Técnicas de Optimización

Transcripción

1 Técnicas de Optimización Dr. Juan Felipe Botero Conceptos de Convexidad Conjuntos Convexos 1 / 42

2 ÍNDICE CONCEPTOS GENERALES Lineas y Segmentos Conjuntos Afines Conjuntos Convexos Ejemplos de Conjuntos Convexos Hiperplanos y semiespacios Esferas euclideanas y elipsoides Poliedros y Conos Positivos Semidefinidos Operaciones que preservan convexidad Introducción Intersección Mapa/transformación (función) Afín Teoremas de separación Teorema del hiperplano separador Teorema del hiperplano de soporte 2 / 42

3 LÍNEAS Y SEGMENTOS Affine set Sean x 1 x 2 dos puntos en R n, ine through Todo x 1 punto, x 2 : all y sobre points la línea x 1 x 2 cumple lo siguiente x = θx 1 +(1 θ)x 2 (θ R) θ =1.2 x 1 θ =1 θ =0.6 x 2 θ =0 θ = 0.2 ffine set: contains the line through any two distinct points in the set 3 / 42

4 OTRA INTERPRETACIÓN Sean x 1 x 2 dos vectores en R n, x 1 x 2 es un vector paralelo a la línea que los une 4 / 42

5 CONJUNTOS AFINES Affine set line through Un conjunto x C R n 1, x 2 : all points es afín si la línea entre cualquier par de puntos en C pertenece a C x = θx 1 +(1 θ)x 2 (θ R) θ =1.2 x 1 θ =1 θ =0.6 x 2 θ =0 θ = 0.2 affine set: contains the line through any two distinct points in the s 5 / 42

6 CONJUNTOS AFINES: EJEMPLOS El conjunto de soluciones a las ecuaciones lineales {x Ax = b}, donde A R m n y b R m En R 2, una línea (o todo R 2 ) En R 3, un plano (o todo R 3 ) 6 / 42

7 COMBINACIÓN AFÍN La idea en conjuntos afines se puede generalizar a más de un punto, Un punto de la forma θ 1 x θ k x k, donde θ θ k = 1 es una combinación afín de los puntos x 1,..., x k Un conjunto afín contiene todas las posibles combinaciones afines de los puntos dentro del conjunto 7 / 42

8 CONJUNTOS CONVEXOS Un conjunto C es convexo si el segmento de recta entre Affine set cualquier par de puntos de C está en C Si x 1, x 2 C, y θ, 0 θ 1: line through x 1, x 2 : all points θx 1 + (1 θ)x 2 C x = θx 1 +(1 θ)x 2 (θ R) θ =1.2 θ =1 θ =0.6 x 1 x 2 θ =0 θ = / 42

9 CONJUNTOS CONVEXOS: EJEMPLOS Y COMBINACIÓN CONVEXA Ejemplos 24 de conjuntos convexos y no convexos 2 Convex sets Figure 2.2 Some simple convex and nonconvex sets. Left. The hexagon, which includes its boundary (shown darker), is convex. Middle. The kidney shaped set is not convex, since the line segment between the two points in the set shown as dots is not contained in the set. Right. The square contains some boundary points but not others, and is not convex. Un punto de la forma θ 1 x θ k x k, donde θ θ k = 1 y θ i 0, i = 1,..., k es una combinación convexa de los puntos x 1,..., x k Un conjunto es convexo si y sólo si contiene todas las combinaciones convexas de sus puntos. Figure 2.3 The convex hulls of two sets in R 2. Left. The convex hull of a set of fifteen points (shown as dots) is the pentagon (shown shaded). Right. The convex hull of the kidney shaped set in figure 2.2 is the shaded set. 9 / 42

