{ }: en determinado término. Por ejemplo, en la primera sucesión el primer término ( ), es 10. El término enésimo o general es a

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1 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios PROGRESIONES UNIDAD I I. SUCESIÓN Y SERIE U sucesió es u list de úmeos que sigue u egl detemid: { { i Fomlmete ls sucesioes se defie como u tipo especil de fució de cuyo domiio es el cojuto de úmeos tules N: Ejemplos de sucesioes: ) { { 0 0 ) { { ) { { 6 ) { { El témio i-ésimo { : N R i de u sucesió es el que v compñdo de l let que idic el vlo del úmeo es el segudo e detemido témio. Po ejemplo e l pime sucesió el pime témio ( ) témio ( ) es 0 el tece témio ( ) es 0. El témio eésimo o geel es. Ejemplo. E l sucesió:{ el témio eésimo o geel es:. P cooce los témios de u sucesió se sustituye el vlo de desde hst el vlo que se desee. U sucesió es ifiit cudo tiee u úmeo ifiito de témios. Ejemplo: { { 66 U sucesió es fiit cudo tiee u úmeo detemido de témios. Ejemplo: { { U sucesió que se poxim cd vez más u cieto úmeo se llm covegete. Ejemplo: { (se cec ceo) U sucesió que o tiee límite es divegete (o se cec igú úmeo) Ejemplo: { {

2 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios U sucesió es ceciete si cd témio de l sucesió es myo que el teio. Ejemplo: { { 6 9 U sucesió es dececiete si cd témio de l sucesió es meo que el teio. Ejemplo: { { 7 U sucesió es moóto si es ceciete o dececiete. Ejemplos: Moóto ceciete: { { Moóto dececiete: { { U seie es l sum de los elemetos de u sucesió. L sum puede se fiit o ifiit. Los elemetos de ls seies puede se úmeos lets o u combició de mbs. U seie puede epesetse de dos foms: Elistdo los elemetos co los sigos ete los elemetos. Usdo l llmd otció sigm ( Σ ) que implic l sumtoi de todos los elemetos co sólo el témio geel y el go de l sum idicd. Ejemplo. Ls siguietes expesioes epeset l mism seie: s 0 ( ) + Se defie como seie ifiit l sum de los témios de l sucesió: e témios pácticos se deot como U seie fiit se defie como: s + + i s. + + i + + s ) Dd l sucesió ifiit: { 6 s ) Dd l sucesió fiit: { s ( ) + ( 0) + ( ) Tod secueci oded de úmeos eles ecibió el ombe de sucesió. Deto del gupo de sucesioes existe dos pticulmete iteestes po el picipio de egulidd que pemite sistemtiz l defiició de sus popieddes: ls pogesioes itmétics y ls geométics. i +

3 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios I. PROGRESIÓNES ARITMÉTICAS Pogesió itmétic es tod sucesió e l cul cd témio después del pimeo se obtiee sumádole l témio teio u costte llmd zó o difeeci. Se deot po PA y ete cd témio y el siguiete se escibe u com. ) PA { es u pogesió itmétic cuy zó es y que etc. ) PA { 7 9 es u pogesió itmétic cuy zó es y que 9 etc. U pogesió itmétic es ceciete cudo su zó es positiv. Ejemplo. PA es ceciete poque su zó es. U pogesió itmétic es dececiete cudo su zó es egtiv. Ejemplo. { PA es dececiete y que su zó es. I.. ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO Se l siguiete pogesió: PA { b c d e L u e l que u es el témio eésimo y cuy zó es. Po defiició e tod pogesió itmétic cd témio es igul l teio más l zó po lo tto: b + c b + ( + ) + + d c e d ( ) ( ) y sí sucesivmete. Se puede peci que cd témio es igul l pimeo de l pogesió más tts veces l zó como témios le pecede. Co bse este zomieto ést ley se cumple p todos los témios y se tedá que u seá igul l pime témio más tts veces como l zó como témios le pecede. Al se u el témio eésimo le pecede témios po lo tto: u + ( ) ) Hll el oveo témio de PA { 7 0 L

