TEMA 3 Trabajo y Energía

Transcripción

1 TEM 3 Trabajo y Energía 1.- Trabajo, energía cinética y potencia.- Energía potencial. Fuerzas conservativas y no conservativas 3.- Conservación de la energía

2 1.- Trabajo, energía cinética y potencia Trabajo. Circulación de un vector 1..- Energía cinética. Teorema del trabajo energía cinética Potencia

3 Hemos visto: Cinemática: Dinámica: r(t) v(t) a(t) dl F dt 0 m a r x F M0 Estudio y análisis del movimiento de la partícula Supongamos un problema en el que sea conocido F(t): F dv F dr a 0 m dt m dt t ( t) v( t) dt r r(t) Por tanto, hay que conocer F(t), para poder resolver las integrales. Sin embargo, normalmente se conoce F(r). No conocemos r(t) (es lo que vamos buscando) Es necesario encontrar otro camino para resolver el problema del movimiento: conceptos de trabajo y energía?!

4 1.1.- Trabajo. Circulación de un vector Trabajo realizado en tres dimensiones Sea una fuerza F(r) que actúa sobre una partícula, y sea dr un desplazamiento infinitesimal de la misma. Llamamos trabajo elemental de la fuerza F correspondiente al desplazamiento dr a: dw F. dr (dw F x dx + F y dy + F z dz) Notemos que: dw F ds cos θ F t ds ( dr ds) De esta forma, si F perpendicular a dr: dw 0

5 Para calcular el trabajo total a lo largo de una cierta trayectoria entre dos puntos y : ( ) Fdr W Ft ds NOT: Dada una función vectorial V V(r), la integral: V. dr se denomina integral de línea o circulación de V sí, el trabajo es la integral de línea o circulación de F(r)

6 Si tenemos varías fuerzas (F i (r)) actuando sobre una partícula, cada una de ella producirá un trabajo dw i, y el diferencial de trabajo neto será: dw i i dwi if.dr ( if ).dr F. dr siendo: F i Fi resultan te de forma que el trabajo total es el trabajo de la resultante de las fuerzas

7 UNIDDES DE TRJO: [W][F][L] U SI N.m J (Julio) kg.m.s - Veamos algunos ejemplos de trabajos realizados por algunas fuerzas bien conocidas (el peso, fuerza en un muelle o resorte, fuerza gravitatoria, etc.). Tendremos siempre que evaluar la integral de F (r) a lo largo de una cierta trayectoria ( ) W Fdr

8 Trabajo realizado por un muelle (movimiento unidimensional) F -kx (k constante del resorte) El trabajo en un desplazamiento finito, de (xx ) a (xx ), será: dw Fdx kxdx x W 1 1 kx kx x x x x 1 ( kx)dx kx 1 kx ( x x 1 kxdx kx ) x -kx

9 Notemos que el trabajo viene dado por la integral de F(x) y es, por tanto, el área bajo la curva F vs x: F ( ) W x x Fdx x x x F -kx 1 kx 1 kx W 1 kx 1 kx

10 Trabajo realizado por una fuerza gravitacional El trabajo en un desplazamiento finito desde (rr ) hasta (rr ) será: r ru r F W G dw Mm r F dr G r Mm G u r Mm G dr r Mm r ; r r dr G Mm G dr r Mm r r dru + rdu GMm ( G r dr r r r Mm r ) r dru 1 GMm r + rdθu r r θ r r F

11 Caso particular: Trabajo realizado por el peso En el caso previo, si los cambios de altura son pequeños (de forma que podamos considerar la gravedad g GM/r constante), el trabajo del peso en un desplazamiento finito entre (yy ) y (yy ) será: dw W mgy F dr y y ( mgy mg j dx ( mg) ) dy mgy i + dy mgy y y mgy j + dz k mgdy mg y y (El trabajo será positivo cuando y >y )

12 1..- Energía cinética. Teorema del trabajo- energía cinética Como hemos visto: ( ) W m v dv m F dr 1 ( ) F W plicando la ª ley de Newton: v.dv v.dv dr ( ) mv mv mv EC() EC() d v Definamos la nueva cantidad: ma dr E F dv m dt m a 1 mv dr C x Energía 0 z cinética m a v F y La energía cinética va a ser la energía que posee un cuerpo en razón de su movimiento

13 Tenemos entonces: W ( ) E E ΔE ( ) C() C() C W ΔE C El trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta su energía cinética (Teorema del trabajo-energía cinética o de las Fuerzas Vivas) Notemos que: La energía cinética depende del sistema donde se mida (a través de v) El trabajo depende del sistema donde se mida (a través de la trayectoria) Unidades de energía cinética unidades de trabajo en el S.I.: Julios (N.m)