10 DEMOSTRACIÓN COMBINACIÓN CONVEXA Si C R n es un conjunto convexo, con x 1,..., x k C, y con θ i,..., θ k R que satisface que θ i 0, θ θ k = 1. Demuestre que θ 1 x θ k x k C (la definición de convexidad dice que esto es cierto cuando k = 2, qué pasa para un k arbitrario)? Ilustremos la idea para k = 3: x 1, x 2, x 3 C, y θ 1 + θ 2 + θ 3 = 1, que y = θ 1 x 1 + θ 2x 2 + θ 3x 3 C θ 1, θ 2, θ 3 0, tendremos que probar Como al menos uno de los θ i no es igual a uno; asumamos que θ 1 1. Entonces, podemos escribir que: y = θ 1 x 1 + (1 θ 1 )(µ 2x 2 + µ 3x 3) dónde µ 2 = θ 2 1 θ 1 con µ 3 = θ 3 1 θ 1. Note que µ 2, µ 3 0 y además µ 2 + µ 3 = θ 2+θ 3 1 θ 1 = 1 θ 1 1 θ 1 = 1 Como C es convexo y x 2, x 3 C, concluímos que µ 2x 2µ 3x 3 C. Como este punto y x 1 están en C, y C 10 / 42

11 ENVOLTURA CONVEXA (CONVEX HULL) La envoltura convexa de un conjunto C (que no es necesariamente convexo) es el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en C. Formalmente: conv C = {θ 1 x θ k x k θ i 0, θ θ k = 1} El conjunto envoltura convexa conv C siempre es convexo La envoltura convexa es el conjunto convexo más pequeño que contiene a C 11 / 42

12 ENVOLTURA CONVEXA: EJEMPLOS Sean 3 puntos: x 1, x 2 y x 3, la envoltura convexa está dada por: 24 2 Convex sets {θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + θ 3 x 3 θ i 0, θ 1 + θ 2 + θ 3 = 1} Figure 2.2 Some simple convex and nonconvex sets. Left. The hexagon, which includes its boundary (shown darker), is convex. Middle. The kidney shaped set is not convex, since the line segment between the two points in the set shown as dots is not contained in the set. Right. The square contains some boundary points but not others, and is not convex. Otros ejemplos de envoltura convexa: Figure 2.3 The convex hulls of two sets in R 2. Left. The convex hull of a 12 / 42

13 CONJUNTOS CONVEXOS: RAYOS Y DIRECCIONES (I) Un rayo, es una colección de puntos de la forma {x 0 + θd : θ 0}, dónde d es un vector diferente de 0. x 0 es el vértice (o salida) del rayo, y d es la dirección del rayo Dado un conjunto convexo (no acotado), un vector d diferente de 0 se llama la dirección del conjunto, si para cada x 0 en el conjunto, el rayo {x 0 + θd : θ 0} pertenece también al conjunto Considere el siguiente conjunto X = {x : Ax = b, x 0}. d es una dirección de X si y sólo si: A(x + θd) = b x + θd 0 para cada θ 0 y cada x X. Pero cómo Ax = b entonces Ad = 0 y de igual manera θd 0, es decir que d 0 Resumiendo, d es una dirección del conjunto convexo X si y sólo si: d 0, d 0, y Ad = 0 De igual manera, se puede probar que d es una dirección del conjunto convexo X = {x : Ax b, x 0} sí y sólo si d 0, d 0, y Ad 0. El conjunto de direcciones que cumplen este requisito, son un conjunto convexo 13 / 42

14 CONJUNTOS CONVEXOS: RAYOS Y DIRECCIONES (II) Ejemplo: Consideremos el conjunto X = {(x1, x 2 ) : x 1 2x 2 6, x 1 x 2 2, x 1 0, x 2 1 Si x0 = ( x1 x 2 ) es un punto arbitrario. ( ) d1 Entonces d = es una dirección del d 2 ( ) d1 conjunto X si y sólo si 0 y además d 2 ( ) x1 + θd x0 + θd = 1 pertenece a X para x 2 + θd 2 todo θ 0 (0,2) (0,1) x2 (2,4) x0 d2 X (0,0) d1 x1 Por lo tanto: x 1 2x 2 + θ(d 1 2d 2 ) 6 x 1 x 2 + θ(d 1 d 2 ) 2 x 1 + θd 1 0 x 2 + θd 2 1 para todo θ 0. Con lo anterior podemos concluir ( que ) d 1, d 2 0, y además que d 1 2d 2 0 y d 1 d 2 0. d1 Cómo d 1 2d 2 entonces d 1 d 2. Por lo tanto es una dirección en X sí: d 2 ( ) ( d1 0 d 2 0 ), d 1, d 2, 0 y d 1 2d 2 14 / 42

