COMBINATORIA BÁSICA. Selecciones básicas sobre conjuntos Variaciones Permutaciones Combinaciones. Coeficientes binomiales. Binomio de Newton.
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- Lorena Rubio Ávila
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1 COMBINATORIA BÁSICA Picipios ásicos de ecueto Picipio de dició Picipio de multiplicció Picipio de iclusió-exclusió Picipio del complemetio Seleccioes ásics soe cojutos Vicioes Pemutcioes Comicioes Coeficietes iomiles. Biomio de Newto. Poilidd. Regl de Lplce? Ágeles Mtíez Sáchez Cuso 6/7 DMATIC ETSISI
2 Biliogfí ásic: Culquie lio de pimeo de Bchilleto Tecológico o segudo de Bchilleto Sociles Mtemátic Discet. Lio de l sigtu. Cp. 5 Mtemátic Discet y sus pliccioes. K.H. Rose. Mc Gw Hill. Cp. 4 Polems esueltos de Mtemátic Discet. Gcí F., Heádez G., Nevot A. Ed. Thomso. Cp. 5 Mteil de tjo: Mtemátic Discet. Polems. Hoj 4. Actividd de Apedizje Moodle Este mteil solo cotiee defiicioes, popieddes y esultdos ásicos. Ls demostcioes, desollo de l teoí y ejecicios se veá e clse.
3 MOTIVACIÓN Ojetivo: detemi el úmeo de elemetos que veific u popiedd si costuilos todos: Cot si eume Técics: Expes el polem e fució de otos más secillos Picipios ásicos de ecueto Idetificlo co modelos coocidos Seleccioes soe cojutos Modeliz medite u fució ecusiv Fucioes ecusivs de gumeto tul Comi divess técics. Hemiet útil: costui lguos ejemplos, epeset el ptó geel
4 PRINCIPIOS BÁSICOS DE RECUENTO Picipio de dició: Si u poceso de selecció se puede eliz de dos foms excluyetes de modo que l pime de ells dmite opcioes y l segud dmite m opcioes, etoces el úmeo totl de seleccioes posiles es +m. Temiologí cojutist: A U B = A + B A B El esultdo se extiede K seleccioes fiits y disjuts dos dos S = k A U UA k = A + + A k Ejemplos: U estudite dee elegi u ejecicio p eteg. E u list de ejecicios hy 5, e ot y e ot. Cuátos ejecicios tiee el estudite p elegi? De cuáts foms puede elegi u ejecicio? Se ti u ddo ojo y uo vede y se sum ls putucioes oteids. De cuáts foms e cuáts tids se puede otee l sum 7?
5 PRINCIPIOS BÁSICOS DE RECUENTO Picipio de multiplicció: Si u poceso de selecció se puede dividi e dos psos cosecutivos de modo que hy eleccioes e el pimeo y po cd u de ells hy m eleccioes e el segudo, etoces el úmeo totl de eleccioes es.m. Temiologí cojutist: A X B = A. B B m A El esultdo se extiede u poceso de selecció de K etps e ls codicioes teioes S =... k Ejemplos: Detemi el úmeo de pes que se puede otee l lz l ie u ddo vede y uo ojo. El meú de l cfeteí de l EUI ofece cuto pimeos pltos, tes segudos y cico postes. Cuáts comids pime plto, segudo y poste se puede elegi? Detemi el úmeo de cdes de 9 its que c e y empiez po.
6 PRINCIPIOS BÁSICOS DE RECUENTO Picipio de iclusió-exclusió: Si u poceso de selecció se puede eliz de dos foms de modo que l pime dmite opcioes, l segud dmite m opcioes y hy opcioes comues ms, etoces el úmeo totl de seleccioes posiles es +m-. Temiologí cojutist: A U B = A + B - A B A A B B Este esultdo se extiede l cso de tes o más foms de seleccio u elemeto teiedo e cuet tods ls epeticioes que iteviee. A C B A U B U C = A + B + C - A B - B C - A C + A B C Ejemplos: Detemi el úmeo de cdes de 7 its que empiez po o temi e. Detemi l ctidd de úmeos tules que hy e {,,} que so divisiles po 5 o po 7.
