Números Reales, Polinomios, Ecuaciones, Inecuaciones, Logaritmos e Inducción PREGUNTAS MÁS FRECUENTES

Transcripción

1 Númeos Reles, Poliomios, Ecucioes, Iecucioes, Logitmos e Iducció PREGUNTAS MÁS FRECUENTES. Cómo se modific el ídice de u dicl? Se multiplic (o divide el ídice y el epoete del dicdo po u mismo úmeo. IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto Ejemplos: 0 8. Cómo se sum o est dicles? Sólo se puede sum o est dicles igules o equivletes (quellos que l simplificse qued igules. 8. Cómo se multiplic o divide dicles? Se poe todos ídice comú y se plic que el poducto de íces es igul que l íz de u poducto y que el cociete de íces es igul que l íz de u cociete. 08. Cómo se cioliz u fcció? Se llm cioliz u fcció l poceso que coviete u fcció que tiee dicles e el deomido e ot equivlete que o los tiee. Hy dos pocedimietos distitos: Si el deomido es u úico dicl, multiplicmos el umedo y el deomido po el dicl decudo que se cpz de simplific l íz del deomido. Después opemos el umedo y lo esciimos de l fom más simplificd que podmos. Si el deomido es u sum o est que cotiee u o dos íces cudds, multiplicmos el umedo y el deomido po l epesió cojugd del deomido (u est si teímos u sum o u sum si e u est. E el deomido plicmos difeeci de cuddos, después opemos el umedo y lo esciimos de l fom más simplificd que podmos. 8 8 ( 0 ( ( ( ( 0 ( 0 0

2 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto. Cómo se esuelve u ecució poliómic? Se usc ls íces po Ruffii, hst lleg l segudo gdo, pti de hí, se puede cotiu po Ruffii o plic l fómul de ls solucioes de l ecució de º gdo. Resuelve: Ls solucioes so: Oto pocedimieto: Se empiez igul, peo l lleg º gdo plico l fómul. Resuelve: Aho esuelvo: 0 0 ± ( 0 Ls solucioes so:. Cómo se hll el esto de l divisió de u poliomio ete? Se puede hce de dos mes: po Ruffii o plicdo el teoem del esto. Hll el esto de l divisió: : Po Ruffii: El esto es -0 Oto pocedimieto: Po el teoem del esto. Se sustituye l icógit po el vlo de. Hy que ecod que es el úmeo que se est de l. Hll el esto de l divisió: : Resto ( ( ( 0

3 . Es lo mismo fctoiz u poliomio que esolve u ecució poliómic? E l páctic sí. Ls íces de u poliomio so ls solucioes de l ecució y viceves. IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto Fctoiz: 0 Como hemos visto e el ejemplo teio, ls íces del poliomio so es: 0 ( ( ( po lo que l epesió fctoizd Hll ls solucioes de l ecució, y fctoizd: ( ( 0 Viedo los fctoes, ls íces del poliomio so: 0 po lo que ls solucioes so: 0 8. Cuáles so ls idetiddes otles más impottes? El cuddo de l sum: ( El cuddo de l est: ( Difeeci de cuddos: ( ( Ejemplos: Desoll: ( ( ( ( Coviete e el cuddo de u est. Fctoiz: ( ( ( (

4 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto. E qué cosiste el método de iducció? Es uo de los tes métodos de demostció: Deducció, Iducció y Po educció l sudo. El método de Iducció es útil cudo se petede demost que u poposició es ciet p u ifiidd de vloes discetos de u vile (típicmete los ifiitos vloes tules de. L compoció de dich poposició p cd vlo coceto de l vile o es posile, pues se tt de ifiitos vloes. A cmio, se demuest que l vlidció de l poposició se tsmite de cd vlo de l vile l siguiete. Seí lgo sí: Si l poposició es ciet p lo seá p, l se ciet p lo seá p, etc. Queddo sí vlidd l poposició p los ifiitos vloes de l vile. El esquem del método es el que sigue: ª fse: Compo que l poposició es ciet p el pime vlo de l vile (típicmete ª fse: Compo que, si l poposició fuese ciet p u vlo de l vile ( k implic ecesimete que tmié lo es p el siguiete vlo de l vile ( k. L demostció de este pso se puede eliz de múltiples mes y depede del tipo de poposició que se esté demostdo. E todos los csos utilizemos l ifomció de l vecidd de l poposició p k. Demuest que es divisile ete p,,, ª fse ( : 0 que es divisile ete ª fse ( k : Supoiedo cieto que k k ( k ( k tmié es divisile ete. ( k ( k k k k k es divisile ete teemos que demost que k k Itoducimos u mism epesió sumdo y estdo co el fi de pode utiliz l vlidez de l poposició p k ( k k k k ( k k k k ( k k k Como, ( k k y k so mos múltiplos de, qued demostd l poposició p k y po lo tto p todos los vloes de. Demuest que ( ª fse ( :... ( ª fse ( k : Supoiedo cieto que ( k ( k k ( k (... k k k k k k k ( k ( ( Queddo demostd l poposició p k y po lo tto p todos los vloes de. k k k teemos que demost que k

