LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Transcripción

1 1 Números realesl y proporcionalidad LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS El conjunto de los números naturales N = {0,1,,, } Operaciones: Suma y resta: Si tienen el mismo signo, se suman y se deja el signo que tienen. Si tienen distinto signo, se restan y se pone el signo del mayor en valor absoluto. Multiplicación y división: Para multiplicar (dividir) números enteros, multiplicamos (dividimos) los números y el signo se establece utilizando la regla de signos ( 6 + ) = 1 + ( 1) = = 18 1 Calcula: + (9 1) ( + 6) b) ( + 6) ( + ) Completa las siguientes operaciones: ( ) ( + ) : : 9 b) 6 : ( 19 6) + 19 ( 6 : + ) Calcula: ( ) b) ( ) La madre de Marta, que es submarinista, está entrenando sumergida en una piscina a 9 cm de profundidad, mientras Marta la observa subida a hombros de su padre, que mide 180 cm. Qué distancia hay entre Marta y su madre? Realiza las siguientes operaciones: 8 : ( + 6 : ) ( ) b) 16 : ( + ) 11 8 : ( 1) ( 1) ( 9 10) 1 6 En un videoclub hay 1 películas, se compran 0 más, si en una semana se alquilan 1. Cuántas películas hay ahora en el videoclub si solo se han devuelto de las alquiladas?

2 Realiza las siguientes sumas: ( ) + ( ) = e) (+) + ( 6) = b) (+) + (+) = f) ( ) + ( ) = ( ) + (+1) = g) ( ) + (+) = d) (+) + ( ) = h) (+1) + ( ) = 8 Opera: ( ) ( ) = e) (+) ( ) = b) ( 1) ( ) = f) ( ) ( ) = (+6) (+) = g) (+) ( 8) = d) ( 1) (+) = h) ( ) (+10) = 9 Resuelve como en el ejemplo: = + = +1 d) = b) = e) = +8 + = f) 8 + = 10 Opera: = d) = b) = e) = = f) = 11 Opera: ( 1) ( ) : ( ) = b) ( 0) : (+) (+) = (+) : ( 9) ( ) = d) ( ) (+) ( 6) : ( ) = e) (+) ( 0) : (+60) ( 6) = f) (+) ( ) : (+) : ( ) = g) ( ) : ( ) : ( 11) (+) ( ) = h) (+) ( ) (+10) : ( ) ( ) = i) (+) : ( ) ( ) ( ) =

3 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Suma y resta: Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador, las reducimos a denominador común y después sumamos o restamos los numeradores. Multiplicación: El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. División: Para dividir una fracción entre otra fracción multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Potenciación: La potencia de una fracción se obtiene elevando denominador y numerador a dicha potencia. 1 Calcula las siguientes operaciones: 1 + = b) 1 = 1 + = d) = Calcula: + = 16 8 b) + + = = 1 Calcula y simplifica el resultado. 1 + : 1

4 1 Calcula los productos: = e) = b) 8 = f) = = g) ( ) = d) = f) = 16 Calcula los cocientes: : = e) : = b) : = f) : = : = g) : = d) : = h) : = 1 Halla el valor de las siguientes expresiones: = b) : = 18 Calcula: b) :

5 POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Definimos la potencia n-ésima de a como el producto de a por sí mismo n veces. El número a es la base de la potencia y n el exponente. Si la base es negativa: a n = a a a... (n veces) a par = positivo y a impar = negativo Una potencia de exponente entero negativo es la inversa de la misma potencia con exponente positivo: Producto de potencias de igual base: a n a m = a n + m Cociente de potencias de igual base: a n : a m = a n m Potencia de una potencia: (a n ) m = a n m Potencia de un producto: (a b) n = a n b n Potencia de un cociente: n a a b = b Como consecuencia de las propiedades anteriores: a 0 = 1 a 1 = 1 n n a n = 1 n a Reducir a una única potencia = + = = + + = : 6 = 6 = 1 1 = ( ) = = 6 19 Calcula el valor de las siguientes potencias de exponente natural: b) d) 0 Calcula el valor de las siguientes potencias: ( ) ( ) b) ( ) d) ( ) 1 Calcula el valor de las siguientes potencias: b) d) 6