14 Veamos ya que la aplicación del principio del trabajo y la energía simplifica de manera considerable la resolución de problemas que implican fuerzas, desplazamientos y velocidades: Consideremos un péndulo, de masa m y longitud l, que se separa de la posición de equilibrio y se deja caer sin velocidad inicial. Se quiere conocer la velocidad de la masa cuando alcanza el punto inferior de la trayectoria (cuando pasa por la posición de equilibrio) plicando el T. del trabajo-energía cinética: l m h W ΔE C W ( ) ΔEC ( ) EC() EC() Tenemos que evaluar las energías cinéticas y calcular el trabajo efectuado.

15 Energía cinética: E E C() C() 0 1 (parte mv del reposo) Trabajo efectuado ( ) Fdr W Ft ds Necesitamos conocer las fuerzas (reales, externas, que actúan sobre la partícula): D.C.L La tensión no tiene componente tangencial, por tanto no efectúa ningún trabajo El trabajo del peso ya lo conocemos: W peso mgh T mg Por tanto: W EC() -EC() 1 mgh mv-0 v gh

16 Notemos las ventajas del método: 1. No necesitamos determinar la aceleración y luego integrar. Todas las magnitudes implicadas son escalares 3. Podemos obviar todas las fuerzas que no realicen trabajo

17 Cuestión 3.1 Una partícula de 3 kg se desplaza con una velocidad de m/s cuando se encuentra en x0. Esta partícula se encuentra sometida a una única fuerza F x que varía con la posición del modo indicado en la figura. a) Cuál es su energía cinética para x0? b) Cuál es el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se desplaza desde x0 m a x4 m? c) Cuál es la velocidad de la partícula cuando se encuentra en x4 m? Fx (N) x (m)

18 Cuestión 3. Un pequeño vehículo experimental movido por cohetes (m100 kg), parte del reposo en y se mueve con rozamiento despreciable a lo largo de una pista vertical. Si el cohete impulsor ejerce un impulso constante de 1780 N entre los puntos y cortándolo en ese último punto, determinar la distancia s que rodará el vehículo hacia arriba en el plano antes de detenerse (la pérdida de peso debido a los gases expulsados por el cohete es despreciarse).

19 1.3.- Potencia Muchas veces no interesa sólo la cantidad de trabajo (que produce una máquina, por ejemplo), sino la rapidez con que se produce ese trabajo. La potencia mide la rapidez con que se realiza un trabajo Potencia media Potencia instantánea P P ΔW Δt lím t0 P lím t0 ΔW Δt dw dt Mientras más rápido se realiza el trabajo la potencia que se desarrolla es mayor. Notemos que: P dw dt F dr dt F v Podemos poner también: W t t P 1 dt

20 UNIDDES DE POTENCI: [P][W][T] -1 U SI J.s -1 W (Watios) kg.m.s -3 Se suelen usar los múltiplos kw y MW Otras unidades que a veces se usan son CV y HP: 1 CV (caballo de vapor) 736 W 1 HP (horse power) 550 lb f pie s W Una unidad usada para expresar trabajo es el kw-h (Kilowatiohora) 1kW-h trabajo efectuado durante una hora por una máquina que realiza una potencia de 1 kw 1000(W).3600(s) 3, J

21 Eficiencia Mecánica Se define la eficiencia (rendimiento) de una máquina η como la relación entre el trabajo de salida y el de entrada. Por lo tanto: Trabajo de salida η Trabajo de entrada Potencia de salida Potencia de entrada Siempre se tiene que η <1

22 .- Energía potencial. Fuerzas conservativas y no conservativas.1.- Energía potencial. Campos escalares. Gradiente de un escalar..- Fuerzas conservativas y no conservativas

23 .1.- Energía potencial. Campos escalares. Gradiente de un vector Existen muchas situaciones físicas en las que el trabajo efectuado sobre una partícula es independiente de la trayectoria seguida por esta y sólo depende de las posiciones inicial y final. Ejemplos (que ya hemos visto): Trabajo realizado por un muelle: x W inicial 1 kx 1 kx final U 1 kx Trabajo efectuado por la fuerza gravitatoria: x W G Mm r G Mm r inicial G Mm r M.m U G r Mm G r final r r