5 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto 0. Cómo se ope co fccioes lgeics? Si se tt de u poducto de dos fccioes, se multiplic los umedoes y se multiplic los deomidoes. Estos poductos se idic peo o se efectú. Se fctoiz umedo y deomido y se simplific los elemetos comues. El esultdo puede dejse idicdo si ope. Ope y simplific: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Si se tt de u cociete de dos fccioes, se multiplic e cuz. Como tes, estos poductos se idic peo o se efectú. Se fctoiz umedo y deomido y se simplific los elemetos comues. El esultdo puede dejse idicdo si ope. Ope y simplific: : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( : Si se tt de u sum o est de dos fccioes, se fctoiz los deomidoes, se usc su míimo comú múltiplo y se poe ls fccioes co este comú deomido (míimo comú múltiplo ete cd deomido po su umedo. Etoces se sum o est los umedoes, se fctoiz el uevo umedo y se simplific los elemetos comues. Hy que tee mucho cuiddo co ls fccioes que tiee delte u sigo meos, y que podemos cofudios co los sigos si o poemos pétesis. Como tes, el esultdo puede dejse idicdo si ope. Ope y simplific: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

6 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto. Cómo se desoll l poteci de u sum (o est? Se utiliz l fómul del iomio de Newto. E l poteci de u sum todos los sumdos so positivos, e l de u est se lte los sigos empezdo co, el sigo del último sumdo depede del úmeo de ellos: (... 0 (... 0 E cd sumdo v dismiuyedo de uo e uo el epoete de l y umetdo el de l. Los úmeos comitoios se otiee del tiágulo de Ttgli o plicdo l fómul:!!(!. Si ó tuviese fctoes, como e el pimeo de los ejemplos que se ve cotiució, sus potecis dee poese co pétesis. ( ( ( ( ( 0 Desoll y simplific ( medite el iomio de Newto. ( ( ( ( ( ( Cómo se esuelve u ecució iciol? Si hy u úico dicl, pimeo islmos l íz, después elevmos l cuddo, esolvemos l ecució que quede y po último se compue ls solucioes. L compoció es oligtoi, y que l elev l cuddo puede pece solucioes flss compñds de ls veddes. Si hy más de u dicl, pimeo islmos u de ls íces, después elevmos l cuddo, como todví quedá lgú dicl, se plic el pocedimieto teio. Resuelve: ( ± 0 0 ( Compomos l ª solució:, o es solució. Compomos l ª solució:, sí es solució. Resuelve: ( ( ( Compomos l solució:, luego sí es solució.

7 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto. Cómo se esuelve u iecució? Podemos tee iecucioes poliómics (de pime gdo, segudo gdo etc. o iecucioes cioles (co epesioes lgeics e los deomidoes. El método geel cosiste e coveti l desiguldd e iguldd, se esuelve l ecució, si fuese u iecució ciol, se igul ceo los deomidoes p otee sus íces. Se utiliz todos los vloes oteidos p toce l ect el y se vlid ls distits zos podo u vlo uméico peteeciete cd itevlo. Ls solucioes oteids uldo los deomidoes uc fom pte de l solució fil. P ls iecucioes de pime gdo se puede tmié emple oto pocedimieto más ápido que cosiste e ctu como se ttse de u ecució teiedo cuiddo de volte l desiguldd cudo se cmise el sigo mos miemos. Ejemplo de iecució de pime gdo (pime pocedimieto: Resuelve: Compomos u vlo culquie de l zo izquied, po ejemplo el 8: ( 8 ( 8 ( Vemos l desiguldd o se cumple, lo que ivlid l zo izquied. Compomos ho u vlo culquie de l segud zo, po ejemplo el 0: Vemos l desiguldd sí se cumple, lo que vlid l segud zo.,. Se icluye poque est iecució pemite l iguldd. L solució es etoces el itevlo [ Ejemplo de iecució de pime gdo (segudo pocedimieto: Resuelve: E el último pso l desiguldd de volte de meo o igul myo o igul puesto que hemos cmido el sigo de los dos miemos de l iecució L solució es etoces el itevlo [,. Se icluye poque est iecució pemite l iguldd. Ejemplo de iecució de pime gdo (segudo pocedimieto: Resuelve: > > > > < < E el peúltimo pso l desiguldd de volte de meo myo puesto que hemos cmido el sigo de los dos miemos de l iecució L solució es etoces el itevlo,. El itevlo es ieto poque l desiguldd es estict.