15 CONJUNTOS CONVEXOS: RAYOS Y DIRECCIONES (III) La noción de direcciones extremas es similar a la de puntos extremos Una dirección extrema de un conjunto convexo, es una dirección del conjunto que no puede ser representada como una combinación de dos direcciones distintas del conjunto Se dicen que dos vectores de dirección d 1 y d 2, no son equivalentes si d 1 no puede ser representado como un múltiplo positivo de d 2 En el ejemplo anterior, tenemos ods direcciones d 1 = (1, 0) y d 2 = (2/ 5, 1/ 5) Cualquier otra dirección del conjunto, que no es múltiplo de d 1 o d 2, puede ser representado como θ 1 d 1 + θ 2d 2, dónde θ 1, θ 2 > 0. Cualquier rayo contenido en el conjunto convexo, y cuya dirección es un punto extremo, se llama un rayo extremo 15 / 42

16 CONO CONVEXO (I) Convex cone El conjunto C es un cono si para todo x C y todo θ 0, ocurre que θx C Note que un cono siempre contiene el origen dejando θ = 0, y teniendo también en cuentaconic que dado (nonnegative) cualquier combination punto x of C, xel 1 rayo and x 2 {θx, : anyθ point 0} of pertenece the form a C Además, un conjunto C es un cono convexo si es convexo y es un cono (un cono convexo es entonces un conjunto que x = consiste θ 1 x 1 + θ 2 enteramente x 2 de rayos que emanan del origen). En otras palabras, si para todo x 1, x 2 C y θ 1, θ 2 0 se cumple with θ 1 0, θ 2 0 θ 1 x 1 + θ 2 x 2 C x 1 0 x 2 convex cone: set that contains all conic combinations of points in the set Por lo tanto, un cono convexo está caracterizado por sus direcciones. En realidad, un cono convexo está completamente caracterizado por sus direcciones extremas Convex pues setslas otras direcciones pueden ser representadas como una 2 5 combinación de las direcciones extremas Un punto de la forma θ 1 x θ k x k, donde θ 1,..., θ k 0 es una combinación cónica de los puntos x 1,..., x k Un conjunto C es un cono convexo si y sólo si contiene todas las combinaciones 16 / 42

17 CONO CONVEXO (II) Ejemplos: Cómo ejemplo, consideremos el cono convexo cuyas direcciones extremas son (1, 1) y (0, 1) x2 d2=(0,1) d1=(1,1) 17 / 42

18 ENVOLTURA CÓNICA La envoltura cónica de un conjunto C es el conjunto de todas las x1 combinaciones cónicas de los puntos en C Formalmente: Figure 2.4 pie slice shows all points of the form θ1x1 + θ2x2, where θ1, {θθ2 1 x The apex + of the θ k slice x k (which θ i corresponds 0, i = to θ1 1, = θ2.. =. 0), is k} at Una envoltura cónica del conjunto C es también el cono convexo más pequeño que contiene a C Veamos algunos ejemplos: 0 0; its edges (which correspond to θ1 = 0 or θ2 = 0) pass through the points x1 and x2. x2 0 0 Figure 2.5 The conic hulls (shown shaded) of the two sets of figure / 42