4 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios u ( ) ) Hll el docevo témio de PA { 6 L 6 u + ( )( ) ) Hll el quicevo témio de u 7 + ( ) PA L I.. DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS De l fómul u + ( ) se despej y. Esto es: Pime témio: u ( ) u Rzó: u + Númeo de témios: ó u + ) El quicevo témio de u pogesió itmétic es 0 y l zó. Hll el pime témio ( ) 0 6 ) Hll l zó de l pogesió { ( ) PA L dode es el décimo témio.

5 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios ) Cuátos témios tiee l pogesió PA { 6 L témios. I.. TÉRMINOS EQUIDISTANTES Se l pogesió PA { Lm L p Lu de zó. Si ete y m hy témios y ete p y u tmbié hy témios etoces m y p so témios equidisttes de los extemos. Si hy témios ete y m se tiee que: m + ( + ) _( ) y que l témio m le pecede ( +) témios cotdo l témio. De l mism fom si hy témios ete p y u se tiee que: u p + ( + ) _( ) Restdo () de () se tiee: m u p o bie m + p + u. Esto demuest que e tod pogesió itmétic l sum de dos témios equidisttes es igul l sum de los extemos. Cudo el úmeo de témios de u PA es imp el témio medio equidist de los extemos y po tto el doble de este témio es igul l sum de los extemos. I.. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se l pogesió PA { bc Ll mu témios se tiee que: S + b + c + L + l + m + u o bie que: S u + m + l + L + c + b + Sumdo () y () se tiee que: que cost de témios. Si S es l sum de los _( ) _( ) S ( + u) + ( b + m) + ( c + l) + L+ ( l + c) + ( m + b) + ( u + ) Peo se sbe que todos los témios so igules ( u) que: ( + u) + ( + u) + ( + u) + + ( u) + po se témios equidisttes. Esto implic S L + peo como l pogesió tiee témios: S ( + u) despejdo S se obtiee l sum de los témios de u pogesió itmétic: S ( + u) ) Hll l sum de los 9 pimeos témios de PA { L 7 ( 9 ) u +

6 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios ( + ) 7 9 S 76 ) Obtee l sum de los pimeos témios de u + ( ) S PA L 0 ) Ecot l sum de los 60 pimeos témios de PA { 9L 0 ( 60 )( 0) 79 ( + ( 79) ) 60 u + S 7 00 I.. MEDIOS ARITMÉTICOS E INTERPOLACIÓN E u pogesió itmétic se deomi medios itméticos los témios que se ecuet ete el pime y el último témio. Ejemplo. E l PA { itméticos. los témios y so medios Itepol medios itméticos ete dos úmeos ddos es fom u pogesió itmétic cuyos extemos se los dos úmeos ddos. ) Itepol medios itméticos ete y. Si se quiee itepol medios itméticos etoces l pogesió cost de 6 témios y su zó es: u 7 6 Po lo tto el segudo témio es: el tece témio es: el cuto témio es:

7 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios el quito témio es: po lo que l pogesió buscd es: 9 6 PA ) Itepol medios itméticos ete y. Si se quiee itepol medios itméticos etoces l pogesió cost de 6 témios y su zó es: Po lo tto el segudo témio es: el tece témio es: el cuto témio es: el quito témio es: el sexto témio es: po lo que l pogesió buscd es: PA 6 6 I..6 PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS ) Se comp 0 tículos. Po el pimeo se pgó 00 pesos y po cd uo de los demás 00 pesos más que po el teio. Hll el impote de l comp u + ( ) 00 + ( 0 )( 00) 00 ( + u) ( ) 0 S $ ) Ls pédids de ños de u cs de comecio está e pogesió itmétic. El último ño pedió $000 pesos y l pédid de cd ño fue de $00 meos que e el teio. Cuáto pedió el pime ño? u