6 Halla el valor de las siguientes potencias: 1 1 b) ( ) d) Expresa como potencia única: b) ( ) : ( ) [( ) ] Opera y simplifica las siguientes operaciones con potencias: ( ) = ( ) b) ( : ) Expresa el resultado como una única potencia. [( ) ] b) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 6 ( ) 6 Expresa como potencia única: b) ( 6) : ( 6) Simplifica las siguientes expresiones: b) Sustituye las letras a por los números que corresponda. a = 1 a = b) a = 6 d) ( a ) = 6 9 Opera y simplifica las siguientes expresiones: ( ) 8

7 NOTACIÓN CIENTÍFICA Para que un número esté expresado correctamente en notación científica debe ser de la forma: n a, bcd... 10, donde n es un número entero Operaciones: Para sumar y restar números expresados en notación científica necesitamos que todos estén expresados con el mismo orden de magnitud. Para multiplicar y dividir números expresados en notación científica simplemente tenemos que operar las potencias de 10 por un lado y el resto de la expresión por otro. Para expresar cantidades en notación científica desplazamos la coma decimal hasta que solo nos quede una cifra entera, y el número de lugares que hayamos desplazado la coma lo indicamos en la potencia de diez, positiva si la desplazamos a la izquierda y negativa si es a la derecha = = Expresa las siguientes cantidades en notación científica: La velocidad de la luz km/s = b) Siete billones y medio. Cuatro millonésimas. d) Veinticinco diezmilésimas. 1 Calcula las siguientes sumas y restas con notación científica b) d) Realiza las siguientes operaciones: b) 10 ( ) : ( 10 ) ( ) : ( ) ( ) d) 10 :

8 OPERACIONES CON UNIDADES DE MEDIDA Ana salió de su casa a las h min 11 s de la mañana. Si sabemos que llegó a su destino a las h 8 min 6 s, cuánto tiempo tardó? Utiliza decímetros para operar: 1 m + 6 cm + 10 mm dam = b) 0 m + 1 hm + 0' km cm = 0 cm + m + 60 dam = Utiliza kilogramos para operar: 1.00 g + 6 hg dg = b) 0 hg g mg = 80 g + 0 hg + 1 dam = 6 Utiliza litros para operar: kl + 1 hl + 00 dl + 0 cl = b) 60 cl +.00 ml + 10 dl = 1.00 ml + 0 cl + 8 dal + 1 kl = Pasa a segundos y opera: h min 10 s + h 0 min + 1 s = b) h min 6 s - h 6 min 1 s = 8 Suma todo en euros: 90 cts. + 0 cts. = 9 + = b) cts. + 0 cts. = 0 cts + 0 cts. = 9

9 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si las dos aumentan o disminuyen simultáneamente de manera proporcional. Nº billetes de autobús 1 10 Precio Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales: El número de personas en un ascensor y el peso del mismo b) La superficie de un terreno y su precio La velocidad de un coche y el tiempo en realizar un recorrido d) La edad de una persona y su altura e) El número de canastas encestadas y el número de puntos obtenidos en un partido de baloncesto f) La altura de un depósito y su capacidad 0 Completa la tabla con la cantidad necesaria de cada ingrediente para preparar una tarta según para cuántas personas: Nº de personas Pasta para tarta 1/ kg Limones Yemas de huevo Azúcar 10 g Leche condensada (cuch.) 6 Mantequilla Almendras en polvo 10 g 60 g 1 Un coche gasta 8 de gasolina cada 100 km. Cuánto gasta al recorrer 00 km? Y 00 km? 10

10 Si me cambian 1 por 1 dólares ($), cuántos dólares me darán por 0? Se puede resolver de dos maneras diferentes, y el resultado es el mismo: Reducción a la unidad Regla de tres Por 1 me dan: 1 : 1 = 1 $ Por 0 me darán: 0 1 = 0 $ Por me dan 1 $ Por 0 me darán x $ x = 0 1 = 0 $ 1 Si mi vecina ha pagado 0 por kg de plátanos y 0 por kg de melocotones, cuánto pagaré por 1 kg de plátanos y kg de melocotones? Si por un apartamento de 0 m se pagan , cuánto valdrá de una vivienda de 6 m en el mismo edificio y con las mismas características? Cuál es el precio del metro cuadrado? Si viajar en metro por persona y por día supone un ahorro de kg de CO de emisiones a la atmósfera, cuánto ahorrarán personas en una semana? Un despertador que funciona con pilas gasta pilas en.800 h. Cuántas horas funcionará con un paquete de 8 pilas? 11

