Método simpléctico. La notación matricial de las ecuaciones de Hamilton

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1 1 Mecánica Teórica Curso Método simpléctico. La notación matricial de las ecuaciones de Hamilton Consideremos un vector columna de 2n componentes =(q 1,...,q n,p 1...,p n ) T donde T indica que es un vector columna. Sea la matriz cuadrada 2n 2n 0 1 J = 1 0 Esta matriz tiene las siguientes propiedades: (1) J 2 = 1; e J = J, det(j) =1; e JJ 2 = 1; e J = J 1 (2) donde la tilde indica la matriz traspuesta. Con esta notación, las ecuaciones de Hamilton las escribiremos como = (3) Supongamos unas variables Q i, P i definidas como funciones de las variables q i p i, mediante las relaciones de transformación Q i = Q i (q, p, t), P i = P i (q, p, t), (i =1,...,n) (4) La matriz de la transformación M es la matriz cuadrada 2n 2n M n El determinante de esta matriz es el Jacobiano de la transformación J =detm ysesupone que no se anula en ningún punto de interés, de modo que la transformación es invertible y permite escribir también las (q, p) en función de las(q, P, t). Consideremos una transformación canónica independiente del tiempo que nos lleva de a unas nuevas variables, con una matriz de transformación cuyos elementos son C A M ij = i j, (i, j =1,...,2n)

2 2 Se sigue que d i = X j M ij d j ) i = X j M ij j = Esto es, X M ij J jk = X j k j k X X M ij J jk k = MJ f l M lk Si la transformación es canónica e independiente del tiempo, se tiene que cumplir que = (5) (6) Por tanto, si la transformación es canónica, debe cumplirse la condición simpléctica MJ f M = J (7) La recíproca también es cierta. Si M cumple la relación (7), la transformación es canónica. Vamos a considerar ahora la relación simpléctica en el caso de que la transformación sea explicitamente dependiente del tiempo. Seguiremos la linea argumental de Pars (ver Bibliografia, pp ). Consideremos la transformación con i = i (,t)caracterizadaporm ij igual que antes, pero ahora estos elementos de matriz dependen explícitamente de t. También hay que considerar la transformación inversa con elementos de matriz m ij = i j, (i, j =1,...,2n) Observemos que Mm= 1. Sin más que derivar obtenemos d i dt = X j que en notación matricial escribimos como d j m ij dt + i (8) Ahora bien, = + m i = X j j i (10)

3 3 donde H es la función que resulta de sustituir en H(,t), las variables por las dadas por la inversa de la transformación canónica. En notación matricial, la última ecuación se escribe = M (11) De (3),(9) y (11), se sigue que Y de aquí se pasa inmediatamente a M = + m = M + J f MJ f =0 (12) =0 (13) de donde se obtiene inmediatamente la ecuación del movimiento para i, esto es, = MJ f = MJf M + emj (14) Pero si la transformación es canónica MJ f M = J ydeberíadeexistirunk tal que Pero esto será así si en (14) se cumpliese que = emj siendo L( ) 2 L r s = Si llamamos u = J la condición de diferencial exacta se expresa s u i i L s r r u i i s i s i r i r i s

4 4 En esto último podemos i js = m ir J ij s r = em ri J js Lo mismo se puede hacer con el segundo miembro. Escribiremos pues em = ejm Pero e J = J y por tanto nos queda la condición em + Jm=0 (15) Pero si se cumple la condición simpléctica, se verifica que MJ f M = J ) mj em = J que muestra que (15) se cumple efectivamente. Así pues, si se cumple la condición simpléctica es posible escribir = MJM H + L = (16) y por tanto la transformación es canónica. Esta larga demostración tiene algunos pasos muy útiles. Por ejemplo, supongamos que queremos averiguar las trayectorias de un sistema con H =! 2 p(q + t) 2 Resolver directamente las ecuaciones de Hamilton es farragoso. Es mejor introducir la transformación Q = q + t, P = p ) M = 1 Con la transformación H =! 2 PQ 2 Pero nos hace falta K. Si usamos (14) tendremos @q(q; P ; @(Q t) =! 2 Q +1 que se integra inmediatamente dando Q = 1 arctan(!t + c)! siendo c una constante de integración. Sin más que deshacer el cambio, se obtiene q(t).