8 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios ( ) 000 ( )( 00) $ 00 u ) U deud puede se pgd e sems pgdo $000 l pime sem $000 l segud sem $000 l tece sem y sí sucesivmete. Hll el impote de l deud u + ( ) ( )( 000) ( + u) ( ) S $ ' ) E u ce u hombe vz 6 metos e el pime segudo y e cd segudo posteio vz cm. más que el teio. Cuáto vzó e el octvo segudo y que distci hbá ecoido e segudos? 6 0. u e el octvo segudo S ( ) ( )( ) 7 ( + u) ( ) metos. ) El quito témio de u pogesió itmétic es y el oveo 9. Hll el docevo témio. + _ + 9 _ ( ) ( ) estdo () (): 7 7 de (): ( ) po lo tto el docevo témio es: u + ( ) + ( )( 7) 0 6) E u pogesió itmétic de témios el pime y último témio sum.. Cuál es l sum del tece y décimo témio? Po se témios equidisttes su sum tmbié es. 7) Cuál es el sexto témio de u pogesió itmétic de témios si su pime témio es - y el último -? u u ( ) 0 0 u po lo tto el sexto témio es: ( ) ( )( ) 7

9 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios ) Cuátos témios hy que tom de l pogesió PA { 9 7L 90? S 90 ( + u) S peo u + ( ) [ + + ( ) ] S sustituyedo vloes: [ + + ( ) ] sí que: p que su sum se esolviedo l ecució de segudo gdo po l fómul geel: ( )( 90) ± + 60 ± ( ) 6 6 ± (est íz que se desct poque o puede se egtivo) 6 6 po lo tto el último témio es: u + ( ) + ( 0 )( ) I. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Atigumete hbí quiees estb iteesdos e sucesioes de úmeos figudos cuyos elemetos cosistí e úmeos que podí socise co figus geométics fomds po putos. Auque muchs sucesioes sólo itees desde el puto de de vist de pstiempo hy ots de g iteés. Como ejemplificció de esto es el úmeo de tepsdos que tiee o tuvo u peso e cd geeció que le pecede y que tiee o tuvo dos pdes cuto buelos ocho bisbuelos etc. Oto ejemplo puede se el tuco de los espejos e el que se fotogfí l imge de lguie eflejdo e u espejo miets que sostiee oto espejo oietdo hci el pimeo de me que su imge se eflej u y ot vez u ifiidd de veces. Si los espejos se coloc e fom decud ls pimes imágees eflejds so cd vez más pequeñs teiedo cd u después de l pime l mitd de ltu que l teio. Así si l ltu de l pime imge es h etoces ls ltus de ls imágees sucesivs fom l sucesió: h h h h L L h Cd témio excepto el pimeo de l sucesió puede obteese multiplicdo el témio teio po. Ls teioes pogesioes ecibe el ombe de geométics y que cotiució se defie. 9

10 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios Pogesió geométic es tod sucesió de témios e l cul cd témio después del pimeo se obtiee multiplicdo l témio teio u costte llmd zó. Se deot medite PG y ete cd témio y el siguiete se escibe u com. 0 es u pogesió geométic cuy zó es y que 0 0 etc. 0 0 ) PG { ) PG 7 9 es u pogesió geométic cuy zó es y que 7 9 etc. 7 U pogesió geométic es ceciete cudo su zó e vlo bsoluto es myo que uo. Ejemplo. { PG es ceciete poque su zó es. U pogesió geométic es dececiete cudo su zó e vlo bsoluto es meo que uo. Ejemplo. PG es dececiete y que su zó es. I.. ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO Se l siguiete pogesió: PG { b c d e Lu e l que u es el témio eésimo y cuy zó es. Po defiició e tod pogesió geométic cd témio es igul l teio multiplicdo po l zó po lo tto: b c b d c e d y sí sucesivmete. Se puede peci que u témio culquie es igul l pimeo de l pogesió multiplicdo po l zó elevd u poteci igul l úmeo de témios que le pecede. Como u es el témio eésimo y le pecede témios se tiee que: u 0