24 Trabajo realizado por el peso (caso particular de la fuerza gravitatoria): W inicial mgy mgy final y y U m.g.y En todas estas situaciones el trabajo se puede poner como la diferencia de una magnitud escalar (U(r)) evaluada en los puntos inicial y final. esta magnitud se la denomina energía potencial (U): W U(r ) U(r ) U(x, y, z ) U(x, y, z ) ΔU UNIDDES DE L ENERGÍ POTENCIL [U] [W][Ec]

25 En este tipo de situaciones, consideremos dos puntos muy próximos y calculemos el trabajo elemental efectuado por una fuerza entre ellos: (x,y,z), (x+dx, y+dy, z+dz): (x,y,z) (x+dx, y+dy, z+dz) dw ( ) U( x + dx,y + dy,z + dz) du( x,y,z) U x,y,z sí: U U U dw F dx + F dy + F dz du x,y,z dz Y por tanto: F x x U x y ; F y z U y ; F ( ) dx + dy + x y z z U z U U U F Fx i + Fy j + Fz k i + j + k x y z

26 El operador (operador gradiente o operador nabla) es un operador que actúa sobre funciones escalares. Dada una función ϕ escalar ϕ ϕ(r): k z φ j y φ i x φ z φ, y φ, x φ grad φ φ + + grad U U F Por tanto: ESCUEL DE INGENIERÍS INDUSTRILES. UNIVERSIDD DE VLLDOLID

27 Matemáticamente, una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a esa variable manteniendo las otras como constantes. f(x,y,z,...) f, x f, y f,... z Ejemplo: volumen de un cilindro de radio r y altura h: V πr h r V r πrh V h πr h

28 Dada la función: z z(x,y) El diferencial (total) de z será: dz z dx x + z y dy

29 ..- Fuerzas conservativas y no conservativas Se habla de fuerzas conservativas cuando el trabajo efectuado sobre la partícula es independiente de la trayectoria seguida por esta y sólo depende de las posiciones inicial y final. En tales situaciones hemos visto que el trabajo se puede obtener a partir de una función escalar denominada energía potencial. Notemos que para una fuerza conservativa, si la trayectoria es cerrada: W ( trayectoria cerrada) Fdr 0 Inversamente se puede afirmar que si el trabajo en una trayectoria cerrada es cero la fuerza es conservativa: F dr 0 F conservativa (Obviamente será condición necesaria para que una fuerza sea conservativa que F sólo dependa de la posición de su punto de aplicación y no de la trayectoria recorrida)

30 Se habla de fuerzas no conservativas cuando el trabajo efectuado sobre la partícula depende de la trayectoria seguida por esta y no depende solamente de las posiciones inicial y final. Ejemplos de este tipo de fuerzas son las fuerzas de rozamiento, donde el trabajo es siempre negativo (fuerza opuesta al desplazamiento) y dependiente de la trayectoria realizada. En el caso de fuerzas no conservativas, no es posible expresar el trabajo a partir de una ninguna función escalar (o energía potencial).

31 Cuestión 3.3 Un tren con una masa total de 10 6 kg se eleva 707 m a lo largo de una distancia de 6 km con una velocidad constante de 15 km/h. Si la fuerza de rozamiento es igual al 0.8% del peso, calcular la energía cinética del tren. a) 1, J b) 17, J c) 9, J d) 5000 J

32 3.- Conservación de la energía Conservación de la energía mecánica 3..- Conservación de la energía total

33 3.1.- Conservación de la energía mecánica Consideremos una situación en la que tengamos una masa sometida sólo a fuerzas conservativas. En esa situación, los trabajos se pueden expresar en términos de una energía potencial U: Tendremos entonces: W ΔU ΔU ΔE W ΔEC C W ΔU Δ E ( + U) 0 E + U E cte C C Mecánica Cuando la fuerza es conservativa la energía mecánica del sistema permanece cte. Principio de conservación de la Energía: Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas la Energía mecánica total de la partícula permanece constante en el transcurso del movimiento

34 Cuestión 3.4 Laura y licia se balancean una al lado de la otra sobre dos columpios idénticos. Laura, la más joven, es la más ligera. Sus padres las sueltan a la vez, sin impulso y a partir de posiciones iniciales idénticas. Se desprecian rozamientos y la resistencia del aire. a) Cuál de las dos niñas pasa por la vertical del punto de suspensión (posición de equilibrio) con mayor velocidad? b) Cuál vuelve antes a su posición de partida? c) Cuál resulta más fácil de parar?