19 ALGUNOS EJERCICIOS (I) Si C es un conjunto no vacío de R n, y λ 1 y λ 2 son escalares positivos. Demuestre que si C es convexo, entonces para cualquier par de puntos x 1, x 2 C, λ 1 x 1 + λ 2x 2 (λ 1 + λ 2)C. SOLUCIÓN Si C es convexo, entonces cualquier punto θx 1 + (1 θ)x 2 C Si escogemos θ = λ 1 λ 1 +λ 2 entonces (1 θ) = λ 2 λ 1 +λ 2, y por tanto: λ 1 λ 1 +λ 2 x 1 + λ 2 λ 1 +λ 2 x 2 C De aquí se puede inferir entonces, que cómo para cualquier punto x C, entonces x(λ 1 + λ 2) C(λ 1 + λ 2), y por tanto λ 1 λ 1 +λ 2 (λ 1 + λ 2)x 1 + λ 2 λ 1 +λ 1 (λ 1 + λ 2)x 2 C(λ 1 + λ 2), y por tanto λ 1 x 1 + λ 2x 2 (λ 1 + λ 2)C 19 / 42

20 ALGUNOS EJERCICIOS (II) Muestre que el conjunto C = {x R 3 : x 1 x 2 < x 3 < x 1 + x 2 2} no es convexo. SOLUCIÓN Por definición, se necesita encontrar algún x, y C y algún θ [0, 1] tal que θx + (1 θ)y C Si x = [x 1, x 2, x 3], y = [x 1, x 2, x 3], dónde x 1 x 2 < x 3 y x 1 + x 2 2 > x 3. Entonces, tenemos que x, y C, con θ = 1 2, 1 2 x y = [x 1, 0, x 3] C 20 / 42

21 HIPERPLANOS (I) Un hiperplano es un conjunto descrito por un producto escalar simple, precisamente un hiperplano en R n es un conjunto Hyperplanes de forma and halfspaces ane: set of the form {x a T x = b} (a 0) H = {x : a T x = b}, a x 0 x a T x = b e: set of the form {x a T x b} (a 0) Los hiperplanos son conjuntos afines y, por tanto, convexos. a 21 / 42

22 HIPERPLANOS (II) donde a R n, a 0, y b R son conocidos. Cuando b = 0, el hiperplano es simplemente el conjunto de puntos que son ortogonales (normales) a a Cuando b 0, el hiperplano es una traslación, a lo largo de la dirección de a, de ese mismo conjunto Si escogemos un punto x 0 en el hiperplano (por ende a T x 0 = b), se puede escribir b = a T x = a T x 0, es decir, a T (x x 0 ) = 0 Entonces, el hiperplano puede ser caracterizado por el conjunto de vectores x, tal que x x 0 es ortogonal a a H = {x : a T (x x 0 ) = 0} 22 / 42

23 PROYECCIÓN EN UN HIPERPLANO Consideremos el hiperplano H = {x : a T x = b}, y asumamos que a está normalizado (es decir, a 2 = 1) H se puede representar cómo el conjunto de puntos x tal que x x 0 es ortogonal a a, dónde x 0 es cualquier vector en H, es decir, a T x 0 = b Uno de estos vectores, que llamaremos x proj Por construcción, x proj es la proyección de 0 en H. Es decir, el punto en H más cercano al origen, que resuelve el siguiente problema de optimización: min x x 2 : x H De hecho, para cada x H, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarts, se tiene que: x 0 2 = b = a T x a 2 x 2 = x 2 y la mínima distancia b se logra con x proj = ba 23 / 42

24 HIPERPLANO: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Geométricamente, un hiperplano H = {x : a T x = b},, con a 2 = 1, es una traslación del grupo de vectores ortogonales a a. La dirección de la traslación está determinada por a y la longitud trasladada es determinada por b. Precisamente, b es la longitud the el punto x 0 más cercano al origen en H, y el signo de b determina si H se aleja del origen en dirección a o a 24 / 42

25 yperplane: set of the form {x a T x = b} (a 0) SEMIESPACIO (HALFSPACE) a Un semiespacio es un subconjunto de R n definido por una desigualdad que que envuelve a un producto escalar Un semiespacio en R n es un conjunto x 0 de la forma: x H = {x : a T x b}, a T x = b donde a R n, a 0 y b son conocidos. Un hiperplano divide R n en dos semiespacios alfspace: set of the form {x a T x b} (a 0) a x 0 a T x b a T x b a is the normal vector hyperplanes Un semiespacio are affine es un and conjunto convex; convexo, halfspaces pero, afín? are convex 25 / 42