7 PRINCIPIOS BÁSICOS DE RECUENTO Picipio del complemetio: el úmeo de elemetos de u cojuto fiito que veific u popiedd es el úmeo de elemetos de dicho cojuto meos el úmeo de elemetos que o l veific. Es cosecueci del picipio de dició X Temiologí cojutist: A = X - A c A A c Ejemplos: Detemi el úmeo de cdes de 9 its que o temi e. Detemi el úmeo de esultdos que se puede otee l ti u ddo ojo y uo vede cuy sum es meo que.
8 Ejecicios:. Se quiee etiquet ls utcs de u estdio co dos lets de u lfeto de 6 seguids de u úmeo meo o igul que. Cuáts utcs se puede etiquet co este sistem?. Se quiee elegi u piez de u máqui p hce u cotol de clidd. Si l máqui tiee 5 mivels, motoes y 4 egjes, detemi de cuáts foms se puede elegi l piez.. E u gupo de estudites de pime cuso todos está mticuldos e Álge, e M. Discet o e ms. Si hy 8 lumos mticuldos e Álge, 5 e M. Discet y 6 e ms, detemi el úmeo de lumos del gupo. 4. Cuátos úmeos pes de tes cifs se puede fom co ls cifs,,,4,5? 5. Detemi el úmeo de cdes de 8 its tles que el poducto de los tes pimeos es ceo.
9 6. Se lz dos ddos ojo y vede l ie y se sum los esultdos de ls cs supeioes. De cuáts foms se puede otee múltiplo de 4? y de 6? y múltiplo de 4 y 6? y múltiplo de 4 o de 6? 7. Detemi el úmeo de cdes de its que empiez po y o temi e. 8. Detemi cuátos úmeos eteos de tes cifs distits tiee tods ells impes. Y si se pide pes? 9. Detemi l ctidd de úmeos ete y 6 que so pimos eltivos co 6.. E u cdemi se impte clses de iglés, fcés y lemá. E este ño 66 lumos estudi l meos iglés, 55 l meos fcés y 59 l meos lemá. Hy 7 que estudi iglés y fcés, iglés y lemá, 9 fcés y lemá y 7 que estudi los tes idioms. Cuátos lumos hy mticuldos e l cdemi? Cuátos estudi úicmete iglés?
10 SELECCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS Se deomi vició de elemetos de u totl de u selecció oded de elemetos distitos de los posiles. Se epeset V, y se veific que el úmeo de vicioes de elemetos tomdos de e es:! V,! L fómul se otiee usdo el picipio de multiplicció. Ejemplos: Detemi el úmeo de clves de cuto cifs distits que se puede costui usdo ls cifs {,,, 9}. Detemi l ctidd de úmeos de cuto cifs distits y sigifictivs que se puede fom co ls cifs {,,, 9}. Detemi el úmeo de foms de ech u ol oj, u zul y u vede e tes cjs difeetes, siedo que hy diez cjs umeds del l.
11 SELECCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS Se deomi vició co epetició de elemetos de u totl de u selecció oded de elemetos, distitos o o, de los posiles. Se epeset VR, y el úmeo de vicioes co epetició de elemetos tomdos de e es: VR, L fómul se otiee usdo el picipio de multiplicció. Ejemplos: Detemi l ctidd de úmeos de cuto cifs sigifictivs que se puede fom co ls cifs {,,, 9}. Detemi el úmeo de foms de elle u test de peguts si cd u dmite tes espuests posiles: {,, c}. Detemi el úmeo de foms de ech u ol oj, u vede y u zul e cjs si e cd cj ce hst tes ols.