8 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto Ejemplo de iecució de segudo gdo: Resuelve: > ± 0 ( ( Compomos u vlo culquie de l ª zo, po ejemplo el : ( ( > > > Vemos l desiguldd sí se cumple, lo que vlid l pime zo. Compomos ho u vlo culquie de l ª zo, po ejemplo el 0: 0 0 > 0 > Vemos l desiguldd o se cumple, lo que ivlid l segud zo. Compomos u vlo culquie de l ª zo, po ejemplo el : > 8 > > Vemos l desiguldd sí se cumple, lo que vlid l ª zo. L solució es etoces l uió de itevlos ( (, o pemite l iguldd. Ejemplo de iecució ciol: Resuelve: ( ( Auldo el deomido: 0,. Ecluimos el y el poque est iecució Compomos u vlo culquie de l zo izquied, po ejemplo el : ( 0 0 Vemos l desiguldd sí se cumple, lo que vlid est zo. Compomos u vlo ete el 0 y el, po ejemplo el : Vemos l desiguldd o se cumple, lo que ivlid est zo. Compomos u vlo ete el y el, po ejemplo el : Vemos l desiguldd sí se cumple, lo que vlid est zo. Compomos ho u vlo culquie de l zo deech, po ejemplo el : Vemos l desiguldd o se cumple, lo que ivlid est zo. L solució es etoces l uió de itevlos (, 0] (,]. Se icluye el 0 y el poque est iecució pemite l iguldd. Se ecluye el, poque ul el deomido 8

9 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto. Cómo se esuelve u sistem de iecucioes? Se esuelve cd iecució po sepdo, como hemos visto e los ejemplos teioes, y se usc l zo comú (si eiste de los itevlos solució de cd iecució. < Resuelve: Resolvemos l pime iecució: Compomos u vlo culquie de l zo izquied, el puede sevi: ( < < 0 Vemos l desiguldd o se cumple, lo que ivlid l zo izquied. Compomos ho u vlo culquie de l zo deech, el 0 puede sevi: 0 < 0 < Vemos l desiguldd sí se cumple, lo que vlid l zo deech. L solució de l pime iecució es etoces el itevlo (,. Se ecluye poque l iecució o pemite l iguldd. Resolvemos l segud iecució: Compomos u vlo culquie de l zo izquied, el 0 puede sevi: 0 0 < Vemos l desiguldd sí se cumple, lo que vlid l zo izquied. Compomos ho u vlo culquie de l zo deech, el puede sevi: Vemos l desiguldd o se cumple, lo que ivlid l zo deech. L solució de l segud iecució es etoces el itevlo (,]. Se icluye el poque l iecució sí pemite l iguldd. Repesetmos ho jutos los dos itevlos y uscmos l zo comú: L solució del sistem de iecucioes es etoces el itevlo(, ].

10 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto. Cómo se esuelve u sistem de ecucioes? El pime pso es simplific lo más posile cd ecució po sepdo de ls demás. Suele se cosejle evit que quede deomidoes o decimles. A cotiució osevemos si se tt de u sistem liel o de uo o liel. Si se tt u sistem o liel el método que d mejo esultdo el de sustitució. Se despej u icógit de u ecució y se sustituye e l ot de me que quede u úic ecució co u úic icógit que se esuelve p después clcul l icógit despejd e pime lug. Es pudete compo ls solucioes oteids. Resuelve: 0,80 y ( ( y 0,80 ± 0 y y y ( ( y 0,80 y 0,80 y,0 y 0,80 y,0 y 0,80,0 0,80,0 y 0,80 y,0,0 0,80,0 0 8 ( y y 0 0, Si se tt u sistem liel co dos icógits, uque se pued utiliz tto el método de igulció como el de sustitució, es cosejle us el de educció. Se multiplic ls ecucioes po los coeficietes decudos p que se elimie u icógit l sum ls ecucioes. U vez clculd est icógit se puede sustitui e culquie de ls ecucioes p hll l ot icógit. Ot posiilidd es utiliz de uevo l educció p elimi l ot icógit. y Resuelve: y y y y y P clcul l ot icógit podemos utiliz l sustitució: 8 y y y y 8 y Peo, e su lug, podemos utiliz ot vez l educció: y 8y 0 y y y 8y Si se tt u sistem liel co más de dos icógits el método cosejle es el de Guss. 0