26 SEMIESPACIO: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA El semiespacio H = {x : a T x b} es el conjunto de puntos x tales que x x 0 que forman un ángulo agudo (en [ 90 o, +90 o ]) x 0 es el punto del hiperplano definido por la igualdad a T x = b más cercano al origen, es decir, la proyección del origen en el límite del semiespacio 26 / 42

27 SEMIESPACIO ABIERTO Y CERRADO Un semiespacio es cerrado si incluye el hiperplano limítrofe {x : a T x b, a 0} Es abierto si no lo incluye {x : a T x < b, a 0} 27 / 42

28 ESFERA EUCLIDEANA Una esfera en R n es un conjunto de la forma B(x c, r) = {x : x x c 2 r} = {x : (x x c) T (x x c) r 2 } donde r > 0, y. 2 se refiere a la norma euclideana El vector x c es el centro de la esfera y el escalar r es su radio Esfera euclideana en R 2 de radio 1 Esferas euclideana en R 3 28 / 42

29 ESFERA EUCLIDEANA: CONVEXIDAD Una esfera euclidiana es un conjunto convexo (demostrar): Si x 1 x c 2 r, x 2 x c 2 r, y 0 θ 1, entonces θ(x 1 x c) + (1 θ)(x 2 x c) 2 θ (x 1 x c) 2 + (1 θ) (x 2 x c) 2 θ (x 1 x c) 2 + (1 θ) (x 2 x c) 2 r 29 / 42

30 Convex sets 30 / CONCEPTOS GENERALES Ejemplos de Conjuntos Convexos Operaciones que preservan convexidad Teoremas de separación Euclidean balls and ellipsoids ELIPSOIDE (Euclidean) ball with center x c and radius r: B(x c,r)={x x x c 2 r} = {x c + ru u 2 1} Generalización de los conjuntos esféricos Un elipsoide es un conjunto de la forma ellipsoid: {x : (x set of x the c ) T P form 1 (x x c ) 1} donde P S n ++ (es decir, P es una matriz positiva definida {x (x x c ) T P 1 (x x c ) 1} y simétrica) with Ejemplo P S n de un elipsoide en R 2 ++ (i.e., P symmetric positive definite) x c other representation: {x c + Au u 2 1} with A square and nonsingular

31 t CONCEPTOS GENERALES Ejemplos de Conjuntos Convexos Operaciones que preservan convexidad Teoremas de separación CONO CON NORMA Si suponemos que. es cualquier norma en R n. El cono asociado con la norma. es el conjunto: C = {(x, t) x t} R n+1 El cono de segundo orden es el cono asociado con la norma euclidiana, es decir, C = {(x, t) R n+1 : x 2 t} A este cono se le conoce con otros nombres, como el cono cuadrático o el cono ice-cream (helado): x x1 1 Frontera del cono de segundo orden en R 3, {(x 1, x 2, t) : x x2 2 t} 31 / 42

32 POLIEDROS Un poliedro es definido como la solución a un conjunto de igualdades y desigualdades lineales, como sigue P = {x : a T j x b j, j = Polyhedra 1,..., m, c T j x = d j, j = 1,..., p} solution en corto: set of finitely many linear inequalities and equalities Ax b, Cx = d donde A R m n Ax, C R p n b, Cx = d y identifica a una (A desigualdad R m n, C componente R p n, is componentwise a componente Un ejemplo de un poliedro en R 2 inequality) podría ser: a 1 a2 a 5 P a 3 32 / 42

33 CONO POSITIVO SEMIDEFINIDO S n es el conjunto de matrices simétricas de n n S n = {X R n n : X = X T } Es este conjunto convexo?, pruébelo S n + es el conjunto de matrices semidefinidas positivas (y se le llama el cono positivo semidefinido) S n + = {X S n : X 0} Para que el conjunto S n + sea un cono convexo, se debe cumplir que: Si θ 1, θ 2 0 y A, B S n +, entonces θ 1 A + θ 2 B S n + Recordando que A S n + x T Ax 0, x, entonces: x t (θ 1 A + θ 2 B)x = θ 1 x T Ax + θ 2 x T Bx 0 Esto se cumple si A, B 0 and θ 1, θ / 42

