de las veces, lo haremos estableciendo la relación que existe entre el valor del término

Transcripción

1 PROGRESIONES U sucesió uméic es u cojuto odedo de úmeos, cd uo de los cules ecibe el ombe de témio. P desig cd témio se utiliz l otció i, dode el subídice idic el lug que ocup el témio. Se llm témio geel o témio -ésimo de u sucesió l témio que ocup el lug de l mism; se desig po y p defii u sucesió, l myoí de ls veces, lo hemos estbleciedo l elció que existe ete el vlo del témio y el lug que ocup dicho témio,. L sucesió,,, 0, 0,, es u sucesió de ifiitos témios que está defiid po l elció, como podemos compob. ete No siempe se defie u sucesió medite el estblecimieto de u elció y ; ots veces, p defii u sucesió, utilizmos u fómul de ecueci que os dice l elció que existe ete u témio y sus pecedetes. Se l sucesió:,,,,, 8,,,,.. U vez coocidos =y =, los témios siguietes se obtiee sumdo los dos pecedetes: = U sucesió uméic de úmeos eles se dice que es u pogesió itmétic si cd témio se obtiee pti del teio sumádole u ctidd costte que llmmos difeeci, epesetd po l let d. El témio geel de u pogesió itmétic que tiee como pime témio y como difeeci d se obtiee medite l fómul: d L sucesió, 7, 9,,,, es u pogesió itmétic de difeeci d=, pues l est de cd témio co su teio es igul. Su témio geel seá: d

2 L sum de los pimeos témios de u pogesió itmétic se obtiee medite l siguiete fómul: S Si e l sucesió del ejemplo teio, desemos sum los veite pimeos témios, hllemos, e pime lug, el vlo de 0 p, posteiomete, hll S d 9 S0 80 Llmmos itepol p medios difeeciles ete y b itecl p úmeos ete y b de modo que fome u pogesió itmétic, siedo el pime témio. Si desemos itepol cuto medios difeeciles ete y 8 tedemos e cuet que, u vez hech l itepolció, el úmeo ocupá el pime lug y el úmeo 8, el sexto. Esto os pemitiá obtee l difeeci de l pogesió y los cuto témios que buscmos. d 8 d d d Así, los témios buscdos seá: 8, 8, 8, 8 Decimos que u sucesió es u pogesió geométic si cd témio se obtiee pti del teio multiplicádolo po u ctidd costte que llmmos zó de l pogesió y que desigmos co l let. El témio geel de u pogesió geométic que tiee como pime témio y como zó se obtiee medite l fómul: L sucesió,, 8,,, es u pogesió geométic y que cd témio se obtiee multiplicdo po el teio. Su témio geel seá: L sum y el poducto de los pimeos témios de u pogesió geométic viee ddos po ls fómuls siguietes: S P

3 P hll l sum y el poducto de los seis pimeos témios de l pogesió geométic del ejemplo teio clculemos e pime lug p, cotiució, clcul S y P. 8 S S 78, P 8 P Cudo e u pogesió geométic l zó es positiv peo meo que, diemos que es u pogesió geométic dececiete, y l sum de todos sus témios es fiit, y puede hllse medite l siguiete fómul: S L pogesió, /, /9, /7, /8, es u pogesió geométic dececiete de zó / y l sum de sus ifiitos témios seá: S Se llm itepol p medios popocioles ete y b costui u pogesió geométic itecldo p témios ete y b, siedo el pime témio. Si queemos itepol cuto medios popocioles ete y 07, tedemos e cuet que, u vez hech l itepolció el pime témio seá y el sexto 07. Este hecho os pemitiá clcul l zó de l pogesió y, co ell, los cuto medios popocioles Si l zó es, los medios seá:, 8, 8 9, 9 78

4 PROBLEMAS RESUELTOS.- Cuátos témios hy que sum de l pogesió, 7,,, 9, p obtee como esultdo 0? Solució: l sucesió que os d es u pogesió itmétic de difeeci y supogmos que, p cosegui es sum, ecesitmos témios, desde hst. Aplicdo l fómul de l sum de témios de u pogesió itmétic teemos: 0 0 y como 0 0, se cumple: De quí deducimos que puede tom los vloes y 9/. Como este último vlo o es válido pues l solució debe se ete, cocluimos que se debe sum témios..- L sum de tes úmeos que está e pogesió itmétic es 7 y su poducto 8. Clcul dichos úmeos. Solució: si llmmos x l témio cetl, los otos dos seá x d, x, x d, dode d es l difeeci de l pogesió. De cuedo co esto, teemos: x d x x d x d xx d 7 8 x 7 x 9 9 d99 d 8 8 d d d Los úmeos que buscmos so, 9 y...- Cuáto vle l sum de 9 témios de u pogesió itmétic si? Solució: el témio es el témio cetl de los ueve pimeos témios de l pogesió y veific que es igul 9. Como S 9 9 S 9 9 9, se cumple:

5 .- E u pogesió geométic, el témio y l difeeci ete el tece témio y el segudo es 8. Escibe los seis pimeos témios de dich pogesió geométic. Solució: pltemos u sistem de dos ecucioes co dos icógits y Dividimos miembo miembo: 0 8,. P 8 L pogesió es: 8, 7, 9,,,, P L pogesió es:,...,,,,,.- Hll l sum de todos los témios de u pogesió geométic sbiedo que y /. Solució: l se l zó positiv y meo que uo, l pogesió es dececiete. Clculemos, e pime lug, y después l sum de los ifiitos témios S

6 PROBLEMAS PROPUESTOS.- Ecuet el témio geel de ls siguietes sucesioes: ),,,,... b) 8,,,, c) 0 7,,,,... 0 d) 7,,,, Los dos pimeos témios de u sucesió so y. Los demás se fom, po ecueci, sumdo los dos que les tecede. Escibe los ocho pimeos témios de est sucesió..- Hll el témio geel de ls pogesioes itmétics siguietes: ), 7, 0,,, 9, b), 0, 7,,, -, c) -9, -7, -, -, -,,,.- Hll el témio geel de ls pogesioes itmétics defiids po ) y d b) y d 8 c) 7 y d.- Compueb si l sucesió,,, costituye u pogesió itmétic..- Hll el témio que ocup el lug 00 e l pogesió, 9,,, 7.- E u pogesió itmétic 0 y. Clcul el pime témio Hll los ocho pimeos témios de u pogesió itmétic sbiedo que el décimo es 0 y l difeeci es. 9.- Los tes águlos de u tiágulo está e pogesió itmétic de difeeci 0º. Hálllos. 0.- Los águlos de u petágoo covexo está e pogesió itmétic y el meo de ellos mide 0º. Hll el vlo de los esttes águlos..- Clcul el témio que ocup el lug 0 e l pogesió:, /, /,,.- El pime témio de u sucesió es y cd uo de los esttes se obtiee sumdo l teio l cif de ls uiddes. Se tt de u pogesió itmétic?

7 .- Justific zodmete qué es igul l sum de dos témios que equidist de los extemos e u pogesió itmétic..- Hll tes úmeos e pogesió itmétic sbiedo que su sum es, y l sum de sus cuddos es 8..- Clcul el vlo de p que los úmeos,, fome u pogesió itmétic..- Hll l sum de todos los úmeos impes compedidos ete 00 y Hll l sum de todos los múltiplos de myoes que 0 y meoes que Hll l sum de todos los úmeos de dos cifs. 9.- El pime témio de u pogesió itmétic es, l difeeci es y l sum de los pimeos témios es 7. Clcul. 0.- L sum de los 8 témios de u pogesió itmétic es y el poducto de los témios extemos es 8. Hll l difeeci de l pogesió y dichos témios extemos..- Si cosidemos siete témios cosecutivos de u pogesió itmétic, el cuto vle. Hll l sum de los siete témios..- E u pogesió itmétic de cico témios, el teceo vle y l difeeci ete los extemos es. Cuál es l pogesió?.- El último témio de u pogesió itmétic de 0 témios es 0 y l sum de los témios es 090. Hll el pime témio y l difeeci de l pogesió..- L sum de los dos pimeos témios de u pogesió itmétic es 8 y l sum de los tes pimeos es 8. Hll el quito témio de l pogesió..- E u boled hy fils de áboles. Cd fil tiee áboles más que l teio. L fil 7 tiee 8 áboles. Cuátos áboles hy e totl?.- E u pogesió itmétic el témio que ocup el lug udécimo es el doble del séptimo témio, y l difeeci es 0 '. Hll los oce témios de l pogesió. 7.- Clcul los seis témios de u pogesió itmétic, sbiedo que l sum de los tes pimeos es y l sum de los tes últimos es.