5 5 El conjunto de las transformaciones canónicas forma un grupo. Esto es así pues: i) Si M 1 y M 2 son las matrices correspondientes a dos transformaciones canónicas, M 3 = M 1 M 2 corrsponde también a una canónica dada que se verifica que g M 3 JM 3 = J; ii) Existe M = 1, el elemento unidad; y iii) Dada una transformación canónica con M, existe su inversa que también es canónica con M 1. Corchetes de Poisson Sean u(q, p, t), v(q, p, t) dos funciones en el espacio fásico de un sistema Hamiltoniano. Se define el corchete de Poisson de las dos funciones como [u, v] i i El cálculo de un corchete de Poisson vemos que va ligado a las variables que estemos usando para caracterizar los puntos del espacio fásico (q, p en la expresión anterior). Si cambiamos a otras variables fásicas, la estructura formal con la que hemos definido el corchete de Poisson es la misma, pero ahora las derivadas habrá que hacerlas con respecto a las nuevas coordenadas. Es por ello que, cuando haya posibilidad de confusión, se indicará explícitamente con respecto aquévariablesseestáncalculandoloscorchetes.ennotaciónmatricial,tenemos [u, v] = (18) De la definición se deduce inmediatamente que [q i,q j ]=[p i,p j ]=0; [q i,p j ]= [p i,q j ]= j i ; [, ] =J (19) Sean otras nuevas variables Q i = Q i (q, p, t), P i = P i (q, p, t), relacionadas con las antiguas mediante una transformación canónica. Se tiene que con respecto a las nuevas variables, [Q i,q j ] (Q,P ) =[P i,p j ] (Q,P ) =0; [Q i,p j ] (Q,P ) = [P i,q j ] (Q,P ) = j i ; [, ] = J (20) Pero, [Q i,q j ] (q,p) = i El mismo cálculo se puede realizar con los otros corchetes de Poisson [P i,p j ] (q,p),... Es fácil comprobar que, en notación matricial, [, ] = f MJM= J (21)

6 6 donde la última igualdad es consecuencia del carácter canónico de la transformación de variables. Por lo tanto, comparando la última expresión con (20) se tiene el importante resultado, [, ] =[, ] = J (22) Es decir, los corchetes de Poisson de las variables canónicas fundamentales son invariantes bajo transformaciones canónicas. Esta propiedad puede usarse como criterio necesario y suficiente para comprobar si una transformación es canónica. Si los corchetes de Poisson fundamentales cambian al cambiar de variables, la transformación no es canónica. Si consideramos una función v(,t)y cambiamos de = M y podemos entonces comprobar fácilmente que [u, v] = J@v = MJf =[u, v] (23) esto es, no sólo los corchetes de Poisson de las variables fundamentales son invariantes bajo las transformaciones canónicas, sino cualquier corchete de Poisson. (Hay que seã±alar que esto no es cierto en las transformaciones de escala, que, como hemos convenido anteriormente, no las incluimos en la clase de transformaciones canónicas). Las siguientes propiedades se deducen de la definición. Si a, b son constantes Si las funciones u, v dependen de un parámetro s [u, u] =0; [u, v] = [v, u] (24) [au + bv, w] =a[u, w]+b[v, w] (25) [uv, w] =u[v, w]+[u, w]v [u, ] (27) Una propiedad muy importante ( muy laboriosa de comprobar!) es la identidad de Jacobi: [u, [v, w]+[v, [w, u]+[w, [u, v] =0 (28) Los corchetes de Poisson proporcionan una forma compacta de escribir la evolución temporal de las funciones en el espacio fásico. Así, sea u(q, p, t) unafuncióndelasvariablesfásicasy del tiempo. A lo largo de las trayectorias q(t), p(t), obtenidas mediante la solución de las ecuaciones de Hamilton, se tiene que du = dq i dp i i dt ) du @p i (29)