34 OPERACIONES QUE PRESERVAN CONVEXIDAD Cómo saber que un conjunto C es convexo?, cuáles son las alternativas? 1. Tratar de probarlo aplicando la definición: Si x 1, x 2 C, y θ, 0 θ 1: θx 1 + (1 θ)x 2 C 2. Derivarla por medio del cálculo de conjuntos convexos conocidos (hiperplanos, semiespacios, elipsoides, etc.) mediante operaciones que preserven la convexidad, como: Intersección Transformaciones (mapas) afines Funciones de perspectiva Funciones lineales-fraccionales 34 / 42

35 INTERSECCIÓN La convexidad se preserva bajo la operación de intersección: Polyhedra Si los conjuntos S 1 y S 2 son convexos, entonces S 1 S 2 es convexo. Esta propiedad se extiende a un número infinito solution de conjuntos. set of finitely many linear inequalities and equalities Un ejemplo son los poliedros, que son la intersección de Ax b, Cx = d semiespacios e hiperplanos. Los semiespacios e (A hiperplanos R m n, C son R p n conjuntos, is componentwise convexos, inequality) por lo que los poliedros también lo son: a 1 a2 a 5 P a 3 a 4 35 / 42

36 INTERSECCIÓN: EJEMPLO (I) Recordemos que el cono semidefinido positivo está formado por el conjunto de matrices PSD en R n n Este conjunto es convexo pues se puede expresar así: S + = x R n { P S n : x T Px 0 } newline Donde cada elemento de la intersección es un semiespacio en el subespacio de matrices simétricas S n Entonces el cono positivo semidefinido es la intersección de un conjunto infinito de semiespacios, y por eso es convexo. 36 / 42

37 MAPA/TRANSFORMACIÓN (FUNCIÓN) AFÍN Recordemos que un mapa (función) f : R n R m es afín si es la suma de un mapa lineal y una constante, es decir, f (x) = Ax + b, dónde A R m n y b R m Si suponemos que un conjunto S R n es convexo y f : R n R m es una función afín, entonces el conjunto f (S) = {f (x) : x S} es convexo De igual manera, si f : R k R n es una función afín, la imagen inversa de S bajo f, f 1 (S) = {x : f (x) S}, también es convexa 37 / 42

38 MAPA (FUNCIÓN) AFÍN: EJEMPLOS (I) Escalado y translación: Si S R n es convexo, α R, y a R n, entonces los conjuntos αs (escalado) y S + a (translación) son convexos: αs = {αx : x S}, S + a = {x + a : x S} La proyección de un conjunto convexo en algunas de sus coordenadas es convexo también: Si S R m R n es convexo, entonces: T = {x 1 R m : (x 1, x 2) S} para algun x 2 R n es convexo también El conjunto generado por la suma de dos conjuntos convexos S 1, S 2 definida como: S 1 + S 2 = {x + y : x S 1, y S 2} es convexo 38 / 42

39 MAPA (FUNCIÓN) AFÍN: EJEMPLOS (II) Proyección de un conjunto convexo en un subespacio: La proyección de un punto en un conjunto es el punto más cercano (en términos de la norma euclidiana) al punto dentro del conjunto. Matemáticamente, la proyección del punto x en el conjunto convexo C es la sólución única al siguiente problema de optimización: π(x) = argmin y : x y 2 : y C La proyección de un conjunto en otro es el conjunto de proyecciones π(x), x C La proyección de un conjunto convexo en cualquier subespacio o conjunto afín es convexa, puesto que es una función afín. La imagen muestra el conjunto convexo { (x, y, z) : y x 2, z y 2} y su proyección en el espacio de variables (x, y). La proyección se convierte en el conjunto: { (x, y) : y x 2 } Como el conjunto original es convexo, la proyección lo es también 39 / 42