12 SELECCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS Se deomi pemutció de elemetos u selecció oded de los elemetos dispoiles. Se epeset P y se veific que el úmeo de pemutcioes de elemetos es: P! L fómul se otiee usdo el picipio de multiplicció. Es u cso pticul de ls vicioes. Ejemplos: Detemi el úmeo de foms distits e que 5 pesos puede liese e l tquill de u cie. Y e u mes de tiul? Y e u mes edod? Detemi el úmeo de pls, co o si sigificdo, que se puede fom co ls lets de l pl pel. Detemi el úmeo de foms de coloc 7 lios distitos e u estteí. Y si se coloc po ode lfético? Pemutció cicul de elemetos PC = -!
13 SELECCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS Se deomi pemutció co epetició de elemetos ete los que hy k gupos de elemetos idistiguiles de tmños,, k, = + + k u selecció oded de los elemetos. Se epeset P,,, k y se veific que el úmeo de pemutcioes co epetició es: P,,, k!! Clve: p cd gupo de elemetos idistiguiles solo impot los luges que ocup e u lieció de los elemetos. k! Ejemplos: Detemi el úmeo de pls, co o si sigificdo, que se puede escii co ls lets de l pl pelele. Detemi el úmeo de cdes de 7 its que se puede escii co ceos y 4 uos. Detemi el úmeo de cmios que puede segui u pulg que slt o ie l izquied o ie hci i y d u totl de cico sltos l izquied y hci i.
14 SELECCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS Se deomi comició de elemetos de u totl de u selecció, si ode, de elemetos distitos de los posiles. Se epeset C, y se veific que el úmeo de comicioes de elemetos tomdos de e es: C,!!! L fómul se justific viedo que V, = C,* P. Elegi co ode elemetos de u totl de se puede hce e dos psos, e el pimeo se elige si ode elemetos de los y e el segudo se pemut los elegidos. El picipio de multiplicció popocio el totl de eleccioes. Ejemplos: Detemi de cuáts foms se puede elegi folletos de 4 tipos de odedoes si hy modelos difeetes. Detemi los coloes que se puede otee l mezcl coloes distitos de u plet de 8 coloes. Detemi el úmeo de foms de ech tes ols igules e tes cjs difeetes, siedo que hy diez cjs umeds del l.
15 Cómo put el cmeo? Té Chocolte Cfé X X X X X X X X X X Cuáts comds podí ecii? X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X PR,, X X X X X X X X X X Hy elemetos elegi, el ode e que se pid o d lug pedidos difeetes y es posile epeti l elecció de elemeto: CR,
16 SELECCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS Se deomi comició co epetició de elemetos de u totl de u selecció, si ode, de elemetos distitos o o de los posiles. Se epeset CR, y se veific que el úmeo de comicioes co epetició de elemetos tomdos de e es: CR, PR!,,!! Elecció XXX XX XX X Hy símolos X y - símolos Ejemplo: Detemi el úmeo de foms de elegi 7 piezs de fut de u futeo que cotiee pes, mzs y js hy l meos 7 piezs de cd tipo. Detemi el úmeo de pedidos difeetes que puede ecii u cmeo que tiede u mes de 5 pesos si ls eids dispoiles so cfé, té o met. Detemi el úmeo de coloes que se puede otee l mezcl tes coloes o ecesimete distitos de u plet de 8.
17 Los úmeos C, se llm úmeos comitoios o coeficietes iomiles soe C!!!,. todo p p. Sucojutos de elemetos Popieddes. todo p Coveio:! = COEFICIENTES BINOMIALES
18 Ls popieddes teioes pemite otee los úmeos comitoios de me ecusiv: Tiágulo de Pscl o de Ttgli. = = = = = COEFICIENTES BINOMIALES
19 Biomio de Newto k k k k + = fom - C, foms - C, foms fom C!!!, COEFICIENTES BINOMIALES
20 Ejemplos ie coocidos: Ejecicios. Otee l fil del tiágulo de Pscl coespodiete =5.. Otee los desollos de + 4 y Idic el coeficiete de l expesió 4 e el desollo de Idic el coeficiete de 5 e el desollo de Desoll l expesió + - usdo el iomio de Newto. Cuál es el vlo de l sum que se otiee? COEFICIENTES BINOMIALES
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