11 PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra disminuye de manera proporcional. Sardinas por lata Latas Cuantas más sardinas haya en cada lata menor será el número de latas necesario. Dos grifos llenan una piscina en h. Cuánto tardarían en llenarla grifos idénticos a los anteriores? Se puede resolver de dos maneras diferentes, y el resultado es el mismo: Reducción a la unidad 1 grifo tarda: = 6 h grifos tardarán 6 : = 1 h Regla de tres grifos tardan h grifos tardarán x h x = 6 Indica si las siguientes magnitudes son o no inversamente proporcionales: La velocidad de un corredor y el tiempo en el que recorre 0 km b) El número de trabajadores en una obra y el tiempo que tardan en acabarla La velocidad de un corredor y los kilómetros recorridos en min d) El número de hojas del cuaderno y el número de ejercicios del cuaderno Un ordenador que trabaja a 1 GHz ejecuta un programa en 6 centésimas de segundo. Cuánto tardará en ejecutarlo un programa que trabaja a 1 8 GHz? 8 Tres amigos quieren hacer un viaje en barco de vela. Hacen todos los preparativos y compran comida para 1 días. En el último momento se apunta otro amigo. Cuántos días les durarán las provisiones? 1

12 PORCENTAJES El porcentaje o tanto por ciento es una fracción de denominador 100. En ocasiones se puede simplificar % = = 6% = Los porcentajes también pueden expresarse en forma de número decimal. Para calcularlos hay que multiplicar la cantidad total por el número decimal asociado al porcentaje. 0 0% de = = = % de 00 = 0,1 00 = 0 0% de = = = Calcula los siguientes porcentajes, indicando primero la fracción que los representa: % de 00 = e) % de 100 = b) % de 00 = f) 0% de 8 = 0% de 00 = g) 1% de 0 = d) 0% de 10 = h) 10% de 0 = 0 En un incendio se ha quemado la cuarta parte de un pinar de 1.0 ha. Cuál ha sido la superficie arrasada? A qué porcentaje corresponde? 1 De las 1 preguntas de un examen, Juan no sabe responder al 0%, así que resuelve el resto. Cuántas preguntas responde? En una clase de alumnos, 1 han aprobado la asignatura de Matemáticas. Qué porcentaje representan los aprobados respecto del total? 1

13 AUMENTOS Y DESCUENTOS PORCENTUALES Descuentos porcentuales Una bicicleta que cuesta 60 tiene un % de descuento. Cuál es su precio final? Podemos resolverlo de dos formas: Calculamos el % de 60 y se lo restamos Si el descuento es de %, habrá que a l total: pagar 100 = 9% de 60 : 60 = = = Aumentos porcentuales El precio de un ordenador sin el 16% de IVA es de 00. Cuánto cuesta en realidad? Podemos resolverlo de dos formas: Calculamos el 16% de 00 y se lo añadimos Si el aumento es de 16%, habrá que a l total: pagar 116% de 00 : = = = 81 El aumento de las emisiones de CO en la Unión Europea entre 000 y 00 ha sido del %. Si en el año 000 se emitieron.69 millones de toneladas, cuáles fueron las emisiones de CO en el 00? En 006, una familia media española gastó.00 en alimentación. Cuánto ha pagado en 00 por los mismos productos si la cesta de la compra subió un 10%? Un tonel lleno de vino pesa 6 kg. Si el peso del recipiente representa un % del peso total, calcula el peso del vino. 1