35 Curvas de energía potencial Consideremos una situación en la que tengamos una partícula bajo la acción de una fuerza conservativa. En esta situación existe la función energía potencial. Veamos cómo el análisis de las curvas de Energía Potencial nos permitirá deducir muchas de las características del movimiento resultante. Por simplicidad consideraremos un movimiento en una dimensión (eje X) UU(x) U Pendiente negativa fuerza positiva Pendiente nula fuerza nula Pendiente positiva fuerza negativa Notemos, en primer lugar, que la fuerza viene dada como: La fuerza es igual a la pendiente cambiada de signo F du dx x

36 Los puntos con pendiente nula son puntos donde se anulan las fuerzas posiciones de equilibrio. Dependiendo de la forma de la curva tendremos: du dx 0 F 0 Mínimo: equilibrio estable (1) Máximo: equilibrio inestable () Equilibrio indiferente (3): U constante U Pendiente nula fuerza nula x

37 Notemos también que: E m Ec+U EcE m U (E m cte) sí, para una energía mecánica total dada (E m ): EcE m U U Ec<0 v?? barreras de potencial C D Ec E m ( cte) Por tanto: U La Ec es máxima en el mínimo de potencial La Ec es nula en los puntos de corte (,,C y D) puntos de retorno (v0): pozos de potencial Existen puntos en los que no es posible el movimiento (Ec < 0 no se mueven las partículas: x<, <x<c y x>d: barreras de potencial x

38 Veamos un ejemplo concreto: fuerza elástica en un muelle: F( x) kx Puesto que: F U Representando la ecuación (parábola centrada): du dx Fdx 1 U e + kxdx ( x) kx U0 1 kx + cte Elegimos de forma arbitraria el origen de Ep U Puntos de retorno ( Ec 0 v 0; Fuerza máxima) E m E m E c + U - U E c E m U(x ) U(x ) k mplitud Máxima velocidad y fuerza nula x 1 Movimiento vibratorio, la amplitud depende de la energía mecánica total E m

39 Cuestión 3.5 La energía potencial de un objeto limitado a moverse en la dirección x es: U(x)ax 4 +bx donde a3.0 J/m 4 y b-8 J/m. Determinar los puntos de equilibrio y ver si éste es estable o inestable.

40 Cuestión 3.6 Una partícula está obligada a moverse en un campo de fuerzas unidimensional que deriva de la energía potencial representada en la figura adjunta. a) Cuáles son los puntos de posible equilibrio? Discutir la estabilidad de estos equilibrios. b) Cuáles son los puntos en que la fuerza ejercida pasa por un máximo, en módulo? c) Cuáles son los posibles movimientos de una partícula de energía E 1, E, E 3 y E 4 respectivamente?

41 3..- Conservación de la energía total Hemos visto que cuando todas las fuerzas son conservativas se conserva la energía mecánica total del sistema. Pero, qué ocurre cuándo no todas las fuerzas son conservativas? Si tenemos una situación con fuerzas conservativas y no conservativas: F c W c W W c W c + W nc ΔU ΔE W C nc ΔE C + ΔU ( C + U) ΔEMecánica Δ E F nc W nc W nc ΔE Mecánica El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energía mecánica del sistema

42 Cuestión 3.7 Un bloque de kg se deja libre sobre un plano inclinado 30º hacia abajo (coeficiente de rozamiento µ0.). Calcular la velocidad que lleva el bloque después de haber recorrido 4 m a lo largo del plano inclinado. 30º

43 Qué ocurre con el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas? Si tomamos el caso de las fuerzas de rozamiento vemos que se convierte en muchas ocasiones en Energía térmica, otras veces se emplea en deformar el material o en realizar reacciones químicas. Podemos generalizar y decir que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas se transforma siempre en alguna otra forma de energía: ΔE + ΔE 0 Mecánica otra ΔE total La energía total se conserva Principio de conservación de la energía La energía puede ser transformada de una forma a otra, pero no puede ser creada ni destruida; la energía total permanece constante (física clásica) Dentro del marco relativista, es posible que la masa se transforme en energía y viceversa: Equivalencia masa-energía: E ( Δm) c

44 Cuestión 3.8 Un péndulo consiste en una pequeña masa (m) atada al extremo de una cuerda de longitud L. Tal como muestra la figura la masa se coloca en posición horizontal y se suelta. En el punto más bajo de la oscilación, la cuerda choca con una clavija delgada situada a una distancia R por encima de dicho punto. Cuál es el máximo valor de R para que la masa describa un círculo entero alrededor de la clavija? (yuda: si la masa no se cae es porque la cuerda tiene tensión)