11 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios ) Hll el séptimo témio de PG { 6 L 6 7 u 7 6 ( ) ( ) ( 6) 9 ) Hll el oveo témio de PG { L 9 u 9 ) Hll el quito témio de 6 u 6 PG L Cudo l zó es egtiv los témios de l pogesió geométic so ltedmete positivos y egtivos. Si es p el esultdo tedá sigo positivo y si es imp tedá sigo egtivo. I.. DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS De l fómul u se despej y. Esto es: Pime témio: u u Rzó: P obtee el úmeo de témios se tom el logitmo de cd uo de los miembos: Log u Log Log u Log + Log Log u Log Log ( ) ( )

12 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios u Log u Log Log ( ) Log u Log Po lo que el úmeo de témios está ddo po: + Log 6 ) L zó de u pogesió geométic es y el oveo témio es. Hll el pime témio u u ) Hll l zó de PG { L 60 de ocho témios. u 60 u 60 7 ) Cuátos témios tiee l pogesió PG { 9 L u 96 u 9 6 Log Log Log Log I.. TÉRMINOS EQUIDISTANTES Se l pogesió PG { Lm L p Lu de zó. Si ete y m hy témios y ete p y u tmbié hy témios etoces m y p so témios equidisttes de los extemos.

13 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios + Si hy témios ete y m se tiee que: m _( ) y que l témio m le pecede ( +) témios cotdo l témio. + De l mism fom si hy témios ete p y u se tiee que: u p _( ) Dividiedo () po () se tiee: m o bie m p u u p. Esto demuest que e tod pogesió geométic el poducto de dos témios equidisttes es igul l poducto de los extemos. Cudo el úmeo de témios de u PG es imp el témio medio equidist de los extemos y po tto el cuddo de este témio es igul l poducto de los extemos. I.. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Se l pogesió PG { bc Ll mu témios se tiee que: S + b + c + L + l + m + u que cost de témios. Si S es l sum de los ( ) _ Aho multiplicdo est expesió po l zó se tiee: S + b + c + L + l + m + u _ ( ) Restdo () de () se tiee que: S S u y que b c b L u m etc. y l est se ul. Fctoizdo S : S ( ) u despejdo S se obtiee l sum de los témios de u pogesió geométic: S u ) Hll l sum de los 6 pimeos témios de PG { 6L 6 u ( )( ) 6 S ( ) ( ) ( ) ) Obtee l sum de los 7 pimeos témios de PG L

14 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios 7 u S ) Ecot l sum de los pimeos témios de u 7 PG L S. 6 I.. MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN E u pogesió geométic se deomi medios geométicos los témios que se ecuet ete el pime y el último témio. Ejemplo. PG los témios 6 6 y 6 so medios geométicos. E l { Itepol medios geométicos ete dos úmeos ddos es fom u pogesió geométic cuyos extemos se los dos úmeos ddos. ) Itepol medios geométicos ete 7 y. Si se quiee itepol medios geométicos etoces l pogesió cost de 6 témios y su zó es: u 6 7 Po lo tto el segudo témio es: ( 7) el tece témio es: ( ) el cuto témio es: ( ) 6 el quito témio es: ( 6) po lo que l pogesió buscd es: PG { 7 6

15 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios ) Itepol 7 medios geométicos ete y. Si se quiee itepol 7 medios geométicos etoces l pogesió cost de 9 témios y su zó es: u 9 6 Po lo tto el segudo témio es: el tece témio es: el cuto témio es: el quito témio es: el sexto témio es: el séptimo témio es: el octvo témio es: 6 po lo que l pogesió buscd es: PG 6 I..6 SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE INFINITA u S S Si de l fómul se sustituye u po su vlo u o bie si se cmbi los sigos los dos témios de l fcció se tiee: S se tiee que: E u pogesió geométic dececiete l zó es u fcció popi (meo que uo) y si est zó se elev u poteci cuto myo se el expoete meo es l poteci de l fcció. Po tto ete más gde se el expoete meo seá y tmbié. Siedo lo suficietemete gde tiede ceo. Esto es: lim S lim