14 PORCENTAJE Y REGLA DE TRES En un edificio viven 0 familias, de las cuales 1 tiene un perro. Qué porcentaje de familias tienen perro? tienen perro 0 familias 1 tendrán perro 100 familias x x = = 0% de las familias tienen perro 0 En el edificio solo 6 familias tienen un perro. Si el porcentaje de familias con perro en este edificio es del 8%, cuántos habitantes tiene el edificio? x = De 100 familias tienen perro 8 De x familias tienen perro = familias hay en el edificio 8 6 Para hacer 80 l de zumo de naranja industrial se mezcla el extracto de naranja con 60 l de agua. Qué porcentaje de agua hay en dicha bebida? En l de bebida, cuántos litros hay de agua? De una caja de 0 disquetes, el % ha salido defectuoso. Cuántos disquetes han salido defectuosos? 8 De los 8 alumnos de una clase de 1º de ESO, 1 han aprobado la asignatura de Matemáticas. Qué porcentaje ha suspendido? 9 Si durante la noche duermes 9 h, qué porcentaje de horas en el día has pasado durmiendo? Y si ves la televisión durante h, qué porcentaje del día estás sentado delante del televisor? 1

15 INTERÉS BANCARIO Una entidad bancaria ofrece un % de interés anual por un depósito a años. Cuál será la ganancia si se ingresan 1.000? Cuál será el capital final? I = interés =? C = capital inicial = t = tiempo = años r = rédito = % Sustituimos cada variable por su valor: C t r I = = = C = = Qué beneficio producen en años al %? 61 Una persona hace un préstamo de.000 y a los años le devuelven su dinero más en concepto de intereses. Cuál ha sido el tanto por ciento de interés? 6 Cuánto tiempo habrá que colocar un capital de.000 al % de su interés para obtener un beneficio igual al 10% del capital? 6 Qué capital colocado al 6% de interés produce un beneficio de 00 en años? 6 Se coloca un capital de.000 en una entidad bancaria. Cuál es el capital total retirado al cabo de años si el interés es del 6 % y las comisiones cobradas son un 0 1% de los beneficios? 16

16 PROPIEDADES DE LOS RADICALES. OPERACIONES Para sumar o restar varias raíces, tienen que ser semejantes: Para dividir y multiplicar raíces han de tener el mismo índice: n n n a b = a b m n n Potencia de una raíz: ( = a n m n m Raíz de una raíz: a = a m ( ) a c + b c = a + b c a : b = a : b n n n Realizar las siguientes operaciones con raíces: = = 6 6 : = 6 : = ( ) = 1 = Para multiplicar o dividir raíces con distinto índice tendremos que reducirlas a índice común: = = = Para extraer factores fuera de la raíz descompondremos en factores primos y a continuación dividimos el exponente de cada factor primo entre el índice de la raíz. El cociente es el exponente del factor primo que sale fuera de la raíz y el resto es el exponente del factor primo que queda dentro de la raíz x y z = x y z = x y xyz 6 Realiza las siguientes operaciones con raíces: b) d) e) ( ) 9 1 f) : g) 9 : 9 1

17 PROPIEDADES DE LOS RADICALES. OPERACIONES 66 Extrae fuera de la raíz los términos que puedas: 16a b 1 b) d) e) x 8 y 11 0 x Realiza las siguientes sumas y restas: 0 + b) d) Realiza las siguientes operaciones con radicales: ( ) ( ) b) d) : e) : 18

18 LA RECTA REAL El conjunto de los números reales lo podemos representar mediante una recta que llamamos recta real. Un intervalo es el conjunto de todos los números reales que forman un segmento de la recta real. El intervalo es cerrado si los números que limitan dicho segmento están incluidos en el intervalo. Y es abierto si los extremos del segmento no están incluidos en el intervalo. El intervalo es semiabierto si solo uno de los extremos está incluido. Las semirrectas están formadas por todos los números menores o mayores que uno dado. Un extremo de la semirrecta se representa con los símbolos o Representa en la recta los siguientes números y ordénalos de menor a mayor: Representa mediante intervalos los siguientes conjuntos de números: El conjunto de números reales mayores que. b) El conjunto de números reales mayores o iguales que y menores que. El conjunto de números reales menores o iguales que 6. 1 Describe qué números están incluidos en los siguientes intervalos. (, 9) b) (10, ) [, ) d) (,0] e) [-, 1] Expresa en forma de intervalo los siguientes conjuntos de números: x d) < x < 9 b) x e) x > < x f) x < 6 19