8 8.- L sum de tes úmeos e pogesió itmétic es y su poducto es 0. Hll dichos úmeos. 9.- Clcul tes úmeos que está e pogesió itmétic y so tles que umetdos e, y 7, espectivmete, so popocioles, y Se sum, témio témio, dos pogesioes itmétics de pime témio y b, y difeeci d y d ', espectivmete. L sucesió esultte es u pogesió itmétic? Cuál es su pime témio? Y su difeeci?.- Itepol cuto medios difeeciles ete 9 y 9..- Itepol ocho medios difeeciles ete y..- E u pogesió geométic de zó -/ el témio quito es 9/. Hll el pime témio..- P qué vloes de x ls expesioes x, x,0x, fom u pogesió geométic?.- L sum de tes témios cosecutivos de u pogesió geométic es, y su poducto. Hll los tes úmeos..- Deduce zodmete quié es igul el poducto de dos témios que equidist de los extemos e u pogesió geométic. 7.- L difeeci ete el teceo y el pime témio de u pogesió geométic es 9 y el segudo témio vle. Hll l pogesió. 8.- Hll los cico pimeos témios de u pogesió geométic sbiedo que el pime témio es 80 y el teceo es El poducto de cico témios cosecutivos de u pogesió geométic es y el quito témio es cuto veces el teceo. Clcul l pogesió. 0.- E u pogesió geométic de cuto témios, el poducto de los témios que ocup lug imp es y el poducto de los témios que ocup lug p es 0. Hll los cuto témios..- Ecuet los cico témios de u pogesió geométic sbiedo que l zó es igul l décim pte del tece témio y que l sum del segudo y el quito témios es L sum de los tes pimeos témios de u pogesió geométic es y l sum de los seis pimeos es 80. Hll l pogesió.

9 .- U medigo pide hospitlidd u vo hciédole l siguiete poposició: Yo pgé po el pime dí, po el segudo dí, po el tece dí, y sí sucesivmete. E cmbio usted me dá 0 ' 00 el pime dí, 0 ' 00 po el segudo dí, 0 ' 00 po el tece dí, y sí sucesivmete. El vo ecotó est poposició como u bue egocio y cositió e este eglo po 0 dís. Liquidd l cuet l fil de este tiempo..- Itepol dos medios popocioles ete 8 y..- Itepol siete medios popocioles ete y Detemi u pogesió geométic tl que l sum de los dos pimeos témios se 8 y l difeeci ete el teceo y el pimeo se. 7.- El iveto del jedez pidió como pemio que le otog u go de tigo po l pime csill del tbleo, dos po l segud, cuto po l tece, ocho po l cut, y sí sucesivmete, poiedo e cd csill doble que e l teio. Clcul el úmeo de gos que pidió. 8.- E u pogesió geométic l sum de sus ifiitos témios es, y l difeeci ete los dos pimeos es /9. Hll el pime témio y l zó. 9.- Hll el úmeo de témios popocioles que se puede itepol ete y 8, siedo l zó de l pogesió. 0.- E u pogesió geométic l sum de sus ifiitos témios es, y el segudo témio es 8. Hll l pogesió..- Hll el pime témio de u pogesió geométic sbiedo que su zó es / y l sum de todos sus témios es 8..- (*) Tes úmeos está e pogesió geométic y sum. Si el pimeo se dej igul, l segudo se le ñde uiddes, y l teceo se le quit uiddes, los úmeos obteidos está e pogesió itmétic. Aveigu dichos úmeos..- (*) Se tiee tes témios cosecutivos de u pogesió geométic que sum 8. Sumdo dos uiddes l témio itemedio l pogesió se coviete e itmétic. Aveigu dichos úmeos..- Se tiee u cuddo de ldo m. Uiedo los putos medios de sus ldos obteemos oto cuddo. Uiedo los putos medios de los ldos de este uevo cuddo, obteemos oto cuddo, y sí sucesivmete. Hll l sum de ls áes de los ifiitos cuddos.

10 .- (*) Tes úmeos,, está e pogesió geométic y sum. Si se escibe e el ode,, etoces los úmeos está e pogesió itmétic. Detemi dichos úmeos..- (*) Tes úmeos,, está e pogesió geométic y sum. Si se sum uiddes l segudo, los uevos úmeos fom u pogesió itmétic. Clcul dichos úmeos. 7.- (*) L sum de tes úmeos e pogesió geométic es 70. Si el pimeo se multiplic po, el segudo po y el teceo po, los úmeos esulttes está e pogesió itmétic. Clcul dichos úmeos. 8.- (*) Se tiee u tiágulo equiláteo de ldo m. Se ue ete si los putos medios de sus ldos, obteiédose oto tiágulo equiláteo. Siguiedo sí sucesivmete, cuál seá l sum de ls áes de los ifiitos tiágulos equiláteos obteidos? 9.- Demost que si,,,,... so los témios de u pogesió geométic de zó, etoces los úmeos x x, x,,... dode x es u úmeo culquie, tmbié está e, x pogesió geométic. Hll l zó. 0.- U viej comuic u seceto tes migs. Diez miutos después el seceto es comuicdo po cd u de ells ots tes. A su vez cd u de ls uevs poseedos del seceto se lo comuic ots tes y sí, sucesivmete. Cuáts pesos cooce el seceto l cbo de cuto hos?.- Hll l fcció geetiz de los siguietes úmeos: ) '... b) ' Clcul ls siguietes sums: c) 0' 0'00 0' 0000 d) 0' 0'0 0'00 0' 000