16 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios 6 po lo que cudo el úmeo de témios de l pogesió geométic tiede ifiito el vlo de l sum es: S Hll l sum de ls siguietes pogesioes geométics ifiits: ) L PG S ) L PG S ) L PG S

17 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios I..7 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE Se u cuddo ABCD que tiee cuto cetímetos de ldo. Si se costuye u seie de cuddos de me que los putos medios de los ldos del pimeo se los vétices del segudo los putos medios de los ldos de éste se los vétices del teceo y sí sucesivmete se obtiee u figu como l siguiete: D G C H F cm. A E cm. B El cuddo ABCD es 6 cm. El cuddo EFGH es l mitd del cuddo ABCD po lo tto el áe de los tiágulos HAE EBF FCG y GDH es l ot mitd del cuddo ABCD. Po tto el áe de los tiágulos del pime cuddo iteio es igul cm. E fom semejte se obtiee ls áes de los demás tiágulos. Hciedo l sum de todos ellos se tiee: Áe de los tiágulos del pime cuddo iteio es Áe de los tiágulos del segudo cuddo iteio es Áe de los tiágulos del tece cuddo iteio es Áe de los tiágulos del cuto cuddo iteio es Áe de los tiágulos del quito cuddo iteio es Áe de los tiágulos del sexto cuddo iteio es Áe de los tiágulos del séptimo cuddo iteio es Áe de los tiágulos del octvo cuddo iteio es Áe de los tiágulos del oveo cuddo iteio es Áe de los tiágulos del décimo cuddo iteio es cm cm cm cm 0. cm 0. cm 0. cm cm 0. 0 cm cm L sum de ls áes de los tiágulos de los pimeos diez cuddos iteioes es. 97 cm 7

18 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios De este ejemplo se obsev que lo úmeos L fom u pogesió geométic dececiete de zó. El vlo de cd témio dismiuye y u témio se cec más ceo cuto myo se el úmeo de los témios que le pecede. L sum de los témios es costtemete ifeio 6 esultdo que pudo obteese medite l S fómul: 6 I.. PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS ) U peso gó $0 el lues y cd dí gó el doble de lo que gó el teio. Cuáto gó el sábdo y cuáto de lues sábdo? u $ u 60( ) 00 S $ 60 ( ) ( ) ( ) 60 gó el sábdo gó de lues sábdo ) U postdo jugó dute dís y cd dí gó de lo que gó el dí teio. Si el octvo dí gó $0. Cuáto gó el pime dí? u 0 u $ ) El cuto témio de u pogesió geométic es _( ) 7 6 _ de (): ( ) ( ) y el séptimo. Hll el sexto témio.

19 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios 6 sustituyedo () e (): sustituyedo e (): 6 u (sexto témio) 6 ) U hombe que ho cd ño los de lo que hoó el ño teio hoó el quito ño $6000. Cuáto h hodo e los ños? u 6000 u u S $ 000 hoó e los cico ños ) L poblció de u ciudd h umetdo e pogesió geométic de 909 pesos que e de e 007. Cuál es l zó de cecimieto po ño? u u po ño es deci ceció el.% ul. 6) P costui u desollo tuístico se comp u teeo de 000 hectáes pg e ños de este modo: $00 el pime ño $00 el segudo $900 el teceo y sí sucesivmete. Cuál es el impote del teeo? u 00 ( ) 00( ) 7'

20 Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Pogesioes Auto: D. José Muel Bece Espios ( ) u 7' S $ 77' 00 7) U peso h ivetido e cd ño de los que ivitió el ño teio. Si el pime ño ivitió $00 cuáto h ivetido e 6 ños? u u S $ 6 00 ivitió e seis ños. 0