7 7 Esto es o, en notación matricial, du dt =[u, du dt f J@H De este resultado general, se obtienen los particulares q i =[q i,h]; ṗ i =[p i,h]; =[, (30) (31) (32) Además dh dt (33) Diremos que una función u(q, p, t) es una constante del movimiento si su valor permanece constante cuando en q y p ponemos valores correspondientes a trayectorias hamiltonianas. Es decir, que a lo largo de las trayectorias hamiltonianas, du/dt =0.Peroentonces, [u, =0;) [H, u] =@u Una condición necesaria y suficiente para que una función de las variables canónicas y el tiempo sea una constante del movimiento es que verifique (34). Si dos funciones u, v, que no dependen explícitamente del tiempo son constantes del movimiento, su corchete de Poisson también lo es. Esta propiedad se demuestra haciendo uso de la identidad de Jacobi ( se deja como ejercicio). En principio, pues, los corchetes de Poisson de constantes del movimiento que no dependan explicitamente de t, pueden servir para generar otras constantes del movimiento. (34) Otros invariantes canónicos Sea la transformación canónica!. Se tiene que dq 1...,dQ n dp 1...,dP n = det M dq 1...,dq n dp 1...,dp n (35) donde... indica el valor absoluto. Dado que la transformación es canónica se cumple que MJ f M = J ) (det M) 2 det J =detj ) det M ± 1 Por tanto, como sólo hace falta el valor absoluto, se cumple que bajo las transformaciones canńicas los elementos de volumen del espacio fásico son invariantes, dq 1...,dQ n dp 1...,dP n = dq 1...,dq n dp 1...,dp n (36)

8 8 Ciertamente, si integramos para una región finita del espacio, también el volumen será invariante bajo transformaciones canónicas. Compresibilidad del espacio fásico Hay un invariante relacionado con este último que es muy importante en otras áreas de la Física. En lo que sigue, vamos a hacer un tratamiento que no está restringido a sistemas Hamiltonianos. Supongamos que tenemos 2n variables que describen un sistema dinámico no necesariamente Hamiltoniano, de modo que se conocen las ecuaciones de evolución t = ( t,t) (37) Supongamos que sabemos resolver el problema de condiciones iniciales relativo a estas ecuaciones. Su solución en función de las condiciones iniciales y el tiempo la escribimos como i t = i t( 0,t) (38) Llamemos t y 0, y miremos la expresión anterior como una transformación de a. Sean los elementos de matriz de la transformación y su Jacobiano, M ij = i ; det M = J 6= 0 (39) j que en general, serán funciones del tiempo. Podemos calcular el Jacobiano desarrollando en los menores adjuntos A jk alolargodeunafilaarbitrariacomo J = X j M kj A jk Vamos a seguir a Lovelock y Rund (ver Bibliografía, Pp ) y considerar J como una función de los elementos de matriz M kj, de modo que, si estos son funciones del tiempo, se tendrá que dj dt = X k X X d k A jk = X dt j k j k X j X dm kj dt A k j = X k X = X k j X X j l A jk dm kj dt = A k l M lj Pero, X A jk M lj = k l J j

9 9 Luego dj dt = J X k = J apple (40) k donde hemos introducido la compresibilidad del espacio apple como la divergencia del vector, apple = X k k = r (41) Vemos pues que la compresibilidad del espacio viene dada esencialmente por la estructura de las ecuaciones del movimiento. Si integramos (40) y tenemos en cuenta que J (0) = 1 queda Z t J (t) =exp ds apple(s) (42) Definamos una nueva función w(t) talque de modo que el Jacobiano se puede escribir como Tenemos pues que d 1 t...d 2n t 0 ẇ(t) =apple(t) (43) J (t) =e w(t) w(0) (44) = J (t)d d 2n 0 = e w(t) w(0) d d 2n 0 (45) que muestra que, en general, los elementos de volumen no se conservan en la evolución temporal de los sistemas dinámicos. Sin embargo, sí se conserva e w(t) d 1 t...d 2n t, pues e w(t) d 1 t...d 2n t = e w(0) d d 2n 0 (46) Qué ocurre con los sistemas Hamiltonianos?. En este caso, las ecuaciones de movimiento son las de Hamilton y por tanto, = = de modo que, en un sistema Hamiltoniano, la compresibilidad del espacio es nula, apple i i = 2 H 2 H =0 i Por consiguiente, en un sistema Hamiltoniano, sí que se conserva el elemento de volumen del espacio fásico, dq 1 t...dp n t = dq dp n 0 (48) Estos resultados son de importancia en la Mecánica Estadística, pues están en la raiz del teorema de Liouville y sus extensiones a flujos no Hamiltonianos.

