[z,, - z*w, - w; z_2,, - z2*w2, - w2; z_3,, - z3*w3, - w3]; sol=null(a, r ); a=sol(); b=sol(2); c=sol(3); d=sol(4);

12 Al ejecutar, por ejemplo >> [a,b,c,d]=mobius(,2-3i,-2-2i,0,3+i,4i) se obtienen los coeficientes a = i b = i c = i d = de la transformación de Möbius w = f(z) = az + b cz + d Se deja como ejercicio: que cumple que f(z) = w, f(z2) = w2 y f(z3) = w3. (a) Incluir, en el fichero mobius.m, unas líneas de ayuda describiendo lo que hace la función y las limitaciones que tiene. (b) Incluir, en el fichero mobius.m, unas líneas mediante las cuales se compruebe si los argumentos de entrada dados (z,z2,z3,w,w2,w3) verifican las condiciones descritas y, en caso de que no se cumplan, muestre un mensaje de error. 2