11 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto. Cómo se plte u polem de eucido? Pimeo leemos deteidmete el eucido idetificdo ls codicioes que se dee cumpli, después defiimos clmete ls viles que pezc implicds e el teto, tts viles como codicioes. Si o teemos muy clo qué viles defii utilizemos l meos l(s que pezc( e l pegut del polem. Cd codició se covetiá e u ecució y deeí de he tts ecucioes como icógits. Resolvemos etoces el sistem de ecucioes y compomos l solució oteid compodo que vlid el eucido del polem. Se dee poe l solució e fom de fse y co ls uiddes de medid decuds. Vios migos tom u efesco cd uo e u tez y dee pg po el totl de ls cosumicioes. Como dos o tiee dieo, los demás les ivit, deiedo umet su potció e 0,80 cd uo. Cuátos migos so? E l pegut fil del eucido qued defiid l pime vile: úmeo de migos De l lectu del eucido vemos que seá ecesio fij el dieo que de poe cd migo, po lo tto pece zole defii como segud vile: y pecio de cd efesco Como teí que pg e totl, l pime ecució seá: y Si dos o pg, seá migos los que tedá que poe 0,80 más que tes, es deci y 0,80, po lo tto l segud ecució seá: ( ( y 0,80 El sistem seá etoces: y ( ( y 0,80 Este sistem y h sido esuelto tes. Otuvimos p l vile dos posiles vloes:,. Como est vile epeset el º de migos, ecluimos l solució egtiv. Qued etoces: y, Solució del polem: So migos y cd efesco costó,0.. Qué es el logitmo de u úmeo? Ls fucioes logítmics so ls ecípocs de ls epoeciles. Lo pimeo que deemos tee clo es que, de l mism me que hy distits epoeciles p cd úmeo el que esté e su se, tmié há ifiits fucioes logítmics segú el úmeo el de su se, que deeá se siempe myo que ceo. El logitmo e se de u úmeo seá el epoete l que hy que elev l se p otee dicho úmeo: y log y E culquie se, o eiste los logitmos de los úmeos egtivos i tmpoco del ceo. Sólo se puede clcul el logitmo de u úmeo myo que ceo. Al logitmo e se 0 se le llm logitmo deciml y se le pemite o poe u 0 e su se. Al logitmo e se el úmeo e (,88 se le llm logitmo epeio y se le epeset como l. log 8 8 Es deci: el logitmo e se del 8 es poque es el epoete l que hy que elev el p que esulte 8. log Es deci: el logitmo e se del es poque elevdo el l quit esult. log Es deci: el logitmo deciml de 00 es poque elevdo 0 l cuddo esult 0. 0 l 0 e 0 Es deci: el logitmo epeio de es 0 poque elevdo el úmeo e 0 esult.

12 IES Jovellos - Repso de º de Bchilleto 8. Cuáles so ls popieddes de los logitmos? Ls popieddes so ls misms idepedietemete del vlo de su se. log 0 Es deci: el logitmo del es 0 e culquie se. log Es deci: el logitmo de l popi se es. log ( log log Es deci: el logitmo del poducto de dos úmeos coicide co l sum de sus logitmos. log log log Es deci: el logitmo del cociete de dos úmeos coicide co l est de sus logitmos. log ( log Es deci: el logitmo de u úmeo elevdo u epoete coicide co el epoete multiplicdo po el logitmo del úmeo. log log Es deci: el logitmo de íz de u úmeo coicide co el logitmo del úmeo dividido po el ídice de l íz. No eiste popieddes p el logitmo de l sum o est de úmeos. log log Est popiedd os pemite cmi de se. Es deci, podímos clcul u logitmo e log se coociedo los logitmos e se. E ciet se coocemos que log 0, y log 0, 8. Hll log 8, log 8 log log 0,,08 0 log log log 0 log,8 0, 0,8 log log, log ( 000 0, ( 000 log 000 log log 0 log log 0 log,8, 80. P qué sive los logitmos? Idepedietemete de que so fucioes muy fecuetes e ls solucioes de ls ecucioes difeeciles, si ls cosidemos úicmete como hemiets lgeics so de plicció idispesle siempe que ecesitemos esolve u ecució e l que l icógit esté situd e el epoete. E dich situció se tom logitmos, es deci, igul el logitmo del pime miemo de l ecució l logitmo del segudo miemo, cotiució l popiedd del logitmo de u poteci os pemitiá j l icógit del epoete y sí pode despejl fácilmete. Se puede emple culquie logitmo, peo hitulmete se us el deciml o el epeio, que so los logitmos que pece e culquie clculdo cietífic. U polció tiee hittes y cece de me costte u % ul. Clcul cuáto tiempo dee ps p dispoe de.80 hittes. t El modelo de cecimieto epoecil es: N 0.000, t.80 t t ,,,8, t log,8 log,8 log, log,8 t log, t ños log,