10 10 Transformación canónica infinitesimal (TCI) Consideremos una transformación canónica que pasa de las viejas variables (q, p) aunas nuevas, (Q, P )quedifierendelas viejas encantidadesinfinitesimales,estoes, Q i = q i + dq i ; P i = p i + dp i ; = + d (49) Una la función generatriz (generadora) adecuada para esta TCI F 2 = X i q i P i + G(q, P, t);! 0 + Según las fórmulas correspondientes a este tipo de función generatriz (generadora) y quedándonos en el orden mas bajo en tenemos En forma P, P, t) p i = P i + ) dp i = P, P, P, t) Q i = q i + q i + ) dq i = i d = Ahora bien de la definición de corchete de Poisson se tiene que (52) [, (53) y por tanto podremos escribir d = [, G] (54) Un caso particular de TCI corresponde a la elección de = dt, G = H. En este caso se obtienen las ecuaciones de transformación d = dt[, H]= dt (55) que indica que la evolución dinámica durante dt puede entenderse como una TCI cuya generatriz es la propia H. Durante un intervalo finito desde t 0 hasta t, la evolución puede entenderse como una sucesión de TCI. La solución de las ecuaciones de Hamilton, esto es, q(q 0,p 0,t), p(q 0,p 0,t) es una transformación canónica de las condiciones iniciales a los valores de las variables canónicas en t generada por H.

11 11 En una TCI arbitraria, el cambio en las variables induce cambios infinitesimales en las funciones, de modo que du = u( + d ) u( ) d J@G = [u, G] (56) Consideremos una trayectoria en el espacio fásico parametrizada por un parámetro tal que a cada configuración del sistema le corresponde un valor del parámetro, y tomemos =0paraindicarlaconfiguracióninicial.Alolargodelatrayectoria,unafunciónu de las variables físicas la podemos considerar como una función de. Un cambio infinitésimal du sobre la trayectoria será du = d [u, G] (57) Desarrollando en serie de Taylor u( ) =u(0) + du + 2 d 0 2! d 2 u + 3 d 2 0 3! d 3 u +... d 3 0 Pero d 2 u d = d du 2 d d = d [u, G] =[du,g]=[[u, G]; G] d d yasíconlasderivadassuperioresdemodoquesepuedeescribir u( ) =u(0) + [u, G] ! [[u, G]; G] (58) En particular, si tomamos = t y G = H, se obtiene u(t) =u(0) + t [u, H] 0 + t2 2! [[u, H]; H] (59) Apéndice: El Teorema de Liouville Supongamos (como ya vimos) que la dinámica del sistema viene regida por las ecuaciones t i = i ( t ; t) (60) cuyas soluciones en función de condiciones iniciales, son las trayectorias t i = t i( 0 ; t) (61) Consideremos una cierta región fija del espacio fásico y supongamos que Z Z... ( t ; t) d t 1...d t m, (m =2n) (62) representa el número de puntos que hay en el interior de esta regi 0n en un instante de tiempo t. Nótese que los límites de integración son independientes de t. Si no es posible que de modo