40 EJERCICIOS (I) Muestre que si S 1 y S 2 son conjuntos convexos en R m n, entonces su suma parcial, denotada así: S = {(x, y 1 + y 2 ) : xr m, y 1, y 2 R n, (x, y 1 ) S 1, (x, y 2 ) S 2 } es convexo. Solución: Si consideramos dos puntos ( x, ȳ 1 + ȳ 2 ), ( x, ỹ 1 + ỹ 2 ) S, es decir con: ( x, ȳ 1 ) S 1, ( x, ȳ 2 ) S 2, ( x, ỹ 1 ) S 1, ( x, ỹ 2 ) S 2 Entonces, para 0 θ 1, θ( x, ȳ 1 +ȳ 2 )+(1 θ)( x, ỹ 1 +ỹ 2 ) = (θ x+(1 θ) x, (θȳ 1 +(1 θ)ỹ 1 )+(θỹ 2 +(1 θ)ỹ 2 )) está en S porque, por convexidad de S 1 y S 2, (θ x + (1 θ) x, θȳ 1 + (1 θ)ỹ 1 ) S 1, (θ x + (1 θ) x, θȳ 2 + (1 θ)ỹ 2 ) S 2 40 / 42

41 EJERCICIOS (II) Problema 5: Es el conjunto S = {a R 3 : p(0) = 1, p(t) 1, α t β}, dónde p(t) = a 1 + a 2 t + a 3 t 2, un conjunto convexo? Solución: a = (a 1, a 2, a 3 ) p(t) = a 1 + a 2 t + a 3 t 2 p(0) = 1 p(0) = a 1 = 1 p(t) 1 1 p(t) a 2 t + a 3 t t(a 2 + a 3 t) 0 Con la cota superior para t, t = β βa 2 + a 3 β 2 = 0 Eq. 1 a 2 = a 3 β, para todos los β 0 Con la cota inferior para t, t = α a 3 α 2 + a 2 α + 2 = 0 Eq. 2 a 3 = 2 a 2 α α 2 Reemplazando la Eq. 2 en Eq. 1: ( 2 a2 ) α a 2 = α 2 β a 2 α 2 = 2β + a 2 αβ 2β a 2 α(α β) = 2β a 2 = α(α β) y a 3 = a 2 β a 3 = 2β2 α(β α) 41 / 42

42 EJERCICIOS (II) Reemplazando la Eq. 2 en Eq. 1: ( ) a 2 = 2 a2 α β a α 2α 2 = 2β + a 2αβ 2 a 2α(α β) = 2β a 2 = y a 3 = a 2β a 3 = 2β2 α(β α) 2β α(α β) Por lo ( tanto, el vector a ) es un punto que depende de las cotas de t: a = 1,, con α, β 0 y α β 2β, 2β 2 α(α β) α(β α) En conclusión, S es in conjunto que está compuesto de sólo un punto y es, por tanto, convexo 42 / 42

43 EJERCICIOS (III) Demostrar si el conjunto hiperbólico {x R 2 + : x 1 x 2 1} es o no convexo. Ayuda: Si a, b 0, 0 θ 1, luego a θ b 1 θ θa + (1 θ)b 43 / 42

44 TEOREMA DEL HIPERPLANO SEPARADOR Si C, D son dos conjuntos convexos en R n que no se intersectan (es decir, C D =, entonces hay un hiperplano que los separa, es decir que existe un a 0, a R n y un b R n, tales que a T x b para todo x C, y a T x b para todo x D a T x b a T x b D C a El hiperplano {x a T x = b} separa C y D 44 / 42

45 TEOREMA DEL HIPERPLANO DE SOPORTE Si C R n es convexo y no-vacío, entonces para algún x 0 en el borde de C, existe un hiperplano de soporte a C en x 0, lo que quiere decir que existe un a R n, a 0, tal que a T x a T x 0, x C. El hiperplano de soporte es: {x a T x = a T x 0 } 45 / 42