12 12 espontáneo se creen o se destruyan puntos, la única forma de que el número de puntos varíe en el tiempo es que haya puntos que entren y puntos que salgan. Haciendo uso del Teorema de Gauss, está claro que la función ( t ; t) hadecumplirlaecuacióndecontinuidad que podemos también expresar ( t ; ( t ; t) + r h i t ( t ; t) =0 (63) + t r ( t ; t) + ( t ; t)r t =0 (64) Supongamos en primer lugar que la dinámica es Hamiltoniana. En este caso, las trayectorias son las soluciones de las ecuaciones de Hamilton, y por tanto la compresibilidad del espacio es nula, como vimos anteriormente. Luego en la ecuación anterior, se tiene que r t =0. Así pues, la ecuación de continuidad para para dinámicas Hamiltonianas se reduce ( t ; t) + t r ( t ; t) =0= d dt que pone de manifiesto que la función ( t ; t) esunaconstantedelmovimientoparadinámicas Hamiltonianas. Este es uno de los enunciados de teorema de Liouville. Consideremos ahora que la dinámica no es Hamiltoniana, de modo que la compresibilidad del espacio no se anula necesariamente. En este caso, no es posible deducir de la ecuación de continuidad que sea una constante de movimiento a lo largo de las trayectorias dinámicas. Antes bien, d dt = ( t ; t)r t = apple (66) Anteriormente hemos introducido la ó w(t) (verec.(43)relacionadaconlacompresibilidad del espacio. Escribamos ( t ; t) =f( t ; t)exp( w( t ; t)) (67) en la ecuación de continuidad. Se tiene entonces w ) (65) + t r fe w + fe w r t =0 (68) donde se han suprimido los argumentos de las funciones por sencillez en la notación. Teniendo en cuenta t r w = dw dt yque dw dt = apple(t) =r de la ec. (68) se obtiene inmediatamente que df dt t =0 (69)

13 13 alolargodelastrayectoriasdinámicas.estoes,aunque no sea una constante del movimiento, la cantidad f sí lo es. Recordemos que se ha probado que e w(t) d t 1...d t m = e w(0) d d 0 m donde d t 1...d t m es el producto de diferenciales que tendríamos en el instante t si se hubiese partido en t =0delproductoiniciald d 0 m ynoshubiésemosmovidoalolargodelas trayectorias dinámicas del sistema. Pero dado que a lo largo de esas trayectorias dinámicas f( t 1,..., t m; t) =f( 0 1,..., 0 m; 0), se tendrá, pues, que o, lo que es lo mismo, f( t 1,..., t m; t)e w(t) d t 1...d t m = f( 0 1,..., 0 m;0)e w(0) d d 0 m (70) ( t 1,..., t m; t)d t 1...d t m = ( 0 1,..., 0 m;0)d d 0 m (71) que indica que, si seguimos el movimiento de los puntos a lo largo de las trayectorias, los puntos que nos encontremos en t en d t 1...d t m, son aquellos que han seguido las trayectorias que han partido inicialmente de d d 0 m. Cómo caracterizamos un estado estacionario?. En el caso Hamiltoniano, diremos est =0) [ est,h]=0 (72) es decir que est es función sólo de H ydelasdemśconstantesdelmovimiento.enelcaso no Hamiltoniano, una situación estacionaria viene caracterizada por est ( )r + r est ( ) =0 (73) Sin embargo, la condición de estacionariedad para f resulta más cómoda, esto es, r f est ( ) =0 (74) En lo expuesto se pone de manifiesto que la función ( ) esunafunciónhíbrida en cierto modo. Contiene un factor, e w, que es independiente de la distribución de puntos que pongamos en el sistema y depende sóla y exclusivamente del tipo de dinámica que tengamos. Por el contrario, el factor f es representativo de la distribución de puntos sea cual sea la dinámica. Es por ello que puede resultar conveniente establecer la distribución en términos de f. Bibliografía H. Goldstein, Poole and Safko, Classical Mechanics (Addison-Wesley, third edition) L. Pars, A Treatise on Analytical Dynamics. Capítulo XXIV C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics. Caps. VI y VII F. Gantmacher, Lectures in Analytical Mechanics. Caps. 3 y 4 D. Lovelock and H. Rund, Tensors, Di erential Forms and Variational Principles.